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2016 届九年级下学期月考数学试卷（1）（3 月份）
一、选择题（每小题 0 分，共 36 分）每小题的四个选项中，仅有一个正确答案，请将正确答案的
代 号填涂在机读卡上．
1．﹣|﹣3|的倒数是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
2．一种形状近似圆形的细胞，其直径约为 0.00000156 米，用科学记数法表示此数为（ ）
A．1.56×10 ﹣6 米 B．1.56×10 ﹣5 米 C．0.156×10 ﹣7 米 D．1.56×10 ﹣8 米
3．要使 有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≥2 C．x≥2 且 x≠3 D．x＞2 且 x≠3
4．已知（x﹣3）2 +|y﹣4|=0，则 的算术平方根是（ ）
A． B． C． D． 5．如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则
搭成这个几何体的小正方体的个数是
（ ）
A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个
6．不等式组 的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜3 C．2＜x＜3 D．x＞3
7．如图，⊙O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，∠EOD=40°，则∠DCF 等于（ ）A．80° B．50° C．40° D．20°
8．若 α 是直角三角形的一个锐角，sinα= cosα，则 =（ ）
A． B． C． D．
9．某件商品按原售价降低 a 元后，又降 20%，现售价为 b 元，那么该商品的原价为（ ）
A． 元 B． 元 C．（5b+a）元 D．（5a+b）元
10．以下四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．线段 AB
B．有一个角是 45°的直角三角形 C．
有一个角是 30°的直角三角形 D．两个
内角分别是 30°和 120°的三角形
11．某班有 48 人，在一次数学测验中，全班平均分为 81 分，已知不及格人数为 6 人，他们的平
均 分为 46 分，则及格学生的平均分是（）
A．78 分B．86 分C．80 分D．82 分
12．如图，在正方形 ABCD 中，边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上．
下 列结论：①CE=CF；②∠AEF=75°；③BE+DF=EF；④ ；⑤
， 其中正确的（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）请将答案直接写在相应题的横线上.
13．分解因式：x 3﹣2x 2 +x= ．
14．若分式 的值为 0，则 x 的值为 ．
15．若点 A（4，y﹣x）关于原点的对称点为 B（x+2y，﹣1），则 x 2 +y 2 = ．16．已知抛物线 y=ax 2 +bx+c 的图象与 x 轴有两个交点，那么一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 的根的情
况 是 ．
17．某班联欢会上，设有一个摇奖节目，奖品为钢笔、图书和糖果，标于一个转盘的相应区域上（转
盘被均匀等分为四个区域，如图），转盘可以自由转动．参与者转动转盘，当转盘停止时，指针落在
哪一区域，就获得哪种奖品，则获得钢笔的概率为 ．
三、解答题（本大题共 8 个小题，共 69 分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤及推理过
程
18．（1）计算： |；
先化简，再求值： ，其中 x= ﹣2．
19．（1）解方程： ；
解不等式组 ，并将其解集表示在数轴上．
20．如图，河对岸有一高层建筑物 AB，为测其高，在 C 处由点 D 用测量仪测得顶端 A 的仰角为
30°， 向高层建筑物前进 50 米，到达 E 处，由点 F 测得顶点 A 的仰角为 45°，已知测量仪高
CD=EF=1.2 米，求高层建筑物 AB 的高．（结果精确到 0.1 米， ， ）
21．如图，设置 A、B 的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，A 上的数字分别是 1、6、8，B 上
的 数字分别是 4、5、7，现两人分别同时转动转盘，当转盘停止转动时，如果我们规定箭头所指
较大 数字一方获胜，那么你会选择哪个装置．请借助列表法或树状图法说明理由．22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元，为了扩大销售，增加利润，
尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均
每天可多售出 2 件；
（1）若商场平均每天要赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？
每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
23．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切于 C 点，AC 平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥CD；
若 AD=2， ，求⊙O 的半径 R 的长．
24．已知：二次函数 y=ax 2 +bx+c（a＞0）的图象与 x 轴交于 A（﹣1，0）和 B 点，AB=4，OB＞
OA， 与 y 轴交于点 C，顶点的横坐标为 1．
（1）求 B 点的坐标；
若点 O 到 BC 的距离为 ，求此二次函数的解析式；
（3）若 P 是直线 x=2 上的点，且△PAB 的外心 M 的纵坐标为﹣1，求 P 点的坐标，试判断点 P
是 否在中所求的二次函数图象上，并说明理由．2016 届九年级下学期月考数学试卷（1）（3 月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 0 分，共 36 分）每小题的四个选项中，仅有一个正确答案，请将正确答案的
代 号填涂在机读卡上．
1．﹣|﹣3|的倒数是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
【考点】倒数；绝对值．
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得绝对值表示的数，根据乘积为 1 的两个数互为倒数，
可得一个数的倒数．
【解答】解：﹣|﹣3|=﹣3，
﹣|﹣3|的倒数是﹣ ，
故选：B．
【点评】本题考查了倒数，先求出绝对值，再求出倒数．
2．一种形状近似圆形的细胞，其直径约为 0.00000156 米，用科学记数法表示此数为（ ）
A．1.56×10 ﹣6 米 B．1.56×10 ﹣5 米 C．0.156×10 ﹣7 米 D．1.56×10 ﹣8 米
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10 ﹣n，与较大数的科学
记 数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数
所决 定．
【解答】解：0.00000156=1.56×10 ﹣6，
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10 ﹣n，其中 1≤|a|＜10，n 为由原数
左 边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
3．要使 有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≥2 C．x≥2 且 x≠3 D．x＞2 且 x≠3
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2x﹣4≥0 且 x﹣
3≠0， 解得 x≥2 且 x≠3．
故选 C．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数．
4．已知（x﹣3）2 +|y﹣4|=0，则 的算术平方根是（ ）A． B． C． D．
【考点】算术平方根；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据非负数的性质列式求出 x、y 的值，然后代入求出 的值，再根据算术平方根的定义解
答．
【解答】解：根据题意得，x﹣3=0，y﹣4=0， 解
得 x=3，y=4，
，
∵ ，
∴ 的算术平方根的值为 ，
故选 B．
【点评】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于 0，则每
一个算式都等于 0 列式是解题的关键．
5．如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是
（ ）
A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】根据给出的几何体，通过动手操作，观察可得答案为 4，也可以根据画三视图的方法，发
挥空间想象能力，直接想象出每个位置正方体的数目，再加上来．
【解答】解：由三视图可得，需要的小正方体的数目：1+2+1=4．如图：
故选：A．
【点评】本题考查了几何体的三视图及空间想象能力．
6．不等式组 的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜3 C．2＜x＜3 D．x＞3
【考点】解一元一次不等式组；不等式的性质；解一元一次不等式．
【专题】计算题．
【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集得规律求出即可．【解答】解： ，
由①得：x＞2， 由②得：x＜
3，
∴不等式组的解集是：2＜x＜3．
故选 C．
【点评】本题主要考查对解一元一次不等式组，不等式的性质，解一元一次不等式等知识点的理解
和掌握，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．
7．如图，⊙O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，∠EOD=40°，则∠DCF 等于（ ）
A．80° B．50° C．40° D．20°
【考点】垂径定理；圆周角定理．
【专题】几何图形问题．
【分析】欲求∠DCF，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【解答】解：∵⊙O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，
∴ （垂径定理），
∴∠DCF= ∠EOD（等弧所对的圆周角是圆心角的一半），
∴∠DCF=20°． 故选：
D．
【点评】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．
8．若 α 是直角三角形的一个锐角，sinα= cosα，则 =（ ）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数的关系．
【分析】把 sinα= cosα 代入原式，转化为关于 cosα 的式子，约分即可．
【解答】解：把 sinα= cosα 代入原式， 则
原式= = ．
故选 C．
【点评】本题较简单，把已知关系代入原式化简即可．9．某件商品按原售价降低 a 元后，又降 20%，现售价为 b 元，那么该商品的原价为（ ）
A． 元 B． 元 C．（5b+a）元 D．（5a+b）元
【考点】列代数式．
【分析】等量关系为：（原售价﹣a）（1﹣20%）=b．
【解答】解：设原售价为 x，则（x﹣a）（1﹣20%）
=b． 解得 x= b+a．
故选：B．
【点评】列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关系列出式子．必要时
可借助一元一次方程模型求解．
10．以下四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．线段 AB
B．有一个角是 45°的直角三角形 C．
有一个角是 30°的直角三角形 D．两个
内角分别是 30°和 120°的三角形
【考点】轴对称图形．
【分析】考查轴对称图形的概念，据概念求解．
【解答】解：A、B 都是轴对称图形，不符合题意；
C、三角形三角各为 30°，60°，90°，不是对称图形，符合题意；
D、三角形第三个角为 30°，所以是等腰三角形，而等腰三角形是轴对称图形，不符合题意． 故
选 C．
【点评】轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
11．某班有 48 人，在一次数学测验中，全班平均分为 81 分，已知不及格人数为 6 人，他们的平
均 分为 46 分，则及格学生的平均分是（）
A．78 分B．86 分C．80 分D．82 分
【考点】算术平均数．
[来源:学科网]
【分析】利用平均数的定义先求出全班学生的总分和不及格人数的总分，进而求出及格人数的总分，
再除以及格的人数即可．
【解答】解：全班学生的总分为：81×48=3888（分），
不及格人数的总分为：46×6=276（分）， 及格人数
的总分为：3888﹣276=3612（分），
则及格学生的平均分为 =86（分）；
故选 B．
【点评】此题考查了平均数，正确理解平均数的概念是解题的关键．平均数是指在一组数据中所有
数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一
项指标．解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数．12．如图，在正方形 ABCD 中，边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上．
下 列结论：①CE=CF；②∠AEF=75°；③BE+DF=EF；④ ；⑤
， 其中正确的（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数
的定义．
【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①正确；等边三角形的每个内角=60°判断②不正确；根
据线段垂直平分线的知识可以判断③不正确；利用勾股定理求正方形边长得出面积等知识可以判断
④正确；利用锐角三角函数得出⑤正确．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF 是等边三角形，
∴AE=AF，∠AEF=60°，
∴②不正确；
∵在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中， ，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，
∴CE=CF，
∴①正确；
如图，连接 AC，交 EF 于 G 点，
∴AC⊥EF，且 AC 平分 EF，
∵∠CAD≠∠CAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③不正确；
∵EF=2，
∴CE=CF= ，
设正方形的边长为
a， 在 Rt△ADF 中，
a 2 +（a﹣ ）2 =4，
解得 a= （负值舍去），∴a=
则 a 2 =2+ ，
∴S =2+ ，
正方形 ABCD
④说法正确；
∵a﹣ = ，
∴tan∠AEB= =2+ ，
∴⑤正确；
∴正确的有①④⑤．
故选 C．
【点评】本题主要考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以
及锐角三角函数的知识；解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此
题有一定难度．
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）请将答案直接写在相应题的横线上.
13．分解因式：x 3﹣2x 2 +x= x（x﹣1）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式 x，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x 3﹣2x 2 +x=x（x 2﹣2x+1）=x（x﹣1）2． 故答案为：x（x
﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
14．若分式 的值为 0，则 x 的值为 1 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】分式为零，分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：依题意得 x 2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）=0，且|x|﹣3≠0，
解得 x=1．
故答案是：1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．可以从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
第 10 页（共 1815．若点 A（4，y﹣x）关于原点的对称点为 B（x+2y，﹣1），则 x 2 +y 2 = 5 ．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特征可得 ，解方程组可得 x、y 的值，然
后 可得答案．
【解答】解：∵点 A（4，y﹣x）关于原点的对称点为 B（x+2y，﹣1），
∴ ，
解得： ，
∴x 2 +y 2 =5，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐
标符号相反．
16．已知抛物线 y=ax 2 +bx+c 的图象与 x 轴有两个交点，那么一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 的根的情
况 是 有两个不相等的实数根 ．
【考点】抛物线与 x 轴的交点．
【专题】压轴题．
【分析】一元二次方程的解是二次函数当 y=0 时，自变量的值；如果图象与 x 轴有两个交点，方
程 就有两个不相等的实数根．
【解答】解：有两个不相等的实数根
【点评】主要考查了二次函数的图象与 x 轴交点个数与一元二次方程的解之间的联系，这些性质和
规律要求掌握．
17．某班联欢会上，设有一个摇奖节目，奖品为钢笔、图书和糖果，标于一个转盘的相应区域上（转
盘被均匀等分为四个区域，如图），转盘可以自由转动．参与者转动转盘，当转盘停止时，指针落在
哪一区域，就获得哪种奖品，则获得钢笔的概率为 ．
【考点】概率公式．
【分析】先求出钢笔在整个转盘中所占面积的比值，根据此比值即可解答．
【解答】解：∵转盘等分成 4 个扇形，其中钢笔占 2 份，
∴获得钢笔的概率是 = ．
第 11 页（共 18故答案为： ．
【点评】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免
了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学
学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
三、解答题（本大题共 8 个小题，共 69 分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤及推理过程
18．（1）计算： |；
先化简，再求值： ，其中 x= ﹣2．
【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）分别根据 0 指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质
分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； 先根据分式混合运算的法则把原式进
行化简，再把 x 的值代入进行计算即可．
【解答】解：（1）原式= ﹣ +1+ ﹣1
= ；
原式=﹣ +
=
=﹣x﹣2．
当 x= ﹣2 时，原式=﹣ +2﹣2=﹣ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．（1）解方程： ；
解不等式组 ，并将其解集表示在数轴上．
[来源:Zxxk.Com]
【考点】解一元一次不等式组；解分式方程；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】（1）首先同时乘以 x 2﹣4 去分母，然后再去括号、移项、合并同类项，最后得到 x 的值，
然后检验即可；
首先计算出两个不等式的解集，再根据大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去分母得：﹣2（x+2）+4x+x﹣2=x 2﹣4， 去括号得：
﹣2x﹣4+4x+x﹣2=x 2﹣4， 移项、合并同类项得：x 2﹣3x+2=0，
第 12 页（共 18解得：x =2，x =1，
1 2
检验：把 x 1 =2，x 2 =1 代入最简公分母 x 2﹣4 得：当 x=2 时，x 2﹣4=0， 因此方程
的解为 x=1；
，
由①得：x≥2， 由②得：x＜﹣
1， 不等式组的解集为：无解．
在数轴上表示为：
．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，以及分式方程的解法，关键是掌握解集的规律：
同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．注意分式方程要检验．
20．如图，河对岸有一高层建筑物 AB，为测其高，在 C 处由点 D 用测量仪测得顶端 A 的仰角为
30°， 向高层建筑物前进 50 米，到达 E 处，由点 F 测得顶点 A 的仰角为 45°，已知测量仪高
CD=EF=1.2 米，求高层建筑物 AB 的高．（结果精确到 0.1 米， ， ）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形 Rt△ADG、
Rt△AFG， 应利用其公共边 AG，DF=DG﹣FG 构造方程关系式，进而可解即可求出答案．
【解答】解：延长 DF 与 AB 交于 G，设 AG=x，
在 Rt△ADG 中，有 AG=DG×tan30°= DG．
∴DG= x．
在 Rt△AFG 中，有 FG=AG÷tan45°=x，
∵DF=DG﹣FG=50 米，
∴x=25（ +1）≈68.3 米．
∴AB=AG+GB=69.5 米．
答：AB 的高约为 69.5 米．
【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
[来源:学。
科。网Z。X。X。K]
21．如图，设置 A、B 的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，A 上的数字分别是 1、6、8，B 上
的 数字分别是 4、5、7，现两人分别同时转动转盘，当转盘停止转动时，如果我们规定箭头所指
较大 数字一方获胜，那么你会选择哪个装置．请借助列表法或树状图法说明理由．
第 13 页（共 18【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得选择 A，获胜的有 5 种情况，选择 B 获胜
的 有 4 种情况，则可求得答案．
【解答】解：选择
A． 画树状图得：
∵选择 A，获胜的有 5 种情况，选择 B 获胜的有 4 种情况，
∴P（选择 A）= ，P（选择 B）= ，
∴选择 A．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况
数之比．
[来源:学#科#网Z#X#X#K]
22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元，为了扩大销售，增加利润，
尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均
每天可多售出 2 件；
（1）若商场平均每天要赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？
每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价 x 元，则每件所得利润为（40﹣x）元，但每天多
售出 2x 件即售出件数为件，因此每天赢利为（40﹣x）元，进而可根据题意列出方程求解．
【解答】解：（1）设每件衬衫应降价 x 元，
根据题意得（40﹣x）=1200，
整理得 2x 2﹣60x+400=0
解得 x 1 =20，x 2 =10． 因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销
售越快， 故每件衬衫应降 20 元．
[来源:Z|xx|k.Com]
答：每件衬衫应降价 20 元．
设商场平均每天赢利 y 元，则
y=（40﹣x）
=﹣2x 2 +60x+800
第 14 页（共 18=﹣2（x 2﹣30x﹣400）=﹣2[（x﹣15）2﹣625
=﹣2（x﹣15）2 +1250．
∴当 x=15 时，y 取最大值，最大值为 1250．
答：每件衬衫降价 15 元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为 1250 元．
【点评】（1）当降价 20 元和 10 元时，每天都赢利 1200 元，但降价 10 元不满足“尽量减少库存”，
所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件； 要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平
方式与一个常数和或差的形式．
23．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切于 C 点，AC 平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥CD；
若 AD=2， ，求⊙O 的半径 R 的长．
【考点】切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）连接 OC，由题意得 OC⊥CD．又因为 AC 平分∠DAB，则∠1=∠2= ∠DAB．即
可得 出 AD∥OC，则 AD⊥CD；
连接 BC，则∠ACB=90°，可证明△ADC∽△ACB．则 = ，从而求得 R．
【解答】（1）证明：连接 OC，∵直线 CD 与⊙O 相切于 C 点，AB 是⊙O 的直径，
∴OC⊥CD．
又∵AC 平分∠DAB，∴∠1=∠2= ∠DAB． 又
∠COB=2∠1=∠DAB，
∴AD∥OC，∴AD⊥CD．
解：连接 BC，则∠ACB=90°，
在△ADC 和△ACB 中∵∠1=∠2，∠3=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB．
∴ =
∴R= = ．
第 15 页（共 18【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，是中档题，难度不大．
24．已知：二次函数 y=ax 2 +bx+c（a＞0）的图象与 x 轴交于 A（﹣1，0）和 B 点，AB=4，OB＞
OA， 与 y 轴交于点 C，顶点的横坐标为 1．
（1）求 B 点的坐标；
若点 O 到 BC 的距离为 ，求此二次函数的解析式；
（3）若 P 是直线 x=2 上的点，且△PAB 的外心 M 的纵坐标为﹣1，求 P 点的坐标，试判断点 P
是 否在中所求的二次函数图象上，并说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得 B 点坐标； 根据自变量与函数值的对应
关系，可得 C 点坐标，根据勾股定理，可得 BC 的长，根据三角形的面 积，可得关于 a 的方程，
根据解方程，可得答案；
（3）根据三角形的外心在三角形每条边的垂直平分线上，可得 M 点坐标，根据三角形的外心到
三 角形的顶点的距离相等，可得关于 b 的方程，可得 P 点坐标，根据图象上的点满足函数解析式，
可 得答案．
【解答】解：（1）由顶点的横坐标为 1，
得 抛物线的对称轴是 x=1．
二次函数 y=ax 2 +bx+c（a＞0）的图象与 x 轴交于 A（﹣1，0）和 B 点，得
A 到对称轴的距离是 1﹣（﹣1）=2，B 到对称轴的距离是 2，
1+2=3， B 点的坐标是（3，0）．
设抛物线的解析式为 y=a（x+1）（x﹣3），点 O 到 BC 的距离为
h， 当 x=0 时，y=﹣3a，即 C（0，﹣3a）．
由勾股定理，得
BC= =3 ．
由三角形的面积，得
OA•OC= BC•h，即 ×3×（﹣3a）= × ×3 ，
化简，得 2a 2 =1+a 2，
解得 a=1，a=﹣1（不符合题意，
舍）， 抛物线的解析式为 y=（x+1）
（x﹣3）；
（3）P 是直线 x=2 上的点，设
P． 由△PAB 的外心 M，得
点 M 在 AB 的垂直平分线上，即 M 在对称轴 x=1 上，
得 点 M 的横坐标为 1．
又点 M 的纵坐标为﹣1，
点 M 的坐标为（1，﹣
1）．
由点 M 是△PAB 的外心，得
MP=MB，即 2 +（b+1）2 =（3﹣1）
2 +1 2， 化简，得 b 2 +2b﹣3=0．
解得 b =1，b =﹣
1 2
3， 点 P 的坐标为
或．
当点 P 的坐标为时，y==3，点 P 不在抛物线的图象上；
第 16 页（共 18当点 P 时，y==3，点 P 在抛物线的图象上．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等的两点关于对称轴对称是求 B 点的
关键；利 用待定系数法得出 C 点坐标，再利用三角形的面积的出关于 a 的方程是解题关
键；利用三角形外心 的性质得出关于 b 的方程是解题关键，又利用点的坐标满足函数解
析式时点在函数的图象上．
第 17 页（共 18
