文档内容
2016届九年级下学期入学数学试卷
一．选择题（共8小题）
1．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A．﹣2 B．2C．4D．﹣3
2．若一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，则反比例函数y= 的图象在（ ）
A．一、三象限B．二、四象限C．一、二象限D．三、四象限
3．已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜3B．﹣1＜x＜4C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣1或x＞4
4．两个相似三角形对应中线的比2：3，周长的和是20，则两个三角形的周长分别为（ ）
A．8和12 B．9和11 C．7和13 D．6和14
5．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a=1，b=3，c=2，d=4 B．a=4，b=6，c=5，d=10
C．a=2，b=4，c=3，d=6 D．a=2，b=3，c=4，d=1
6．在三角形ABC中，∠C为直角，sinA= ，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆
盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（ ）A． B． C．2D．
8．丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格
平均数 中位数 众数 方差
8.5 8.3 8.1 0.15
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
二．填空题（共8小题）
9．如图1，是工人将货物搬运上货车常用的方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，
货物通过斜坡进行搬运．根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图2中∠ACB=20°）时最为合适，已
知货车车厢底部到地面的距离AB=1.5m，木板超出车厢部分AD=0.5m，则木板CD的长度为
．
（参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，精确到0.1m）．
10．如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为
位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为 ．则点A的对应点A′的坐标为
．
11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（﹣2，0），△ABO是直角三角形，∠AOB=60°．现将
Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时边OB扫过的面积为
．12．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为
．
13．如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y= 的图象交
于A，B两点，则四边形MAOB的面积为 ．
14．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3．若将实数
（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x= ．
15．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，PA=10，CD是⊙O的切线，交PA于点C，交
PB于点D，则△PCD的周长是 ．
16．如图，已知点A ，A ，…，A 在函数y=x2位于第二象限的图象上，点B ，B ，…，B 在函数
1 2 2011 1 2 2011
y=x2位于第一象限的图象上，点C ，C ，…，C 在y轴的正半轴上，若四边形OA C B 、
1 2 2011 1 1 1
C A C B ，…，C A C B 都是正方形，则正方形C A C B 的边长为 ．
1 2 2 2 2010 2011 2011 2011 2010 2011 2011 2011三．解答题（共10小题）
17．用公式法解下列方程
2x2+6=7x．
18．计算： sin45°+cos230°﹣ +2sin60°．
19．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字
母．
（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求 的长．
20．已知y=y +y ，y 与x成正比例，y 与x+2成反比例，且当x=﹣1时，y=3；当x=3时，y=7．求x=﹣3
1 2 1 2
时，y的值．
21．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与座板CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平
行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，量得∠EOF=90°，
∠ODC=30°，ON=40cm，EG=30cm．
（1）求两支架落点E、F之间的距离；（2）若MN=60cm，求躺椅的高度（点M到地面的距离，结果取整数）．
（参考数据：sin60°= ，cos60°= ，tan60°= ≈1.73，可使用科学计算器）
22．为了解某种电动汽车的性能，对这种电动汽车进行了抽检，将一次充电后行驶的里程数分为A，
B，C，D四个等级，其中相应等级的里程依次为200千米，210千米，220千米，230千米，获得如下不
完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）问这次被抽检的电动汽车共有几辆？并补全条形统计图；
（2）估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为多少千米？
23．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作
∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E．过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若OF：OB=1：3，求AG的长．
24．“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上
海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全
程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突
发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加 m小时，求m的值．25．在图1﹣﹣图4中，菱形ABCD的边长为3，∠A=60°，点M是AD边上一点，且DM= AD，点N
是折线AB﹣BC上的一个动点．
（1）如图1，当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为
．
（2）当点N在AB边上时，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如图2，
①若点A′落在AB边上，则线段AN的长度为 ；
②当点A′落在对角线AC上时，如图3，求证：四边形AM A′N是菱形；
③当点A′落在对角线BD上时，如图4，求 的值．
26．如图，已知二次函数y=ax2+ x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为
（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=ax2+ x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的
坐标；
（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积
最大时，求此时点N的坐标．2016 届九年级下学期入学数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A．﹣2 B．2C．4D．﹣3
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．
【解答】解：设一元二次方程的另一根为x ，
1
则根据一元二次方程根与系数的关系，
得﹣1+x =﹣3，
1
解得：x =﹣2．
1
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x ，x ，则x +x =﹣ ，
1 2 1 2
x •x = ．
1 2
2．若一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，则反比例函数y= 的图象在（ ）
A．一、三象限B．二、四象限C．一、二象限D．三、四象限
【考点】反比例函数的性质；一次函数的性质．
【分析】先由一次函数的性质判断出k，b的正负，再根据反比例函数的性质即可得出结果．
【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0，kb＞0，
反比例函数y= 中，kb＞0，
∴图象在一、三象限．
故选A．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，应注意y= 中k的取值．
3．已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（ ）A．﹣1＜x＜3B．﹣1＜x＜4C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣1或x＞4
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】求y＞0时x的取值范围，就是二次函数的图象在x轴下方时对应的x的范围．
【解答】解：根据图象可得x的范围是x＜﹣1或x＞3．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解求y＞0时x的取值范围，就是二次函数的图象在
x轴下方时对应的x的范围是关键．
4．两个相似三角形对应中线的比2：3，周长的和是20，则两个三角形的周长分别为（ ）
A．8和12 B．9和11 C．7和13 D．6和14
【考点】相似三角形的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比得到
两个相似三角形的周长的比为2：3，设这两个三角形的周长分别为2x，3x，则2x+3x=20，然后解方程
求出x后计算2x和3x即可．
【解答】解：∵两个相似三角形对应中线的比2：3，
∴两个相似三角形的周长的比为2：3，
设这两个三角形的周长分别为2x，3x，
则2x+3x=20，解得x=4，
∴2x=8，3x=12，
即两个三角形的周长分别8和12．
故选A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多
边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的
比也等于相似比．
5．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a=1，b=3，c=2，d=4 B．a=4，b=6，c=5，d=10
C．a=2，b=4，c=3，d=6 D．a=2，b=3，c=4，d=1
【考点】比例线段．
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出
答案．
【解答】解：A.1×4≠3×2，故本选项错误；
B.4×10≠6×5，故本选项错误；
C.4×3=2×6，故本选项正确；
D.2×3≠1×4，故本选项错误；
故选C．【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最
大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
6．在三角形ABC中，∠C为直角，sinA= ，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】互余两角三角函数的关系．
【分析】根据sinA= ，可设BC=5x，AB=13x，利用勾股定理求出AC=12x，再利用锐角三角函数的定
义得出tanB的值．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，
∴可设BC=5x，AB=13x，
∴AC= =12x，
∴tanB= = = ．
故选C．
【点评】此题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理的应用，正确得出各边之间的关系是解决问题
的关键．
7．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆
盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（ ）A． B． C．2D．
【考点】三角形的外接圆与外心．
【专题】网格型．
【分析】根据题意得出△ABC的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形
的最小圆面的半径．
【解答】解：如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是： ．
故选A．
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，得出外接圆圆心位置是解题关键．
8．丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格
平均数 中位数 众数 方差
8.5 8.3 8.1 0.15
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
【考点】统计量的选择．
【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低
分不影响中位数．
【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选D．
【点评】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．
二．填空题（共8小题）
9．如图1，是工人将货物搬运上货车常用的方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，
货物通过斜坡进行搬运．根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图2中∠ACB=20°）时最为合适，已
知货车车厢底部到地面的距离AB=1.5m，木板超出车厢部分AD=0.5m，则木板CD的长度为 4.9m
．
（参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，精确到0.1m）．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】应用题．
【分析】根据∠ACB的正弦函数和AB的长度求AC的长，再加上AD即可．
【解答】解：由题意可知：AB⊥BC．
∴在Rt△ABC中，sin∠ACB= ，
∴AC= = = ≈4.39，
∴CD=AC+AD=4.39+0.5=4.89≈4.9（m）．
故答案为：4.9m．
【点评】本题考查锐角三角函数的应用，属于理论联系实际的题目，难度不大，关键是根据三角函数值
得到所求线段的相应的线段的长度．
10．如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为
位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为 ．则点A的对应点A′的坐标为 （﹣ ， ）
或（ ，﹣ ） ．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上
一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．
【解答】解：∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）
∴A'的坐标为：（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）．
故答案为：（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应
点坐标之间的关系是解题的关键．11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（﹣2，0），△ABO是直角三角形，∠AOB=60°．现将
Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时边OB扫过的面积为 π ．
【考点】扇形面积的计算；坐标与图形性质；旋转的性质．
【分析】根据点A的坐标（﹣2，0），可得OA=2，再根据含30°的直角三角形的性质可得OB的长，再根
据性质的性质和扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵点A的坐标（﹣2，0），
∴OA=2，
∵△ABO是直角三角形，∠AOB=60°，
∴∠OAB=30°，
∴OB= OA=1，
∴边OB扫过的面积为： = π．
故答案为： π．
【点评】本题考查了扇形的面积公式：S= ，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或
S= lR，l为扇形的弧长，R为半径．
12．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为 3 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方
程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，∴a＞0．
﹣ =﹣3，即b2=12a，
∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，
∴m的最大值为3，
故答案为3．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关
键．
13．如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y= 的图象交
于A，B两点，则四边形MAOB的面积为 1 0 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），根据反比例函数y= 的图象过A，B两点，所以
ab=4，cd=4，进而得到S = |ab|=2，S = |cd|=2，
△AOC △BOD
S =3×2=6，根据四边形MAOB的面积=S +S +S ，即可解答．
矩形MCDO △AOC △BOD 矩形MCDO
【解答】解：如图，
设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），
∵反比例函数y= 的图象过A，B两点，∴ab=4，cd=4，
∴S = |ab|=2，S = |cd|=2，
△AOC △BOD
∵点M（﹣3，2），
∴S =3×2=6，
矩形MCDO
∴四边形MAOB的面积=S +S +S =2+2+6=10，
△AOC △BOD 矩形MCDO
故答案为：10．
【点评】本题主要考查反比例函数的对称性和k的几何意义，根据条件得出S = |ab|=2，S = |
△AOC △BOD
cd|=2是解题的关键，注意k的几何意义的应用．
14．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3．若将实数
（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x= ﹣ 2 ．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】新定义．
【分析】根据新定义得到x2﹣2•（﹣2x）+3=﹣1，然后把方程整理为一般式，然后利用配方法解方程即
可．
【解答】解：根据题意得x2﹣2•（﹣2x）+3=﹣1，
整理得x2+4x+4=0，
（x+2）2=0，
所以x =x =﹣2．
1 2
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开
平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
15．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，PA=10，CD是⊙O的切线，交PA于点C，交
PB于点D，则△PCD的周长是 2 0 ．
【考点】切线长定理．
【分析】根据切线长定理得出PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，求出△PCD的周长是
PC+CD+PD=PA+PB，代入求出即可．
【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
=PC+AC+DB+PD
=PA+PB
=10+10=20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了切线长定理的应用，关键是求出△PCD的周长=PA+PB．
16．如图，已知点A ，A ，…，A 在函数y=x2位于第二象限的图象上，点B ，B ，…，B 在函数
1 2 2011 1 2 2011
y=x2位于第一象限的图象上，点C ，C ，…，C 在y轴的正半轴上，若四边形OA C B 、
1 2 2011 1 1 1
C A C B ，…，C A C B 都是正方形，则正方形C A C B 的边长为 201 1 ．
1 2 2 2 2010 2011 2011 2011 2010 2011 2011 2011
【考点】二次函数综合题．
【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得OB 与y轴的夹角为45°，然后表示出OB 的解析式，再
1 1
与抛物线解析式联立求出点B 的坐标，然后求出OB 的长，再根据正方形的性质求出OC ，表示出
1 1 1
C B 的解析式，与抛物线联立求出B 的坐标，然后求出C B 的长，再求出C C 的长，然后表示出
1 2 2 1 2 1 2
C B 的解析式，与抛物线联立求出B 的坐标，然后求出C B 的长，从而根据边长的变化规律解答即
2 3 3 2 3
可．
【解答】解：∵OA C B 是正方形，
1 1 1
∴OB 与y轴的夹角为45°，
1
∴OB 的解析式为y=x
1
联立 ，
解得 或 ，
∴点B （1，1），
1
OB = = ，
1
∵OA C B 是正方形，
1 1 1
∴OC = OB = × =2，
1 1
∵C A C B 是正方形，
1 2 2 2∴C B 的解析式为y=x+2，
1 2
联立 ，
解得， 或 ，
∴点B （2，4），
2
C B = =2 ，
1 2
∵C A C B 是正方形，
1 2 2 2
∴C C = C B = ×2 =4，
1 2 1 2
∴C B 的解析式为y=x+（4+2）=x+6，
2 3
联立 ，
解得， 或 ，
∴点B （3，9），
3
C B = =3 ，
2 3
…，
依此类推，正方形C A C B 的边长C B =2011 ．
2010 2011 2011 2011 2010 2011
故答案为：2011 ．
【点评】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛
物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
17．用公式法解下列方程
2x2+6=7x．
【考点】解一元二次方程-公式法．
【专题】计算题．
【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：方程整理得：2x2﹣7x+6=0，
这里a=2，b=﹣7，c=6，
∵△=49﹣48=1，
∴x= ，解得：x =2，x = ．
1 2
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
18．计算： sin45°+cos230°﹣ +2sin60°．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】先把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式= • +（ ）2﹣ +2×
= + ﹣ +
=1+ ．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
19．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字
母．
（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求 的长．
【考点】作图—复杂作图；切线的性质；弧长的计算．
【专题】作图题．
【分析】（1）过点C作AB的垂线，垂足为点D，然后以C点为圆心，CD为半径作圆即可；
（2）先根据切线的性质得∠ADC=90°，则利用互余可计算出∠DCE=90°﹣∠A=60°，∠BCD=90°﹣
∠ACD=30°，再在Rt△BCD中利用∠BCD的余弦可计算出CD= ，然后根据弧长公式求解．
【解答】解：（1）如图，⊙C为所求；
（2）∵⊙C切AB于D，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD= ，
∴CD=3cos30°= ，
∴ 的长= = π．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了
几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的性质和弧长公式．
20．已知y=y +y ，y 与x成正比例，y 与x+2成反比例，且当x=﹣1时，y=3；当x=3时，y=7．求x=﹣3
1 2 1 2
时，y的值．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】首先根据正比例和反比例的定义可得y=kx+ ，再把x=﹣1，y=3；x=3，y=7代入得到关于k、
m的方程组，再解可得k、m的值，进而可得y与x的解析式，再把x=﹣3代入计算出y的值即可．
【解答】解：∵y 与x成正比例，
1
∴y =kx，
1
∵y 与x+2成反比例，
2
∴y = ，
2
∵y=y +y ，
1 2∴y=kx+ ，
∵当x=﹣1时，y=3；当x=3时，y=7，
∴ ，
解得： ，
∴y=2x+ ，
当x=﹣3时，y=2×（﹣3）﹣5=﹣11．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确表示出y与x的关系式．
21．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与座板CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平
行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，量得∠EOF=90°，
∠ODC=30°，ON=40cm，EG=30cm．
（1）求两支架落点E、F之间的距离；
（2）若MN=60cm，求躺椅的高度（点M到地面的距离，结果取整数）．
（参考数据：sin60°= ，cos60°= ，tan60°= ≈1.73，可使用科学计算器）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理得出 ，利用平行四边形的判定与性质进而
求出即可；
（2）利用四边形ONHE是平行四边形，进而得出NH=OE=50cm，∠MHF=∠E=60°，利用
MP=110sin60°求出即可．
【解答】解：（1）连接EF．
∵CD平行于地面，
∴GD∥EF．∴ ．
又∵AB∥EF，
∴AB∥CD．
而OE∥DM，
则四边形OGDN是平行四边形．
∴OG=DN，GD=ON．
∵ON=40cm，∠EOF=90°，∠ODC=30°，
∴GD=40cm，OG= GD=20cm，又EG=30cm，
即 ，得EF=100cm．
（2）延长MD交EF于点H，过点M作MP⊥EF于点P．
∵四边形ONHE是平行四边形，
∴NH=OE=50cm，∠MHF=∠E=60°．
由于MN=60cm，∴MH=110cm．
在Rt△MHP中，MP=MH•sin∠MHP，
即MP=110sin60°=110× =55 ≈95（cm）．
答：躺椅的高度约为95cm．
【点评】此题主要考查了解直角三角形以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练应用锐角三角函数
关系是解题关键．
22．为了解某种电动汽车的性能，对这种电动汽车进行了抽检，将一次充电后行驶的里程数分为A，
B，C，D四个等级，其中相应等级的里程依次为200千米，210千米，220千米，230千米，获得如下不
完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）问这次被抽检的电动汽车共有几辆？并补全条形统计图；
（2）估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为多少千米？
【考点】条形统计图；扇形统计图；加权平均数．
【分析】（1）根据条形统计图和扇形图可知，将一次充电后行驶的里程数分为B等级的有30辆电动
汽车，所占的百分比为30%，用30÷30%即可求出电动汽车的总量；分别计算出C、D所占的百分比，
即可得到A所占的百分比，即可求出A的电动汽车的辆数，即可补全统计图；
（2）用总里程除以汽车总辆数，即可解答．
【解答】解：（1）这次被抽检的电动汽车共有：30÷30%=100（辆），
C所占的百分比为：40÷100×100%=40%，D所占的百分比为：20÷100×100%=20%，
A所占的百分比为：100%﹣40%﹣20%﹣30%=10%，
A等级电动汽车的辆数为：100×10%=10（辆），
补全统计图如图所示：
（2）这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为：
230）=217（千米），
∴估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为217千米．
【点评】此题考查了条形统计图，以及扇形统计图，弄清题意是解本题的关键．
23．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作
∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E．过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若OF：OB=1：3，求AG的长．【考点】切线的判定与性质．
【分析】（1）连接OD，进而利用等腰三角形的性质以及切线的性质得出∠CDO+∠CDE=90°，进而得
出答案；
（2）首先利用勾股定理得出DE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出AG的长．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∵OC⊥AB，
∴∠COF=90°
∴∠OCD+∠CFO=90°，
∴∠ODC+∠CFO=90°，
∵∠EFD=∠FDE，
∠EFD=∠CDE，
∴∠CDO+∠CDE=90°，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，
∴OF=1，
∵∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，
∵OD2+DE2=EO2，
∴32+x2=（x+1）2，
解得：x=4，
∴DE=4，OE=5，
∵AG为⊙O的切线，
∴AG⊥AE，
∴∠GAE=90°，
∵∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽Rt△EGA，
∴ = = ，即 = ，
解得：AG=6．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定与性质，正确得出
Rt△EOD∽Rt△EGA是解题关键．
24．“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上
海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全
程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突
发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加 m小时，求m的值．
【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运
行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时”，
分别得出等式组成方程组求出即可；
（2）根据题意得出：（80+120）（1﹣m%）（8+ m）=1600进而求出即可．
【解答】解：（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：
，
解得： ，
答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；
（2）由题意可得出：（80+120）（1﹣m%）（8+ m）=1600，
解得：m =20，m =0（不合题意舍去），
1 2答：m的值为20．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，根据题意得出正确等量关
系是解题关键．
25．在图1﹣﹣图4中，菱形ABCD的边长为3，∠A=60°，点M是AD边上一点，且DM= AD，点N
是折线AB﹣BC上的一个动点．
（1）如图1，当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为 ．
（2）当点N在AB边上时，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如图2，
①若点A′落在AB边上，则线段AN的长度为 1 ；
②当点A′落在对角线AC上时，如图3，求证：四边形AM A′N是菱形；
③当点A′落在对角线BD上时，如图4，求 的值．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）过点N作NG⊥AB于G，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题；
（2）①利用线段中垂线的性质得到AN=A′N，再由三角函数求得；
②利用菱形的性质得到对角线平分每一组对角，得到∠DAC=∠CAB=30°，根据翻折的性质得到
AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，∠AMN=∠ANM=60°，AM=AN，AM=A′M=AN=A′N，四边形AM A′N
是菱形；
③根据菱形的性质得到AB=AD，∠ADB=∠ABD=60°，求得∠NA′M=∠DMA′+∠ADB，证得
A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，得到∠NA′B=∠DMA′，利用三角形相似得到结果．
【解答】解：（1）如图1，过点N作NG⊥AB于G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OD=OB，
∴ = =1，
∴BN=DM= AD=1，
∵∠DAB=60°，
∴∠NBG=60°
∴BG= ，GN= ，∴AN= = = ；
故答案为： ；
（2）①当点A′落在AB边上，则MN为AA′的中垂线，
∵∠DAB=60°AM=2，
∴AN= AM=1，
故答案为：1；
②在菱形ABCD中，AC平分∠DAB，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠CAB=30°，
∵△AMN沿MN翻折得到△A′MN，
∴AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，
∴∠AMN=∠ANM=60°，
∴AM=AN，
∴AM=A′M=AN=A′N，
∴四边形AM A′N是菱形；
③在菱形ABCD中，AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD=60°，
∴∠BA′M=∠DMA′+∠ADB，
∴A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，
∴∠NA′B=∠DMA′，
∴△DMA′∽△BA′N，
∴ = ，
∵MD= AD=1，A′M=2，
∴ = ．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，翻折的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性
质，角平分线的性质，关键是利用翻折的性质得到线段、角相等、三角形相似．26．如图，已知二次函数y=ax2+ x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为
（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=ax2+ x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的
坐标；
（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积
最大时，求此时点N的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2=20，AC2=80，BC10，然后根
据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形．
（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于
一个点，即可求得点N的坐标；
（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例
求得MD= （n+2），然后根据S =S ﹣S
△AMN △ABN △BMN
得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+ x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标
为（8，0），
∴ ，解得 ．
∴抛物线表达式：y=﹣ x2+ x+4；
（2）△ABC是直角三角形．
令y=0，则﹣ x2+ x+4=0，
解得x =8，x =﹣2，
1 2
∴点B的坐标为（﹣2，0），
由已知可得，
在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，
在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，
又∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形．
（3）∵A（0，4），C（8，0），
∴AC= =4 ，
①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），
②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4 ，0）或（8+4 ，0）
③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），
综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣
8，0）、（8﹣4 ，0）、（3，0）、（8+4 ，0）．
（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，
∴MD∥OA，
∴△BMD∽△BAO，
∴ = ，
∵MN∥AC
∴ = ，
∴ = ，
∵OA=4，BC=10，BN=n+2∴MD= （n+2），
∵S =S ﹣S
△AMN △ABN △BMN
= BN•OA﹣ BN•MD
= （n+2）×4﹣ × （n+2）2
=﹣ （n﹣3）2+5，
∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，勾股定理和逆定理，等腰三角形的性
质，三角形相似的判定和性质以及函数的最值等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
