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2015-2016学年九年级（下）入学数学试卷
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D
的四个答案．其中只有一个是正确的，请将答卷上对应的方框涂黑．
1．在 ，﹣1，0，2这四个数中，属于负数的是（ ）
A． B．﹣1 C．0D．2
2．计算2a3•（﹣a5）的结果是（ ）
A．2a8 B．﹣2a8C．2a15 D．﹣2a15
3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
5．下列调查中，调查方式选择正确的是（ ）
A．为了了解某品牌手机的屏幕是否耐摔，选择全面调查
B．为了了解玉兔号月球车的零部件质量，选择抽样调查
C．为了了解南开步行街平均每天的人流量，选择抽样调查
D．为了了解中 秋节期间重庆市场上
的月饼质量，选择全面调查
6．如图，AB∥CD，AF与CD交于点E，BE⊥AF，∠B=60°，则∠DEF的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
7．期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分
的同学最多”，小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”，上面两位同学的话
能反映出的统计量是（ ）
A．众数和平均数B．平均数和中位数
C．众数和方差 D．众数和中位数
8．在寻找马航MH370航班过程中，某搜寻飞机在空中A处发现海面上一块疑似漂浮目标B，此时从
飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度AC=1500米， ，则飞机距疑似目标B的水平距
离BC为（ ）A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
9．如图，AB是⊙O的直径，点C、点D在⊙O上，连结AC、BC、AD、CD，若∠BAC=50°，则∠ADC的
度数等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
10．张老师带育才艺术团去北京参加文艺汇演，他们乘坐校车从南开大校门口出发到机场赶飞机．车
开了一段时间后，张老师发现有一包演出服落在了校门口门卫处，于是马上打出租车返回去取，拿到
服装后，他立即乘同一辆出租车追赶校车（下车取服装的时间忽略不计），结果，张老师在机场附近追
上校车．设张老师与校车之间的距离为S，校车出发的时间为t，则下面能反映S与t的函数关系的大
致图象是（ ）
A． B． C． D．
11．观察下面一组数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…．，将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下
去，则第11行中从左边数第10个数是（ ）
A．﹣110B．110 C．﹣111 D．111
12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点O在坐标原点，点B的坐标为（1，4），点A在第
二象限，反比例函数y= 的图象经过点A，则k的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣ D．
二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共24分），请将答案直接填在题后的横线上．13．中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，
这个数据用科学记数法可表示为 ．
14．计算：2×（ ﹣π）0﹣12016+ 的值为 ．
15．若△ABC∽△DEF，且周长比为2：3，则相似比为 ．
16．如图，扇形OAB的圆心角为90°、半径为2cm，半圆O 和半圆O 的直径分别为OA和OB，则图中
1 2
阴影部分的面积为 cm2．
17．从﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3六个数中任选一个数记为k，则使得关于x的分式方程 =k﹣2有解，
且关于x的一次函数y=（k+ ）x+2不经过第四象限的概率为 ．
18．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=6，E为BC延长线上一点，且EC= ，过点E
作EF⊥AB交AB于F，将△ABC沿AB翻折，得到△ABD，将△ABD绕点B旋转，在旋转过程中，记
旋转中△ABD为△A′B′D′．设直线A′D′与射线EF交于点M，与射线EB交于点N，当△EMN是以
∠MEN为底角的等腰三角形时，EN= ．
三、解答题：（本大题2个小题，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
19．（1）解方程：
（2）解方程组： ．
20．如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，AB=DE．求证：AC∥DF．四、解答题：（本大题4个小题，每小题0分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理
步骤.
21．（2014•万州区校级模拟）先化简，再求值： ，其中a是不等式
组 的整数解．
22．（2016春•重庆校级月考）创造节期间，重庆育才中学向学生征集校服自主设计作品．初三年级信
息技术张老师从全年级32个班中随机抽取了A、B、C、D共四个班，对征集到的作品的数量进行了分
析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
（1）张老师所调查的4个班征集到作品共 件，其中B班征集到作品 件，请
把图2补充完整．
（2）如果全年级参赛作品中有4件获全校一等奖，其中有2名作者是男生，2名作者是女生．现在要在
获一等奖的四个人中抽两人去参加全校自主校服设计的走秀活动，求恰好抽中一男一女的概率（要求
用树状图或列表法写出分析过程）．
23．（2016春•重庆校级月考）某公司研发一款新型的测角仪，这种测角仪能更精确的测量角度，减少
误差．
（1）如图，小明为了得到教学楼BC上旗杆AB的高度，用新型测角仪在与BC相距12m的F处，由E
点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，请你帮小明求出旗杆AB的高度．（结果精
确到0.1m．参考数据：∠AGB=90°≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）
（2）目前公司有100台机器，平均每台能生产400套，由于该仪器大受欢迎，工厂计划增加产量；但是
由于机器故障，每台平均生产套数将减少1.25a%（20＜a＜30），要使生产总量增加10%，则机器台数
需增加2.4a%，求a的值．
24．（2016春•重庆校级月考）若整数a能被整数b整除，则一定存在整数n，使得 ，即a=bn．例如
若整数a能被整数3整除，则一定存在整数n，使得 ，即a=3n．（1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小
数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除．例如：将数字306371分解为306和371，因为
371﹣306=65，65是13的倍数，所以306371能被13整除．请你证明任意一个四位数都满足上述规律．
（2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的
自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以
12121212是“摆动数”，再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”，请你证明任意一个6
位摆动数都能被13整除．
五、解答题（本大题2个小题，每小题l2分，共24分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推
理步骤，请将解答过程书写在答卷中对应的位置上．
25．（2015•重庆校级二模）如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点E
在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．
（1）若AD=3 ，BE=4，求EF的长；
（2）求证：CE= EF；
（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线
上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
26．（2014•山西）综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两
点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．
（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；
（2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物
线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：
当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N是
抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016 学年九年级（下）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D
的四个答案．其中只有一个是正确的，请将答卷上对应的方框涂黑．
1．在 ，﹣1，0，2这四个数中，属于负数的是（ ）
A． B．﹣1 C．0D．2
【分析】根据负数是小于0的数，可得答案．
【解答】解：A、 不是负数，故A错误；
B、﹣1是负数，故B正确；
C、0不是负数，故C错误；
D、是正数，故D错误；
故选：B
2．计算2a3•（﹣a5）的结果是（ ）
A．2a8 B．﹣2a8C．2a15 D．﹣2a15
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他
的指数不变，作为积的因式，计算即可．
【解答】解：2a3•（﹣a5）=﹣2a8．
故选：B．
3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B ．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．
故选：C．4．函数 中，自变量x的取值范围是（
）
A．x＞3B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
【分析】根据二次根式的性质的意义，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：依题意，得3﹣x≥0，
解得x≤3，
故选D．
5．下列调查中，调查方式选择正确的是（ ）
A．为了了解某品牌手机的屏幕是否耐摔，选择全面调查
B．为了了解玉兔号月球车的零部件质量，选择抽样调查
C．为了了解南开步行街平均每天的人流量，选择抽样调查
D．为了了解中秋节期间重庆市场上的月饼质量，选择全面调查
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果
比较近似．
【解答】解：A、为了了解某品牌手机的屏幕是否耐摔，宜选择抽样调查，故A错误；
B、为了了解玉兔号月球车的零部件质量，精确度要求高，故已选择全面调查，故B错误；
C、为了了解南开步行街平均每天的人流量，选择抽样调查，故C正确；
D、为了了解中秋节期间重庆市场上的月饼质量，宜选择抽样调查，故D错误；
故选：C．
6．如图，AB∥CD，AF与CD交于点E，BE⊥AF，∠B=60°，则∠DEF的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30 °D．40°
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠B，根据垂直的定义可得∠AEB=90°，然后根据平角
等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠B=60°，
∵BE⊥AF，
∴∠AEB=90°，
∴∠DEF=180°﹣∠1﹣∠AEB=180°﹣60°﹣90°=30°．
故选C．7．期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分
的同学最多”，小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”，上面两位同学的话
能反映出的统计量是（ ）
A．众数和平均数B．平均数和中位数
C．众数和方差 D．众数和中位数
【分析】根据中位数和众数的定义回答即可．
【解答】解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，排在中间位置的数是中位数，
故选：D．
8．在寻找马航MH370航班过程中，某搜寻飞机在空中A处发现海面上一块疑似漂浮目标B，此时从
飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度AC=1500米， ，则飞机距疑似目标B的水平距
离BC为（ ）
[来源:Zxxk.Com]
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【分析】利用所给角的正切函数求得线段BC的长即可．
【解答】解：由题意得：AC=1500米，tan∠B= ，
∴在Rt△ACB中， BC= =
=2500 米，
故选D．
9．如图，AB是⊙O的直径，点C、点D在⊙O上，连结AC、BC、AD、CD，若∠BAC=50°，则∠ADC的
度数等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】先由直径所对的圆周角为90°，可得：∠ACB=90°，然后由∠BAC=50°，根据三角形内角和定理
可得：∠B=40°，然后根据同弧所对的圆周角相等，即可求出∠ADC的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=50°，
∴∠B=40°，
∴∠ADC=∠B=40°．故选C．
10．张老师带育才艺术团去北京参加文艺汇演，他们乘坐校车从南开大校门口出发到机场赶飞机．车
开了一段时间后，张老师发现有一包演出服落在了校门口门卫处，于是马上打出租车返回去取，拿到
服装后，他立即乘同一辆出租车追赶校车（下车取服装的时间忽略
不计），结果，张老师在机场附近追上
校车．设张老师与校车之间的距离为S，校车出发的时间为t，则下面能反映S与t的函数关系的大致
图象是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据老师在校车上时S为零，打出租车返回路程变化快，乘车追赶时路程变化慢，可得答案．
【解答】解：老师乘校车时路程为零，打车返回学校时两车行驶方向相反路程变化快，乘车追赶路程变
化慢，故B符合题意．
故选：B．
11．观察下面一组数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…．，将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下
去，则第11行中从左边数第10个数是（ ）
A．﹣110B．110 C．﹣111 D．111
【分析】首先观察已知数列中，绝对值为奇数的符号为“﹣”，绝对值为偶数的符号为“+”，其次观察
数列排列中，每一行的第一个数的绝对值，与所在行数的关系：第n行的第一个数的绝对值为：（n﹣
1）2+1，由此即可进行判断．
【 解答】解：观察数列排列中，第n行
的第一个数的绝对值为：（n﹣1）2+1，
所以第11行的第一个数的绝对值为：（11﹣1）2+1=101，
第11行中从左边数第10个数的绝对值是：101+（10﹣1）=110，
观察已知数列中，绝对值为奇数的符号为“﹣”，绝对值为偶数的符号为“+”，
所以：第11行中从左边数第10个数是：110．
故选B．
[来源:Zxxk.Com]
12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点O在坐标原点，点B的坐标为（1，4），点A在第
二象限，反比例函数y= 的图象经过点A，则k的值是（ ）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣ D．
【分析】作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，先通过证得△AOD≌△OCE得出AD=OE，OD=CE，设A（x，
），则C（ ，﹣x），根据正方形的性质求得对角线解得F的坐标，根据直线OB的解析式设出直线AC
的解析式为：y=﹣ x+b，代入交点坐标求得解析式，然后把A，C的坐标代入即可求得k的值．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
∵∠AOC=90°，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠OAD=∠COE，
在△AOD和△OCE中，
，
∴△AOD≌△OCE（AAS），
∴AD=OE，OD=CE，
设A（x， ），则C（ ，﹣x），
∵点B的坐标为（1，4），
∴OB= = ，
直线OB为：y=4x，
∵AC和OB互相垂直平分，
∴它们的交点F的坐标为（ ，2），
设直线AC的解析式为：y=﹣ x+b，
代入（ ，2）得，2=﹣ × +b，解得b= ，
直线AC的解析式为：y=﹣ x+ ，
把A（x， ），C（ ，﹣x）代入得，解得k=﹣ ．
故选C．
二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共24分），请将答案直接填在题后的横线上．
13．中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，
这个数据用科学记数法可表示为 6.75×1 0 4 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于
67500有5位，所以可以确定n=5﹣1=4．
【解答】解：67 500=6.75×104．
故答案为：6.75×104．
14．计算：2×（ ﹣π）0﹣12016+ 的值为 2 ．
【分析】原式利用零指数幂法则，乘方的意义，以及算术平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2﹣1+3=4﹣2=2，
故答案为：2
15．若△ABC∽△DEF，且周长比为2：3，则相似比为 2 ： 3 ．
【分析】由△ABC∽△DEF，且周长比为2：3，根据相似三角形的周长比等于相似比，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且周长比为2：3，
∴相似比为：2：3．
故答案为：2：3．
16．如图，扇形OAB的圆心角为90°、半径为2cm，半圆O 和半圆O 的直径分别为OA和OB，则图中
1 2
阴影部分的面积为 1 cm2．
【分析】连接AB，OD，根据两半圆的直径相等可知∠AOD=∠BOD=45°，故可得出阴影部分的面积
=S ，故可得出结论．
△AOD
【解答】解：连接AB，OD，∵两半圆的直径相等，
∴∠AOD=∠BOD=45°，
∴S阴影=S
△AOD
= ×2×1=1．
故答案为：1 ．
17．从﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3六个数中任选一个数记为k，则使得关于x的分式方程 =k﹣2有解，
且关于x的一次函数y=（k+ ）x+2不经过第四象限的概率为 ．
【分析】首先利用分式方程的知识求得当k=﹣3，﹣2，﹣1，3，使得关于x的分式方程 =k﹣2有解，
再利用一次函数的性质，求得当k=﹣1，1，2，3时，关于x的一次函数y=（k+ ）x+2不经过第四象限，
再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：∵方程两边同乘以（x+1），
∴k﹣1=（k﹣2）（x+1），
∴当k=2或k=1时，关于x的分式方程 =k﹣2无解，
∴当k=﹣3，﹣2，﹣1，3，使得关于x的分式方程 =k﹣2有解；
∵关于x的一次函数y=（k+ ）x+2不经过第四象限，
∴k+ ＞0，
∴k＞﹣ ，
∴当k=﹣1，1，2，3时，关于x的一次函数y=（k+ ）x+2不经过第四象限，
∴得关于x的分式方程 =k﹣2有解，且关于x的一次函数y=（k+ ）x+2不经过第四象限的有﹣
1，3；
∴使得关于x的分式方程 =k﹣2有解，且关于x的一次函数y=（k+ ）x+2不经过第四象限的概
率为： = ．故答案为： ．
18．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=6，E为BC延长线上一点，且EC= ，过点E
作EF⊥AB交AB于F，将△ABC沿AB翻折，得到△ABD，将△ABD绕点B旋转，在旋转过程中，记
旋转中△ABD为△A′B′D′．设直线A′D′与射线EF交于点M，与射线EB交于点N，当△EMN是以
∠MEN为底角的等腰三角形时，EN= 1 3 或 +3 ．
【分析】情形1：如图1中，当∠BEF=∠NME时，易证BN=NA′，设BN=NA′=x，在RT△BND′利用勾股
定理即可解决问题．情形2：如图2中，当∠MEN=∠MNE时，证明BN=BA′即可解决问题．
【解答】解：如图1中，当∠BEF=∠NME时，
∵∠BEF+∠ABC=90°，∠A+∠ABC=90°，
∴∠BEF=∠A=∠BA′D′=∠NME，
∴BA′∥EM，
∴∠NBA′=∠BEF=∠BA′N，
∴NB=NA′，设BN=NA′=x，
在RT△BND′中，∵BD′2+ND′2=BN2，
∴32+（6﹣x）2=x2，
x= ，
∴EN=EB+BN=EC+BC+BN= +3+ =13，
如图2中，当∠MEN=∠MNE时，
∵∠MEN=∠BAC=∠BA′N=∠A′NE，
∴BA′=BN=AB= = =3 ，
∴EN=EC+ BC+BN= +3=3 = +3
．
故答案为13或 +3 ．三、解答题：（本大题2个小题，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程
或推理步骤.
19．（1）解方程：
（2）解方程组： ．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式
方程的解；
（2）方程组利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：（1）去分母得：x2+2x﹣x2+4=1，
解得：x=﹣1.5，
经检验x=﹣1.5是分式方程的解；（2） ，
把①代入②得：3x+2x﹣4=1，
解得：x=1，
把x=1代入①得：y=﹣2，
则方程组的解为 ．
20．如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，AB=DE．求证：AC∥DF．
【分析】首先由BE=CF可以得到BC=EF，然后利用边边边证明△ABC≌△DEF，最后利用全等三角形的
性质和平行线的判定即可解决问题．
【解答】证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC即BC=EF，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴∠ACB=∠F，
∴AC∥DF．
四、解答题：（本大题4个小题，每小题0分，共40分）解答时每小题必须给出必
要的演算过程或推理步骤.
21．（2014•万州区校级模拟）先化简，再求值： ，其中a是不等式
组 的整数解．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，计算即可
得到结果，求出不等式组解集确定出a的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式= + • ﹣3= + ﹣3= =﹣ ，
由不等式组 得到 ＜a＜3，∵a为整数，
∴a=1或2，
又∵a≠1，
∴a=2，
当a=2时，原式=﹣2．
22．（2016春•重庆校级月考）创造节期间，重庆育才中学向学生征集校服自主设计作品．初三年级信
息技术张老师从全年级32个班中随机抽取了A、B、C、D共四个班，对征集到的作品的数量进行了分
析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
（1）张老师所调查的4个班征集到作品共 1 2 件，其中B班征集到作品 3 件，请把图2补充完整．
（2）如果全年级参赛作品中有4件获全校一等奖，其中有2名作者是男生，2名作者是女生．现在要在
获一等奖的四个人中抽两人去参加全校自主校服设计的走秀活动，求恰好抽中一男一女的概率（要求
用树状图或列表法写出分析过程）．
【分析】（1）用C的度数除以36 0度
求出所占的百分比，由C的件数除以所占的百分比即可得到调查的总件数；进而求出B的件数；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）张老师所调查的4个班征集到作品有： =12（件），
其中B班征集到作品数为：12﹣2﹣5﹣2=3（件），
补全图形如下：
（2）画树状图如下：所有等可能的情况有12种，其中一男一女有8种，
则P= = ；
故答案为：（1）12，3．
23．（2016春•重庆校级月考）某公司研发一款新型的测角仪，这种测角仪能更精确的测量角度，减少
误差．
（1）如图，小明为了得到教学楼BC上旗杆AB的高度，用新型测角仪在与BC相距12m的F处，由E
点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，请你帮小明求出旗杆AB的高度．（结果精
确到0.1m．参考数据：∠AGB=90°≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）
（2）目前公司有100台机器，平均每台能生产400套，由于该仪器大受欢迎，工厂计划增加产量；但是
由于机器故障，每台平均生产套数将减少1.25a%（20＜a＜30），要使生产总量增加10%，则机器台数
需增加2.4a%，求a的值．
【分析】（1）过E点作EH⊥BC于H点，在RT△BEH中利用三角函数求得BH的长，然后在直角
△EAH中，利用三角函数求得AH的长，根据AB=AH﹣BH即可求解；
（2）根据机器的总生产量等于机器数与每台生产的产品数即可列方程求解．
【解答】解：（1）过E点作EH⊥BC 于H
点，
由题：∠AEH=52°，∠BEH=45°，EH=12m，
在RT△BEH中，∵∠BEH=45°
∴BH=EH=12m
在Rt△EAH中，AH=EH•tan52°=15.36m
∴AB=AH﹣BH≈3.4m
（2）由题意得：40000（1+10%）=400（1﹣1.25a%）•100（1+2.4a%），
解得：a =25，a = ．
1 2
∵20＜a＜30，
∴a=25．
答：a的值为25．24．（2016春•重庆校级月考）若整数a能被整数b整除，则一定存在整数n，使得 ，即a=bn．例如
若整数a能被整数3整除，则一定存在整数n，使得 ，即a=3n．
（1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小
数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除．例如：将数字306371分解为306和371，因为
371﹣306=65，65是13的倍数，所以306371能被13整除．请你证明任意一个四位数都满足上述规律．
（2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的
自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以
12121212是“摆动数”，再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”，请你证明任意一个6
位摆动数都能被13整除．
【分析】（1）设一个四位数的末三位数为B，末三位数以前的数为A，根据题意可得A=13n+B，即这个
四位数是1000（13n+B）+B=13（1000n+77B），可得；
（2）设任意一个6位摆动数的十位数字为a、个位数字为b，表示出末三位数为100b+10a+b，末三位数
以前的数为100a+10b+a，将二者相减分解出因数13可得．
【解答】解：（1）设一个四位数的末三位数为B，末三位数以前的数为A，
则这个四位数为：1000A+B，
由题意：A﹣B=13n（n为整数），
∴A=13n+B，
从而1000A+B=1000（13n+B）+B
=13000n+1001B
=13（1000n+77B），
∴这个四位数能被13整除
∴任意一个四位数都满足上述规律；
（2）设任意一个6位摆动数的十位数字为a，个位数字为b，
所以这个6位摆动数的末三位数为：100b+10a+b，
末三位数以前的数为：100a+10b+a，
∵100a+10b+a﹣（100b+10a+b）=91a﹣91b=13（7a﹣7b）
∴这个6位摆动数的末三位数以前的数与末三位数之差能被13整除，
∴任意一个6位摆动数能被13整除．
五、解答题（本大题2个小题，每小题l2分，共24分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推
理步骤，请将解答过程书写在答卷中对应的位置上．
25．（2015•重庆校级二模）如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点E
在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．
（1）若AD=3 ，BE=4，求EF的长；
（2）求证：CE= EF；（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线
上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
【分析】（1）由AE=DE，∠AED=90°，AD=3 ，可求得AE=DE=3，在Rt△BDE中，由DE=3，BE=4，
可知BD=5，又F是线段BD的中点，所以EF= BD=2.5；
（2）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出
CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，
因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，CF= EF；
[来源:学科网]
（3）思路同（1）．连接CF，延长EF交CB于点G，先证△EFC是等腰三角形，要证明EF=FG，需要证明
△DEF和△FGB全等．由全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，
在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此得出结论．
【解答】解：（1）∵∠AED=90°，AE=DE，AD=3 ，
∴AE=DE=3，
在Rt△BDE中，
∵DE=3，BE=4，
∴BD=5，
又∵F是线段BD的中点，
∴EF= BD=2.5；
（2）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE= FE；
解法1：∵∠AED=∠ACB=90°
∴B、C、D、E四点共圆
且BD是该圆的直径，
∵点F是BD的中点，
∴点F是圆心，
∴EF=CF=FD=FB，
∴∠FCB=∠FBC，∠ECF=∠CEF，
由圆周角定理得：∠DCE=∠DBE，
∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45°
∴∠ECF=45°=∠CEF，
[来源:Z,xx,k.Com]
∴△CEF是等腰直角三角形，
[来源:学科网]
∴CE= EF．
解法2：∵∠BED=∠AED=∠ACB=90°，
∵点F是BD的中点，
∴CF=EF=FB=FD，
∵∠DFE=∠ABD+∠BEF，∠ABD=∠BEF，∴∠DFE=2∠ABD，
同理∠CFD=2∠CBD，
∴∠DFE+∠CFD=2（∠ABD+∠CBD）=90°，
即∠CFE=90°，
∴CE= EF．
（2）（1）中的结论仍然成立．
解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，
∵∠ACB=∠AED=90°，
∴DE∥BC，
∴∠EDF=∠GBF，
在△EDF和△GBF中，
，
∴△EDF≌△GBF，
∴EF=GF，BG=DE=AE，
∵AC=BC，
∴CE=CG，
∴∠EFC=90°，CF=EF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∴CE= FE；
解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAE=45°+45°=90°，
又∵点F是BD的中点，
∴FA=FB=FD，
在△ACF和△BCF中，
，
∴△ACF≌△BCF，
∴∠ACF=∠BCF= ∠ACB=45°，
∵FA=FB，CA=CB，
∴CF所在的直线垂直平分线段AB，
同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，
又∵DA⊥BA，
∴EF⊥CF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CE= EF．26．（2014•山西）综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两
点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．
（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；
（2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物
线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：
当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N是
抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出顶点D的坐标；
（2）由平移性质，可知重叠部分为一平行四边形．如答图2，作辅助线，利用相似比例式求出平行四边
形的边长和高，从而求得其面积的表达式；然后利用二次函数的性质求出最值；
（3）本问涉及两个动点，解题关键是利用平行四边形的判定与性质，区分点N在x轴上方、下方两种
情况，分类讨论，避免漏解．设M（t，0），利用全等三角形求出点N的坐标，代入抛物线W′的解析式求
出t的值，从而求得点M的坐标．
【解答】方法一：解：（1）设抛物线W的解析式为W=ax2+bx+c，
∵抛物线W经过O（0，0）、A（4，0）、C（﹣2，3）三点，
∴ ，
解得：
∴抛物线W的解析式为W= x2﹣x．
∵W= x2﹣x= （x﹣2）2﹣1，
∴顶点D的坐标为（2，﹣1）．
（2）由▱OABC得，CB∥OA，CB=OA=4．
又∵C点坐标为（﹣2，3），
∴B点的坐标为（2，3）．
如答图2，过点B作BE⊥x轴于点E，由平移可知，点C′在BE上，且BC′=m．
∴BE=3，OE=2，∴EA=OA﹣OE=2．
∵C′B′∥x轴，
∴△BC′G∽△BEA，
∴ ，即 ，
∴C′G= m．
由平移知，▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分四边形C′HAG是平行四边形．
∴S=C′G•C′E= m（3﹣m）=﹣ （m﹣ ）2+ ，
∴当m= 时，S有最大值为 ．（3）答：存在．
在（2）的条件下，抛物线W向右平移4个单位，再向下平移 个单位，得到抛物线W′，
∵D（2，﹣1），∴F（6，﹣ ）；
∴抛物线W′的解析式为：y= （x﹣6）2﹣ ．
设M（t，0），
以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
①若点N在x轴下方，如答图3所示：
过点D作DP∥y轴，过点F作FP⊥DP于点P，
∵D（2，﹣1），F（6，﹣ ），∴DP= ，FP=4；
过点N作NQ⊥x轴于点Q，
由四边形FDMN为平行四边形，易证△DFP≌△NMQ，
∴MQ=FP=4，NQ=DP= ，
∴N（4+t，﹣ ），
将点N坐标代入抛物线W′的解析式y= （x﹣6）2﹣ ，得： （t﹣2）2﹣ =﹣ ，
解得：t=0或t=4，
∴点M的坐标为（0，0）或 （4，0）；
②若点N在x轴上方，（请自行作图）
与①同理，得N（t﹣4， ）
将点N坐标代入抛物线W′的解析式y= （x﹣6）2﹣ ，得： （t﹣10）2﹣ = ，
解得：t=6或t=14，
∴点M的坐标为（6，0）或（14，0）．
综上所述，存在这样的点M和点N，点M的坐标分别为（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）．
方法二：
（1）略．（2）∵抛物线W和▱OABC一起向右平移4个单位后，再向下平移m个单位．
∴O′（4，﹣m），C′（2，3﹣m），
设l ：y=kx+b，
O′C′
∴ ⇒ ，
∴l ：y=﹣ x+6﹣m，
O′C′
∴当y=0时，x= ，
∴H（ ，0），
∵A（4，0），C′（2，3﹣m），
∴S=C′ ×（A ﹣H ）=（3﹣m）（4﹣ ）=﹣ m2+2m，
y x x
∴当m= 时，S最大值为 ．
（3）∵D（2，﹣1），当m= 时，F（6，﹣ ），
∵D、M、F、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴N （t+4，﹣ ），同理N （t﹣4， ），N （8﹣t，﹣ ）．
1 2 3
∴① （t+4﹣6）2﹣ =﹣ ，∴t =0，t =4，
1 2
② （t﹣4﹣6）2﹣ = ，∴t =6，t =14，
1 2
③ （8﹣t﹣6）2﹣ =﹣ ，∴无解，
综上所述，存在这样的点M和点N，点M的坐标分别为（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）．
