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2016届九年级下学期月考数学试卷（4月份）
一、精心选一选（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请把正确选
项的字母代号填在下面的表格内）．
1．下列手机软件图标中，属于中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A． 1 B． ﹣1 C． 1或﹣1 D．
3．在半径为12cm的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A． cm B． 27cm C． cm D． cm
4．如图，在一本书上放置一个乒乓球，则此几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A． 打开电视机，正在播广告，是必然事件
B． 在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定
C． 某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，3次正面向上，因此正面向上的概率是30%
D． 从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球
6．若点A的坐标为（6，3）O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐
标是（ ）
A． （3，﹣6） B． （﹣3，6） C． （﹣3，﹣6） D． （3，6）
7．矩形ABCD中，AB=8， ，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半
径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A． 点B、C均在圆P外 B． 点B在圆P外、点C在圆P内
C． 点B在圆P内、点C在圆P外 D． 点B、C均在圆P内8．已知一次函数y =kx+b与反比例函数y = 在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y ＜y 时，x
1 2 1 2
的取值范围是（ ）
A． x＜﹣1或0＜x＜3 B． ﹣1＜x＜0或x＞3 C． ﹣1＜x＜0 D． x＞3
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．如果关于x的方程x2﹣2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根，那么m= ．
10．某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的
增长率相同，那么这个增长率是 ．
11．如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则
∠P的度数为 ．
12．二次函数y=﹣3（x﹣3）2+2是由y=﹣3（x+3）2 平移得到的．
13．如图，若BC∥DE， = ，S
△ABC
=4，则四边
形BCED的面积S四边形DBCE = ．
14．在△ABC和△A B C 中，下列四个命题：
1 1 1
（1）若AB=A
1
B
1
，AC=A
1
C
1
，∠A=∠A
1
，则△ABC≌△A
1
B
1
C
1
；
若AB=A
1
B
1
，AC=A
1
C
1
，∠B=∠B
1
，则△ABC≌△A
1
B
1
C
1
；（3）若∠A=∠A
1
，∠C=∠C
1
，则△ABC∽△A
1
B
1
C
1
；
（4）若AC：A
1
C
1
=CB：C
1
B
1
，∠C=∠C
1
，则△ABC∽△A
1
B
1
C
1
．
其中是真命题的为 （填序号）．
15．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是
．
16．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为
直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有 （填序号）
三、解答题
17．计算：（﹣1）2015﹣（π﹣3）0+tan45°﹣sin60°cos30°+ ．
18．已知：如图，是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其中B，C，D点的坐标分
别为（1，2），（1，1），（3，1）．
（1）求E点和A点的坐标；
试以点P（0，2）为位似中心，作出相似比为3的位似图形A B C D E ，并写出各对应点的坐标．
1 1 1 1 119．如图，一次函数y=k x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数 的图象在第一
1
象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
20．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．
（1）求证：△ABF∽△DFE；
若sin∠DFE= ，求tan∠EBC的值．
21．当今社会手机越来越普及，有很多人开始过份依赖手机，一天中使用手机时间过长而形成了“手
机瘾”．为了解我校初三年级学生的手机使用情况，学生会随机调查了部分学生的手机使用时间，将
调查结果分成五类：A、基本不用；B、平均一天使用1～2小时；C、平均一天使用2～4小时；D、平均
一天使用4～6小时；E、平
均一天使用超过6小时．并用得到的数据绘制成了如下两幅不完整的统计图（图1、2），请根据相关信息，解答下列问题：
（1）调查了多少名学生的手机使用时间？
将上面的条形统计图补充完整；
（3）若一天中手机使用时间超过6小时，则患有严重的“手机瘾”．我校初三年级共有1490人，试估
计我校初三年级中约有多少人患有严重的“手机瘾”；
（4）在被调查的基本不用手机的4位同学中有2男2女，现要从中随机再抽两名同学去参加座谈，请
你用列表法或树状图方法求出所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的概率．
22．小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点
O距离地面的高OO′=2米．当吊臂顶端由A点抬升至A′点（吊臂长度不变）时，地面B处的重物（大
小忽略不计）被吊至B′处，紧绷着的吊缆A′B′=AB．AB垂直地面O′B于点B，A′B′垂直地面O′B于点
C，吊臂长度OA′=OA=10米，且cosA= ，sinA′= ．
（1）求此重物在水平方向移动的距离BC；
求此重物在竖直方向移动的距离B′C．（结果保留根号）
23．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．24．某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销
售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每
件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
25．已知，四边形 ABCD是正方形，点P在直线
BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交
直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．
（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．
①求证：DG=2PC；
②求证：四边形PEFD是菱形；
如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的特殊
四边形，并证明你的猜想．
26．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
求经过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得
以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．2016 届九年级下学期月考数学试卷（4 月份）
参考答案与试题解析
[来源:Zxxk.Com]
一、精心选一选（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请把正确选
项的字母代号填在下面的表格内）．
1．下列手机软件图标中，属于中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 中心对称图形．
分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
解答： 解：A、不是中心对称，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称，故此选项错误；
C、是中心对称，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分
沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A． 1 B． ﹣1 C． 1或﹣1 D．
考点： 一元二次方程的解．
专题： 计算题．
分析： 由一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，将x=0代入方程得到关于a的方程，求出
方程的解得到a的值，将a的值代入方程进行检验，即可得到满足题意a的值．
解答： 解：∵一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，
∴将x=0代入方程得：a2﹣1=0，
解得：a=1或a=﹣1，
将a=1代入方程得二次项系数为0，不合题意，舍去，
则a的值为﹣1．
故选：B．
点评： 此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边
相等的未知数的值．
3．在半径为12cm的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A． cm B． 27cm C． cm D． cm
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 计算题．分析： 设圆为⊙O，弦为AB，半径OC被AB垂直平分于点D，连接OA，由垂径定理可得：AD=DB，
再解Rt△ODA即可求得垂直平分半径的弦长．
解答： 解：设圆为⊙O，弦为AB，半径OC被AB垂直平分于点D，连接OA，如下图所示，则：
由题意可得：OA=OC=12cm，CO⊥AB，OD=DC=6cm
∵CO⊥AB
∴由垂径定理可得：AD=DB
在Rt△ODA中，由勾股定理可得：
AD2=AO2﹣OD2
AD= =6 cm
∴AB=12 cm
∴垂直平分半径的弦长为12 cm
故选C．
点评： 本题考查了垂径定理，勾股定理的运用．
4．如图，在一本书上放置一个乒乓球，则此几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．
分析： 找到从上面看所得到的图形即可．
解答： 解：从上面看可得到一个矩形里面有一个圆，故选B．
点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A． 打开电视机，正在播广告，是必然事件
B． 在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定
C． 某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，3次正面向上，因此正
面向上的概率是30%
D． 从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球考点： 方差；随机事件；概率的意义．
分析： 根据必然事件的概念、方差的定义、随机事件的概率逐项分析即可．
解答： 解：A、打开电视机，正在播广告，是随机事件，不是必然事件，故该选项错误；
B、在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩不稳定，而不是稳定，
故该选项错误；
C、某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，3次正面向上，因此正面向上的概率是 ，不是30%，故该
选项错误；
D、从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球，是必然事件，故该选项正确，故该选项错
误；
故选D．
点评： 本题考查了必然事件的概念、方差的定义、求随机事件的概率，解题的关键是熟练掌握方差的
定义以及求随机事件的概率．
[来源:学+科+网]
6．若点A的坐标为（6，3）O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐
标是（ ）
A． （3，﹣6） B． （﹣3，6） C． （﹣3，﹣6） D． （3，6）
考点： 坐标与图形变化-旋转．
专题： 作图题．
分析： 正确作出A旋转以后的A′点，即可确定坐标．
解答： 解：由图知A点的坐标为（6，3），
根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，
点A′的坐标是（3，﹣6）．
故选：A．
点评： 本题考查了图形的旋转，抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通
过画图得A′．
7．矩形ABCD中，AB=8， ，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半
径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A． 点B、C均在圆P外 B． 点B在圆P外、点C在圆P内
C． 点B在圆P内、点C在圆P外 D． 点B、C均在圆P内考点： 点与圆的位置关系．
专题： 计算题；压轴题；数形结合．
分析： 根据BP=3AP和AB的长度求得AP的长，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD的长，根据
点B、C到P点的距离判断点P与圆的位置关系即可．
解答： 解：∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3A
P，
∴AP=2，
∴r=PD= =7，
PC= = =9，
∵PB=6＜7，PC=9＞7
∴点B在圆P内、点C在圆P外
故选：C．
点评： 本题考查了点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出
判断即可．
8．已知一次函数y =kx+b与反比例函数y = 在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y ＜y 时，x
1 2 1 2
的取值范围是（ ）
A． x＜﹣1或0＜x＜3 B． ﹣1＜x＜0或x＞3 C． ﹣1＜x＜0 D． x＞3
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 压轴题；数形结合．
分析： 根据图象知，两个函数的图象的交点是（﹣1，3），（3，﹣1）．由图象可以直接写出当y ＜y 时
1 2
所对应的x的取值范围．解答： 解：根据图象知，一次函数y =kx+b与反比例函数y = 的交点是（﹣1，3），（3，﹣1），
1 2
∴当y ＜y 时，﹣1＜x＜0或x＞3；
1 2
故选：B．
点评： 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解答此题时，采用了“数形结合”的数
学思想．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．如果关于x的方程x2﹣2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根，那么m= 1 ．
考点： 根的判别式．
专题： 计算题．
分析： 本题需先根据已知条件列出关于m的等式，即可求出m的值．
解答： 解：∵x的方程x2﹣2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根
∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1•m=0
4﹣4m=0
m=1
故答案为：1
点评： 本题主要考查了根的判别式，在解题时要注意对根的判别式进行灵活应用是本题的关键．
10．某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的
增长率相同，那么这个增长率是 20% ．
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 增长率问题．
分析： 本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得
出答案．
解答： 解：设这个增长率是x，根据题意得：
2000×（1+x）2=2880
解得：x =20%，x =﹣220%（舍去）
1 2
故答案为：20%．
点评： 本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是
本题的关键．
11．如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则
∠P的度数为 26 ° ．考点： 切线的性质；圆周角定理．
专题： 压轴题．
分析： 连接OA，则△PAO是直角三角形，根据圆周角定理即可求得∠POA的度数，进而根据直角三
角形的性质求解．
解答： 解：连接OA．
∴∠PAO=90°，
∵∠O=2∠B=64°，
∴∠P=90°﹣64°=26°．
故答案为：26°．
点评： 本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确利用定理，作出辅助线求得∠POA的度数
是解题的关键．
12．二次函数y=﹣3（x﹣3）2+2是由y=﹣3（x+3）2 向右平移 6 个单位，再向下平移 2 个单位， 平移
得到的．
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 首先得到两个函数的顶点坐标，看顶点是如何平移的即可．
解答： 解：∵新抛物线的顶点为（3，2），原抛物线的顶点为（﹣3，0），
∴二次函数y=﹣3（x+3）2的图象向右平移6个单位，再向下平移2个单位，便得到二次函数y=﹣3（x
﹣3）2+2的图象，
故答案为：向右平移6个单位，再向下平移2个单位．
点评： 本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键．
13．如图，若BC∥DE， = ，S
△ABC
=4，则四边形BCED的面积S四边形DBCE = ．
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 因为DE∥BC，所以可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
解答： 解：∵D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∵AB：AD=3：4，
∴S ：S =9：16，
△ABC △ADE
∴S四边形DBCE ：S
△ABC
=7：9，
∵△ABC的面积为4，
∴四边形DBCE的面积为 ．
故答案为： ．
点评： 本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解
题的关键．
14．在△ABC和△A B C 中，下列四个命题：
1 1 1
（1）若AB=A
1
B
1
，AC=A
1
C
1
，∠A=∠A
1
，则△ABC≌△A
1
B
1
C
1
；
若AB=A
1
B
1
，AC=A
1
C
1
，∠B=∠B
1
，则△ABC≌△A
1
B
1
C
1
；
（3）若∠A=∠A
1
，∠C=∠C
1
，则△ABC∽△A
1
B
1
C
1
；
（4）若AC：A
1
C
1
=CB：C
1
B
1
，∠C=∠C
1
，则△ABC∽△A
1
B
1
C
1
．
其中是真命题的为 ①③④ （填序号）．
考点： 相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；命题与定理．
分析： 根据全等三角形的判定方法以及相似三角形的判定方法逐项分析即可．
解答： 解：（1）若AB=A
1
B
1
，AC=A
1
C
1
，∠A=∠A
1
，则△ABC≌△A
1
B
1
C
1
是正确的，利用SAS判定即可；
若AB=A
1
B
1
，AC=A
1
C
1
，∠B=∠B
1
，则△ABC≌△A
1
B
1
C
1
是错误的，SSA不能判定两个三角形全等，角
必须是夹角；
（3）若∠A=∠A
1
，∠C=∠C
1
，则△ABC∽△A
1
B
1
C
1
是正确的，根据两对角相等的三角形相似判定即可；
（4）若AC：A
1
C
1
=CB：C
1
B
1
，∠C=∠C
1
，则△ABC∽△A
1
B
1
C
1
是正确的，根据两边及其夹角法：两组对
应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定即可，
综上可知①③④，
故答案为：①③④．
点评： 本题考查了全等三角形的判定以及相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握其各种判定方
法并且灵活运用其各种判定方法．
15．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是 ．
考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理．
专题： 网格型．分析： 过点O作OC⊥AB的延长线于点C，构建直角三角形ACO，利用勾股定理求出斜边OA的长，
即可解答．
解答： 解：如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C，
则AC=4，OC=2，
在Rt△ACO中，AO= ，
∴sin∠OAB= ．
故答案为： ．
点评： 本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线并利用网格构造直
角三角形是解题的关键．
16．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为
直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有 ①③ （填序号）
考点： 二次函数图象与系数的关系．
专题： 数形结合．
分析： 由抛物线的对称轴方程得到b =﹣4a＞
0，则可对①进行判断；由于x=﹣3时，y＜0，则可对②进行判断；利用抛物线与x轴的一个交点为（﹣
1，0）得a﹣b+c=0，把b=﹣4a代入可得c=﹣5a，则8a+7b+2c=﹣30a，于是可对③进行判断；根据而此
函数的性质可对④进行判断．
解答： 解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =2，
∴b=﹣4a＞0，即4a+b=0，所以①正确；
∵x=﹣3时，y＜0，
[来源:Z_xx_k.Com]
∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴x=﹣1时，a﹣b+c=0，
∴a+4a+c=0，
[来源:学#科#网Z#X#X#K]
∴c=﹣5a，
∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
而a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴当x＜2时，函数值随x增大而增大，所以④错误．
故答案为①③．
点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a决定抛物线的开
口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系
数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜
0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点
个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个
交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三、解答题
17．计算：（﹣1）2015﹣（π﹣3）0+tan45°﹣sin60°cos30°+ ．
考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三、四项利用特殊角的三
角函数值计算，最后一项利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
解答： 解：原式=﹣1﹣1+1﹣ × +2= ．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．已知：如图，是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其中B，C，D点的坐标分
别为（1，2），（1，1），（3，1）．
（1）求E点和A点的坐标；
试以点P（0，2 ）为位似中心，作出相似比为3的
位似图形A B C D E ，并写出各对应点的坐标．
1 1 1 1 1考点： 作图-位似变换．
分析： （1）首先过点A作AF⊥BE，由△ABE是等边三角形，可求得AF的长，继而可求得E点和A点
的坐标；
首先根据题意画出图形，由位似图形的性质即可求得各对应点的坐标．
解答： 解：（1）过点A作AF⊥BE，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=2，∠ABE=60°，
∴AF=AB•sin60°=2× = ，
∴点A的坐标为：，点E的坐标为：（3，2）；
如图：A （6，2+3 ），B （3，2），C （3，﹣1），D （9，﹣1），E （9，2）．
1 1 1 1 1
点评： 此题考查了位似图形的性质与矩形、等边三角形的性质．注意作位似图形时找准位似中心与
位似比．19．如图，一次函数y=k x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数 的图象在第一
1
象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 探究型．
分析： （1）根据一次函数y=k x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）可得到关于b、k 的方程组，进而可
1 1
得到一次函数的解析式，设M（m，n）作MD⊥x轴于点D，由△OBM的面积为2可求出n的值，将M
（m，4）代入y=2x﹣2求出m的值，由M（3，4）在双曲线 上即可求出k 的值，进而求出其反比例
2
函数的解析式；
过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，由MD⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由锐角三角函
数的定义可得出OP的值，进而可得出结论．
解答： 解：（1）∵直线y=k x+b过A（0，﹣2），B（1，0）两点
1
∴ ，
∴
∴一次函数的表达式为y=2x﹣2．
∴设M（m，n），作MD⊥x轴于点D
∵S =2，
△OBM
∴ ，
∴
∴n=4
∴将M（m，4）代入y=2x﹣2得4=2m﹣2，
∴m=3
∵M（3，4）在双曲线 上，
∴ ，
∴k =12
2∴反 比例函数的表达式为
过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，
∵MD⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO= =2
∴在Rt△PDM中， ，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11
∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）
点评： 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到的知识点为用待定系数法求一次函
数与反比例函数的解析式、锐角三角函数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．
20．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．
（1）求证：△ABF∽△DFE；
若sin∠DFE= ，求tan∠EBC的值．
考点： 相似三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： （1）根据矩形的性质可知∠A=∠D=∠C=90°，△BCE沿BE折叠为△BFE，得出
∠BFE=∠C=90°，再根据三角形的内角和为180°，可知∠AFB+∠ABF=90°，得出∠ABF=∠DFE，即可
证明△ABF∽△DFE，已知sin∠DFE= ，设DE=a，EF=3a，DF= =2 a，可得出CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，
AB=4a，∠EBC=∠EBF，由（1）中△ABF∽△DFE，可得tan∠EBC=tan∠EBF= = ．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠D=∠C=90 °，
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠AFB+∠DFE=180°﹣∠BFE=90°，
又∵∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠DFE，
∴△ABF∽△DFE，
解：在Rt△DEF中，sin∠DFE= = ，
∴设DE=a，EF=3a，DF= =2 a，
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，
又由（1）△ABF∽△DFE，
∴ = = = ，
∴tan∠EBF= = ，
tan∠EBC=tan∠EBF= ．
点评： 本题考查了矩形的性质以及相似三角形的证明方法，以及直角三角形中角的函数值，难度适
中．
21．当今社会手机越来越普及，有很多人开始过份依赖手机，一天中使用手机时间过长而形成了“手
机瘾”．为了解我校初三年级学生的手机使用情况，学生会随机调查了部分学生的手机使用时间，将
调查结果分成五类：A、基本不用；B、平均一天使用1～2小时；C、平均一天使用2～4小时；D、平均
一天使用4～6小时；E、平
均一天使用超过6小时．并用得到的数据绘制成了如下两幅不完整的统计图（图1、2），
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）调查了多少名学生的手机使用时间？
[来源:Z,xx,k.Com]
将上面的条形统计图补充完整；
（3）若一天中手机使用时间超过6小时，则患有严重的“手机瘾”．我校初三年级共有1490人，试估
计我校初三年级中约有多少人患有严重的“手机瘾”；
（4）在被调查的基本不用手机的4位同学中有2男2女，现要从中随机再抽两名同学去参加座谈，请
你用列表法或树状图方法求出所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的概率．考点： 列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
分析： （1）由题意得：调查的学生数为：4÷8%=50（名）；
首先求得B类人数，即可补全统计图；
（3）由题意可得：我校初三年级中约有多少人患有严重的“手机瘾”的有：1490×10%=149（名）；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两位同学恰好是一名男同学
和一位女同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：（1）根据题意得：调查的学生数为：4÷8%=50（名）；
答：调查了50名学生的手机使用时间；
B：50﹣4﹣20﹣9﹣5=12（名）；
如图：
（3）我校初三年级中约有多少人患有严重的“手机瘾”的有：1490×10%=149（名）；
答：我校初三年级中约有多少人患有严重的“手机瘾”的有149名；
（4）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的有8种情况，
∴所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的概率为： = ．
点评： 此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=
所求情况数与总情况数之比．
22．小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点
O距离地面的高OO′=2米．当吊臂顶端由A点抬升至A′点（吊臂长度不变）时，地面B处的重物（大
小忽略不计）被吊至B′处，紧绷着的吊缆A′B′=AB．AB垂直地面O′B于点B，A′B′垂直地面O′B于点
C，吊臂长度OA′=OA=10米，且cosA= ，sinA′= ．
（1）求此重物在水平方向移动的距离BC；
求此重物在竖直方向移动的距离B′C．（结果保留根号）
考点： 解直角三角形的应用．
分析： 此题首先把实 际问题转化为解直角三
角形问题来解决，（1）先过点O作OD⊥AB于点D，交A′C于点E，则得出EC=DB=OO′=2，ED=BC，
通过解直角三角形AOD和A′OE得出OD与OE，从而求出BC．
先解直角三角形A′OE，得出A′E，然后求出B′C．
解答： 解：（1）过点O作OD⊥AB于点D，交A′C于点E
根据题意可知EC=DB=OO′=2米，ED=BC
∴∠A′ED=∠ADO=90°．
在Rt△AOD中，∵cosA= ，OA=10米，
∴AD=6米，
∴OD= =8米．
在Rt△A′OE中，∵sinA′= ，
OA′=10米
∴OE=5米．
∴BC=ED=OD﹣OE=8﹣5=3米．
在Rt△A′OE中，
A′E= = 米．
∴B′C=A′C﹣A′B′
=A′E+CE﹣AB
=A′E+CE﹣（AD+BD）
= +2﹣（6+2）
= ﹣6（米）．
答：此重物在水平方向移动的距离BC是3米，此重物在竖直方向移动的距离B′C是（ ﹣6）米．
点评： 此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题来解决，
本题运用了直角三角形函数及勾股定理．
23．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
考点： 扇形面积的计算；等腰三角形的性质；切线的判定；特殊角的三角函数值．
专题： 几何图形问题．
分析： （1）连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；
阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．
解答： （1）证明：连接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠2=∠A=30°．∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
解：∵∠A=30°，
∴∠1=2∠A=60°．
∴S扇形BOC = ．
在Rt△OCD中，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴图中阴影部分的面积为： ．
点评： 此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．
24．某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销
售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每
件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
考点： 二次函数的应用；一元二次方程的应用．
专题： 销售问 题；压轴题．
分析： （1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x﹣20）元，月销售量为，然后根据月销售利润=
一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系
式．
把y=2520时代入y=﹣10x2+130x+2300中，求出x的值即可．
（3）把y=﹣10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，
分别计算出当x=6和x=7时y的值即可．
解答： 解：（1）根据题意得：
y=（30+x﹣20）=﹣10x2+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；
当y=2520时，得﹣10x2+130x+2300=2520，
解得x =2，x =11（不合题意，舍去 ）
1 2当x=2时，30+x=32（元）
答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．
（3）根据题意得：
y=﹣10x2+130x+2300
=﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，
∵a=﹣10＜0，
∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5，
∵0＜x≤10且x为正整数，
∴当x=6时，30+x=36，y=2720（元），
当x=7时，30+x=37，y=2720（元），
答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
点评： 本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的
解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．
25．已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方形顶点重合，
且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到
线段PE，连结EF．
（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．
①求证：DG=2PC；
②求证：四边形PEFD是菱形；
如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的特殊
四边形，并证明你的猜想．
考点： 四边形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；旋转的性质．
专题： 几何综合题．
分析： （1）①作PM⊥DG于M，根据等腰三角形的性质由PD=PG得MG=MD，根据矩形的判定易得
四边形PCDM为矩形，则PC=MD，于是有DG=2P
C；
②根据四边形ABCD为正方形得AD=AB，由四边形ABPM为矩形得AB=PM，则AD=PM，再利用等
角的余角相等得到∠GDH=∠MPG，于是可根据“ASA”证明△ADF≌△MPG，得到DF=PG，加上
PD=PG，得到DF=PD，然后利用旋转的性质得∠EPG=90°，PE=PG，所以PE=PD=DF，再利用DF⊥PG
得到DF∥PE，于是可判断四边形PEFD为平行四边形，加上DF=PD，则可判断四边形PEFD为菱形；
与（1）中②的证明方法一样可得到四边形PEFD为菱形．解答： （1）证明：①作PM⊥DG于M，如图1，
∵PD=PG，
∴MG=MD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴PCDM为矩形，
∴PC=MD，
∴DG=2PC；
②∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，
∵四边形ABPM为矩形，
∴AB=PM，
∴AD=PM，
∵DF⊥PG，
∴∠DHG=90°，
∴∠GDH+∠DGH=90°，
∵∠MGP+∠MPG=90°，
∴∠GDH=∠MPG，
在△ADF和△MPG中
，
∴△ADF≌△MPG（ASA），
∴DF=PG，
而PD=PG，
∴DF=PD，
∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，
∴∠EPG=90°，PE=PG，
∴PE=PD=DF，
而DF⊥PG，
∴DF∥PE，
即DF∥PE，且DF=PE，
∴四边形PEFD为平行四边形，
∵DF=PD，
∴四边形PEFD为菱形；
解：四边形PEFD是菱形．理由如下：
作PM⊥DG于M，如图2，与（1）一样同理可证得△ADF≌△MPG，
∴DF=PG，
而PD=PG，
∴DF=PD，
∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，
∴∠EPG=90°，PE=PG，
∴PE=PD=DF
而DF⊥PG，∴DF∥PE，
即DF∥PE，且DF=PE，
∴四边形PEFD为平行四边形，
∵DF=PD，
∴四边形PEFD为菱形．
点评： 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定与性质是解题
的关键；同时会运用等腰三角形的性质和旋转的性质；会利用三角形全等解决线段相等的问题．
26．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
求经过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，
求点P的坐标；若不存在，说明理由．考点： 二次函数综合题．
专题： 压轴题；分类讨论．
分析： （1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和
OB的长（即OA长）确 定B点的坐标．
已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）根据的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先
表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后
分辨是否存在符合条件的P点．
解答： 解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=60°，
又∵OA=OB=4，
∴OC= OB= ×4=2，BC=OB•sin60°=4× =2 ，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2 ）；
∵抛物线过原点O和点A、B，
∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，
将A（4，0），B（﹣2．﹣2 ）代入，得：
，
解得 ，
∴此抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x；
（3）存在；
如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为，
①若OB=OP，则22+|y|2=42，
解得y=±2 ，
当y=2 时，在Rt△P′OD中，∠P′DO=90°，sin∠P′OD= = ，
∴∠P′OD=60°，
∴∠P′OB=∠P′OD+∠AOB=60°+120°=180°，
即P′、O、B三点在同一直线上，
∴y=2 不符合题意，舍去，
∴点P的坐标为
②若OB=PB，则42+|y+2 |2=42，
解得y=﹣2 ，
故点P的坐标为，
③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2 |2，
解得y=﹣2 ，
故点P的坐标为，
综上所述，符 合条件的点P只有一个，其坐标
为．
点评： 此题融合了函数解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，综合程度较高，但属于二次函数综
合题型中的常见考查形式，没有经过分类讨论而造成漏解是此类题目中易错的地方．
