文档内容
2016届九年级下学期第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10题，每小题4分，满分40分）
1．﹣3的相反数是（ ）
A．3B． C．﹣3 D．﹣
2．如图是几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆锥B．圆柱 C．正三棱柱 D．正三棱锥
3．分解因式x2y﹣y3结果正确的是（ ）
A．y（x+y）2B．y（x﹣y）2C．y（x2﹣y2）D．y（x+y）（x﹣y）
4．面积是15cm2的正方形，它的边长的大小在（ ）
A．1cm与2cm之间 B．2cm与3cm之间 C．3cm与4cm之间 D．4cm与5cm之间
5．若AD∥BE，且∠ACB=90°，∠CBE=30°，则∠CAD的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
7．如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠（ ）A．2B．3C．4D．5
8．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（ ）
A．8B．9C．10 D．11
9．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数
据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）
A．1，2，3B．1，1， C．1，1， D．1，2，
10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足
为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．2014年底我县人口约370000人，将370000用科学记数法表示为 ．12．计算：|﹣2|﹣（3﹣π）0+2cos45°= ．
13．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为 ．
14．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列五条结论：
①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③4a+c＜2b；④3b+2c＜0；⑤m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）
其中正确的结论是 （把所有正确的结论的序号都填写在横线上）
三、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
15．解一元一次不等式组： ，并将解集在数轴上表示出来．
16．如果实数x、y满足方程组 ，求代数式（ +2）÷ ．
四、（本大题共5小题，每小题8分，满分48分）
17．某校初三（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情
况统计表如下：
自选项目 人数 频率
立定跳远 9 0.18
三级蛙跳 12 a
一分钟跳绳 8 0.16
投掷实心球 b 0.32
推铅球 5 0.10
合计 50 1
（1）求a，b的值；（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度
数；
（3）在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练效果，从这5名学生中
随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中 有一名女生的概率．
18．如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P．
（1）求证：CE=BF；
（2）求∠BPC的度数．
19．某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队
每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的
绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过
8万元，至少应安排甲队工作多少天？
20．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数 的
图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），
tan∠BOC= ．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上有一点E（O点除外），使得△BCE与△BCO的面积相等，求出点E的坐标．21．如图，AB是⊙O的直径，C，P是 上两点，AB=13，AC=5．
（1）如图（1），若点P是 的中点，求PA的长；
（2）如图（2），若点P是 的中点，求PA的长．
七、（本题满分12分）
22．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出
△POB的面积；若不存在，请说明理由．
八、（本题满分14分）23．如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与
点B、C重合）．
第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；
第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；
依此操作下去…
（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为 ，求此时线段EF的长；
（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．
①请判断四边形EFGH的形状为 ，此时AE与BF的数量关系是 ；
②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y
的取值范围．2016 届九年级下学期第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10题，每小题4分，满分40分）
1．﹣3的相反数是（ ）
A．3B． C．﹣3 D．﹣
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：∵互为相反数相加等于0，
∴﹣3的相反数是3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数
的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．如图是几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆锥B．圆柱 C．正三棱柱 D．正三棱锥
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】如图：该几何体的俯视图与左视图均为矩形，主视图为三角形，易得出该几何体的形状．
【解答】解：该几何体的左视图为矩形，俯视图亦为矩形，主视图是一个三角形，
则可得出该几何体为三棱柱．
故选：C．
【点评】本题是个简单题，主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．
3．分解因式x2y﹣y3结果正确的是（ ）
A．y（x+y）2B．y（x﹣y）2C．y（x2﹣y2）D．y（x+y）（x﹣y）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式y，进而利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：x2y﹣y3=y（x2﹣y2）=y（x+y）（x﹣y）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
4．面积是15cm2的正方形，它的边长的大小在（ ）A．1cm与2cm之间 B．2cm与3cm之间 C．3cm与4cm之间 D．4cm与5cm之间
【考点】估算无理数的大小．
【分析】根据正方形的面积先求出正方形的边长，然后估算即可得出答案．
【解答】解：设正方形的边长为x，因为正方形面积是15cm，
所以x2=15，故x= ；
∵9＜15＜16，∴3＜ ＜4；
故选C．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题，属于基础
题．
5．若AD∥BE，且∠ACB=90°，∠CBE=30°，则∠CAD的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】平行线的性质．
【分析】延长AC交BE于F，根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等可
得∠CAD=∠1．
【解答】解：如图，延长AC交BE于F，
∵∠ACB=90°，∠CBE=30°，
∴∠1=90°﹣30°=60°，
∵AD∥BE，
∴∠CAD=∠1=60°．
故选D．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
6．若△ABC∽△ A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4．
故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
7．如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】图形的剪拼．
【分析】利用矩形的性质以及正方形的性质，结合勾股定理得出分割方法即可．
【解答】解：如图所示：将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，
则n可以为：3，4，5，
故n≠2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了图形的剪拼，得出正方形的边长是解题关键．
8．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（ ）
A．8B．9C．10 D．11
【考点】平行四边形的性质；勾股定理．
【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，
∴BO= =5，
∴BD=2BO=10，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是2016届中考常见题型，比较简单．
9．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数
据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）A．1，2，3B．1，1， C．1，1， D．1，2，
【考点】解直角三角形．
【专题】新定义．
【分析】A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；
B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；
C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．
【解答】解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；
B、∵12+12=（ ）2，是等腰直角三角形，故选项错误；
C、底边上的高是 = ，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角
形”的定义，故选项正确．
故选：D．
【点评】考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，
“智慧三角形”的概念．
10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足
为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为
（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】数形结合．
【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．
【解答】解：当点Q在AC上时，∵∠A=30°，AP=x，
∴PQ=xtan30°= ，
∴y= ×AP×PQ= ×x× = x2；
当点Q在BC上时，如下图所示：
∵AP=x，AB=16，∠A=30°，
∴BP=16﹣x，∠B=60°，
∴PQ=BP•tan60°= （16﹣x）．
∴ = = ．
∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．
故选：B．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．2014年底我县人口约370000人，将370000用科学记数法表示为 3.7×1 0 5 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正
数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将370000用科学记数法表示为：3.7×105．
故答案为：3.7×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．计算：|﹣2|﹣（3﹣π）0+2cos45°= ．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】分别进行绝对值、零指数幂的运算，然后代入特殊角的三角函数值即可．
【解答】解：原式=2﹣1+2× =1+ ．故答案为：1+ ．
【点评】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、绝对值及特殊角的三角函数值，掌握各部分的运算
法则是关键．
13．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为 1+ ．
【考点】解直角三角形．
【专题】计算题．
【分析】在直角三角形BCD中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，根据CD的长求出BC的
长，利用勾股定理求出BD的长，在直角三角形ACD中，根据∠A的度数确定出此三角形为等腰直角
三角形，得出AD=CD=1，由AD+DB即可求出AB的长．
【解答】解：在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=1，
∴BC=2CD=2，
根据勾股定理得：BD= = ，
在Rt△ACD中，∠A=45°，CD=1，
∴AD=CD=1，
则AB=AD+DB=1+ ．
故答案为：1+ ．
【点评】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，含30度直角三角形
的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
14．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列五条结论：
①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③4a+c＜2b；④3b+2c＜0；⑤m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）
其中正确的结论是 ②④⑤ （把所有正确的结论的序号都填写在横线上）
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；二次函数的应用．【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴交点可判断①；根据抛物线与x轴交点个数可判断②；
根据x=0与x=﹣2关于对称轴x=﹣1对称，且x=0时y＞0，可判断③；根据x=1时，y＜0，且对称轴为
x=﹣1可判断④；由抛物线在x=﹣1时有最大值，可判断⑤．
【解答】解：①由抛物线图象得：开口向下，即a＜0；c＞0，﹣ =﹣1＜0，即b=2a＜0，
∴abc＞0，选项①错误；
②∵抛物线图象与x轴有两个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，选项②正确；
③∵抛物线对称轴为x=﹣1，且x=0时，y＞0，
∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，即4a+c＞2b，选项③错误；
④∵抛物线对称轴x=﹣1，即﹣ =﹣1，
∴a= ，
由图象可知，当x=1时，y=a+b+c= +c＜0，
故3b+2c＜0，选项④正确；
⑤由图象可知，当x=﹣1时y取得最大值，
∵m≠﹣1，
∴am2+bm+c＜a﹣b+c，即am2+bm+b＜a，
∴m（am+b）+b＜a，选项⑤正确；
故答案为：②④⑤．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口
方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定是解题的关键．
三、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
15．解一元一次不等式组： ，并将解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】计算题．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解： 由①得，x＞﹣1，由②得，x≤4，
故此不等式组的解集为：﹣1＜x≤4．
在数轴上表示为：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小
找不到”的原则是解答此题的关键．
16．如果实数x、y满足方程组 ，求代数式（ +2）÷ ．
【考点】分式的化简求值；解二元一次方程组．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到
最简结果，求出方程组的解得到x与y的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式= •（x+y）+2•（x+y）=xy+2x+2y，
方程组 ，
解得： ，
当x=3，y=﹣1时，原式=﹣3+6﹣2=1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，解二元一次方程组，掌握分式的化简方法与解方程组的方法是
解决问题的关键．
四、（本大题共5小题，每小题8分，满分48分）
17．某校初三（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情
况统计表如下：
自选项目 人数 频率
立定跳远 9 0.18
三级蛙跳 12 a
一分钟跳绳 8 0.16
投掷实心球 b 0.32
推铅球 5 0.10
合计 50 1
（1）求a，b的值；
（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度
数；
（3）在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练效果，从这5名学生中
随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中 有一名女生的概率．
【考点】游戏公平性；简单的枚举法；扇形统计图．
【专题】图表型．
【分析】（1）根据表格求出a与b的值即可；
（2）根据表示做出扇形统计图，求出“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数即可；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出抽取的两名学生中至多有一名女生的情况，即可求出所求概
率．
【解答】解：（1）根据题意得：a=1﹣（0.18+0.16+0.32+0.10）=0.24；
b= ×0.32=16；
（2）作出扇形统计图，如图所示：
根据题意得：360°×0.16=57.6°；
（3）男生编号为A、B、C，女生编号为D、E，
由枚举法可得：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10种，其中DE为女女组合，AB、AC、
BC是男生组合，
∴抽取的两名学生中至多有一名女生的概率为： ．
【点评】此题考查了游戏公平性，扇形统计图，列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．
18．如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P．
（1）求证：CE=BF；
（2）求∠BPC的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）欲证明CE=BF，只需证得△BCE≌△ABF；
（2）利用（1）中的全等三角形的性质得到∠BCE=∠ABF，则由图示知
∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，所以根据三角形内角和定理求得
∠BPC=120°．
【解答】（1）证明：如图，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，
∴在△BCE与△ABF中，
，
∴△BCE≌△ABF（SAS），
∴CE=BF；
（2）解：∵由（1）知△BCE≌△ABF，
∴∠BCE=∠ABF，
∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPC=180°﹣60°=120°．
即：∠BPC=120°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三
角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
19．某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队
每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的
绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过
8万元，至少应安排甲队工作多少天？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】工程问题．
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据在独立完成面积为400m2区域的绿化
时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；
（2）设应安排甲队工作y天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得：
﹣ =4，
解得：x=50，
经检验x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；
（2）设应安排甲队工作y天，根据题意得：
0.4y+ ×0.25≤8，
解得：y≥10，
答：至少应安排甲队工作10天．【点评】此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分
式方程时要注意检验．
20．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数 的
图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），
tan∠BOC= ．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上有一点E（O点除外），使得△BCE与△BCO的面积相等，求出点E的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）过B点作BD⊥x轴，垂足为D，由B（n，﹣2）得BD=2，由tan∠BOC= ，解直角三角形求
OD，确定B点坐标，得出反比例函数关系式，再由A、B两点横坐标与纵坐标的积相等求n的值，由
“两点法”求直线AB的解析式；
（2）点E为x轴上的点，要使得△BCE与△BCO的面积相等，只需要CE=CO即可，根据直线AB解析
式求CO，再确定E点坐标．
【解答】解：（1）过B点作BD⊥x轴，垂足为D，
∵B（n，﹣2），
∴BD=2，
在Rt△OBD中，tan∠BOC= ，即 = ，
解得OD=5，
又∵B点在第三象限，
∴B（﹣5，﹣2），
将B（﹣5，﹣2）代入y= 中，得k=xy=10，∴反比例函数解析式为y= ，
将A（2，m）代入y= 中，得m=5，
∴A（2，5），
将A（2，5），B（﹣5，﹣2）代入y=ax+b中，
得 ，
解得 ．
则一次函数解析式为y=x+3；
（2）由y=x+3得C（﹣3，0），即OC=3，
∵S =S ，
△BCE △BCO
∴CE=OC=3，
∴OE=6，即E（﹣6，0）．
【点评】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是通过解直角三角形确定B点坐标，根据反比例函
数图象上点的坐标特求A点坐标，求出反比例函数解析式，一次函数解析式．
21．如图，AB是⊙O的直径，C，P是 上两点，AB=13，AC=5．
（1）如图（1），若点P是 的中点，求PA的长；
（2）如图（2），若点P是 的中点，求PA的长．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）根据圆周角的定理，∠APB=90°，P是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利
用勾股定理即可求得．
（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，从而得出△ACB∽△0NP，根据对应边成比例
求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得PA．
【解答】解：（1）如图（1）所示，连接PB，
∵AB是⊙O的直径且P是 的中点，
∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，
又∵在等腰三角形△APB中有AB=13，
∴PA= = = ．
（2）如图（2）所示：连接BC．OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，
∵P点为弧BC的中点，
∴OP⊥BC，∠OMB=90°，
又因为AB为直径
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠OMB，
∴OP∥AC，
∴∠CAB=∠POB，
又因为∠ACB=∠ONP=90°，∴△ACB∽△0NP
∴ = ，
又∵AB=13 AC=5 OP= ，
代入得 ON= ，
∴AN=OA+ON=9
∴在Rt△OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36
在Rt△ANP中 有PA= = =3
∴PA=3 ．
【点评】本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定
和性质，作出辅助线是本题的关键．
七、（本题满分12分）
22．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出
△POB的面积；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，也就得出了抛物线的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可
求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐
标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可．
（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函
数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，可先求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积．
【解答】解：①∵函数的图象与x轴相交于O，
∴0=k+1，
∴k=﹣1，∴y=x2﹣3x，
②假设存在点B，过点B做BD⊥x轴于点D，
∵△AOB的面积等于6，
∴ AO•BD=6，
当0=x2﹣3x，
x（x﹣3）=0，
解得：x=0或3，
∴AO=3，
∴BD=4
即4=x2﹣3x，
解得：x=4或x=﹣1（舍去）．
又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25）．
∵2.25＜4，
∴x轴下方不存在B点，
∴点B的坐标为：（4，4）；
③∵点B的坐标为：（4，4），
∴∠BOD=45°，BO= =4 ，
当∠POB=90°，
∴∠POD=45°，
设P点横坐标为：x，则纵坐标为：x2﹣3x，
即﹣x=x2﹣3x，
解得x=2 或x=0，
∴在抛物线上仅存在一点P （2，﹣2）．
∴OP= =2 ，
使∠POB=90°，
∴△POB的面积为： PO•BO= ×4 ×2 =8．【点评】本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识．利用已知进行分类
讨论得出符合要求点的坐标是解题关键．
八、（本题满分14分）
23．如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与
点B、C重合）．
第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；
第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；
依此操作下去…
（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为 等边三角形 ，求此时线段EF的长；
（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．
①请判断四边形EFGH的形状为 正方形 ，此时AE与BF的数量关系是 AE=BF ；
②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y
的取值范围．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）由旋转性质，易得△EFD是等边三角形；利用等边三角形的性质、勾股定理求出EF的长；
（2）①四边形EFGH的四边长都相等，所以是正方形；利用三角形全等证明AE=BF；
②求面积y的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数性质求出最值及y的取值范围．
【解答】解：（1）如题图2，由旋转性质可知EF=DF=DE，则△DEF为等边三角形．
在Rt△ADE与Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）
∴AE=CF．
设AE=CF=x，则BE=BF=4﹣x
∴△BEF为等腰直角三角形．
∴EF= BF= （4﹣x）．
∴DE=DF=EF= （4﹣x）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+AD2=DE2，即：x2+42=[ （4﹣x） 2，
]
解得：x =8﹣4 ，x =8+4 （舍去）
1 2∴EF= （4﹣x）=4 ﹣4 ．
DEF的形状为等边三角形，EF的长为4 ﹣4 ．
（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF．理由如下：
依题意画出图形，如答图1所示：
由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE，∠EFG=90°，∴四边形EFGH的形状为正方形．
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3．
∵∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠4．
在△AEH与△BFE中，
∴△AEH≌△BFE（ASA）
∴AE=BF．
②利用①中结论，易证△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均为全等三角形，
∴BF=CG=DH=AE=x，AH=BE=CF=DG=4﹣x．
∴y=S ﹣4S =4×4﹣4× x（4﹣x）=2x2﹣8x+16．
正方形ABCD △AEH
∴y=2x2﹣8x+16（0＜x＜4）
∵y=2x2﹣8x+16=2（x﹣2）2+8，
∴当x=2时，y取得最小值8；当x=0时，y=16，
∴y的取值范围为：8≤y＜16．
【点评】本题是几何变换综合题，以旋转变换为背景考查了正方形、全等三角形、等边三角形、等腰直
角三角形、勾股定理、二次函数等知识点．本题难度不大，着重对于几何基础知识的考查，是一道好题．
