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模块二 知识全整合
专题 3 函数及图象
第 1 讲 平面直角坐标系与函数的概念
一、坐标与位置
1.象限内点的坐标特征：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），
第四象限（+，-）；
2.坐标轴上的点的坐标特征：x轴上的点的坐标（a，0），y轴上的点的坐标（0，
b）；
3.平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征
（1）平行x轴的直线上的点的纵坐标相同；
（2）平行y轴的直线上的点的横坐标相同；
4.象限角平分线上的点的坐标特征
（1）点P（x，y）在第一、三象限角平分线上，则x=y；
（2）点P（x，y）在第二、四象限角平分线上，则x=-y；
二、坐标与平移、对称
1.对称点的坐标特征
（1）点P（a，b）关于x轴对称点的坐标为（a，-b）；
（2）点P（a，b）关于y轴对称点的坐标为（-a，b）；
（3）点P（a，b）关于原点对称点的坐标为（-a，-b）；
（4）点P（a，b）关于直线x=m对称点的坐标为（2m-a，b）；（5）点P（a，b）关于直线y=m对称点的坐标为（a，2m-b）；
（6）点P（a，b）关于直线y=x对称点的坐标为（b，a）；
（7）点P（a，b）关于直线y=-x对称点的坐标为（-b，-a）；
2.平移点的坐标特征：左减右加横坐标，上加下减纵坐标；
三、坐标与图形
1.线段中点的坐标公式：中点的坐标=线段两个端点的坐标的平均数；
2.坐标与距离
（1）点P（a，b）到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ，到原点的距离为 ；
（2）坐标轴上两点之间的距离
x轴上两点之间的距离：A（ ，0）、B（ ，0），则 ，
y轴上两点之间的距离：A（0， ）、B（0， ），则 ；
（3）与坐标轴平行的直线上两点之间的距离
与x轴平行的直线上两点之间的距离：A（ ，y）、B（ ，y），则， ，
与y轴平行的直线上两点之间的距离：A（x， ）、B（x， ），则 ；
（4）坐标轴内任意两点之间的距离：A（ ， ）、B（ ， ），则
；
四、坐标与函数
1.函数的概念：两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，
那么就说y是x的函数，x是自变量；
2.函数的三种表示：列表法，图象法，解析法；
3.自变量的取值范围
（1）使解析式有意义：分母不等于零，开偶次方时被开方数是非负数，零指数和负整
数指数幂的底数不能等于零；
（2）使实际问题有意义；
4.函数图象：以自变量的值为横坐标，对应的因变量的值为纵坐标，在平面直角坐标
系中描点，这些点形成的图象就是函数图象；画函数图象一般有三步：列表，描点，
连线．
试卷第2页，共3页《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1.能识别简单实际问题中的常量、变量及其意义，并能找出变量之间的数量关系及变
化规律，形成初步的抽象能力；
2.了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例，初步形成模型观念；
3.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值；
4．能根据函数图象分析实际问题中的变量信息，发现变量间的变化规律；
5.能结合函数图象对简单实际问题中的函数关系进行分析，结合对函数关系的分析，
能对变量的变化趋势进行初点推测；
6.感悟平面直角坐标系是沟通代数与几何的桥梁，理解平面上的点与坐标之间的一一
对应关系，能用坐标描述简单几何图形的位置；
7.会用坐标表达图形的变化、简单图形的性质，感悟通过几何建立直观、通过代数得
到数学表达的过程；
8.会用数形结合的方法分析和解决问题．
【例1】
（2023·浙江台州·统考中考真题）
1．如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“车”所在
位置的坐标为 ，则“炮”所在位置的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【变1】
（2022·广西河池·统考中考真题）
2．如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( )
A． B． C． D．【例1】
（2023·山东临沂·统考中考真题）
3．某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如
图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面
直角坐标系内，若点A的坐标为 ，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变1】
（2023·四川泸州·统考中考真题）
4．在平面直角坐标系中，若点 与点 关于原点对称，则 的值是
．
【例1】
（2023·浙江绍兴·统考中考真题）
5．在平面直角坐标系中，将点 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最
后所得点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变1】
（2022·山东淄博·统考中考真题）
6．如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△ABC 的位置．若顶点A（﹣3，4）
1 1 1
的对应点是A（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B 的坐标是 ．
1 1
试卷第4页，共3页【例1】
（2023·山西·统考中考真题）
7．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，
图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点 均
为正六边形的顶点．若点 的坐标分别为 ，则点 的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
【变1】
（2023·辽宁阜新·统考中考真题）
8．如图，四边形 是正方形，曲线 叫作“正方形的渐开线”，其
中 ， ， ， ，…的圆心依次按O，A，B， 循环．当 时，点
的坐标是( )A． B． C． D．
【例1】
（2023·山西·统考中考真题）
9．一种弹簧秤最大能称不超过 的物体，不挂物体时弹簧的长为 ，每挂重
物体，弹簧伸长 ．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度 与所挂物体的质
量 之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【变1】
试卷第6页，共3页（2022·湖北恩施·统考中考真题）
10．函数 的自变量x的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D．
【例1】
（2023·江苏·统考中考真题）
11．折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开
始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转
身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次 的折返跑，用
时 在整个过程中，他的速度大小v（ ）随时间t（ ）变化的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变1】
（2023·内蒙古·统考中考真题）
12．将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，沿路径
匀速运动，速度为 ，点P到达终点F后停止运动，
的面积 与点P运动的时间 的关系如图2所示，根据图象获取
了以下的信息：
① ；
② ；③点 从点 运动到点 需要 ；
④矩形纸板裁剪前后周长均为 ．
其中正确信息的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
一、选择题
（2023·内蒙古·统考中考真题）
13．若实数 ， 是一元二次方程 的两个根，且 ，则点 所在
象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2023·浙江金华·统考中考真题）
14．如图，两个灯笼的位置 的坐标分别是 ，将点 向右平移2个单位，
再向上平移1个单位得到点 ，则关于点 的位置描述正确是（ ）
A．关于 轴对称 B．关于 轴对称
C．关于原点 对称 D．关于直线 对称
（2023·山东聊城·统考中考真题）
15．如图，在直角坐标系中， 各点坐标分别为 ， ， ．
试卷第8页，共3页先作 关于x轴成轴对称的 ，再把 平移后得到 ．若
，则点 坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖北武汉·统考中考真题）
16．皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面
积 ，其中 分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直
角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知 ， ，则
内部的格点个数是（ ）
A．266 B．270 C．271 D．285
（2022·山东枣庄·统考中考真题）
17．已知y 和y 均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N 和N ，若存
1 2 1 2
在实数n，使得N +N ＝1，则称函数y 和y 是“和谐函数”．则下列函数y 和y 不是
1 2 1 2 1 2
“和谐函数”的是（ ）
A．y＝x2+2x和y＝﹣x+1 B．y＝ 和y＝x+1
1 2 1 2
C．y＝﹣ 和y＝﹣x﹣1 D．y＝x2+2x和y＝﹣x﹣1
1 2 1 2
（2023·广东深圳·统考中考真题）
18．如图1，在 中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单
位/s，其中 长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则 的长为（ ）A． B． C．17 D．
（2023·四川·统考中考真题）
19．向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关
系的大致图象是（ ）
A． B． C．
D．
（2023·湖北随州·统考中考真题）
20．甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距
离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距 ；②甲车
的平均速度是 ，乙车的平均速度是 ；③乙车先出发，先到达B城；④
试卷第10页，共3页甲车在 追上乙车．正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
（2023·山东烟台·统考中考真题）
21．如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为
位似中心作正方形 ，正方形 ，按此规律作下去，所作正方形的顶点
均在格点上，其中正方形 的顶点坐标分别为 ，
，则顶点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
（2023·浙江衢州·统考中考真题）22．在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为 ，点B
的坐标为 ，则点C的坐标为 ．
（2023·山东枣庄·统考中考真题）
23．银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，
叶片上两点B，C的坐标分别为 ，将银杏叶绕原点顺时针旋转 后，叶柄
上点A对应点的坐标为 ．
（2023·四川巴中·统考中考真题）
24．已知 为正整数，点 在第一象限中，则 ．
（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）
25．在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
（2023·辽宁阜新·统考中考真题）
26．德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此
举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙
两名选手同时参加了往返 （单程 ）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、
乙之间的距离s（ ）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达
终点时，乙距离终点 ．
试卷第12页，共3页（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）
27．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别在 轴、 轴正半轴
上，点 在 边上，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在边 上的点 处．若
， ，则点 的坐标是 ．
（2023·山东烟台·统考中考真题）
28．如图1，在 中，动点 从点 出发沿折线 匀速运动至点 后
停止．设点 的运动路程为 ，线段 的长度为 ，图2是 与 的函数关系的大致
图象，其中点 为曲线 的最低点，则 的高 的长为 ．
三、解答题
（2023·山东淄博·统考中考真题）
29．若实数 ， 分别满足下列条件：
（1） ；（2） ．
试判断点 所在的象限．
（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）
30．根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米～80
米为“中途期”（m/s）与路程 之间的观测数据
（1） 是关于 的函数吗？为什么？
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．
（2023·北京·统考中考真题）
31．某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．
每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁
度为0.990
方案一：采用一次清洗的方式．
结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．
方案二：采用两次清洗的方式．
记第一次用水量为 个单位质量，第二次用水量为 个单位质量，总用水量为
个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：
试卷第14页，共3页11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0
0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5
11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5
0.99 0.98 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.98 0.99 0.99 0.99
C
0 9 0 0 0 0 0 8 0 0 0
对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．
（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；
（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量 和总用水
量 之间的关系，在平面直角坐标系 中画出此函数的图象；
结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个
单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．
根据以上实验数据和结果，解决下列问题：
（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节
水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）；
（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个
单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）．参考答案：
1．A
【分析】根据已知条件，确定平面直角坐标系原点，最后即可求出答案．
【详解】解： “车”所在位留的坐标为 ，
确定点 即是平面直角坐标系的原点，且每一格的单位长度是1，
“炮”所在位置的坐标为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键在于根据已知条件确定原点．
2．D
【分析】根据第三象限点的特征，横纵坐标都为负，列出一元一次不等式组，进而即可求
解．
【详解】解：∵点P（m，1+2m）在第三象限内，
∴ ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为： ，
故选D．
【点睛】本题考查了第三象限的点的坐标特征，一元一次不等式组的应用，掌握各象限点
的坐标特征是解题的关键．
3．A
【分析】根据关于 轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：点B的坐标为 ；
故选A．
【点睛】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于 轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐
标互为相反数，是解题的关键．
4．1
【分析】根据关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数，进行解答即可．【详解】解：∵点 与点 关于原点对称，
∴ ．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于
原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数．
5．D
【分析】把 横坐标加2，纵坐标加1即可得出结果．
【详解】解：将点 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是
．
故选：D．
【点睛】本题考查点的平移中坐标的变换，把 向上（或向下）平移h个单位，对应的
纵坐标加上（或减去）h，，把 向右上（或向左）平移n个单位，对应的横坐标加上
（或减去）n．掌握平移规律是解题的关键．
6．（1，3）
【分析】根据点A和点 的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论．
【详解】解：∵顶点A（﹣3，4）的对应点是A（2，5），
1
又
∴平移 至 的规律为：将 向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可
得到
∵B（﹣4，2）
∴ 的坐标是（-4+5，2+1），即（1，3）
故答案为：（1，3）
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正确找出平移规律是解答本题的关键．
答案第2页，共2页7．A
【分析】连接 ，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，
即可求得点M的坐标．
【详解】解：连接 ，如图，设正六边形的边长为a，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点P的坐标为 ，
∴ ，
即 ；
∴ ， ，
∴点M的坐标为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性
质等知识，掌握这些知识是解题的关键．
8．A
【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出 在第三象限，与 ， ， ，…符合同一规律，探究出 ， ， ，...的规律即可．
【详解】解：由图得 ， ，
…
点C的位置每4个一循环，
，
∴ 在第三象限，与 ， ， ，…
符合规律 ，
∴ 坐标为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键．
9．B
【分析】挂重后弹簧长度等于不挂重时的长度加上挂重后弹簧伸长的长度，据此即可求得
函数关系式．
【详解】解：由题意知： ；
故选：B．
【点睛】本题考查了求函数关系式，正确理解题意是关键．
10．C
【分析】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可
求解．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ，
解得 且 ，
故选C．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义
的条件是解题的关键．
11．D
【分析】根据速度与时间的关系即可得出答案．
【详解】解：刚开始速度随时间的增大而增大，匀速跑一段时间后减速到②，然后再加速
答案第4页，共2页再匀速到①，
由于体力原因，应该第一个50米速度快，用的时间少，第二个50米速度慢，用的时间多，
故他的速度大小v（ ）随时间t（ ）变化的图像可能是D．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的图象，要根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数
的类型和所需要的条件，结合实际意义得出正确的结论．
12．C
【分析】利用图表信息结合 面积及逐个运动阶段得到计算数据，逐个判断正误即可．
【详解】由矩形及点P运动过程可知：
时，点P位于点B处， ，
则 ， ，
，①正确；
时，点P位于点D处， ，
， ，
，故运动时间为10s，所以③正确；
，
，
时，点P位于点C处，
，所以②错误；
周长 ，所以④错误；
故①③正确，正确得有2个，
故选C．
【点睛】本题考查动点面积计算问题，能够在不同位置清晰计算面积及结合图表确认拐点
位置是解题的关键．
13．B
【分析】根据一元二次方程的解法求出 ， 的值，根据各象限点的特征即可求得．
【详解】∵实数 ， 是一元二次方程 的两个根，且 ，∴ ,
∴ 为 ，
∴ 在第二象限，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法以及各象限点的特征，解题的关键是熟练掌握一
元二次方程的解法．
14．B
【分析】先根据平移方式求出 ，再根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐
标相同进行求解即可．
【详解】解：∵将 向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点 ，
∴ ，
∵ ，
∴点 关于y轴对称，
故选B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和轴对称，正确根据平移方式求出
是解题的关键．
15．B
【分析】三点 ， ， 的对称点坐标为 ， ，
，结合 ，得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，计算
即可．
【详解】∵三点 ， ， 的对称点坐标为 ， ，
，结合 ，
答案第6页，共2页∴得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，
故 坐标为 ．
故选B．
【点睛】本题考查了关于x轴对称，平移规律，熟练掌握轴对称的特点和平移规律是解题
的关键．
16．C
【分析】首先根据题意画出图形，然后求出 的面积和边界上的格点个数，然后代入
求解即可．
【详解】如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 上有31个格点，
上的格点有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，共10个格点，
上的格点有 ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ，共19个格点，
∴边界上的格点个数 ，∵ ，
∴ ，
∴解得 ．
∴ 内部的格点个数是271．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握数形结合的数学思想．
17．B
【分析】根据题意，令y+y＝1，若方程有解，则称函数y 和y 是“和谐函数”，若无解，
1 2 1 2
则称函数y 和y 不是“和谐函数”．
1 2
【详解】A、令y+y＝1，
1 2
则x2+2x﹣x+1＝1，
整理得：x2+x＝0，
解得：x＝0，x＝﹣1，
1 2
∴函数y 和y 是“和谐函数”，故A不符合题意；
1 2
B、令y+y＝1，
1 2
则 +x+1＝1，
整理得：x2+1＝0，
此方程无解，
∴函数y 和y 不是“和谐函数”，故B符合题意；
1 2
C、令y+y＝1，
1 2
则﹣ ﹣x﹣1＝1，
整理得：x2+2x+1＝0，
解得：x＝﹣1，x＝﹣1，
1 2
∴函数y 和y 是“和谐函数”，故C不符合题意；
1 2
D、令y+y＝1，
1 2
则x2+2x﹣x﹣1＝1，
整理得：x2+x﹣2＝0，
解得：x＝1，x＝﹣2，
1 2
∴函数y 和y 是“和谐函数”，故D不符合题意；
1 2
答案第8页，共2页故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、分式方程，根据题意令y+y＝1，然后进行求解是
1 2
解题的关键．
18．C
【分析】根据图象可知 时，点 与点 重合，得到 ，进而求出点 从点 运动
到点 所需的时间，进而得到点 从点 运动到点 的时间，求出 的长，再利用勾股定
理求出 即可．
【详解】解：由图象可知： 时，点 与点 重合，
∴ ，
∴点 从点 运动到点 所需的时间为 ；
∴点 从点 运动到点 的时间为 ，
∴ ；
在 中： ；
故选C．
【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出
的长，是解题的关键．
19．D
【分析】从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变
宽，再从函数的图象上看，选出答案．
【详解】解：从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，
再变宽．
则注入的水量v随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢，
那么从函数的图象上看，
C对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合；
A、B对应的图象中间没有变化，只有D符合条件．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的定义及函数的图象的关系，抓住变量之间的变化关系是解题
的关键．
20．D
【分析】根据图象逐项分析判断即可．【详解】解：由图象知：
①A，B两城相距 ，故此项正确；
②甲车的平均速度是 ，乙车的平均速度是 ，故此项错
误；
③乙车 先出发， 才到达B城，甲车 后出发， 就到达B城，故此项错
误；
④两车在 时，行驶路程一样，即甲车在 追上乙车，故此项正确．
综上，①④说法正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，正确识别图象并能提取相关信息是解答的关键．
21．A
【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律 ．
【详解】解：∵ ， ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律．
22．作图见解析，
【分析】根据点A、B的坐标可确定原点的位置，再作平面直角坐标系即可，从而可确定
点C的坐标．
【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示：
答案第10页，共2页∴点C的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查平面直角坐标系、在坐标系中确定点的坐标，根据点A、B的坐标确定
原点的位置是解题的关键．
23．
【分析】根据点的坐标，确定坐标系的位置，再根据旋转的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵B，C的坐标分别为 ，
∴坐标系的位置如图所示：
∴点 的坐标为： ，
连接 ，将 绕点 顺时针旋转 后，如图，叶柄上点A对应点的坐标为 ；
故答案为：
【点睛】本题考查坐标与旋转．解题的关键是确定原点的位置，熟练掌握旋转的性质．
24．
【分析】根据点在第一象限，则 ，根据 为正整数，则 ，即可．
【详解】∵点 在第一象限中，
∴ ，
∴ ，
∵ 为正整数，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握点的坐标的性质．
25． 且
【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出 ，即可求解．
【详解】解：依题意，
∴ 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有
意义的条件是解题的关键．
26．4
【分析】先根据图象得甲乙的速度差为4，再根据相遇时用了 小时，列方程求解．
【详解】解：设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为 千米/小时，
则： ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息，正确提取图象中的信息是解题的关键．
27．
【分析】根据折叠的性质得出 ，在 中，勾股定理求得 ，进而
得出 ，在 中，勾股定理建立方程，求得 的长，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
答案第12页，共2页在 中，
∴ ，
∴设 ，则 ，
∵折叠，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股
定理是解题的关键．
28． ##
【分析】过点 作 于点 ，当点 与 重合时，在图2中 点表示当
时，点 到达点 ，此时当 在 上运动时， 最小，勾股定理求得 ，
然后等面积法即可求解．
【详解】如图过点 作 于点 ，当点 与 重合时，在图2中 点表示当
时，点 到达点 ，此时当 在 上运动时， 最小，∴ ，
在 中，
∴
∵ ，
∴ ,
故答案为： ．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息
是解题的关键．
29．点 在第一象限或点 在第二象限
【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可；解不等式求出解题，在分情况确定
， 的符号确定点 所在象限解题即可．
【详解】解：
或
答案第14页，共2页， ；
，
解得： ；
∴当 ， 时， ， ，点 在第一象限；
当 ， 时， ， ，点 在第二象限；
【点睛】本题考查点在平面直角系的坐标特征，解不等式，平方根的意义，利用不等式的
性质判断点的坐标特征是解题的关键．
30．（1） 是 的函数，理由见解析；（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s；
（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐
力训练，提高成绩．
【分析】（1）根据函数的概念进行解答；
（2）通过识图读取相关信息；
（3）根据图像信息进行解答．
【详解】解：（1） 是 的函数．
在这个变化过程中，对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与之对应．
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s．
（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐
力训练，提高成绩．
【点睛】本题考查通过函数图像读取信息，理解函数的概念，准确识图是解题关键．
31．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析，4；（1）11.3；（2）<
【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可；
（Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第
一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小；
（1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，
计算即可；
（2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗
后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990．
【详解】（Ⅰ）表格如下：11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0
0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5
11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5
0.99 0.98 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.98 0.99 0.99 0.99
C 0 9 0 0 0 0 0 8 0 0 0
√ √ √ √ √ √ √ √ √
（Ⅱ）函数图象如下：
由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小；
（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，
19-7.7=11.3，
即可节水约11.3个单位质量；
（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后
的清洁度能达到0.990，
第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度 ，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关
键．
答案第16页，共2页
