文档内容
2015-2016学年九年级（下）段考数学试卷（一）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为
A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的
方框涂黑．
1．下面的数中，与﹣3的和为0的是 （ ）
A．3B．﹣3 C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a4=a8 B． =±2 C． =﹣1 D．a4÷a2=a2
3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列叙述正确的是（ ）
A．方差越大，说明数据就越稳定
B．在不等式两边同乘或同除以一个不为0的数时，不等号的方向不变
C．不在同一直线上的三点确定一个圆
D．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等
5．函数 的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≥2且x≠3C．x≥2 D．x≤2且x≠3
6．若﹣5x2ym与xny是同类项，则m+n的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则
∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
8．如图，AB是⊙O的直径，BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，且∠BDC=100°，连接
AC，则∠A的度数是（ ）
第1页（共29页）A．15° B．30° C．40° D．45°
9．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落
在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）
A． B． C．4D．
10．如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第①个图形中含有1个正方形，第②个图形中含
有5个正方形，按此规律下去，则第⑥个图象含有正方形的个数是（ ）
A．102 B．91 C．55 D．31
11．如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的
长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的
函数关系的是（ ）
第2页（共29页）A． B． C． D．
12．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数y= （x＞0）的
图象上，已知点B的坐标是（ ， ），则k的值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）在每小题中，请将答案直接填在答题
卷中对应得横线上．
13．刚刚过去的2015年，中国旅游业实现了持续健康较快的发展，预计全年旅游总收入可达
2900000000000元，将数据2900000000000用科学记数法表示为 ．
14．请计算：（1+π）0+（﹣ ）﹣2+2sin60°﹣| +1|= ．
15．如图是由若干个小正方形搭建的几何体的三视图，那么此几何体由 个小正
方形搭建而成．
第3页（共29页）16．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB= ，点D为AB的中点，以点D为圆心
作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分的面积为
（结果保留π）．
17．有七张正面分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相
同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元
二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数
y=x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，O）的概率是 ．
18．如图，将等腰Rt△GAE绕点A顺时针旋转60°得到△DAB，其中∠GAE=∠DAB=90°，GE
与AD交于点M，过点D作DC∥AB交AE于点C．已知AF平分∠GAM，EH⊥AE交DC于点
H，连接FH交DM于点N，若AC=2 ，则MN的值为 ．
三、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题都必须写出必要的演
算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．解方程： ．
20．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，过A作AD⊥AB交BC的延长线于D，过C作
CE⊥AC使AE=BD．求证：∠E=∠D．
四、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题都必须写出必要的演
算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
21．化简下列各式：
第4页（共29页）（1）（x﹣1）2（x+1）2﹣1；
（2） ÷（ ﹣x+2）+ ．
22．某数学兴趣小组将我校九年级某班学生一分钟跳绳的测试成绩进行了整理，分成5个小
组（x表成绩，单位：次，且100≤x＜200），根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分
布直方图，其中B、E两组测试成绩人数直方图的高度比为4：1，请结合下列图标中相关数据
回答下列问题：
测试成绩频数分布表
组别 成绩x次 频数（人数） 频率
A 100≤x＜120 5
B 120≤x＜140 b
C 140≤x＜160 15 30%
D 160≤x＜180 10
E 180≤x＜200 a
（1）填空：a= ，b= ，本次跳绳测试成绩的中位数落在
组（请填写字母）；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知本班中甲、乙两位同学的测试成绩分别为185次、195次，现要从E组中随机选取2
人介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人中至少1人被选中的概率．
23．对x，y定义了一种新运算T，规定T（x，y）= （其中a，b均为非零常数），这里等式
右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）= ，已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1．
（1）求a，b的值；
（2）若关于m的不等式组 恰好有3个整数解，求p的取值范围．
24．如图，我国某边防哨所树立了“祖国在我心中”建筑物，它的横截面为四边形BCNM，其
中BC⊥CN，BM∥CN，建筑物顶上有一旗杆AB，士兵小明站在D处，由E点观察到旗杆顶部
A的仰角为52°，底部B的仰角为45°，已知旗杆AB=2.8米，DE=1.8米．
（参考数据：sin52°≈0.788，tan52°≈1.280）
（1）求建筑物的高度BC；
第5页（共29页）（2）建筑物长50米，背风坡MN的坡度i=1：0.5，为提高建筑物抗风能力，士兵们在背风坡填
筑土石方加固，加固后建筑物顶部加宽4.2米，背风坡GH的坡度为i=1：1.5，施工10天后，
边防居民为士兵支援的机械设备终于到达，这样工作效率提高到了原来的2倍，结果比原计
划提前20天完成加固任务，士兵们原计划平均每天填筑土石方多少立方米？
五、解答题：（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题都必须写出必要的演
算过程或推理步骤．
25．如图1，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，过点C作CF⊥CP
交于C，交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M．
（1）若AP= AC，BC=4，求S ；
△ACP
（2）若CP﹣BM=2FN，求证：BC=MC；
（3）如图2，在其他条件不变的情况下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且AB≠BC，
AC=AP，取CP中点E，连接EB，交AC于点O，猜想：∠AOB与∠ABM之间有何数量关系？
请说明理由．
26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c分别交 x轴于A（4，0）、B（1，0），交y
轴于点C（0，﹣3），过点A的直线 交抛物线与另一点D．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）若点P为x轴上的一个动点，点Q在线段AC上，且Q点到x轴的距离为 ，连接PC、
PQ，当△PCQ周长最小时，求出点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的结论下，连接PD，在平面内是否存在△A P D ，使△A P D ≌△APD（点
1 1 1 1 1 1
A 、P 、D 的对应点分别是A、P、D，A P 平行于y轴，点P 在点A 上方），且△A P D 的两
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
个顶点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点A 的横坐标m；若不存在，请说明理由．
1
第6页（共29页）第7页（共29页）2015-2016 学年九年级（下）段考数学试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为
A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的
方框涂黑．
1．下面的数中，与﹣3的和为0的是 （ ）
A．3B．﹣3 C． D．
【考点】有理数的加法．
【分析】设这个数为x，根据题意可得方程x+（﹣3）=0，再解方程即可．
【解答】解：设这个数为x，由题意得：
x+（﹣3）=0，
x﹣3=0，
x=3，
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a4=a8 B． =±2 C． =﹣1 D．a4÷a2=a2
【考点】分式的基本性质；算术平方根；同底数幂的乘法；同底数幂的除法．
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，算术平方根；分式的分子分母都乘以（或除
以）同一个不为零的数，分式的值不变；同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；
B、4的算术平方根根是2，故B错误；
C、分子除以（x﹣y），分母除以（x+y），故C错误；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确；
故选：D．
3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么
这个图形就叫做中心对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
第8页（共29页）D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
4．下列叙述正确的是（ ）
A．方差越大，说明数据就越稳定
B．在不等式两边同乘或同除以一个不为0的数时，不等号的方向不变
C．不在同一直线上的三点确定一个圆
D．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等
【考点】方差；不等式的性质；全等三角形的判定；确定圆的条件．
【分析】利用方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的条件对每个选项逐一
判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、方差越大，越不稳定，故选项错误；
B、在不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变，故选项错误；
C、正确；
D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故选项错误．
故选：C．
5．函数 的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≥2且x≠3C．x≥2 D．x≤2且x≠3
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出
x的范围．
【解答】解：根据题意得：2﹣x≥0且x﹣3≠0，
解得：x≤2且x≠3，
自变量的取值范围x≤2，
故选A．
6．若﹣5x2ym与xny是同类项，则m+n的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】同类项．
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程等式，求出n，m
的值，再相加即可．
【解答】解：∵﹣5x2ym和xny是同类项，
∴n=2，m=1，m+n=2+1=3，
故选：C．
7．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则
∠CON的度数为（ ）
第9页（共29页）A．35° B．45° C．55° D．65°
【考点】垂线；角平分线的定义．
【分析】由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出
∠CON=∠MON﹣∠MOC得出答案．
【解答】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴∠MOC=35°，
∵ON⊥ OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．
故选：C．
8．如图，AB是⊙O的直径，BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，且∠BDC=100°，连接
AC，则∠A的度数是（ ）
A．15° B．30° C．40° D．45°
【考点】切线的性质．
【分析】首先连接OC，由BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，且∠BDC=100°，利用四边
形内角和定理，即可求得∠AOC的度数，再利用圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：连接OC，
∵BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，
∴OB⊥BD，OC⊥CD，
∵∠BDC=100°，
∴在四边形OBDC中，∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣100°=80°，
∴∠A= ∠BOC=40°．
故选C．
第10页（共29页）9．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落
在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）
A． B． C．4D．
【考点】相似多边形的性质．
【分析】可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列
出比例式，求解即可．
【解答】解：∵AB=1，
设AD=x，则FD=x﹣2，FE=2，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴ = ， ，
解得x =1+ ，x =1﹣ （不合题意舍去），
1 2
经检验x =1+ 是原方程的解．
1
故选B．
10．如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第①个图形中含有1个正方形，第②个图形中含
有5个正方形，按此规律下去，则第⑥个图象含有正方形的个数是（ ）
A．102 B．91 C．55 D．31
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】根据图形的变化规律可以得知每个图形比前一个图形多它序号的平方数个正方形，
从而得出结论．
【解答】解：结合图形可知，第②个图形比第①分图形多22个正方形，第③个比第②个多32个
正方形，…，
即多的个数为序号的平方数，
∴第⑥个图象含有正方形的个数是1+22+32+42+52+62=91．
故选B．
第11页（共29页）11．如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的
长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的
函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象；等腰三角形的性质．
【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x2；当1＜x≤2时，ED交AB
于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积
得到y=x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y=﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判
断．
【解答】解：当0＜x≤1时，y=x2，
当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，
CD=x，则AD=2﹣x，
∵Rt△ABC中，AC=BC=2，
∴△ADM为等腰直角三角形，
∴DM=2﹣x，
∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2，
∴S = （2x﹣2）2=2（x﹣1）2，
△ENM
∴y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣2=﹣（x﹣2）2+2，
第12页（共29页）∴y= ，
故选：A．
12．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数y= （x＞0）的
图象上，已知点B的坐标是（ ， ），则k的值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【考点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；全等三角形的判定与性质．
【分析】过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，根据正方形的性质可得AB=AD，
∠BAD=90°，再根据同角的余角相等求出∠BAE=∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE
和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=BE，DF=AE，再求出OF，然后写出点D
的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
，
第13页（共29页）∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AF=BE，DF=AE，
∵正方形的边长为2，B（ ， ），
∴BE= ，AE= = ，
∴OF=OE+AE+AF= + + =5，
∴点D的坐标为（ ，5），
∵顶点D在反比例函数y= （x＞0）的图象上，
∴k=xy= ×5=8．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）在每小题中，请将答案直接填在答题
卷中对应得横线上．
13．刚刚过去的2015年，中国旅游业实现了持续健康较快的发展，预计全年旅游总收入可达
2900000000000元，将数据2900000000000用科学记数法表示为 2.9×1 0 1 2 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将2900000000000用科学记数法表示为：2.9×1012．
故答案为：2.9×1012．
14．请计算：（1+π）0+（﹣ ）﹣2+2sin60°﹣| +1|= 9 ．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
第14页（共29页）【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用
特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=1+9+ ﹣ ﹣1=9，
故答案为：9
15．如图是由若干个小正方形搭建的几何体的三视图，那么此几何体由 6 个小正方形搭
建而成．
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行3列，故可得出
该几何体的小正方体的个数．
【解答】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有4个小正方体，第二层应该有
2个小正方体，
因此搭成这个几何体的小正方体的个数为4+2=6个，
故答案为：6．
16．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB= ，点D为AB的中点，以点D为圆心
作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 ﹣ 1 （结
果保留π）．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S =S ，求
四边形DGCH 四边形DMCN
得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴DC= AB= ，四边形DMCN是正方形，DM=1．
则扇形FDE的面积= = ．
第15页（共29页）∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN，
在△DMG和△DNH中，
，
∴△DMG≌△DNH（AAS），
∴S =S =1．
四边形DGCH 四边形DMCN
∴阴影部分的面积= ﹣1．
故答案为： ﹣1．
17．有七张正面分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相
同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元
二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数
y=x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，O）的概率是 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；根的判别式；概率公式．
【分析】根据x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）=0有两个不相等的实数根，得到△＞0，求出a的取值范
围，再求出二次函数y=x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，O）时的a的值，再根据概率公
式求解即可．
【解答】解：∵x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴[﹣2（a﹣1） 2﹣4a（a﹣3）＞0，
∴a＞﹣1，
]
将（1，O）代入y=x2﹣（a2+1）x﹣a+2得，a2+a﹣2=0，
解得（a﹣1）（a+2）=0，
a =1，a =﹣2．
1 2
第16页（共29页）可见，符合要求的点为0，2，3．
∴P= ．
故答案为： ．
18．如图，将等腰Rt△GAE绕点A顺时针旋转60°得到△DAB，其中∠GAE=∠DAB=90°，GE
与AD交于点M，过点D作DC∥AB交AE于点C．已知AF平分∠GAM，EH⊥AE交DC于点
H，连接FH交DM于点N，若AC=2 ，则MN的值为 9﹣ 5 ．
【考点】旋转的性质．
【分析】作MK⊥AC，FT⊥AD垂足分别为K，T，证明△AGF≌△AEM，△AFT≌△AMK得到
AF=AM，FT=MK=EK=DM，在RT△ADC中根据已知条件求出CD，AD，设MK=EK=x，根据
AE=AK+EK列出方程求出x，在RT△HEC中求出HC，进而求出DH，再根据 ，求出
DN，利用MN=AD﹣AM﹣DN求出MN．
【解答】解：作MK⊥AC，FT⊥AD垂足分别为K，T，
∵Rt△GAE绕点A顺时针旋转60°得到△DAB，
∴∠GAD=∠CAB=60°，
∵∠GAE=∠DAB=90°，AG=AE=AD=AB，
∴∠DAC=30°，∠G=∠AEG=45°，
∵AF平分∠GAD，
∴∠GAF=∠FAT=30°，
在△AGF和△AEM中，
，
∴△AGF≌△AEM，
∴AF=AM
在△AFT和△AMK中，
第17页（共29页），
∴△AFT≌△AMK，
∴AT=AK，
∵AD=AE，
∴DT=EK，
∵∠KME=∠KEM=45°，
∴MK=EK=DT=FT，
设MK=KE=x，则AK= x，
∵ ，∠DAC=30°，
∴ ，AD=3，∴AE=AD=3，
∴x+ x=3
x= ，
∴DT=DM=FH=MK=EK= ，AM=3（ ﹣1），EC=2 ﹣3，
在RT△HEC中，∵∠C=60°，EC=2 ﹣3，
∴HC=2EC=4 ﹣6，DH=DC﹣HC= ﹣（4 ﹣6）=6﹣3 ，
设DN=y，∵DH∥FT，
∴ ，
∴ ，
∴y=2 ﹣3，
∴MN=AD﹣AM﹣DN=3﹣3（ ﹣1）﹣（2 ﹣3）=9﹣5 ．
第18页（共29页）三、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题都必须写出必要的演
算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．解方程： ．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
式方程的解．
【解答】解：去分母得：﹣6=x+2x﹣2，
解得：x=﹣ ，
经检验x=﹣ 是分式方程的解．
20．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，过A作AD⊥AB交BC的延长线于D，过C作
CE⊥AC使AE=BD．求证：∠E=∠D．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】利用已知条件证明Rt△BAD≌Rt△ACE，根据全等三角形的对应角相等即可解答．
【解答】解：∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵AD⊥AB，CE⊥AC，
∴∠BAD=∠ACE=90°，
在Rt△BAD和Rt△ACE中，
∴Rt△BAD≌Rt△ACE，
∴∠E=∠D．
第19页（共29页）四、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题都必须写出必要的演
算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
21．化简下列各式：
（1）（x﹣1）2（x+1）2﹣1；
（2） ÷（ ﹣x+2）+ ．
【考点】分式的混合运算；整式的混合运算．
【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可；
（2）先对式子能分解因式的先分解因式，对括号内的先通分再相加，然后化简即可．
【解答】解：（1）（x﹣1）2（x+1）2﹣1
=[（x﹣1）（x+1） 2﹣1
=（x2﹣1）2﹣1
]
=x4﹣2x2+1﹣1
=x4﹣2x2；
（2） ÷（ ﹣x+2）+
=
=
=
=
=
=
= ．
22．某数学兴趣小组将我校九年级某班学生一分钟跳绳的测试成绩进行了整理，分成5个小
组（x表成绩，单位：次，且100≤x＜200），根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分
布直方图，其中B、E两组测试成绩人数直方图的高度比为4：1，请结合下列图标中相关数据
回答下列问题：
第20页（共29页）测试成绩频数分布表
组别 成绩x次 频数（人数） 频率
A 100≤x＜120 5
B 120≤x＜140 b
C 140≤x＜160 15 30%
D 160≤x＜180 10
E 180≤x＜200 a
（1）填空：a= 4 ，b= 32% ，本次跳绳测试成绩的中位数落在 C 组（请填写字母）；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知本班中甲、乙两位同学的测试成绩分别为185次、195次，现要从E组中随机选取2
人介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人中至少1人被选中的概率．
【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数．
【分析】（1）根据C的人数除以C所占的百分比，可得总人数，进而可求出A，D的所占百分
比，则a，b的值可求；根据中位线的定义解答即可；
（2）由（1）中的数据即可补全频数分布直方图；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙两人中至少1
人被选中的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）由题意可知总人数=15÷30%=50（人），
所以D所占百分比=10÷50×100%=20%，A所占百分比=5÷50×100%=10%，
因为B、E两组测试成绩人数直方图的高度比为4：1，
所以5a=50﹣5﹣15﹣10，
解得a=4，
所以b=16÷50×100%=32%，
因为B的人数是16人，
所以中位线落在C组，
故答案为4，32%，C；
（2）由（1）可知补全频数分布直方图如图所示：
第21页（共29页）（3）设甲为A，乙为B，画树状图为：
由树状图可知从E组中随机选取2人介绍经验，则甲、乙两人中至少1人被选中的概率= =
．
23．对x，y定义了一种新运算T，规定T（x，y）= （其中a，b均为非零常数），这里等式
右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）= ，已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1．
（1）求a，b的值；
（2）若关于m的不等式组 恰好有3个整数解，求p的取值范围．
【考点】解二元一次方程组；一元一次不等式组的整数解．
【分析】（1）根据题中的新定义列出关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的
值；
（2）利用题中的新定义化简已知不等式组，表示出解集，由不等式组恰好有3个整数解，确定
出p的范围即可．
【解答】解：（1）根据题意得： ，
①+②得：3a=3，即a=1，
把a=1代入①得：b=3；
（2）根据题意得： ，
由①得：m≥﹣ ；由②得：m＜ ，
∴不等式组的解集为﹣ ≤m＜ ，
第22页（共29页）∵不等式组恰好有3个整数解，集m=0，1，2，
∴2＜ ≤3，
解得：﹣2≤p＜﹣ ．
24．如图，我国某边防哨所树立了“祖国在我心中”建筑物，它的横截面为四边形BCNM，其
中BC⊥CN，BM∥CN，建筑物顶上有一旗杆AB，士兵小明站在D处，由E点观察到旗杆顶部
A的仰角为52°，底部B的仰角为45°，已知旗杆AB=2.8米，DE=1.8米．
（参考数据：sin52°≈0.788，tan52°≈1.280）
（1）求建筑物的高度BC；
（2）建筑物长50米，背风坡MN的坡度i=1：0.5，为提高建筑物抗风能力，士兵们在背风坡填
筑土石方加固，加固后建筑物顶部加宽4.2米，背风坡GH的坡度为i=1：1.5，施工10天后，
边防居民为士兵支援的机械设备终于到达，这样工作效率提高到了原来的2倍，结果比原计
划提前20天完成加固任务，士兵们原计划平均每天填筑土石方多少立方米？
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；分式方程的应用．
【分析】（1）根据题意得出EF=BF，进而利用tan∠AEF= 即可得出答案；
（2）利用坡比的定义得出QN，QH的长，进而利用梯形面积求法求出总的土方量，进而得出
答案．
【解答】解：（1）如图所示：过点E作EF⊥BF交BC于点F，设EF=x，
则EF=x，则根据题意可得：BF=x，
同理可知tan∠AEF= = ≈1.28，
解得：x=10，
即BC=10+1.8=11.8（m）．
答：建筑物的高度BC为11.8m；
（2）如图所示：过点M，G分别作MQ、GP垂直于CN，交CN于点Q、P，
根据题意可得：PH=11.8×1.5=17.7（m），QN=5.9（m），
可得：NH=17.7﹣5.9=11.8（m），
第23页（共29页）故可得加固所需土石方为： （MG+NH）×PG= ×11.8×（4.2+11.8）×50=4720，
则根据题意可列方程：设原方程每天填筑土石方a立方米，
=20+ ，
解得：a=157 ．
答：士兵们原计划平均每天填筑土石方157 立方米．
五、解答题：（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题都必须写出必要的演
算过程或推理步骤．
25．如图1，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，过点C作CF⊥CP
交于C，交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M．
（1）若AP= AC，BC=4，求S ；
△ACP
（2）若CP﹣BM=2FN，求证：BC=MC；
（3）如图2，在其他条件不变的情况下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且AB≠BC，
AC=AP，取CP中点E，连接EB，交AC于点O，猜想：∠AOB与∠ABM之间有何数量关系？
请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，由勾
股定理求出AC，得出AP，即可求出S ；
△ACP
第24页（共29页）（2）在CF上截取NG=FN，连接BG，则CF﹣CG=2FN，证出∠BCF=∠DCP，由ASA证明
△BCF≌△DCP，得出CF=CP，证出CG=BM，由SAS证明△ABM≌△BCG，得出
∠AMB=∠BGC，因此∠BMC=∠BGF，由线段垂直平分线的性质得出BF=BG，得出
∠BFG=∠BGF，因此∠BMC=∠CBM，即可得出结论；
（3）连接AE，先证出∠BCA=2∠PAE，再证明∴A、D、E、C四点共圆，由圆周角定理得出
∠DCP=∠PAE，得出∠BCF=∠PAE，证出∠BCA=2∠ABM，然后由三角形的外角性质即可得
出结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABC是正方形，
∴AD∥BC，AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，
∴AC= =4 ，
∴AP= AC= ×4 = ，
∴S = AP×CD= × ×4=7 ；
△ACP
（2）证明：在CF上截取NG=FN，连接BG，如图1所示：
则CF﹣CG=2FN，
∵CF⊥CP，
∴∠PCF=90°，
∴∠BCF=∠DCP，
在△BCF和△DCP中， ，
∴△BCF≌△DCP（ASA），
∴CF=CP，
∵CP﹣BM=2FN，
∴CG=BM，
∵∠ABC=90°，BM⊥CF，
∴∠ABM=∠BCG，∠BFG=∠CBM，
在△ABM和△BCG中， ，
∴△ABM≌△BCG（SAS），
∴∠AMB=∠BGC，
∴∠BMC=∠BGF，
∵GN=FN，BM⊥CF，
∴BF=BG，
∴∠BFG=∠BGF，
∴∠BMC=∠CBM，
∴BC=MC；
第25页（共29页）（3）解：∠AOB=3∠ABM；理由如下：
连接AE，如图2所示：
∵AC=AP，E是CP的中点，
∴AE⊥CP，∠PAE=∠CAE，
∵AD∥BC，
∴∠BCA=∠PAC=2∠PAE，
∵CF⊥CP，
∴∠PCF=90°，
∴∠BCF=∠DCP，
∵∠ADC=∠AEC=90°，
∴A、D、E、C四点共圆，
∴∠DCP=∠PAE，
∴∠BCF=∠PAE，
又∵∠ABM=∠BCF，
∴∠ABM=∠BCF=∠PAE，
∴∠BCA=2∠ABM，
∵∠AOB=∠BCF+∠BCA，
∴∠AOB=3∠ABM．
26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c分别交 x轴于A（4，0）、B（1，0），交y
轴于点C（0，﹣3），过点A的直线 交抛物线与另一点D．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）若点P为x轴上的一个动点，点Q在线段AC上，且Q点到x轴的距离为 ，连接PC、
PQ，当△PCQ周长最小时，求出点P的坐标；
第26页（共29页）（3）如图2，在（2）的结论下，连接PD，在平面内是否存在△A P D ，使△A P D ≌△APD（点
1 1 1 1 1 1
A 、P 、D 的对应点分别是A、P、D，A P 平行于y轴，点P 在点A 上方），且△A P D 的两
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
个顶点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点A 的横坐标m；若不存在，请说明理由．
1
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）边A、B、C三点坐标代入解方程组即可．
（2）求出点Q坐标，作点Q关于x轴的对称点Q′，连接CQ′交x轴于点P，此时△PCQ周长最
小，求出直线CQ′即可解决问题．
（3）分类讨论①当P 、D 在抛物线上时，由A P ∥y轴，故不存在．②当P 、D 在抛物线上时，
1 1 1 1 1 1
设P（t， ﹣ t﹣3）则D（t+ ， t2﹣ t）或（t﹣ ， t2﹣ t）列出方程即可解决．③当
1 1
A 、D 在抛物线上时，设A（（m， m2﹣ m﹣3）则D（m+ ， m2﹣ m+3）或（m﹣ ，
1 1 1 1
m2﹣ m+3），列出方程即可解决．
【解答】解：（1）由题意得 ，
解得 ．
所以抛物线解析式为y= x2﹣ x﹣3．
第27页（共29页）由 解得 ，所以点D坐标为（﹣2， ）．
（2）∵直线AC为y= x﹣3，y =﹣ ，
Q
∴点Q坐标为（ ，﹣ ），点Q关于x轴的对称点Q′（ ， ），连接CQ′交x轴于点P，此时
△PCQ周长最小，
∵直线CQ′为y=3x﹣3，
∴直线CQ′与x轴的交点P为（1，0）．
（3）当P 、D 在抛物线上时，由A P ∥y轴，故不存在．
1 1 1 1
当P 、D 在抛物线上时，设P（t， ﹣ t﹣3）则D（t+ ， t2﹣ t）或（t﹣ ， t2﹣ t）．
1 1 1 1
∴ t2﹣ t= （t+ ）2﹣ （t+ ）﹣3，解得t=﹣ ，此时m=t=﹣ ，
或 t2﹣ t= （t﹣ ）2﹣ （t﹣ ）﹣3，解得t= ，此时m=t= ，
当A 、D 在抛物线上时，设A（（m， m2﹣ m﹣3）则D（m+ ， m2﹣ m+3）或（m﹣ ，
1 1 1 1
m2﹣ m+3）．
∴ m2﹣ m+3= （m+ ）2﹣ （m+ ）﹣3，解得m= ，
或 m2﹣ m+3= （m﹣ ）2﹣ （m﹣ ）﹣3，解得m=﹣ ．
第28页（共29页）2016年4月19日
第29页（共29页）
