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2016年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
(3月20日上午8:30 - 9:30)
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正
确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选
出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)
1.用 表示不超过 的最大整数，把 称为 的小数部分.已知 ， 是
的小数部分， 是 的小数部分，则 （ ）
2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书
30本，那么不同的购书方案有 （ ）
种 种 种 种
3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.
如： 和 均为“和谐数”.那么，不超过 的正整数中，
所有的“和谐数”之和为 （ ）
3(B）.已知二次函数 的图象的顶点在第二象限，且过点 .当
为整数时， （ ）
4.已知 的半径 垂直于弦 ,交 于点 ，连接 并延长交 于点 ,若
,则 的面积为 （ ）
5.如图，在四边形 中， ， , ,对角线
的交点为 ，则 ( )
6.设实数 满足 则 的最大值为 ( )
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 1 页二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)
1.【1(A)、2（B）】 已知 的顶点 、 在反比例函数 （ ）的图象上，
, , 轴，点 在点 的上方，且 则点 的坐标为
.
1(B).已知 的最大边 上的高线 和中线 恰好把 三等分，
,则 .
2(A).在四边形 中， ∥ , 平分 , 为对角线的交点，
则 .
3【. 3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好
为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .
3(B).若质数 、 满足： 则 的最大值为 .
4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填
入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个
和的最小值为 ,则 的最大值为 .
第二试
(3月20日上午9:50 — 11:20)
一、（本题满分20分）
已知 为正整数，求 能取到的最小正整数值.
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 2 页二、（本题满分25分）
(A).如图，点 在以 为直径的 上， 于点 ,点 在 上，
四边形 是正方形， 的延长线与 交于点 .证明: .
(B).已知：
求 的值.
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 3 页三、（本题满分25分）
(A).已知正实数 满足： ,且
.
(1) 求 的值.
(2) 证明: .
(B).如图，在等腰 中, 为 边上异于中点的点，点 关于直线
的对称点为点 , 的延长线与 的延长线交于点 求 的值.
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 4 页2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解
第一试
(3月20日上午8:30 - 9:30)
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正
确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选
出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)
1.用 表示不超过 的最大整数，把 称为 的小数部分.已知 ， 是
的小数部分， 是 的小数部分，则 （ ）
【答案】 .
【解析】 即
又
故选A.
2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书
30本，那么不同的购书方案有 （ ）
种 种 种 种
【答案】C.
【解析】设购买三种图书的数量分别为 则 ，
即 ，解得 依题意得， 为自然数（非负整数），
故 有 种可能的取值（分别为 ，对于每一个 值， 和 都有
唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C.
3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐
数”.如： 和 均为“和谐数”.那么，不超过 的正整
数中，所有的“和谐数”之和为 （
）
【答案】B.
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 5 页【解析】
（其中 为非负整数），由 得，
，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为
故选B.
3(B）.已知二次函数 的图象的顶点在第二象限，且过点 .当
为整数时， （ ）
【答案】B.
【解析】依题意知 故 且 ，
，于是
又 为整数， 故 ，故选B.
4.已知 的半径 垂直于弦 ,交 于点 ，连接 并延长交 于点 ,
若 ,则 的面积为（ ）
【解析】设 则
于
在 中，
即 解得 ，即 （第4题答案图）
为 的中位线， 是 的直径，
故选A.
5.如图，在四边形 中， ， , ,对角线
的交点为 ，则 ( )
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 6 页（第5题答案图）
【答案】D.
【解析】过点 作 于点 则 ～
设 则
在 中， 则
显然 ，化简整理得
解得 （ 不符合题意，舍去），故
在 中， ,故选D.
6.设实数 满足 则 的最大值为 ( )
【答案】C.
【解析】
当且仅当 时， 取等号，故 ，故选C.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 7 页1.【1(A)、2（B）】 已知 的顶点 、 在反比例函数 （ ）的图象上，
, , 轴，点 在点 的上方，且 则点 的坐标为
.
【答案】 .
【解析】如图，过点 作 于点 .
在 中，
在 中， （第1题答案图）
,设 ，
依题意知 故 ，于是
解得 ，故点 的坐标为 .
1(B).已知 的最大边 上的高线 和中线 恰好把 三等分，
,则 .
【答案】 .
【解析】
（ 第 1 题 答 案 图 1 ）
（ 第1题答案图2）
依题意得 , 故 .
(1)若 时，如答案图1所示， ≌
又 平分 在 中，即
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 8 页从而 .
在 中，
在 中， .
(2)若 时，如答案图2所示.同理可得 .综上所述， .
2(A).在四边形 中， ∥ , 平分 , 为对角线的交点，
则 .
【答案】 .
【解析】设 ,
平分 , ,
∥ , , (第2题答案图)
, , ,
, ,
解得 ， ,
故 .
3【. 3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好
为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .
【答案】 .
【解析】设两个三位数分别为 ，则 ，①
故 是 的正整数倍，不妨设 （ 为正整数），
代入①得 是三位数， ，解得
为正整数， 的可能取值为 验证可知，只有 符合，此时
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 9 页故所求的六位数为 .
3(B).若质数 、 满足： 则 的最大值为 .
【答案】 .
【解析】由 得，
因 为质数，故 的值随着质数 的增大而增大，当且仅当 取得最大值时， 取得最大
值.
又 ， ，因 为质数，故 的可能取值为
，但 时， 不是质数，舍去.
当 时, 恰为质数.故 .
4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填
入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个
和的最小值为 ,则 的最大值为 .
【答案】
【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定 的最大值.
(1)若5个1分布在同一列，则 ；
(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故
,故 ;
(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故
,故 ;
(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾.
综上所述，
另一方面，如下表的例子说明 可以取到10.故 的最大值为
1 1 1 4 5
1 1 2 4 5
2 2 2 4 5
3 3 2 4 5
3 3 3 4 5
第二试
(3月20日上午9:50 — 11:20)
一、（本题满分20分）
已知 为正整数，求 能取到的最小正整数值.
【解析】解：因 为正整数，要使得 的值为正整数，则有 .
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 10 页当 时， 只能为1，此时 故 能取到的最小正整数值不超过4.
当 时， 只能为1或2.若 ;若 ，则 .
当 时， 只能为1或2或3.若 ;若 ;若 则 .
(下面考虑： 的值能否为1？)
（反证法）假设 ，则 ，即 ，
①
因 为正整数，故 为奇数，从而 为奇数， 为偶数，
不妨设 ，其中 均为正整数，则
即 被 除所得余数为3，而 被4除所得余数为1，
故①式不可能成立，故 .因此， 能取到的最小正整数值为2.
二、（本题满分25分）
(A).如图，点 在以 为直径的 上， 于点 ,点 在 上，
四边形 是正方形， 的延长线与 交于点 .证明: .
(第2(A)题答案图)
【证明】：连接 、 为 的直径， 于点
由四边形 是正方形及 于点 可知:
点 在 上，
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 11 页以点 为圆心、 为半径作 与直线 交于另一点 ,则 与 切于点
,即 是 的切线，直线 是 的割线，故由切割线定理得
,即点 与点 重合，点 在 上， .
(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)
(B).已知：
求 的值.
【解析】由已知得
由恒等式 得，
又
同理可得
∴原式=
【注：恒等式 】
三、（本题满分25分）
(A).已知正实数 满足： ,且
.
(3) 求 的值.
(4) 证明: .
【解析】（1）解：由等式 ，
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 12 页去分母得 ，
，
， ，
， 原式=
（2）证明：由（1）得计算过程知 ，又 为正实数,
∴ .
【注：
】
(B).如图，在等腰 中, 为 边上异于中点的点，点 关于直线
的对称点为点 , 的延长线与 的延长线交于点 求 的值.
（第3（B）题答案图）
【解析】如图，连接 ,则
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 13 页点 关于直线 的对称点为点 ,
四点共圆, (同弧所对得圆周角相等)
, 四点共圆，
（注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：
若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）
2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 14 页
