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2015-2016年九年级（下）入学考试数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）每个小题都给出了代号为A、B、C、D
的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卡上对应位置中．
1．已知△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，则sinA=（ ）
A．B． C． D．
2．用配方法解方程x2+4x﹣5=0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2=1 B．（x+2）2=5 C．（x+2）2=9 D．（x+4）2=9
3．下列式子，正确的是（ ）
A．3+ =3 B．（ +1）（ ﹣1）=1
C．2﹣1=﹣2 D．x2+2xy﹣y2=（x﹣y）2
4．在▱ABCD中，若∠A：∠B=1：2，则∠A的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
5．已知一个等腰三角形的两条边长分别为3和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．11 B．14 C．19 D．14或19
6．二次函数y=﹣2（x﹣4）2﹣5的开口方向、对称轴分别是（ ）
A．开口向上、直线x=﹣4 B．开口向上、直线x=4
C．开口向下、直线x=﹣4 D．开口向下、直线x=4
7．如图，在⊙O中，∠AOB=50°，则∠ACB=（ ）
A．30° B．25° C．50° D．40°
8．如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=30°，DE垂直平分BC，则∠ACD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．75°
9．某校九年级（1）班有7个合作学习小组，各学习小组的人数分别为：5，6，6，x，7，8，9，已知
这组数据的平均数是7，则这组数据的中位数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
第1页（共29页）10．下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，
图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依次规
律，图⑩中黑色正方形的个数是
（ ）
A．32 B．29 C．28 D．26
11．如图，在平面直角坐标系中，将矩形OABC沿对角线OB对折，使点A（ ，0）落在点A
1
处，已知点B的坐标是（ ，1），则点A 的坐标是（ ）
1
A．（ ， ）B．（ ， ）C．（ ，2）D．（ ， ）
12．如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例
1
函数y= 在第一象限内的图象交于点B，连接B0．若S =1，tan∠BOC= ，则k 的值是（
△OBC 2
）
A．﹣3 B．1C．2D．3
二.填空（本大题6个小题，每小题4分共24分）
13．方程（x﹣2）2=4的根是 ．
14．计算：2cos60°﹣tan45°= ．
15．已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为
cm2．
16．在某时刻的阳光照耀下，身高160cm的阿美的影长为80cm，她身旁的旗杆影长5m，则旗
杆高为 m．
第2页（共29页）17．从﹣1，0，1，2，3这五个数中，随机抽取一个数记为m，则使关于x的不等式组
有解，并且使函数y=（m﹣1）x2+2mx+m+2与x轴有交点的概率为 ．
18．在▱ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2 ，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点
B′落在▱ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为
．
三.解答题（本大题2小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或
推理步骤.
19．解二元一次方程组 ．
20．为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都
要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问
九年级一班胜、负场数分别是多少？
四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分，解答题时每小题必须给出必要的演算
过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线）.）
21．先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x=tan60°+2．
22．2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、
学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取的某中学七年级
全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并
绘制成如下不完整的统计图．
根据上述信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数是 ；扇形统计图中的圆心角α等于 ；补
全统计直方图；
（2）被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两
名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概
率．
第3页（共29页）23．“村村通公路”工程是国家为支持新农村建设的一项重大举措，为了落实这一举措，重
庆潼南县政府计划在南北方向的A、B两村之间建一条公路AB．已知公路AB的一侧有C村，
在公路AB上的M处测得C村在M的南偏东37°方向上，从M向南走270米到达N处，测得
C村在N的东南方向上，且C村周围800米范围内为油菜花田，那么计划修建的公路AB是
否会穿过油菜花田，请说明理由（参考数据：sin37°≈0.8，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
24．长宽比为 （n为正整数）的矩形称为 矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个
矩形，如图①所示．
操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，
折痕为BH．
操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．
则四边形BCEF为 矩形．
证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD= ．
由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．
∴∠A=∠BFE．∴EF∥AD．
∴ ，即 ，∴ ．∴ ．
∴四边形BCEF为 矩形．
阅读以上内容，回答下列问题：
（1）在图①中，所有与CH相等的线段是 ，tan∠HBC的值是 ；
（2）已知四边形BCEF为 矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形
BCMN为 矩形；
（3）将图②中的 矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“ 矩形”，则n的
值是 ．
第4页（共29页）五、解答题（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题都必须写出必要的演算
过程或推理步骤，请将解答过程书写在答卷中对应的位置上．
25．已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，点E是射线CD上的一个
动点（与C、D不重合），将△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE′，连接EE′．
（1）如图1，∠AEE′= °；
（2）如图2，如果将直线AE绕点A顺时针旋转30°后交直线BC于点F，过点E作EM∥AD交
直线AF于点M，写出线段DE、BF、ME之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，如果CE=2，AE= ，求ME的长．
26．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半
轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=
x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG
周长的最小值；
（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说
明理由．
第5页（共29页）第6页（共29页）2015-2016 年九年级（下）入学考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）每个小题都给出了代号为A、B、C、D
的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卡上对应位置中．
1．已知△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，则sinA=（ ）
A．B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理．
【分析】先根据直角三角形的三边长判断出三角形的形状，再根据锐角三角函数的定义求解
即可．
【解答】解：∵△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，即42+32=52，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°．
sinA= = ．
故选A．
2．用配方法解方程x2+4x﹣5=0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2=1 B．（x+2）2=5 C．（x+2）2=9 D．（x+4）2=9
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】先将原方程进行配方，然后选项进行对照，即可得到正确选项．
【解答】解：x2+4x﹣5=0，
配方，得
（x+2）2=9．
故选C．
3．下列式子，正确的是（ ）
A．3+ =3 B．（ +1）（ ﹣1）=1
C．2﹣1=﹣2 D．x2+2xy﹣y2=（x﹣y）2
【考点】二次根式的乘除法；负整数指数幂．
【分析】根据二次根式的加减、负整数指数幂和完全平方公式判断．
【解答】解：A、不是同类二次根式，不能相加，故错误；
B、正确；
C、原式= ，故错误；
D、与完全平方公式不符，故错误．
故选B．
第7页（共29页）4．在▱ABCD中，若∠A：∠B=1：2，则∠A的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的基本性质可知，平行四边形的邻角互补，由已知可得，∠A、∠B是
邻角，故∠A可求解．
【解答】解：∵▱ABCD，
∴∠A+∠B=180°，
而∠A：∠B=1：2
∴∠A=60°，∠B=120°
∴∠A=60°．
故选A．
5．已知一个等腰三角形的两条边长分别为3和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．11 B．14 C．19 D．14或19
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、8，
∵3+3=6＜8，
∴此时不能组成三角形；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、8、8，
此时能组成三角形，
所以，周长=3+8+8=19，
综上所述，这个等腰三角形的周长是19．
故选C．
6．二次函数y=﹣2（x﹣4）2﹣5的开口方向、对称轴分别是（ ）
A．开口向上、直线x=﹣4 B．开口向上、直线x=4
C．开口向下、直线x=﹣4 D．开口向下、直线x=4
【考点】二次函数的性质．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式求抛物线的开口方向，对称轴．
【解答】解：由y=﹣2（x﹣4）2﹣5可知，二次项系数为﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=4，
故选D．
7．如图，在⊙O中，∠AOB=50°，则∠ACB=（ ）
A．30° B．25° C．50° D．40°
【考点】圆周角定理．
【分析】直接根据圆周角定理求解即可．
第8页（共29页）【解答】解：∠ACB= ∠AOB= ×50°=25°．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=30°，DE垂直平分BC，则∠ACD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．75°
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACB=75°，根据线段垂直平分线的性质得到
BD=CD，求得∠DCE=∠B=30°，即可得到结论．
【解答】解：∵AB=BC，∠B=30°，
∴∠A=∠ACB=75°，
∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD，
∴∠DCE=∠B=30°，
∴∠ACD=∠ACB=∠DCB=45°，
故选B．
9．某校九年级（1）班有7个合作学习小组，各学习小组的人数分别为：5，6，6，x，7，8，9，已知
这组数据的平均数是7，则这组数据的中位数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【考点】中位数；算术平均数．
【分析】根据题意首先求出x的值，再利用中位数的定义求出答案．
【解答】解：∵5，6，6，x，7，8，9，这组数据的平均数是7，
∴5+6+6+x+7+8+9=7×7，
解得：x=8，
故这组数据按从小到大排列：5，6，6，7，8，8，9，
则这组数据的中位数是：7．
故选：B．
10．下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，
图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依次规
律，图⑩中黑色正方形的个数是
（ ）
第9页（共29页）A．32 B．29 C．28 D．26
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】仔细观察图形，找到图形的个数与黑色正方形的个数的通项公式后代入n=11后即可
求解．
【解答】解：观察图形发现：
图①中有2个黑色正方形，
图②中有2+3×（2﹣1）=5个黑色正方形，
图③中有2+3（3﹣1）=8个黑色正方形，
图④中有2+3（4﹣1）=11个黑色正方形，
…，
图n中有2+3（n﹣1）=3n﹣1个黑色的正方形，
当n=10时，2+3×（10﹣1）=29，
故选B．
11．如图，在平面直角坐标系中，将矩形OABC沿对角线OB对折，使点A（ ，0）落在点A
1
处，已知点B的坐标是（ ，1），则点A 的坐标是（ ）
1
A．（ ， ）B．（ ， ）C．（ ，2）D．（ ， ）
【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．
【分析】由已知可得∠AOB=30°，翻折后找到相等的角及相等的边，在直角三角形中，利用勾
股定理可求得答案．
【解答】解：过A 作A D⊥OA，
1 1
∵A（ ，0），B的坐标是（ ，1），
∴OA= ，AB=1，
在Rt△OAB中，OB= =2，AB=1，
∴AB= OB，
第10页（共29页）∵△AOB是直角三角形，
∴∠AOB=30°，
OB为折痕，
∴∠A OB=∠AOB=30°，OA =OA= ，
1 1
Rt△OA D中，∠OA D=30°，
1 1
∴OD= × = ，
A D= × = ，
1
∴点A 的坐标（ ， ）．
1
故选B．
12．如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例
1
函数y= 在第一象限内的图象交于点B，连接B0．若S =1，tan∠BOC= ，则k 的值是（
△OBC 2
）
A．﹣3 B．1C．2D．3
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切
函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．
【解答】解：∵直线y=k x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
1
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC=2，
∵S =1，
△OBC
∴BD=1，
第11页（共29页）∵tan∠BOC= ，
∴ = ，
∴OD=3，
∴点B的坐标为（1，3），
∵反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点B，
∴k =1×3=3．
2
故选D．
二.填空（本大题6个小题，每小题4分共24分）
13．方程（x﹣2）2=4的根是 4 ， 0 ．
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】根据方程的特点，用直接开平方法解一元二次方程即可．
【解答】解：（x﹣2）2=4，
x﹣2=±2，
解得：x =4，x =0．
1 2
故答案为：4，0．
14．计算：2cos60°﹣tan45°= 0 ．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】将特殊角的三角函数值直接代入即可求解．
【解答】解：2cos60°﹣tan45°=2× ﹣1=0．
15．已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为 2 4 cm2．
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．
【解答】解：∵一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，
∴这个菱形的面积= ×6×8=24（cm2）．
故答案为：24．
第12页（共29页）16．在某时刻的阳光照耀下，身高160cm的阿美的影长为80cm，她身旁的旗杆影长5m，则旗
杆高为 1 0 m．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太
阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，设旗杆的高度为x m，则
160：80=x：5，
解得x=10．
故答案是：10．
17．从﹣1，0，1，2，3这五个数中，随机抽取一个数记为m，则使关于x的不等式组
有解，并且使函数y=（m﹣1）x2+2mx+m+2与x轴有交点的概率为 ．
【考点】概率公式；解一元一次不等式组；抛物线与x轴的交点．
【分析】首先解不等式以及利用二次函数与x轴交点个数和△的关系分别得出m的取值范围，
进而利用概率公式求出即可．
【解答】解：∵x+1≤m，解得；x≤m﹣1，
2﹣x≤2m，解得：x≥2﹣2m，
∴使关于x的不等式组 有解，则m﹣1≥2﹣2m，
解得：m≥1，
∵使函数y=（m﹣1）x2+2mx+m+2与x轴有交点，
∴b2﹣4ac4m2﹣4（m﹣1）（m+2）=﹣4m+8≥0，
解得：m≤2，
∴m的取值范围是：1≤m≤2，
∴从﹣1，0，1，2，3这五个数中，随机抽取一个数记为m，符合题意的有1，2，
故使关于x的不等式组 有解，并且使函数y=（m﹣1）x2+2mx+m+2与x轴有交点
的概率为 ．
故答案为： ．
18．在▱ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2 ，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点
B′落在▱ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为 4 或 6
．
【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．
第13页（共29页）【分析】在▱ABCD中，AB＜BC，要使△AB′D是直角三角形，有两种情况：∠B′AD=90°或
∠AB′D=90°，画出图形，分类讨论即可．
【解答】解：当∠B′AD=90°AB＜BC时，如图1，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AD∥BC，∠B′AD=90°，
∴∠B′GC=90°，
∵∠B=30°，AB=2 ，
∴∠AB′C=30°，
∴GC= B′C= BC，
∴G是BC的中点，
在Rt△ABG中，BG= AB= ×2 =3，
∴BC=6；
当∠AB′D=90°时，如图2，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵由折叠的性质：∠BAC=90°，
∴AC∥B′D，
∴四边形ACDB′是等腰梯形，
∵∠AB′D=90°，
∴四边形ACDB′是矩形，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=30°，AB=2 ，
∴BC=AB÷ =2 × =4，
∴当BC的长为4或6时，△AB′D是直角三角形．
故答案为：4或6．
第14页（共29页）三.解答题（本大题2小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或
推理步骤.
19．解二元一次方程组 ．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：②﹣①得：5y=5，即y=1，
把y=1代入①得：x=3，
则方程组的解为 ．
20．为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都
要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问
九年级一班胜、负场数分别是多少？
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设胜了x场，那么负了（8﹣x）场，根据得分为13分可列方程求解．
【解答】解：设胜了x场，那么负了（8﹣x）场，根据题意得：
2x+1•（8﹣x）=13，
x=5，
8﹣5=3．
答：九年级一班胜、负场数分别是5和3．
四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分，解答题时每小题必须给出必要的演算
过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线）.）
21．先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x=tan60°+2．
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
第15页（共29页）【解答】解：原式=[ ﹣ • = • =
]
• = ，
当x=tan60°+2= +2时，原式= ．
22．2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、
学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取的某中学七年级
全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并
绘制成如下不完整的统计图．
根据上述信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数是 3 0 ；扇形统计图中的圆心角α等于 144 ° ；补全统计直方
图；
（2）被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两
名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概
率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；利用频率估计概率．
【分析】（1）根据题意列式求值，根据相应数据画图即可；
（2）根据题意列表，然后根据表中数据求出概率即可．
【解答】解：（1）6÷20%=30，（30﹣3﹣7﹣6﹣2）÷30×360=12÷30×26=144°，
答：本次抽取的学生人数是30人；扇形统计图中的圆心角α等于144°；
故答案为：30，144°；
补全统计图如图所示：
（2）根据题意列表如下：
设竖列为小红抽取的跑道，横排为小花抽取的跑道，
小红 小花 1 2 3 4 5
1 （2，1） （3，1） （4，1） （5，1）
2 （1，2） （3，2） （4，2） （5，2）
第16页（共29页）3 （1，3） （2，3） （4，3） （5，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （5，4）
5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5）
记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A，
∴ ．
23．“村村通公路”工程是国家为支持新农村建设的一项重大举措，为了落实这一举措，重
庆潼南县政府计划在南北方向的A、B两村之间建一条公路AB．已知公路AB的一侧有C村，
在公路AB上的M处测得C村在M的南偏东37°方向上，从M向南走270米到达N处，测得
C村在N的东南方向上，且C村周围800米范围内为油菜花田，那么计划修建的公路AB是
否会穿过油菜花田，请说明理由（参考数据：sin37°≈0.8，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】本题要求的实际上是C到AB的距离，过C点作CD⊥AB，CD就是所求的线段，由于
CD是条公共直角边，可用CD表示出MD，ND，然后根据MN的长，来求出CD的长．
【解答】解：如图，过C点作CD⊥AB于D，
由题可知：∠CND=45°，∠CMD=37°．
设CD=x千米，tan∠CMD= ，
则MD= ．
第17页（共29页）tan∠CND= ，
则ND= =x，
∵MN=270米，
∴MD﹣ND=MN，即tan37°x﹣x=270，
∴ ﹣x=270，
解得 x=810．
∵810米＞800米，
∴计划修建的公路AB是不会穿过油菜花田．
答：计划修建的公路AB是不会穿过油菜花田．
24．长宽比为 （n为正整数）的矩形称为 矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个
矩形，如图①所示．
操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，
折痕为BH．
操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．
则四边形BCEF为 矩形．
证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD= ．
由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．
∴∠A=∠BFE．∴EF∥AD．
∴ ，即 ，∴ ．∴ ．
∴四边形BCEF为 矩形．
阅读以上内容，回答下列问题：
第18页（共29页）（1）在图①中，所有与CH相等的线段是 GH 、 DG ，tan∠HBC的值是 ﹣ 1 ；
（2）已知四边形BCEF为 矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形
BCMN为 矩形；
（3）将图②中的 矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“ 矩形”，则n的
值是 6 ．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）设CH=GH=DG=x，根据DC=DH+CH=1，列出方程即可求出HC，然后运用三角
函数的定义求出tan∠HBC的值．
（2）只需借鉴阅读中证明“四边形BCEF为 矩形”的方法就可解决问题．
（3）利用（2）中结论，寻找规律可得到n的值．
【解答】解：（1）如图①中，由折叠可得：
DG=HG，GH=CH，
∴DG=GH=CH．
设HC=x，则DG=GH=x．
∵∠DGH=90°，
∴DH= x，
∴DC=DH+CH= x+x=1，
解得x= ﹣1．
∴tan∠HBC= = = ﹣1．
故答案为：GH、DG， ；
（2）如图②中，∵BC=1，EC=BF= ，
第19页（共29页）∴BE= =
由折叠可得BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，∠EMN=∠CMN=90°．
∵四边形BCEF是矩形，
∴∠F=∠FEC=∠C=∠FBC=90°，
∴四边形BCMN是矩形，∠BNM=∠F=90°，
∴MN∥EF，
∴ = ，
即BP•BF=BE•BN，
∴1× = BN，
∴BN= ，
∴BC：BN=1： = ：1，
∴四边形BCMN是 的矩形；
（3）同理可得：
将 矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“ 矩形”，
将 矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“ 矩形”，
将 矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“ 矩形”，
所以将图②中的 矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“ 矩形”．
故答案为6．
第20页（共29页）五、解答题（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题都必须写出必要的演算
过程或推理步骤，请将解答过程书写在答卷中对应的位置上．
25．已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，点E是射线CD上的一个
动点（与C、D不重合），将△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE′，连接EE′．
（1）如图1，∠AEE′= 3 0 °；
（2）如图2，如果将直线AE绕点A顺时针旋转30°后交直线BC于点F，过点E作EM∥AD交
直线AF于点M，写出线段DE、BF、ME之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，如果CE=2，AE= ，求ME的长．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）根据旋转性质以及三角形内角和定理即可解决．
（2）根据EM∥FE′可以得 = = ，再根据AN=NE，BE′=DE即可得到线段DE、BF、
ME之间的关系．
（3）通过辅助线求出线段E′F=7，E′Q=9，再由（2）的结论得到ME的长．
【解答】解：（1）∵△ABE′是由△ADE绕点A顺时针旋转120°得到，
∴∠EAE′=120°，AE=AE′，
∴∠E′=∠AEE′= =30°，
故答案为30°．
（2）①当点E在CD上时，DE+BF=2ME，理由如下：
如图1，当点E在线段CD上，AF交EE′于N，
∵∠EAF=30°，∠EAE′=120，
∴∠E′AN=90°，
∴E′N=2AN，
∵∠NAE=∠NEA=30°，
第21页（共29页）∴NA=NE，E′N=2EN，
∵EM∥FE′，
∴ = = ，
∵BE′=DE，
∴E′F=2ME，
∴DE+BF=2ME．
②当点E在CD延长线上，0°＜∠EAD∠30°时，BF﹣DE=2ME，理由如下：
如图2，∵∠EAF=30°，∠EAE′=120，
∴∠E′AN=90°，
∴E′N=2AN，
∵∠NAE=∠NEA=30°，
∴NA=NE，E′N=2EN，
∵EM∥FE′，
∴ = = ，
∵BE′=DE，
∴E′F=2ME，
∴BF﹣DE=2ME．
③当30°＜∠EAD∠90°时，DE+BF=2ME，理由如下：
如图3，∵∠EAM=30°，∠EAE′=120，
∴∠E′AN=90°，
∴E′N=2AN，
∵∠NAE=∠NEA=30°，
∴NA=NE，E′N=2EN，
∵EM∥FE′，
∴ = = ，
∵BE′=DE，
∴E′F=2ME，
∴BF+DE=2ME．
④当90°＜∠EAD＜120°时，DE﹣BF=2ME，理由如下：
如图4，∵∠EAM=30°，∠EAE′=120，
∴∠E′AN=90°，
∴E′N=2AN，
∵∠NAE=∠NEA=30°，
∴NA=NE，E′N=2EN，
∵EM∥FE′，
∴ = = ，
第22页（共29页）∵BE′=DE，
∴E′F=2ME，
∴DE﹣BF=2ME．
（3）如图5，作AG⊥BC于点G，DH⊥BC于H，AP⊥EE′于P，EQ⊥BC于Q，
∵AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，易知四边形AGHD是矩形，
在△AGB和△DHC中，
，
∴△AGB≌△DHC，
∴BG=HC，AD=GH，
∵∠ABE′=∠ADC=120°，
∴点E′、B、C共线，设AD=AB=CD=x，则GH=x，BG=CH= x，
在RT△EQC中，CE=2，∠ECQ=60°，
∴CQ= EC=1，EQ= ，
∴E′Q=BC+BE′﹣CQ=3x﹣3，
在RT△APE中，AE=2 ，∠AEP=30°，
∴AP= ，PE= ，
∵AE=AE′，AP⊥EE′，
∴PE=PE′= ，
∴EE′=2 ，
在RT△E′EQ中，E′Q= =9，
∴3x﹣3=9，
∴x=4，
∴DE=BE′=2，BC=8，BG=2，
∴E′G=4，
∵∠AE′G=′AE′F，∠AGE′=∠FAE′，
∴△AGE′∽△FAE′，
∴ ，
∴ ，
第23页（共29页）∴E′F=7，
∴BF=E′F﹣E′B=7﹣2=5，
∵DE+BF=2ME
∴ME= ．
第24页（共29页）26．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半
轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=
x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG
周长的最小值；
（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说
明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）延长EC至E′，使E′C=EC，延长DA至D′，使D′A=DA，连接D′E′，交x轴于F点，交y轴
于G点，则有：GD=GD′，EF=E′F，从而得：（DG+GF+EF+ED）的最小值=D′E′+DE，求出D′E′
与DE的长即可得到答案．
第25页（共29页）（3）根据三角形的面积，首先求得点P到OD的距离，然后过点O作OF⊥OD，使OF等于点P
到OD的距离，过点F作FG∥OD，求得FG的解析式，然后再求直线FG与抛物线交点的坐标
即可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）将A（0，4）、C（5，0）代入二次函数y= x2+bx+c，得
，
解得 ．
故二次函数的表达式y= x2﹣ x+4；
（2）如图：
延长EC至E′，使E′C=EC，延长DA至D′，使D′A=DA，连接D′E′，交x轴于F点，交y轴于G
点，
GD=GD′EF=E′F，
（DG+GF+EF+ED） =D′E′+DE，
最小
由E点坐标为（5，2），BC的中点；D（4，4），直角的角平分线上的点；得D（′ ﹣4，4），E（5，﹣
2）．
由勾股定理，得
DE= = ，D′E′= = ，
（DG+GF+EF+ED） =D′E′+DE= + ；
最小
（3）如下图：
OD= ．
∵S△ODP的面积=12，
∴点P到OD的距离= =3 ．
过点O作OF⊥OD，取OF=3 ，过点F作直线FG∥OD，交抛物线与点P ，P ，
1 2
第26页（共29页）在Rt△OGF中，OG= = =6，
∴直线GF的解析式为y=x﹣6．
将y=x﹣6代入y= 得：x﹣6= ，
解得： ， ，
将x 、x 的值代入y=x﹣6得：y = ，y =
1 2 1 2
∴点P （ ， ），P （ ， ）
1 2
如下图所示：
过点O作OF⊥OD，取OF=3 ，过点F作直线FG交抛物线与P ，P ，
3 4
第27页（共29页）在Rt△PFO中，OG= =6
∴直线FG的解析式为y=x+6，
将y=x+6代入y= 得：x+6=
解得： ，
y =x +6= ，y =x +6=
1 1 2 2
∴p （ ， ），p （ ， ）
3 4
综上所述：点P的坐标为：（ ， ）或（ ， ）或（
， ）或（ ， ）．
第28页（共29页）2016年4月15日
第29页（共29页）
