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模块二 知识全整合
专题 3 函数及图象
第 2 讲 一次函数的图象与性质
一、一次函数的概念
1．一次函数：用自变量的一次整式表示的函数；
2．一般形式： （k、b为常数，k≠0）；
3．正比例函数： （k为常数，k≠0）；
二、一次函数的图象与性质
1．系数K、b对图象的影响
K的正负 B的正负 图象经过的象限 函数的增减性
第一、二、三象
b>0
限
K>0 Y随x的增大而增大
第一、三、四象
b<0
限
第一、二、四象
b>0
限
K<0 Y随x的增大而减小
第二、三、四象
b<0
限
2．两条直线的位置关系直线 与直线 的位置关系：
系数k、b之间的关系 直线的位置关系
两直线平行
两直线垂直
两直线交于y轴上同一点
3．特殊直线
（1）x轴：直线y=0；
（2）y轴：直线x=0；
（3）与x轴平行的直线：直线y=a（a为常数）；
（4）与y轴平行的直线：直线x=a（a为常数）；
（5）第一、三象限的角平分线所在的直线：直线y=x；
（6）第二、四象限的角平分线所在的直线：直线y=-x；
4．直线的几何变换
（1）直线的平移规律：左加右减自变量，上加下减因变量；
（2）直线的对称规律：
关于x轴对称，自变量x不变，因变量y变为相反数；
关于y轴对称，自变量x变为相反数，因变量y不变；
关于原点对称，自变量x变为相反数，因变量y变为相反数；
三、待定系数法确定一次函数的解析式
1．设：设一次函数的解析式为
2．列：代入两点坐标或两组变量的值，得到二元一次方程组；
3．解：解方程组；
4．写：将k、b的值代入 ，写出解析式；
四、一次函数与方程、不等式
1．一次函数与方程
（1）一次函数 与x轴的交点的横坐标就是方程 的解；
（2）直线 与直线 的交点就是方程组 的解；
2．一次函数与不等式
一次函数 位于x轴上方对应部分的横坐标取值范围就是不等式 的解
集；
试卷第2页，共3页《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1．能根据简单实际问题中的已知条件确定一次函数的表达式；
2．会画出一次函数的图象；
3．会根据一次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标；
4．会根据一次函数的图象和表达式，探索并理解K值的变化对函数图象的影响；
5．认识正比例函数中两个变量的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量
之间的对应规律；
6．会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系；
【例1】
（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）
1．在平面直角坐标系中，一次函数 的图象是（ ）
A． B． C．
D．
【变1】
（2022·辽宁阜新·统考中考真题）
2．当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是
关于“一次函数图像平移的性质”的探究过程，请补充完整．(1)如图 ，将一次函数 的图像向下平移 个单位长度，相当于将它向右平移了
______个单位长度；
(2)将一次函数 的图像向下平移 个单位长度，相当于将它向______（填
“左”或“右”）平移了______个单位长度；
(3)综上，对于一次函数 的图像而言，将它向下平移 个单位长度，
相当于将它向______（填“左”或“右”）（ 时）或将它向______（填“左”或
“右”）（ 时）平移了 个单位长度，且 ， ， 满足等式_______．
【例1】
（2023·湖南益阳·统考中考真题）
3．关于一次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点
C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当 时，
【变1】
（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）
4．关于x的一次函数 ，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交
点在原点下方，则实数a的取值范围是 ．
试卷第4页，共3页【例1】
（2023·湖北鄂州·统考中考真题）
5．象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立
平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点 的位置，则在同一坐标系下，经过棋子
“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变1】
（2023·浙江杭州·统考中考真题）
6．在“ “探索一次函数 的系数 与图像的关系”活动中，老师给出了直角
坐标系中的三个点： ．同学们画出了经过这三个点中每两个点
的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式 ．分
别计算 ， 的值，其中最大的值等于 ．【例1】
（2023·辽宁丹东·统考中考真题）
7．如图，直线 过点 ， ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B． C． D．
【变1】
（2022·贵州贵阳·统考中考真题）
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图象如图
所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数 的图象中， 的值随着 值的增大而增大；
②方程组 的解为 ；
③方程 的解为 ；
④当 时， ．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
试卷第6页，共3页【例1】
（2023·四川广安·统考中考真题）
9．在平面直角坐标系中，点 在 轴的正半轴上，点 在直
线 上，若点 的坐标为 ，且 均为
等边三角形．则点 的纵坐标为 ．
【变1】
（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象交 轴于点 ，交
轴于点 直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 点 是线段
上的一个动点（点 不与点 重合），过点 作 轴的垂线交直线 于点 设点
的横坐标为 ．
(1)求 的值和直线 的函数表达式；
(2)以线段 ， 为邻边作▱ ，直线 与 轴交于点 ．①当 时，设线段 的长度为 ，求 与 之间的关系式；
②连接 ， ，当 的面积为 时，请直接写出 的值．
一、选择题
（2023·湖南娄底·统考中考真题）
11．将直线 向右平移2个单位所得直线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
（2023·山东临沂·统考中考真题）
12．对于某个一次函数 ，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是
（ ）
A． B． C． D．
（2023·宁夏·统考中考真题）
13．在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图象
如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A． 随 的增大而增大
B．
试卷第8页，共3页C．当 时，
D．关于 ， 的方程组 的解为
（2022·甘肃兰州·统考中考真题）
14．若一次函数 的图象经过点 ， ，则 与 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
（2022·江苏南通·统考中考真题）
15．根据图像，可得关于x的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽滁州·校联考一模）
16．已知一次函数 的图象经过点 ，其中 ， ，则关于 的一
次函数 和 的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
（2022·辽宁阜新·统考中考真题）
17．如图，平面直角坐标系中，在直线 和 轴之间由小到大依次画出若干个等
腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在 轴上，另一条直角边与
轴垂直，则第 个等腰直角三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，以点P为中心，把点A
按逆时针方向旋转 得到点B，在 ， ， ，
四个点中，直线 经过的点是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
试卷第10页，共3页（2023·江苏南通·统考中考真题）
19．已知一次函数 ，若对于 范围内任意自变量 的值，其对应的函数值
都小于 ，则 的取值范围是 ．
（2022·山东济宁·统考中考真题）
20．已知直线y＝x－1与y＝kx＋b相交于点（2，1）．请写出b值 （写出一个即
1 2
可），使x＞2时，y＞y．
1 2
（2022·江苏扬州·统考中考真题）
21．如图，函数 的图像经过点 ，则关于 的不等式 的解集
为 ．
（2023·江苏盐城·景山中学校考模拟预测）
22．已知 是关于 的函数，若该函数的图象经过点 ，则称点 为函数图象上的
“不动点”，例如：直线 ，上存在“不动点” ．若函数
的图象上存在唯一“不动点”，则 ．
（2023·四川南充·统考中考真题）
23．如图，直线 （k为常数， ）与x，y轴分别交于点A，B，则
的值是 ．（2023·四川自贡·统考中考真题）
24．如图，直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动
点，点H是直线 上的一动点，动点 ，连接
．当 取最小值时， 的最小值是 ．
（2023·黑龙江·统考中考真题）
25．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点A在直线 上，顶点B在x
轴上， 垂直 轴，且 ，顶点 在直线 上， ；过点 作
直线 的垂线，垂足为 ，交x轴于 ，过点 作 垂直x轴，交 于点 ，连接
，得到第一个 ；过点 作直线 的垂线，垂足为 ，交x轴于 ，过点
作 垂直x轴，交 于点 ，连接 ，得到第二个 ；如此下去，……，
则 的面积是 ．
试卷第12页，共3页三、解答题
（2023·北京·统考中考真题）
26．在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ，
与过点 且平行于x轴的线交于点C．
(1)求该函数的解析式及点C的坐标；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值
且小于4，直接写出n的值．
（2023·浙江温州·统考中考真题）
27．如图，在直角坐标系中，点 在直线 上，过点A的直线交y轴于
点 ．
(1)求m的值和直线 的函数表达式．
(2)若点 在线段 上，点 在直线 上，求 的最大值．
（2023·青海西宁·统考中考真题）
28．一次函数 的图象与 轴交于点 ，且经过点 ．(1)求点 和点 的坐标；
(2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数 的图象；
(3)点 在 轴的正半轴上，若 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合
条件的 点坐标．
（2023·河北·统考中考真题）
29．在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点 移动到点
称为一次甲方式：从点 移动到点 称为一次乙方式．
例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点 ；若都按
乙方式，最终移动到点 ；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点 ．
(1)设直线 经过上例中的点 ，求 的解析式；并直接写出将 向上平移9个单位
试卷第14页，共3页长度得到的直线 的解析式；
(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点
．其中，按甲方式移动了m次．
①用含m的式子分别表示 ；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为 ，在图中
直接画出 的图象；
(3)在（1）和（2）中的直线 上分别有一个动点 ，横坐标依次为 ，若
A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．
（2022·甘肃兰州·统考中考真题）
30．在平面直角坐标系中， 是第一象限内一点，给出如下定义： 和
两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
(1)求点 的“倾斜系数”k的值；
(2)①若点 的“倾斜系数” ，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点 的“倾斜系数” ，且 ，求OP的长；
(3)如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC： 运动， 是正方形ABCD上
任意一点，且点P的“倾斜系数” ，请直接写出a的取值范围．参考答案：
1．D
【分析】依据一次函数 的图象经过点 和 ，即可得到一次函数
的图象经过一、三、四象限．
【详解】解：一次函数 中，令 ，则 ；令 ，则 ，
∴一次函数 的图象经过点 和 ，
∴一次函数 的图象经过一、三、四象限，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．
2．(1)1
(2)左，
(3)右，左，
【分析】（1）根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到结论；
（2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到结论；
（3）根据（1）（2）题得出结论即可．
【详解】（1）解：∵将一次函数 的图像向下平移 个单位长度得到
，
相当于将它向右平移了 个单位长度，
故答案为： ；
（2）解：将一次函数 的图像向下平移 个单位长度得到
，相当于将它向左平移了 个单位长度；
故答案为：左； ；
（3）解：综上，对于一次函数 的图像而言，将它向下平移 个单位
长度，相当于将它向右 时 或将它向左 时 平移了 个单位长度，且 ，
， 满足等式 ．
故答案为：右，左， ．
【点睛】本题考查了一次函数图像与几何变换，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，
上加下减”，关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
3．B
【分析】根据一次函数的性质判断即可．
【详解】解：由题意可得： ，
∴一次函数经过一、二、三象限，函数值y随自变量x的增大而增大，故A、C错；
当 时， ，
∴图象与y轴交于点 ，故B正确；
当 时， ，
∵函数值y随自变量x的增大而增大，
∴当 时， ，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题
的关键．
4．
【分析】由一次函数性质得， ， ，求解即可．
【详解】解：∵y随x的增大而增大，
∴ ．
答案第2页，共2页∴ ．
时，
∵图象与y轴的交点在原点下方，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数的性质；掌握一次函数的性质是解题的关键．
5．A
【分析】利用待定系数法求解一次函数即可得解．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，可得“马”所在的点 ，
设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为 ，
∵ 过点 和 ，
∴ ，
解得 ，
∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为 ，
故选A．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关
键．
6．5
【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出 ， 进行比较即可解答．
【详解】解：设 过 ，则有：
，解得： ，则 ；
同理： ，
则分别计算 ， 的最大值为值 ．
故答案为5．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键．
7．B
【分析】根据函数图象，找出使函数图象在x轴上方的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式之间的关系的理解和掌握，能正确观
察图象得出答案是解此题的关键．
8．B
【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次
函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案．
【详解】解：由一次函数 的图象过一，二，四象限， 的值随着 值的增大而减
小；
故①不符合题意；
由图象可得方程组 的解为 ，即方程组 的解为 ；
答案第4页，共2页故②符合题意；
由一次函数 的图象过 则方程 的解为 ；故③符合题意；
由一次函数 的图象过 则当 时， ．故④不符合题意；
综上：符合题意的有②③，
故选B
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的
解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
9．
【分析】过点 作 轴，交直线 于点 ，过点 作 轴于点
，先求出 ，再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得
，然后解直角三角形可得 的长，即可得点 的纵坐标，同样的方法分别
求出点 的纵坐标，最后归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：如图，过点 作 轴，交直线 于点 ，过点 作
轴于点 ，
，
，当 时， ，即 ，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，即点 的纵坐标为 ，
同理可得：点 的纵坐标为 ，
点 的纵坐标为 ，
点 的纵坐标为 ，
归纳类推得：点 的纵坐标为 （ 为正整数），
则点 的纵坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、等边三角形的性质、正比例函数的应用、解直角
三角形等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
10．(1) ，
答案第6页，共2页(2)① ；② 或
【分析】（1）根据直线 的解析式求出点C的坐标，用待定系数法求出直线
的解析式即可；
（2）①用含m的代数式表示出 的长，再根据 得出结论即可；②根据面积得
出l的值，然后根据①的关系式的出m的值．
【详解】（1） 点 在直线 上，
，
一次函数 的图象过点 和点 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）① 点在直线 上，且 的横坐标为 ，
的纵坐标为： ，
点在直线 上，且 点的横坐标为 ，
点的纵坐标为： ，
，点 ，线段 的长度为 ，
，
，
，
即 ；
② 的面积为 ，
，
即 ，
解得 ，
由①知， ，
，
解得 ，
即 的值为 或 ．
【点睛】本题考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析
式是解题的关键．
11．B
【分析】直接根据“左加右减，上加下减” 的平移规律求解即可.
【详解】解：将直线 向右平移2个单位，
所得直线的解析式为 ，
即 ，
故选：B.
答案第8页，共2页【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样
一个规律“左加右减，上加下减”.
12．C
【分析】首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，再确定一次函数 系
数的符号，判断出函数图象所经过的象限．
【详解】解：∵一次函数 的图象不经过第二象限，
∴ ，故选项A正确，不符合题意；
∴ ，故选项B正确，不符合题意；
∵一次函数 的图象经过点 ，
∴ ，则 ，
∴ ，故选项C错误，符合题意；
∵ ，
∴ ，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负．
13．C
【分析】结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、 随 的增大而增大，故选项A正确；
B、由图象可知，一次函数 的图象与 轴的交点在 的图
象与 轴的交点的下方，即 ，故选项B正确；
C、由图象可知：当 时， ，故选项C错误；
D、由图象可知，两条直线的交点为 ，
∴关于 ， 的方程组 的解为 ；
故选项D正确；
故选C．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元
一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题
的关键．
14．A
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据-3＜4即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数y=2x+1中，k=2＞0，
∴y随着x的增大而增大．
∵点（-3，y）和（4，y）是一次函数y=2x+1图象上的两个点，-3＜4，
1 2
∴y＜y．
1 2
故选：A．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答
此题的关键．
15．D
【分析】写出直线y＝kx在直线y＝−x＋3上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：根据图象可得：不等式kx＞−x＋3的解集为：x＞1．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不
等式的解集是解题的关键．
16．B
【分析】先根据一次函数 的图象经过点 ， ，进而推出一次函数
的图象经过定点 ，则一次函数 一定经过第二象限，同理得到一次
函数 的图象经过定点 ，则一次函数 必定经过第三象限，再由
，得到一次函数 与一次函数 与y轴的交点坐标不相同，由此即可
得到答案．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过点 ，
∴ ，
答案第10页，共2页∴在一次函数 中， ，即 ，对于任意实数 ，恒有当
时， ，
∴一次函数 的图象经过定点 ；
∴一次函数 一定经过第二象限，
当 时，即 ，在一次函数 中， ，即 ，对
于任意实数，恒有当 时， ，
∴一次函数 的图象经过定点 ，
∴一次函数 必定经过第三象限，
又∵ ，
∴一次函数 与一次函数 与y轴的交点坐标不相同，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，正确判断出两个一次函数分别要经过第二
象限，第三象限是解题的关键．
17．C
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，可得第 个等腰直角三角形的直角边长，求
出第 个等腰直角三角形的面积，用同样的方法求出第 个等腰直角三角形的面积，第 个
等腰直角三角形的面积，找出其中的规律即可求出第 个等腰直角三角形的面积．
【详解】解：当 时， ，
根据题意，第 个等腰直角三角形的直角边长为 ，
第 个等腰直角三角形的面积为 ，
当 时， ，
第 个等腰直角三角形的直角边长为 ，
第 个等腰直角三角形的面积为 ，
当 时， ，
第 个等腰直角三角形的直角边长为 ，第 个等腰直角三角形的面积为 ，
依此规律，第 个等腰直角三角形的面积为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征与规律的综合，涉及等腰直角三角形的
性质，找出规律是解题的关键．
18．B
【分析】根据含 角的直角三角形的性质可得 ，利用待定系数法可得直线
的解析式，依次将 四个点的一个坐标代入 中可解答．
【详解】解：∵点 ，点 ，
∴ 轴， ，
由旋转得： ，
如图，过点B作 轴于C，
∴ ，
∴ ，
∴ ），
设直线 的解析式为： ，
则 ，
答案第12页，共2页∴ ，
∴直线 的解析式为： ，
当 时， ，
∴点 不在直线 上，
当 时， ，
∴ 在直线 上，
当 时 ，
∴ 不在直线 上，
当 时， ，
∴ 不在直线 上．
故选：B．
【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标
是解本题的关键．
19．
【分析】根据题意和一次函数的性质可得到 ，然后求解即可．
【详解】解：一次函数 ，
随 的增大而增大，
对于 范围内任意自变量 的值，其对应的函数值 都小于 ，
，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，明确题意，列出正确的不等式是解题的关键．
20．2（答案不唯一）【分析】根据题意将点（2，1）代入y＝kx＋b可得 ，即 ，根据x＞2时，
2
y＞y，可得 ，即可求得 的范围，即可求解．
1 2
【详解】解：∵直线y＝x－1与y＝kx＋b相交于点（2，1），
1 2
∴点（2，1）代入y＝kx＋b，
2
得 ，
解得 ,
∵直线y＝x－1， 随 的增大而增大，
1
又 x＞2时，y＞y，
1 2
，
，
解得 ，
故答案为：2（答案不唯一）
【点睛】本题考查了两直线交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．
21．
【分析】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是 ，则 的解集亦
同．
【详解】由一次函数图像得，当y>3时， ，
则y=kx+b>3的解集是 ．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键．
22． 或 或
【分析】根据题意列出关于 的一元二次方程有唯一解，利用根的判别式可得关于 的一
元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：由题意可知，方程 有唯一解，
整理得： ，且 ．
即 ，
解得 或 ．
当 时，它是一次函数，存在唯一“不动点”，
故答案为： 或 或 ．
答案第14页，共2页【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，新定义，一次函数的定义，对“不动点”
的理解是解决本题的关键．
23．1
【分析】根据一次函数解析式得出 ， ，然后代入化简即可．
【详解】解： ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性
质是解题关键．
24．
【分析】作出点 ，作 于点D，交x轴于点F，此时 的最小值为
的长，利用解直角三角形求得 ，利用待定系数法求得直线 的解析式，联立
即可求得点D的坐标，过点D作 轴于点G，此时 的最小值是 的长，
据此求解即可．
【详解】解：∵直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴ ， ，
作点B关于x轴的对称点 ，把点 向右平移3个单位得到 ，
作 于点D，交x轴于点F，过点 作 交x轴于点E，则四边形 是
平行四边形，此时， ，
∴ 有最小值，
作 轴于点P，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，则 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立， ，解得 ，
即 ；
过点D作 轴于点G，
答案第16页，共2页直线 与x轴的交点为 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关
键是灵活运用所学知识解决问题．
25．
【分析】解直角三角形得出 ， ，求出 ，证明
， ，得出 ，
，总结得出 ，从而得出
．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ 轴，
∴点A的横坐标为 ，
∵ ，
∴点A的纵坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
答案第18页，共2页∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 轴， 轴，
∴ ， ，
∵ 轴， 轴， 轴，
∴ ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解直角三角形，三角形面积的计算，
平行线的判定和性质，一次函数规律探究，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，
解题的关键是得出一般规律 ．
26．(1) ， ；
(2) ．
【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数
答案第20页，共2页解析式求出点C的横坐标即可；
（2）根据函数图象得出当 过点 时满足题意，代入 求出n的值即可．
【详解】（1）解：把点 ， 代入 得： ，
解得： ，
∴该函数的解析式为 ，
由题意知点C的纵坐标为4，
当 时，
解得： ，
∴ ；
（2）解：由（1）知：当 时， ，
因为当 时，函数 的值大于函数 的值且小于4，
所以如图所示，当 过点 时满足题意，
代入 得： ，
解得： ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐
标特征，利用数形结合的思想是解题的关键．27．(1) ，
(2)
【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线 的函数解析式为
，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）由（1）及题意易得 ， ，则有
，然后根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：把点 代入 ，得 ．
设直线 的函数表达式为 ，把点 ， 代入得
，解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ．
（2）解：∵点 在线段 上，点 在直线 上，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ 的值随 的增大而减小，
∴当 时， 的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的
关键．
答案第22页，共2页28．(1)
(2)见解析
(3) 坐标是 ，
【分析】（1）令 得出点 的坐标是 ，把 代入 ，即可求解；
（2）画出经过 的直线，即可求解；
（3）根据等腰三角形的定义，勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象与x轴交于点 ，
∴令
解得
∴点 的坐标是
∵点 在一次函数 的图象上
把 代入 ，
得 ，
∴ ，
∴点 的坐标是 ；
（2）解：如图所示，（3）解：如图所示，当 时， ;
∵ ， ，
∴ ，
当 时，
∴符合条件的点 坐标是 ， .
【点睛】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图象，勾股定理，等腰三角形的定义，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
答案第24页，共2页29．(1) 的解析式为 ； 的解析式为 ；
(2)① ；② 的解析式为 ，图象见解析；
(3)
【分析】（1）根据待定系数法即可求出 的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减
即可求出直线 的解析式；
（2）①根据题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为 ，再得出点
按照乙方式移动 次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；
②由①的结果可得直线 的解析式，进而可画出函数图象；
（3）先根据题意得出点A，B，C的坐标，然后利用待定系数法求出直线 的解析式，再
把点C的坐标代入整理即可得出结果．
【详解】（1）设 的解析式为 ，把 、 代入，得
，解得： ，
∴ 的解析式为 ；
将 向上平移9个单位长度得到的直线 的解析式为 ；
（2）①∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，
∴点P按照乙方式移动了 次，
∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为 ；
∴点 按照乙方式移动 次后得到的点的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴ ；
②由于 ，
∴直线 的解析式为 ；
函数图象如图所示：
（3）∵点 的横坐标依次为 ，且分别在直线 上，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把A、B两点坐标代入，得
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵A，B，C三点始终在一条直线上，
∴ ，
整理得： ；
即a，b，c之间的关系式为： ．
【点睛】本题是一次函数和平移综合题，主要考查了平移的性质和一次函数的相关知识，
答案第26页，共2页正确理解题意、熟练掌握平移的性质和待定系数法求一次函数的解析式是解题关键．
30．(1)3
(2)①a-2b或b=2a，②OP=
(3)a>
【分析】（1）直接由“倾斜系数”定义求解即可；
（2）①由点 的“倾斜系数” ，由 =2或 =2求解即可；
②由a=2b或b=2a，又因a+b=3，求出a、b值，即可得点P坐标，从而由勾股定理可求解；
（3）当点P与点D重合时，且k= 时，a有最小临界值，此时， = ，则 ，
求得a= +1；当点P与B点重合，且k= 时，a有最大临界值，此时， ，则
，求得：a=3+ ；即可求得 时，a的取值范围．
【详解】（1）解：由题意，得 ， ，
∵3> ，
∴点 的“倾斜系数”k=3；
（2）解：①a=2b或b=2a，
∵点 的“倾斜系数” ，
当 =2时，则a=2b；
当 =2时，则b=2a，
∴a=2b或b=2a；
②∵ 的“倾斜系数” ，
当 =2时，则a=2b∵ ，
∴2b+b=3，
∴b=1，
∴a=2，
∴P(2，1)，
∴OP= ；
当 =2时，则b=2a，
∵ ，
∴a+2a=3，
∴a=1，
∴b=2，
∴P(1，2)
∴OP= ；
综上，OP= ；
（3）解：由题意知，当点P与点D重合时，且k= 时，a有最小临界值，如图，连接
OD，延长DA交x轴于E，
答案第28页，共2页此时， = ，
则 ，
解得：a= +1；
∵ 则 ;
当点P与B点重合，且k= 时，a有最大临界值，如图，连接OB，延长CB交x轴于F，
此时， ，
则 ，
解得：a=3+ ，
∵ ,则 ;
综上，若P的“倾斜系数” ，则a> ．
【点睛】本题考查新定义，正方形的性质，正比例函数性质，解题的关键是：（1）（2）
问理解新定义，（3）问求临界值．答案第30页，共2页
