文档内容
2016届九年级下学期开学数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各数中，负数是（ ）
A．﹣（1﹣2）B．﹣1﹣1C．（﹣1）0 D．1﹣2
2．下列运算正确的是（ ）
A．﹣3（x﹣1）=﹣3x﹣1 B．﹣3（x﹣1）=﹣3x+1 C．﹣3（x﹣1）=﹣3x﹣3D．﹣3（x﹣1）=﹣3x+3
3．下列命题中，不正确的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
C．正方形的两条对角线相等且互相垂直平分
D．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
4．不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，8×8方格纸的两条对称轴EF，MN相交于点O，图a到图b的变换是（ ）
A．绕点O旋转180°
B．先向上平移3格，再向右平移4格
C．先以直线MN为对称轴作轴对称，再向上平移4格
D．先向右平移4格，再以直线EF为对称轴作轴对称
6．如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（ ）A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2
7．三军受命，我解放军各部队奋力抗战地救灾一线．现有甲、乙两支解放军小分队将救灾物资送往某
重灾小镇，甲队先出发，从部队基地到小镇只有唯一通道，且路程为24km，如图是他们行走的路线关
于时间的函数图象，四位同学观察此函数图象得出有关信息，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸
出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（ ）
A．B． C． D．
9．四边形ABCD中，AC和BD交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有以下四个命题：
①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC= ∠DAB；④AB=BE=AE．其中命题一定成立的是（ ）
A．①②B．②③ C．①③ D．②④
10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．
其中正确的结论有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）
11．分解因式：m2n﹣n= ．
12．若一次函数y=（2﹣m）x﹣2的函数值y随x的增大而减少，则m的取值范围是 ．
13．某市高新技术产业产值突破110亿元，数据“110亿”用科学记数法可表示为 ．
14．关于x的一元二次方程x2﹣4x+8sinα=0的两根相等，且α是锐角，则∠α= 度．
15．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，AD=4，AB=3 ，则下底BC的长为
．
16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若
sin∠DBC= ，则BC的长是 cm．
17．如图，△P OA ，△P A A 是等腰直角三角形，点P ，P 在函数y= （x＞0）的图象上，斜边OA ，
1 1 2 1 2 1 2 1
A A 都在x轴上，则点A 的坐标是 ．
1 2 218．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．P是AB的中点，正方形ADEF的边在线段CP上，则正方
形ADEF与△ABC的面积的比为 ．
19．如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移
动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域的面积为 ．
20．正方形A B C O，A B C C ，A B C C ，…，按如图所示的方式放置．点A ，A ，A ，…，和点C ，
1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 1 2 3 1
C ，C ，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B 、B 的坐标分别为B（1，1），B（3，2），则
2 3 1 2 1 2
B 的坐标是 ．
8
三、解答题
21．（1）计算：（﹣1）2013﹣|﹣ |﹣（﹣ ）﹣2+2sin45°﹣（π﹣3.14）0+（2）先化简，再求值： • + ，其中x满足x2﹣3x+2=0．
22．在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度，如图（1），虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板夹
角为倾角为θ，一般情况下，倾角θ愈小，楼梯的安全度就越高．如图（2），设计者为提高楼梯安全度，
要把楼梯倾角由θ 减至θ ，这样楼梯占用地板的长度d 增加到d ，已知d =4m，∠θ =45°，∠θ =30°，
1 2 1 2 1 1 2
求楼梯占用地板的长度增加了多少？
23．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE
延长线的交点，AG与CD相交于点F．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）当AE=2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．
24．如图，已知反比例函数 的图象经过点（ ，8），直线y=﹣x+b经过该反比例函数图
象上的点Q（4，m）．
（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接0P、OQ，
求△OPQ的面积．25．我市的重大惠民工程﹣﹣公租房建设已陆续竣工，计划10年内解决低收入人群的住房问题，前6
年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是y=﹣ x+5，（x单位：
年，1≤x≤6且x为整数）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的
关系是y=﹣ x+ （x单位：年，7≤x≤10且x为整数）．假设每年的公租房全部出租完．另外，随着物价
上涨等因素的影响，每年的租金也随之上调，预计，第x年投入使用的公租房的租金z（单位：元/m2）
与时间x（单位：年，1≤x≤10且x为整数）满足一次函数关系如表：
z（元/m2） 50 52 54 56 58 …
x（年） 1 2 3 4 5 …
（1）求出z与x的函数关系式；
（2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元．
26．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿
DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止
运动．设BQ=x，QR=y．
（1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）若△PQR是以QR为底边的等腰三角形，求的x值．
27．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左
侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为
菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最
大面积．2016 届九年级下学期开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各数中，负数是（ ）
A．﹣（1﹣2）B．﹣1﹣1C．（﹣1）0 D．1﹣2
【考点】负整数指数幂；零指数幂．
【专题】计算题．
【分析】依次计算出各选项的值，然后判断结果为负数的选项．
【解答】解：A、﹣（1﹣2）=1，为正数，故本选项错误；
B、﹣1﹣1=﹣1，为负数，故本选项正确；
C、（﹣1）0=1，为正数，故本选项错误；
D、1﹣2=1，为正数，故本选项错误；
故选B．
【点评】此题考查了负整数指数幂及零指数幂的知识，属于基础题，解答本题的关键是正确运算出各
项的值，难度一般．
2．下列运算正确的是（ ）
A．﹣3（x﹣1）=﹣3x﹣1 B．﹣3（x﹣1）=﹣3x+1 C．﹣3（x﹣1）=﹣3x﹣3D．﹣3（x﹣1）=﹣3x+3
【考点】去括号与添括号．
【分析】去括号时，要按照去括号法则，将括号前的﹣3与括号内每一项分别相乘，尤其需要注意，﹣3
与﹣1相乘时，应该是+3而不是﹣3．
【解答】解：根据去括号的方法可知﹣3（x﹣1）=﹣3x+3．
故选D．
【点评】本题属于基础题，主要考查去括号法则，理论依据是乘法分配律，容易出错的地方有两处，一
是﹣3只与x相乘，忘记乘以
﹣1；二是﹣3与﹣1相乘时，忘记变符号．本题直指去括号法则，没有任何其它干扰，掌握了去括号法
则就能得分，不掌握就不能得分．
3．下列命题中，不正确的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
C．正方形的两条对角线相等且互相垂直平分
D．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
【考点】命题与定理．
【分析】根据矩形的判定方法对A矩形判断；根据等边三角形的判定对B进行判断；根据正方形的性
质对C进行判断；根据直角三角形斜边上的中线性质对D进行判断．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，不符合题意；
B、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形是正确的，不符合题意；
C、正方形的两条对角线相等且互相垂直平分是正确的，不符合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故原来的命题不正确．
故选D．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假
命题；经过推理论证的真命题称为定理．
4．不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：由 得：x≤2．由2﹣x＜3得：x＞﹣1．所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2．故选C．
【点评】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表
示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴
分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式
组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空
心圆点表示．
5．如图，8×8方格纸的两条对称轴EF，MN相交于点O，图a到图b的变换是（ ）
A．绕点O旋转180°
B．先向上平移3格，再向右平移4格
C．先以直线MN为对称轴作轴对称，再向上平移4格
D．先向右平移4格，再以直线EF为对称轴作轴对称
【考点】利用轴对称设计图案．
【分析】根据平移和轴对称的性质，结合图形，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、绕点O旋转180°，两条对称轴EF，MN不可能相交于点O，故此选项错误；
B、平移后的图形与b形状不同，故此选项错误；
C、先以直线MN为对称轴作轴对称，其中平移后与b形状不同，故此选项错误；
D、先向右平移4格，再以直线EF为对称轴作轴对称，故此选项正确．
故选：D．【点评】本题考查图形的平移变换和旋转性质即轴对称的性质．注意这些变换都不改变图形的形状和
大小．注意结合图形解题的思想．
6．如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（ ）
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】先根据题意得出△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，即∠A=45°，AC=AB，过C作
CD⊥AB，垂足为D，根据三角函数定义求出AC，AB，然后就可以求出△ABC面积．
【解答】解：∵纸条的两边互相平行，
∴∠1=∠BAC=45°，
∴∠ABC= = =67.5°，
同理可得，∠ACB=67.5°，
∴△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，即∠A=45°，AC=AB．
作CD⊥AB，垂足为D，则CD=1．
∵sin∠A= ，
∴AC= = =AB，
∴S = ×AB×CD= ，
△ABC
∴折叠后重叠部分的面积为 cm2．
故选B．
【点评】本题考查的是图形折叠的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．7．三军受命，我解放军各部队奋力抗战地救灾一线．现有甲、乙两支解放军小分队将救灾物资送往某
重灾小镇，甲队先出发，从部队基地到小镇只有唯一通道，且路程为24km，如图是他们行走的路线关
于时间的函数图象，四位同学观察此函数图象得出有关信息，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】一次函数的应用．
【专题】压轴题；阅读型；图表型．
【分析】本题主要考查的是分段函数的应用，应结合函数的图形，按不同的时间段进行逐段分析．
【解答】解：由图可知：甲、乙的起始时间分别为0h和2h；因此甲比乙早出发2小时；
在3h﹣4h这一小时内，甲的函数图象与x轴平行，因此在行进过程中，甲队停顿了一小时；
两个函数有两个交点：①甲行驶4.5小时、乙行驶2.5小时时，两函数相交，因此乙队出发2.5小时后
追上甲队；②甲行驶6小时、乙行驶4小时后，两函数相交，此时两者同时到达目的地．
所以在整个行进过程中，乙队用的时间为4小时，行驶的路程为24千米，因此它的平均速度为
6km/h．
这四个同学的结论都正确，故选D．
【点评】本题考查了识别函数图象的能力，是一道较为简单的题，观察图象提供的信息，再分析这四位
同学的结论．
8．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸
出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（ ）
A．B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】转化思想．
【分析】列举出所有情况，看两次都摸到红球的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：
∴一共有12种情况，有2种情况两次都摸到红球，
∴两次都摸到红球的概率是 = ．
故选：C．【点评】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
9．四边形ABCD中，AC和BD交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有以下四个命题：
①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC= ∠DAB；④AB=BE=AE．其中命题一定成立的是（ ）
A．①②B．②③ C．①③ D．②④
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质判断各
选项是否正确即可．
【解答】解：∵AB=AE，一个三角形的直角边和斜边一定不相等，∴AC不垂直于BD，①错误；
利用边角边定理可证得△ADE≌△ABC，那么BC=DE，②正确；
由△ADE≌△ABC可得∠ADE=∠ACB，那么A，B，C，D四点共圆，∴∠DBC=∠DAC= ∠DAB，③正确；
△ABE不一定是等边三角形，那么④不一定正确；
②③正确，故选B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，以及直角三角形中斜边最长；全等三角形的对应边相等；
等边三角形的三边相等．
10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的
交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；当x=﹣1时图象在x轴下方得到y=a﹣b+c=0，即a+c=b；对称轴为直线x=1，可得x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c＞0；利用对称轴x=﹣ =1得到a=﹣
b，而a﹣b+c＜0，则﹣ b﹣b+c＜0，所以2c＜3b；开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c，得到a+b+c＞
am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1）．
【解答】解：开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的
上方，c＞0，则abc＜0，所以①不正确；
当x=﹣1时图象在x轴下方，则y=a﹣b+c=0，即a+c=b，所以②不正确；
对称轴为直线x=1，则x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c＞0，所以③正确；
x=﹣ =1，则a=﹣ b，而a﹣b+c=0，则﹣ b﹣b+c=0，2c=3b，所以④不正确；
开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c；当x=m（m≠1）时，y=am2+bm+c，则a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞
m（am+b）（m≠1），所以⑤正确．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开
口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=﹣ ，a与b同号，对称轴在
y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当△=b2
﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．
二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）
11．分解因式：m2n﹣n= n （ m+ 1 ）（ m﹣ 1 ） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】观察原式，找到公因式n，提取公因式后发现m2﹣1符合平方差公式，再利用平方差公式继续
分解即可．
【解答】解：m2n﹣n，
=n（m2﹣1），
=n（m+1）（m﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后
再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．若一次函数y=（2﹣m）x﹣2的函数值y随x的增大而减少，则m的取值范围是 m ＞ 2 ．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【分析】根据一次函数y=（2﹣m）x﹣2的增减性知m﹣1＜0，通过解不等式即可求得m的取值范围．
【解答】解：∵函数y=（2﹣m）x﹣2是一次函数，且y随x的增大而减少，
∴2﹣m＜0，
解得，m＞2．
故答案为：m＞2．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系．：在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；
当k＜0时，y随x的增大而减小．13．某市高新技术产业产值突破110亿元，数据“110亿”用科学记数法可表示为 1.1×1 0 1 0 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正
数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将110亿用科学记数法表示为：1.1×1010．
故答案为：1.1×1010．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．关于x的一元二次方程x2﹣4x+8sinα=0的两根相等，且α是锐角，则∠α= 3 0 度．
【考点】根的判别式；特殊角的三角函数值．
【分析】已知方程有两相等实数根，则其根的判别式△=0．
由此可以得到关于sinα的方程，解方程求出sinα后再求α的度数．
【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=8sinα，
∴△=b2﹣4ac=16﹣32sinα=0，
∴sinα= ，
∴α=30°．
【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
⇔
15．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，AD=4，AB=3 ，则下底BC的长为 1 0
．
【考点】梯形．
【专题】压轴题．
【分析】过A作AE∥CD，把梯形分成平行四边形和直角三角形，利用平行四边形的对边相等得到
CE=AD，所以BE可以求出，在直角三角形中，根据∠B=30°，利用勾股定理求出BE，BC的长也就可
以求出了．
【解答】解：如图，过A作AE∥CD交BC于点E，
∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD=4，
∵∠B=30°，∠C=60°，
∴∠BAE=90°，∴AE= BE（直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半），
在Rt△ABE中，BE2=AB2+AE2，
即BE2=（3 ）2+（ BE）2，
BE2=27+ BE2，
BE2=36，
解得BE=6，
∴BC=BE+EC=6+4=10．
故答案为：10．
【点评】通过作腰的平行线，把梯形分成平行四边形和直角三角形，再利用直角三角形30°角所对的直
角边等于斜边的一半和勾股定理求解，考虑本题的突破口在于两个已知角的和是90°．
16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若
sin∠DBC= ，则BC的长是 4 cm．
【考点】解直角三角形．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据线段垂直平分线的性质进行等量转换，运用三角函数定义解直角三角形．
【解答】解：AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴AD=BD．
∵sin∠DBC= = ，
设CD=3a，则BD=5a，
AC=AD+CD=BD+CD=8，
∴a=1，
∴CD=3，BD=5，BC=4．
【点评】此题考查了线段垂直平分线性质和三角函数定义的应用．17．如图，△P OA ，△P A A 是等腰直角三角形，点P ，P 在函数y= （x＞0）的图象上，斜边OA ，
1 1 2 1 2 1 2 1
A A 都在x轴上，则点A 的坐标是 （ ， 0 ） ．
1 2 2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．
【专题】数形结合．
【分析】作P B⊥y轴，P A⊥x轴，根据等腰直角三角形的性质解答即可．
1 1
【解答】解：作P B⊥y轴，P A⊥x轴，
1 1
∵△P OA ，△P A A 是等腰直角三角形，
1 1 2 1 2
∴AP =BP ，A D=DA =DP ，
1 1 1 2 2
则OA•OB=4，
∴OA=OB=AA =2，OA =4，
1 1
设A D=x，则有（4+x）x=4，
1
解得x=﹣2+2 ，或x=﹣2﹣2 （舍去），
则OA =4+2x=4﹣4+4 =4 ，
2
A 坐标为（4 ，0）．
2
故答案为：（4 ，0）．
【点评】本题考查等腰三角形的性质与反比例函数的性质的综合，一定经过某点的函数应符合这个点
的横纵坐标．18．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．P是AB的中点，正方形ADEF的边在线段CP上，则正方
形ADEF与△ABC的面积的比为 ．
【考点】正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【分析】设AC与EF交于点M，首先根据∠BAC=90°，∠DAF=90°，可知∠PAD=∠MAF，根据SAS证
明△PAD≌△MAF，可得AP=AM，已知P为AB中点，则知道M为AC中点，又可证明△AFM≌△CEM，
得出M为EF中点，设FM=x，则EF=AD=2x，根据勾股定理得出AP= x，则AB=2 x，分别求出
△ABC的面积和正方形ADEF的面积，即可求出它们的比值．
【解答】解：设AC与EF交于点M，
∵∠BAC=90°，∠DAF=90°，
∴∠PAD=∠MAF，
在△PAD和△MAF中，
，
∴△PAD≌△MAF，
则AP=AM，
∵P为AB中点，AB=AC，
∴M为AC中点，
在△AFM和△CEM中，
，
∴△AFM≌△CEM，
则M为EF中点，
设FM=x，则EF=AD=2x，
∴AM= = x，
则AB=AC=2AM=2 x，
∴S = ×2 x•2 x=10x2，
△ABC
S =2x•2x=4x2．
正方形ADEF则正方形ADEF与△ABC的面积的比为= = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了正方形的性质，涉及了全等三角形的证明，勾股定理的运用，解题关键是根据各边
之间的关系求出两图形的面积．
19．如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移
动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域的面积为 1 2 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD，PP′的长，求出面积即可．
【解答】解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，
由题意可得出：AP∥A′P′，AP=A′P′，
∴四边形APP′A′是平行四边形，
∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点
P′（2，﹣2），
∴PO= =2 ，∠AOP=45°，
又∵AD⊥OP，
∴△ADO是等腰直角三角形，
∴PP′=2 ×2=4 ，
∴AD=DO=sin45°•OA= ×3= ，
∴抛物线上PA段扫过的区域的面积为：4 × =12．
故答案为：12．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法和勾股定理等知识，根据
已知得出AD，PP′是解题关键．
20．正方形A B C O，A B C C ，A B C C ，…，按如图所示的方式放置．点A ，A ，A ，…，和点C ，
1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 1 2 3 1
C ，C ，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B 、B 的坐标分别为B（1，1），B（3，2），则
2 3 1 2 1 2
B 的坐标是 （ 2 8 ﹣ 1 ， 2 8﹣ 1 ）或（ 25 5 ， 12 8 ） ．
8
【考点】一次函数综合题．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】首先利用待定系数法求得直线的解析式，然后分别求得B ，B ，B …的坐标，可以得到规律：
1 2 3
B （2n﹣1，2n﹣1），据此即可求解．
n
【解答】解：∵B 的坐标为（1，1），点B 的坐标为（3，2），
1 2
∴正方形A B C O 边长为1，正方形A B C C 边长为2，
1 1 1 1 2 2 2 1
∴A 的坐标是（0，1），A 的坐标是：（1，2），
1 2
代入y=kx+b得：
，
解得： ，
则直线的解析式是：y=x+1．
∵A B =1，点B 的坐标为（3，2），
1 1 2
∴点A 的坐标为（3，4），
3
∴A C =A B =B C =4，
3 2 3 3 3 3
∴点B 的坐标为（7，4），
3
∴B 的纵坐标是：1=20，B 的横坐标是：1=21﹣1，
1 1
∴B 的纵坐标是：2=21，B 的横坐标是：3=22﹣1，
2 2
∴B 的纵坐标是：4=22，B 的横坐标是：7=23﹣1，
3 3
∴B 的纵坐标是：2n﹣1，横坐标是：2n﹣1，
n
则B （2n﹣1，2n﹣1）．
n∴B 的坐标是：（28﹣1，28﹣1），即（255，128）．
8
故答案为：（28﹣1，28﹣1）或（255，128）．
【点评】此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律．此题难度较大，注意正确得到
点的坐标的规律是解题的关键．
三、解答题
21．（1）计算：（﹣1）2013﹣|﹣ |﹣（﹣ ）﹣2+2sin45°﹣（π﹣3.14）0+
（2）先化简，再求值： • + ，其中x满足x2﹣3x+2=0．
【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）先算乘方，绝对值，负指数幂，特殊角的三角函数，0次幂以及开方，再算加减；
（2）先化简分式，进一步根据式子的特点整理，整体代入求得答案即可．
【解答】解：（1）原式=﹣1﹣ ﹣4+2× ﹣1+2
=﹣1﹣ ﹣4+ ﹣1+2
=﹣4；
（2）原式= • +
=x+
=
∵x2﹣3x+2=0，
∴x2+2=3x
∴原式=3．
【点评】此题考查分式的化简求值，实数的混合运算，掌握运算方法是解决问题的关键．
22．在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度，如图（1），虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板夹
角为倾角为θ，一般情况下，倾角θ愈小，楼梯的安全度就越高．如图（2），设计者为提高楼梯安全度，
要把楼梯倾角由θ 减至θ ，这样楼梯占用地板的长度d 增加到d ，已知d =4m，∠θ =45°，∠θ =30°，
1 2 1 2 1 1 2
求楼梯占用地板的长度增加了多少？【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【专题】计算题．
【分析】由题意得：增加部分是CD长，分别在Rt△ABC，Rt△ABD中利用三角函数的定义即可求出
BC，BD长，然后利用已知条件即可求出CD长．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC=d =4m，∠ACB=∠θ =45°，
1 1
∴AB=BC×tan45°=4tan45°=4m，
在Rt△ABD中，BD=d ，∠ADB=θ =30°，
2 2
∴BD=AB÷tan30°=4÷ =4 m
∴CD=d ﹣d =BD﹣CB=（4 ﹣4）m．
2 1
∴楼梯占用地板的长度增加了（4 ﹣4）m．
【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是当两个直角三角形共用一条线段时，应先
利用三角函数算出这条线段的长度．
23．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE
延长线的交点，AG与CD相交于点F．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）当AE=2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的判定．
【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）由∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，利用三角形外角的性质，即可得∠CBE=∠ABE，又由
四边形ABCD是矩形，即可证得△ABD与△BCD是等腰直角三角形，继而证得四边形ABCD是正方
形；
（2）由题意易证得△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，由AE=2EF，利用相似三角形的对
应边成比例，即可求得FG=3EF．
【解答】（1）证明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，
∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE，
∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，
∴∠CBE=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD，
∴∠CBE=∠ABE=45°，
∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形，
∴AB=AD=BC=CD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）当AE=2EF时，FG=3EF．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，
∵AE=2EF，
∴BE：DE=AE：EF=2，
∴BG：AD=BE：DE=2，
即BG=2AD，
∵BC=AD，
∴CG=AD，
∵△ADF∽△GCF，
∴FG：AF=CG：AD，
即FG=AF=AE+EF=3EF．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，正方形的判定与性质、等腰直角三角形的
性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用．
24．如图，已知反比例函数 的图象经过点（ ，8），直线y=﹣x+b经过该反比例函数图
象上的点Q（4，m）．
（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接0P、OQ，
求△OPQ的面积．【考点】反比例函数综合题．
【专题】综合题．
【分析】（1）把点（ ，8）代入反比例函数 ，确定反比例函数的解析式为y= ；再把点Q
（4，m）代入反比例函数的解析式得到Q的坐标，然后把Q的坐标代入直线y=﹣x+b，即可确定b的值；
（2）把反比例函数和直线的解析式联立起来，解方程组得到P点坐标；对于y=﹣x+5，令y=0，求出A
点坐标，然后根据S =S ﹣S ﹣S 进行计算即可．
△OPQ △AOB △OBP △OAQ
【解答】解：（1）把点（ ，8）代入反比例函数 ，得k= ×8=4，
∴反比例函数的解析式为y= ；
又∵点Q（4，m）在该反比例函数图象上，
∴4•m=4，
解得m=1，即Q点的坐标为（4，1），
而直线y=﹣x+b经过点Q（4，1），
∴1=﹣4+b，
解得b=5，
∴直线的函数表达式为y=﹣x+5；
（2）联立 ，
解得 或 ，
∴P点坐标为（1，4），
对于y=﹣x+5，令y=0，得x=5，
∴A点坐标为（5，0），
∴S =S ﹣S ﹣S
△OPQ △AOB △OBP △OAQ= ×5×5﹣ ×5×1﹣ ×5×1
= ．
【点评】本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式以及求两个图象交点的方法（转化
为解方程组）；也考查了利用面积的和差求图形面积的方法．
25．我市的重大惠民工程﹣﹣公租房建设已陆续竣工，计划10年内解决低收入人群的住房问题，前6
年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是y=﹣ x+5，（x单位：
年，1≤x≤6且x为整数）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的
关系是y=﹣ x+ （x单位：年，7≤x≤10且x为整数）．假设每年的公租房全部出租完．另外，随着物价
上涨等因素的影响，每年的租金也随之上调，预计，第x年投入使用的公租房的租金z（单位：元/m2）
与时间x（单位：年，1≤x≤10且x为整数）满足一次函数关系如表：
z（元/m2） 50 52 54 56 58 …
x（年） 1 2 3 4 5 …
（1）求出z与x的函数关系式；
（2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元．
【考点】二次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式．
【分析】（1）表格中x的值每增加1，对应z的值增加2，可知z是关于x的一次函数，利用待定系数法
可求得函数关系式；
（2）根据收取的租金=公租房面积×公租房的租金，分别就1≤x≤6、7≤x≤10列出函数关系式，配方找到
最大值，比较可得．
【解答】解：（1）由题意，z与x是一次函数关系，设z=kx+b（k≠0）
把（1，50），（2，52）代入，得
∴
∴z=2x+48；
（2）当1≤x≤6时，设收取的租金为W 百万元，则
1
W =（ ）•（2x+48）
1
=
= （x﹣3）2+243，∵﹣ ＜0，
∴当x=3时，W 最大=243（百万元）；
1
当7≤x≤10时，设收取的租金为W 百万元，则
2
W =（ ）•（2x+48）
2
=
=﹣ （x﹣7）2+ ，
∵ ＜0，
∴当x=7时，W 最大= （百万元），
2
∵243＞ ，
∴第3年收取的租金最多，最多为243百万元．
【点评】本题主要考查一次函数和二次函数的实际应用能力，根据题意找到相等关系是根本，列出函
数关系式并会求其最值是关键．
26．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿
DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止
运动．设BQ=x，QR=y．
（1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）若△PQR是以QR为底边的等腰三角形，求的x值．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）先根据勾股定理求出BC的长，再由相似三角形的判定定理得出△BHD∽△BAC，由相似
三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）根据QR∥AB得出∠QRC=∠A=90°，故可得出△RQC∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可
得出结论；（3）过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=10．
∵点D为AB中点，
∴BD= AB=3．
∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B．
∴△BHD∽△BAC，
∴ = ，
∴DH= = = ．
（2）∵QR∥AB，
∴∠QRC=∠A=90°．
∵∠C=∠C，
∴△RQC∽△ABC，
∴ = ，
∴ = ，即y关于x的函数关系式为：y=﹣ x+6；
（3）当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．
∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，
∴∠1=∠C，
∴cos∠1=cosC= = ，
∴ = ，
∴ = ，
∴x= ．【点评】本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质
及锐角三角函数的定义等知识，在解答（3）时，作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求解是解答此
题的关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左
侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为
菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最
大面积．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，
据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平
行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线
和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即
可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数
的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
【解答】解：（1）将B、C两点的坐标代入得 ，
解得： ；
所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；
设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；
连接PP′，则PE⊥CO于E，
∵C（0，﹣3），
∴CO=3，
又∵OE=EC，
∴OE=EC=
∴y= ；
∴x2﹣2x﹣3=
解得x = ，x = （不合题意，舍去），
1 2
∴P点的坐标为（ ， ）
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析
式为：y=kx+d，
则 ，
解得：
∴直线BC的解析式为y=x﹣3，
则Q点的坐标为（x，x﹣3）；
当0=x2﹣2x﹣3，
解得：x =﹣1，x =3，
1 2
∴AO=1，AB=4，
S =S +S +S
四边形ABPC △ABC △BPQ △CPQ
= AB•OC+ QP•BF+ QP•OF
=
=当 时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为 ，四边形ABPC的面积的最大值为 ．
【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求
图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．
