文档内容
2015-2016学年九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如果a与﹣2的和为0，那么a是（ ）
A．2B． C．﹣ D．﹣2
2．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2=a6 B．（﹣a2）3=﹣a6C．（ab）3=ab3D．a8÷a2=a4
3．在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形中，是中心对称图形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法中正确的是（ ）
A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B．想了解某种饮料中含色素的情况，宜采用抽样调查
C．数据1，1，2，2，3的众数是3
D．一组数据的波动越大，方差越小
6．从1～9这九个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．下列关于x的一元二次方程中一定有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+4=0 B．x2+2x+4=0 C．x2﹣2x﹣4=0 D．x2+4=0
8．在半径等于4cm的圆内有长为4 cm的弦，则此弦所对的圆周角为（ ）
A．60° B．120° C．30°或150°D．60°或120°
9．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
10．如图，边长为2a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将
线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的
最小值是（ ）
第1页（共27页）A． a B．a C． D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．4是 的算术平方根．
12．因式分解：x2y﹣y= ．
13．函数 中，自变量x的取值范围是 ．
14．如图，AB∥CD，∠C=20°，∠A=55°，则∠E= ．
15．已知a﹣2b=﹣2，则4﹣2a+4b的值为 ．
16．某市南线路段的304盏太阳能路灯一年大约可节电226 900千瓦时，226 900千瓦时用科
学记数法表示为 千瓦时（保留两个有效数字）．
17．已知扇形的圆心角为120°，半径为15cm，则扇形的弧长为 cm（结果保留
π）．
18．如图，点A 、A 、A 在x轴上，且OA =A A =A A ，分别过点A 、A 、A 作y轴的平行线，
1 2 3 1 1 2 2 3 1 2 3
与反比例函数 的图象分别交于点B 、B 、B ，分别过点B 、B 、B 作x轴的平行
1 2 3 1 2 3
线，分别与y轴交于点C 、C 、C ，连结OB 、OB 、OB ，那么图中阴影部分的面积之和为
1 2 3 1 2 3
．
三、解答题（本大题共76分）
第2页（共27页）19．计算： ．
20．先化简，再求值： ，其中 ．
21．解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
22．解方程： ．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，连接AO，在AO的延长线上取一点D，
连接BD，CD
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）当AO与AD满足什么数量关系时，四边形ABDC是菱形？并说明理由．
24．吸烟有害健康！你知道吗，即使被动吸烟也大大危害健康、有消息称，我国准备从2011
年元月一日起在公众场所实行“禁烟”，为配合“禁烟”行动，某校组织同学们在某社区开
展了“你支持哪种戒烟方式”的问卷调查，征求市民的意见，并将调查结果整理后制成了如
下统计图：
根据统计图解答：
（1）同学们一共随机调查了多少人？
（2）请你把统计图补充完整；
第3页（共27页）（3）如果在该社区随机咨询一位市民，那么该市民支持“强制戒烟”的概率是多少？假定该
社区有1万人，请估计该地区大约有多少人支持“警示戒烟”这种方式？
25．如图，在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方
向，且两船保持10海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东
15°方向有一不明国籍的渔船C，求此时渔船C与海监船B的距离是多少．（结果保留根号）
26．如图，AB为⊙O直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作
CD⊥AE的延长线于D点，直线CD与射线AB交于P点．
（1）求证：DC为⊙O切线；
（2）若DC=1，AC= ，①求⊙O半径长；②求PB的长．
27．如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数 的图象交于点P，点P在第一象限，
PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S =4，
△PBD
．
（1）求点D的坐标及BD长；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象直接写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围；
（4）若双曲线上存在一点Q，使以B、D、P、Q为顶点的四边形是直角梯形，请直接写出符合条
件的Q点的坐标．
第4页（共27页）28．“绿色出行，低碳健身”已成为广大市民的共识．某旅游景点新增了一个公共自行车停
车场，6：00至18：00市民可在此借用自行车，也可将在各停车场借用的自行车还于此地．林
华同学统计了周六该停车场各时段的借、还自行车数，以及停车场整点时刻的自行车总数
（称为存量）情况，表格中x=1时的y值表示7：00时的存量，x=2时的y值表示8：00时的存
量…依此类推．他发现存量y（辆）与x（x为整数）满足如图所示的一个二次函数关系．
还车数 借车数 存量y
时段 x
（辆） （辆） （辆）
6：00﹣7：00 1 45 5 100
7：00﹣8：00 2 43 11 n
… … … … …
根据所给图表信息，解决下列问题：
（1）m= ，解释m的实际意义： ；
（2）求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；
（3）已知9：00～10：O0这个时段的还车数比借车数的3倍少4，求此时段的借车数．
29．如图，等腰三角形OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，动
点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，动点Q从原点O
出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q作x轴的平行线分别交
OA，AB于E，F，设动点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也停止运动，他们运动的时
间为t秒（t≥0）．
（1）点E的坐标为 ，F的坐标为 ；
（2）当t为何值时，四边形POFE是平行四边形；
（3）是否存在某一时刻，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请
说明理由．
第5页（共27页）第6页（共27页）2015-2016 学年九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如果a与﹣2的和为0，那么a是（ ）
A．2B． C．﹣ D．﹣2
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的概念，互为相反数的两个数和为0，即可得出答案．
【解答】解：由题意得a﹣2=0，则a=2．
故选A．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2=a6 B．（﹣a2）3=﹣a6C．（ab）3=ab3D．a8÷a2=a4
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等
于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相减，对各
选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为a3•a2=a5，故A错误；
B、（﹣a2）3=﹣a6，故B正确；
C、应为（ab）3=a3b3，故C错误；
D、应为a8÷a2=a6，故D错误．
故选：B．
3．在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形中，是中心对称图形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念进而判断得出答案．
【解答】解：在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形中，是中心对称图形有正方形、菱形共有
2个．
故选：B．
4．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】俯视图是指从物体上面看，所得到的图形．
【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆；
第7页（共27页）B、三棱锥的俯视图是三角形；
C、球的俯视图是圆；
D、正方体的俯视图是四边形．
故选D．
5．下列说法中正确的是（ ）
A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B．想了解某种饮料中含色素的情况，宜采用抽样调查
C．数据1，1，2，2，3的众数是3
D．一组数据的波动越大，方差越小
【考点】随机事件；全面调查与抽样调查；众数；方差．
【分析】利用必然事件的定义、普查和抽样调查的特点、众数的定义、方差的定义即可作出判
断．
【解答】解：A、打开电视，正在播放《新闻联播》是随机事件，故本选项错误，
B、想了解某饮料中含色素的情况，应用抽样调查，故本选项正确，
C、数据1，1，2，2，3的众数是1、2，故本选项错误，
D、一组数据的波动越大，方差越大，故本选项错误，
故选B．
6．从1～9这九个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【分析】先从1～9这九个自然数中找出是2的倍数的有2、4、6、8共4个，然后根据概率公式
求解即可．
【解答】解：1～9这九个自然数中，是2的倍数的数有：2、4、6、8，共4个，
∴从1～9这九个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是： ．
故选B．
7．下列关于x的一元二次方程中一定有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+4=0 B．x2+2x+4=0 C．x2﹣2x﹣4=0 D．x2+4=0
【考点】根的判别式．
【分析】分别求出每个一元二次方程根的判别式△与0的关系，进而选择正确的选项．
【解答】解：A、x2﹣2x+4=0，△=4﹣4×4=﹣12＜0，此选项错误；
B、x2+2x+4=0，△=4﹣4×4=﹣12＜0，此选项错误；
C、x2﹣2x﹣4=0，△=4+4×4=20＞0，此选项正确；
D、x2+4=0，△=0﹣4×4=﹣16＜0，此选项错误；
故选C．
8．在半径等于4cm的圆内有长为4 cm的弦，则此弦所对的圆周角为（ ）
第8页（共27页）A．60° B．120° C．30°或150°D．60°或120°
【考点】圆周角定理；解直角三角形．
【分析】先画图，再根据垂径定理得出AC，根据三角函数得出∠O，由圆周角定理得出答案．
【解答】解：如图，
过点O作OD⊥AB，交⊙O于点D，交AB于点C，
∵OA=4，AB=4 ，
∴AC=2 ，
∴sin∠O= = ，
∴∠O=60°，
∴∠E=60°，
∴∠F=120°，
故选D．
9．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的
确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=
，与y轴的交点坐标为（0，c）．
【解答】解：解法一：逐项分析
A、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故
A选项错误；
B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x= = = ＜0，则对称轴应在y
轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
第9页（共27页）C、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故
C选项错误；
D、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x=
= = ＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；
解法二：系统分析
当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0，
一次函数图象过一、二、三象限．
当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，
对称轴x= ＜0，
这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，
一次函数图象过二、三、四象限．
故选：D．
10．如图，边长为2a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将
线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的
最小值是（ ）
A． a B．a C． D．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出
∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明
∴△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得
MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．
【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
第10页（共27页）∴HB= AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH= ×60°=30°，CG= AB= ×2a=a，
∴MG= CG= ×a= ，
∴HN= ，
故选：D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．4是 1 6 的算术平方根．
【考点】算术平方根．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：∵42=16，
∴4是16的算术平方根．
故答案为：16．
12．因式分解：x2y﹣y= y （ x + 1 ）（ x﹣ 1 ） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提公因式y，再利用平方差进行二次分解即可．
【解答】解：原式=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1），
第11页（共27页）故答案为：y（x+1）（x﹣1）．
13．函数 中，自变量x的取值范围是 x ≠ ﹣ 5 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x+5≠0，
解得x≠﹣5．
故答案为x≠﹣5．
14．如图，AB∥CD，∠C=20°，∠A=55°，则∠E= 35 ° ．
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质求出∠EFD，根据三角形外角性质得出∠E=∠EFD﹣∠C，代入求
出即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠A=55°，
∴∠EFD=∠A=55°，
∵∠C=20°，
∴∠E=∠EFD﹣∠C=55°﹣20°=35°，
故答案为：35°．
15．已知a﹣2b=﹣2，则4﹣2a+4b的值为 8 ．
【考点】代数式求值．
【分析】原式后两项提取﹣2变形后，将已知等式的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a﹣2b=﹣2，
∴4﹣2a+4b=4﹣2（a﹣2b）=4+4=8．
故答案为：8
16．某市南线路段的304盏太阳能路灯一年大约可节电226 900千瓦时，226 900千瓦时用科
学记数法表示为 2.3×1 0 5 千瓦时（保留两个有效数字）．
【考点】科学记数法与有效数字．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．题中226 900有
6位整数，n=6﹣1=5．
有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解答】解：226 900=2.269×105≈2.3×105．
故答案为：2.3×105．
17．已知扇形的圆心角为120°，半径为15cm，则扇形的弧长为 10 π cm（结果保留π）．
第12页（共27页）【考点】弧长的计算．
【分析】根据弧长公式计算．
【解答】解：l= = =10πcm．
18．如图，点A 、A 、A 在x轴上，且OA =A A =A A ，分别过点A 、A 、A 作y轴的平行线，
1 2 3 1 1 2 2 3 1 2 3
与反比例函数 的图象分别交于点B 、B 、B ，分别过点B 、B 、B 作x轴的平行
1 2 3 1 2 3
线，分别与y轴交于点C 、C 、C ，连结OB 、OB 、OB ，那么图中阴影部分的面积之和为
1 2 3 1 2 3
．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】先根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的|k|，
得到S =S =S = |k|=2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到
△OB1C1 △OB2C2 △OB3C3
3个阴影部分的三角形的面积从而求得面积和．
【解答】解：根据题意可知S =S =S = |k|=2，
△OB1C1 △OB2C2 △OB3C3
∵OA =A A =A A ，A B ∥A B ∥A B ∥y轴，
1 1 2 2 3 1 1 2 2 3 3
设图中阴影部分的面积从左向右依次为s ，s ，s
1 2 3
则s = |k|=2，
1
∵OA =A A =A A ，
1 1 2 2 3
∴s ：S =1：4，s ：S =1：9，
2 △OB2C2 3 △OB3C3
∴图中阴影部分的面积分别是s =2，s = ，s = ，
1 2 3
∴图中阴影部分的面积之和=2+ + =2 ．
第13页（共27页）故答案为：2 ．
三、解答题（本大题共76分）
19．计算： ．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】分别根据绝对值的性质、负整数指数幂的运算法则及数的开方法则分别计算出各数，
再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式=3+1﹣2+3
=5．
20．先化简，再求值： ，其中 ．
【考点】分式的化简求值；二次根式的化简求值．
【分析】先将括号内通分，合并；再将除法问题转化为乘法问题；约分化简后，在原式有意义的
条件下，代入计算即可
【解答】解：
=
=
= ，
当 时，
原式= = = ．
21．解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
第14页（共27页）【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】对不等式2﹣x＞0，移项得x＜2，对不等式 两边乘以6，然后再移
项、合并同类项解出不等式的解，再根据不等式组解集的口诀：大小小大中间找，来求出不等
式组的解．
【解答】解：由题意，
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得x≥﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1≤x＜2．
不等式组的解集在数轴上表示如下：
22．解方程： ．
【考点】解分式方程．
【分析】由于x2﹣4=（x+2）（x﹣2），本题的最简公分母是（x+2）（x﹣2），方程两边都乘最简公
分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边同乘（x﹣2）（x+2），
得：x（x+2）﹣（x2﹣4）=1，
化简，得2x=﹣3，
∴x= ，
检验：当x= 时，（x﹣2）（x+2）≠0，
∴x= 是原方程的根．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，连接AO，在AO的延长线上取一点D，
连接BD，CD
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）当AO与AD满足什么数量关系时，四边形ABDC是菱形？并说明理由．
第15页（共27页）【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）利用全等三角形的判定方法结合SAS得出即可；
（2）利用菱形的判定方法对角线互相垂直且平分的四边形是菱形得出即可．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，点O是BC的中点，
∴∠BAO=∠CAO，
在△ABD和△ACD中
∵ ，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；
（2）解：当AO= AD时，四边形ABDC是菱形．
理由：∵AO= AD，∴AO=DO，
又∵BO=CO，AO⊥BC，
∴四边形ABDC是菱形．
24．吸烟有害健康！你知道吗，即使被动吸烟也大大危害健康、有消息称，我国准备从2011
年元月一日起在公众场所实行“禁烟”，为配合“禁烟”行动，某校组织同学们在某社区开
展了“你支持哪种戒烟方式”的问卷调查，征求市民的意见，并将调查结果整理后制成了如
下统计图：
第16页（共27页）根据统计图解答：
（1）同学们一共随机调查了多少人？
（2）请你把统计图补充完整；
（3）如果在该社区随机咨询一位市民，那么该市民支持“强制戒烟”的概率是多少？假定该
社区有1万人，请估计该地区大约有多少人支持“警示戒烟”这种方式？
【考点】扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图．
【分析】（1）根据替代品戒烟30人占总体的10%，即可求得总人数；
（2）根据求得的总人数，结合扇形统计图可以求得药物戒烟的人数，从而求得警示戒烟的人
数，再根据各部分的人数除以总人数，即可求得各部分所占的百分比；
（3）根据扇形统计图中“强制戒烟”的百分比即可回答其概率，再进一步根据样本估计总体．
【解答】解：（1）30÷10%=300（人）．
∴一共调查了300人．
（2）由（1）可知，总人数是300人．
药物戒烟：300×15%=45（人）；
警示戒烟：300﹣120﹣30﹣45=105（人）；105÷300=35%；
强制戒烟：120÷300=40%．
完整的统计图如图所示：
（3）设该市发支持“强制戒烟”的概率为P，由（1）可知，P=120÷300=40%=0.4．
支持“警示戒烟”这种方式的人有10000•35%=3500（人）．
25．如图，在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方
向，且两船保持10海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东
15°方向有一不明国籍的渔船C，求此时渔船C与海监船B的距离是多少．（结果保留根号）
第17页（共27页）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】首先过点B作BD⊥AC于D，由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，则可
求得∠ACD的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案．
【解答】解：由题意可知，∠BAC=45°，
∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=30°．
作BD⊥AC于D．
在Rt△ABD中， （海里），
在Rt△BCD中， （海里）．
答：此时渔船C与海监船B的距离是 海里．
26．如图，AB为⊙O直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作
CD⊥AE的延长线于D点，直线CD与射线AB交于P点．
（1）求证：DC为⊙O切线；
（2）若DC=1，AC= ，①求⊙O半径长；②求PB的长．
第18页（共27页）【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）连结OC，如图，由AC平分∠EAB得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，则∠1=∠3，于是
可判断OC∥AD，由于CD⊥AD，所以OC⊥CD，则根据切线的判定定理得到DC为⊙O切线；
（2）①连结BC，如图，在Rt△ACD中利用勾股定理计算出AD=2，再Rt△ACD∽Rt△ABC，
利用相似比计算出AB= ，从而得到⊙O半径长为 ；
②证明△EOC∽△EAD，然后利用相似比可计算出BE的长．
【解答】（1）证明：连结OC，如图，
∵AC平分∠EAB，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴DC为⊙O切线；
（2）解：①连结BC，如图，
在Rt△ACD中，∵CD=1，AC= ，
∴AD= =2，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠1=∠2，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，即 ：AB=2： ，
∴AB= ，
∴⊙O半径长为 ；
②∵OC∥AD，
∴△EOC∽△EAD，
第19页（共27页）∴ = ，即 = ，
∴BE= ．
27．如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数 的图象交于点P，点P在第一象限，
PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S =4，
△PBD
．
（1）求点D的坐标及BD长；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象直接写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围；
（4）若双曲线上存在一点Q，使以B、D、P、Q为顶点的四边形是直角梯形，请直接写出符合条
件的Q点的坐标．
【考点】反比例函数综合题；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数与一次函数的交点
问题；直角梯形；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）把x=0代入y=kx+2即可求出D的坐标；根据相似三角形的判定得出 = ，求
出AP，即可求出BD；
第20页（共27页）（2）根据三角形PBD的面积求出P的坐标，把P的坐标分别代入一次函数和反比例函数的解
析式求出即可；
（3）根据图象上P的坐标求出即可；
（4）作DQ∥x轴，把y=2代入反比例函数的解析式，求出即可．
【解答】解：（1）在y=kx+2中，当x=0，得：y=2，
∴点D的坐标是（0，2），
∵AP∥OD，
∴△PAC∽△DOC，
∵ = ，
∴ = = ，
∴AP=6，
∵BD=6﹣2=4，
答：点D的坐标是（0，2），BD的长是4．
（2）∵S = PB•BD= ×PB×4=4，
△PBD
∴BP=2，
∴P（2，6），
把P（2，6）分别代入y=kx+2和y= 得：k=2，m=12，
∴一次函数的解析式是y=2x+2，反比例函数的解析式是y= ，
（3）由图形可知一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围是x＞2．
（4）Q（6，2）．
第21页（共27页）28．“绿色出行，低碳健身”已成为广大市民的共识．某旅游景点新增了一个公共自行车停
车场，6：00至18：00市民可在此借用自行车，也可将在各停车场借用的自行车还于此地．林
华同学统计了周六该停车场各时段的借、还自行车数，以及停车场整点时刻的自行车总数
（称为存量）情况，表格中x=1时的y值表示7：00时的存量，x=2时的y值表示8：00时的存
量…依此类推．他发现存量y（辆）与x（x为整数）满足如图所示的一个二次函数关系．
还车数 借车数 存量y
时段 x
（辆） （辆） （辆）
6：00﹣7：00 1 45 5 100
7：00﹣8：00 2 43 11 n
… … … … …
根据所给图表信息，解决下列问题：
（1）m= 6 0 ，解释m的实际意义： 该停车场当日 6 ： 0 0 时的自行车数 ；
（2）求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；
（3）已知9：00～10：O0这个时段的还车数比借车数的3倍少4，求此时段的借车数．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据题意m+45﹣5=100，说明6点之前的存量为60；
（2）先求出n的值，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式；
（3）设9：00～10：O0这个时段的借车数为x辆，则还车数为（3x﹣4）辆，把x=3代入y=﹣
4x2+44x+60得到8：00～9：00的存量为156；把x=4代入y=﹣4x2+44x+60得到9：00～10：00
的存量为172，所以156﹣x+（3x﹣4）=172，然后解方程即可．
【解答】解：（1）m+45﹣5=100，解得m=60，
即6点之前的存量为60．
m表示该停车场当日6：00时的自行车数；
（2）n=100+43﹣11=132，
设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
把（1，100），（2，132）、（0，60）代入得
，
解得 ，
所以二次函数的解析式为y=﹣4x2+44x+60（x为1﹣12的整数）；
第22页（共27页）（3）设9：00～10：O0这个时段的借车数为x辆，则还车数为（3x﹣4）辆，
把x=3代入y=﹣4x2+44x+60得y=﹣4×32+44×3+60=156，
把x=4代入y=﹣4x2+44x+60得y=﹣4×42+44×4+60=172，即此时段的存量为172，
所以156﹣x+（3x﹣4）=172，解得x=10，
答：此时段借出自行车10辆．
29．如图，等腰三角形OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，动
点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，动点Q从原点O
出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q作x轴的平行线分别交
OA，AB于E，F，设动点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也停止运动，他们运动的时
间为t秒（t≥0）．
（1）点E的坐标为 （ t ， t ） ，F的坐标为 （ 10﹣ t ， t ） ；
（2）当t为何值时，四边形POFE是平行四边形；
（3）是否存在某一时刻，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请
说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）过点A作AD⊥OB，由点A的坐标为（6，8），可得OD=6，AD=8，然后由勾股定
理得：OA=10，由OA=OB可得：OB=10，进而可得：BD=4，进而可得点B的坐标为：（10，0），
然后设OA的关系式：y=kx，然后将A（6，8）代入即可得直线OA的关系式，然后设直线AB
的关系式为：y=kx+b，然后将A，B两点代入，即可确定直线AB的关系式，由过点Q作x轴
的平行线分别交OA，AB于E，F，可知点Q、E、F三点的纵坐标相等均为t，然后由点E在OA
上，点F在AB上，将点E、F的纵坐标分别代入对应的关系式，即可得到得到点E、F的坐标；
（2）由EF∥OP，欲使四边形POFE是平行四边形，只需EF=OP即可，从而可得关于t的等式，
解答即可；
（3）分三种情况讨论：①PE⊥EF，②PE⊥PF，③EF⊥PF即可．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图1，
第23页（共27页）∵点A的坐标为（6，8），
∴OD=6，AD=8，
由勾股定理得：OA=10，
∵OA=OB，
∴OB=10，
∴BD=4，
∴点B的坐标为：（10，0），
设直线OA的关系式：y=kx，
将A（6，8）代入上式，得：
6k=8，
解得：k= ，
所以直线OA的关系式：y= x，
设直线AB的关系式为：y=kx+b，
将A，B两点代入上式得：
，
解得： ，
所以直线AB的关系式为：y=﹣2x+20，
∵过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，
∴点Q、E、F三点的纵坐标相等，
∵动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，
动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，
∴t秒后，OQ=t，OP=2t，
∴Q、E、F三点的纵坐标均为t，
将点E的纵坐标t代入y= x，得：x= t，
第24页（共27页）∴E点的坐标为：（ ，t），
将点E的纵坐标t代入y=﹣2x+20，得：x=10﹣ t，
∴F点的坐标为：（10﹣ t，t），
故答案为：（ t，t），（10﹣ t，t）；
（2）由（1）知：E（ t，t），F（10﹣ t，t），
∴EF=10﹣ t﹣ t=10﹣ t，
∵四边形POFE是平行四边形，
∴EF∥OP，且EF=OP，
即10﹣ t=2t，
解得：t= ，
∴当t为 时，四边形POFE是平行四边形；
（3）过点E作EM⊥OB，垂足为M，过点F作FN⊥OB，垂足为N，
可得四边形EMNF是矩形，如图2，
①当EF⊥PF时，PE2+PF2=EF2，
第25页（共27页）由（1）知：OM= t，EM=FN=t，ON=10﹣ t，EF=10﹣ ，
∴PM= ，PN=10﹣ ，
∵PE2=ME2+MP2，PF2=PN2+FN2，
∴t2+（ t）2+（10﹣ t）2+t2=（10﹣ ）2，
解得：t =0（舍去），t = ；
1 2
②当PE⊥EF时，如图3，可得四边形EPNF是矩形，
∵四边形EPNF是矩形，
∴EF=PN，
即：EF=ON﹣OP，
∴10﹣ =10﹣ ﹣2t，
解得t=0（舍去）；
③当EF⊥PF时，如图4，可得四边形EMPF是矩形，
∵四边形EMPF是矩形，
∴EF=MP，
即EF=OP﹣OM，
第26页（共27页）∴10﹣ =2t﹣ t，
解得：t=4，
∴当t= 和4时，使△PEF为直角三角形．
2016年8月8日
第27页（共27页）
