文档内容
模块二 知识全整合
专题 3 函数及图象
第 4 讲 一次函数的实际应用
一、利用一次函数的图象和性质解决实际问题的一般步骤
1．理解分析题，将文字语言或函数图象中的点的坐标转化为数学语言；
2．根据条件中的等量关系确定一次函数解析式及自变量的取值范围；
3．利用一次函数的性质解决问题；
二、待定系数法的实际应用
1．根据题意，确定函数的类型，根据类型设解析式；
2．从题中找出两组变量的值，把值代入解析式构建方程组；
3．解方程组，并写出解析式；
三、一次函数与方程、不等式综合应用
1．这类题一般阅读量大，情境较复杂，关键是读懂题意，理清自变量、因变量；
2．将文字语言转化为数学语言，从而建立函数模型；
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1． 能在实际问题中列出一次函数的表达式；
2． 结合一次函数的图象与表达式的性质等解决简单的实际问题；【例1】
（2023·四川·统考中考真题）
1．某移动公司推出A，B两种电话计费方式．
计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫
A 免费
B 免费
(1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，
方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式；
(2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；
(3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．
【变1】
（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）
2．为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店
购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为 元，去甲商店购买实付 元，去乙商店购买实付
元，其函数图象如图所示.
(1)分别求 ， 关于 的函数关系式；
(2)两图象交于点 ，求点 坐标；
(3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
试卷第2页，共3页【例1】
（2023·江苏南通·统考中考真题）
3．为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个
工程队参与施工，具体信息如下：
信息—
每天施工面积（单位：
工程队 每天施工费用（单位：元）
）
甲 3600
乙 x 2200
信息二
甲工程队施工 所需天数与乙工程队施工 所需天数相等．
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施
工22天，且完成的施工面积不少于 ．该段时间内体育中心至少需要支付多少
施工费用?
【变1】
（2023·山东济南·统考中考真题）
4．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型
机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用
1200元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型
机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型
和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?
【例1】
（2023·江苏·统考中考真题）
5．快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货
物用时 ，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为 ．两车之间的距离 与慢车行驶的时间 的函数图像如图
所示．
(1)请解释图中点 的实际意义；
(2)求出图中线段 所表示的函数表达式；
(3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．
【变1】
（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）
6．在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C
地休息 后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发 后，
乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程 与甲车行
驶时间 之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度是_____ ，乙车行驶的速度是_____ ．
(2)求图中线段 所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是 ？请直接写出答案．
【例1】
（2023·吉林·统考中考真题）
7．甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合
作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖
掘的长度之和 与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．
试卷第4页，共3页(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．
【变1】
（2023·广西·统考中考真题）【综合与实践】
8．【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学
中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请
完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：
.其中秤盘质量 克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与
秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距
离为y厘米．
【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定 ， ，最大可称重物质量为1000克，零刻线
与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出
关于l，a的方程；
(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
一、选择题
（2023·贵州·统考中考真题）
9．今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树
景点的路程y（ ）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正
确的是（ ）
A．小星家离黄果树景点的路程为 B．小星从家出发第1小时的平均速度为
C．小星从家出发2小时离景点的路程为 D．小星从家到黄果树景点的时间
共用了
（2023·山东聊城·统考中考真题）
10．甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙
地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图
象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ）
试卷第6页，共3页A．8:28 B．8:30 C．8:32 D．8:35
二、解答题
（2023·山东烟台·统考中考真题）
11．中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算
经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是
《周髀算经》单价的 ，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
(1)求两种图书的单价分别为多少元？
(2)为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买
的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，
两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？
（2023·江苏扬州·统考中考真题）
12．近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种
头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比
乙种头盔的单价高11元．
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式
如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种
头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头
盔的总费用最小？最小费用是多少元？
（2023·吉林长春·统考中考真题）
13．甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15
分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时
间x（分钟）之间的函数图象如图所示．(1)当 时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
(2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．
（2023·黑龙江·统考中考真题）
14．已知甲，乙两地相距 ，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车
沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物
后，发现此时与出租车相距 ，货车继续出发 后与出租车相遇．出租车到达
乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的
距离 与货车行驶时间 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)图中 的值是__________；
(2)求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离 与行驶时间 之
间的函数关系式；
(3)直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距 ．
（2023·浙江绍兴·统考中考真题）
15．一条笔直的路上依次有 三地，其中 两地相距1000米．甲、乙两机器
人分别从 两地同时出发，去目的地 ，匀速而行．图中 分别表示甲、
乙机器人离 地的距离 （米）与行走时间 （分钟）的函数关系图象．
试卷第8页，共3页(1)求 所在直线的表达式．
(2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
(3)甲机器人到 地后，再经过1分钟乙机器人也到 地，求 两地间的距离．
（2023·浙江金华·统考中考真题）
16．兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，
途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示
两人离学校的路程 （米）与哥哥离开学校的时间 （分）的函数关系．
(1)求哥哥步行的速度．
(2)已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中 的值；
②妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的 倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？
若能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由．
（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）
17．学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级
学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38
名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名
学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表
所示
甲型客车 乙型客车
载客量/（人/辆） 45 30
租金/（元/辆） 400 280
(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
(2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则
共需租车________辆；
(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
（2023·上海·统考中考真题）
18．“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这
张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性
全部用完．
(1)他实际花了多少钱购买会员卡？
(2)减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写
出定义域）
(3)油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？
（2023·浙江·统考中考真题）
19．我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公
司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订
合同．看图解答下列问题：
(1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
(2)求方案二y关于x的函数表达式；
(3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．
（2023·湖北襄阳·统考中考真题）
试卷第10页，共3页20．在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤
店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两
种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进
并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：
数量（支）
次数 总成本（元）
海鲜串 肉串
第一次 3000 4000 17000
第二次 4000 3000 18000
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200
支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5
元．
(1)求m、n的值；
(2)五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜
串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总
利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多
优惠，对每支肉串降价a（ ）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不
低于海鲜串的总利润，求a的最大值．参考答案：
1．(1)见解析；
(2)选方式B计费，理由见解析；
(3)见解析．
【分析】（1）根据题意，设两种计费金额分别为 、 ，分别计算
三个不同范围内的A、B两种方式的计费金额即可；
（2）令 ，根据（1）中范围求出对应两种计费金额，选择费用低的方案即可；
（3）令 ，求出此时 的值 ，当主叫时间 时，方式A省钱；当主叫时间
时，方式A和B一样；当主叫时间 时，方式B省钱；
【详解】（1）解：根据题意，设两种计费金额分别为 、
当 时，方式A的计费金额为 元，方式B的计费金额为108元；
方式A的计费金额 ，方式B的计费金额为
108元；
当 时，方式A的计费金额为 ，方式B的计费金额为
总结如下表：
主叫时间 /分钟 方式A计费( ) 方式B计费( )
78 108
108
（2）解：当 时，，故选方式B计费．
（3）解：令 ，有 解得
∴当 时，方式A更省钱；
当 时，方式A和B金额一样；
当 时，方式B更省钱．
【点睛】本题考查了一次函数在电话计费中的应用，根据题意分段讨论是求解的关键．
2．(1)y =0.85x；y 与x的函数关系式为y =
甲 乙 乙
(2)（600，510）
(3)当x＜600时，选择甲商店更合算；当x=600时，两家商店所需费用相同；当x＞600时，
选择乙商店更合算．
【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店y与x的函数关系式；
（2）根据（1）的结论列方程组解答即可；
（3）由点A的意义并结合图象解答即可．
【详解】（1）由题意可得，y =0.85x；
甲
乙商店：当0≤x≤300时，y 与x的函数关系式为y =x；
乙 乙
当x＞300时，y =300+（x-300）×0.7=0.7x+90，
乙
由上可得，y 与x的函数关系式为y =
乙 乙
（2）由 ，解得 ，
点A的坐标为（600，510）；
（3）由点A的意义，当买的体育商品标价为600元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，
都是510元，
结合图象可知，
当x＜600时，选择甲商店更合算；
答案第2页，共2页当x=600时，两家商店所需费用相同；
当x＞600时，选择乙商店更合算．
【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题
意，利用一次函数的性质解答．
3．(1)x的值为600
(2)该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元
【分析】（1）根据题意甲工程队施工 所需天数与乙工程队施工 所需天数相
等列出分式方程解方程即可；
（2）设甲工程队先单独施工 天，体育中心共支付施工费用 元，根据先由甲工程队单独
施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于
列出不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意列方程，得 ．
方程两边乘 ，得 ．
解得 ．
检验：当 时， ．
所以，原分式方程的解为 ．
答：x的值为600．
（2）解：设甲工程队先单独施工 天，体育中心共支付施工费用 元．
则 ．
，
．
1400>0，
随 的增大而增大．
当 时， 取得最小值，最小值为56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
4．(1)A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
(2)购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是 元，B型编程机器人模型单价是 元，
根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列
出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型 台，购买A型和B型编程机器人模型共花费 元，根
据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值
【详解】（1）解：设A型编程机器人模型单价是 元，B型编程机器人模型单价是
元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验， 是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
（2）设购买A型编程机器人模型 台，购买B型编程机器人模型 台，购买A型和
B型编程机器人模型共花费 元，
由题意得： ，解得 ．
∴
即 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大．
∴当 时， 取得最小值11200，此时 ；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理
解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．
答案第4页，共2页5．(1)快车到达乙地时，慢车距离乙地还有
(2)
(3) 小时
【分析】（1）根据点 的纵坐标最大，可得两车相距最远，结合题意，即可求解；
（2）根据题意得出 ，进而待定系数法求解析式，即可求解；
（3）先求得快车的速度进而得出总路程，再求得快车返回的速度，即可求解．
【详解】（1）解：根据函数图象，可得点 的实际意义为：快车到达乙地时，慢车距离乙
地还有
（2）解：依题意，快车到达乙地卸装货物用时 ，则点 的横坐标为 ，
此时慢车继续行驶 小时，则快车与慢车的距离为 ，
∴
设直线 的表达式为
∴
解得：
∴直线 的表达式为
（3）解：设快车去乙地的速度为 千米/小时，则 ，
解得：
∴甲乙两地的距离为 千米，
设快车返回的速度为 千米/小时，根据题意，
解得： ，
∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需（小时）
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程，根据函数图象获取信息是解题的关
键．
6．(1) ，
(2)
(3) 或
【分析】（1）结合函数图象中点的坐标的实际意义求速度；
（2）利用待定系数法求函数解析式；
（3）先求得点E、F坐标，然后分情况列方程求解．
【详解】（1）解：由图可得 ，即甲出发3时后与 地相距 ，
∴甲车行驶速度为 ；
由题意可得 ， ，即乙车出发 行驶 ，
∴乙车行驶速度为 ，
故答案为： ， ；
（2）解：设线段 所在直线的解析式为 ．
将 ， 代入 ，得 ．
解得 ．
线段 所在直线的解析式为 ．
（3）解：在 中，当 时， ，
∴ ，
答案第6页，共2页由（1）可得乙车行驶速度为 ，甲车行驶速度为 且两车同时到达目的地，
则乙到达目的地时，甲距离A地的距离为 ，
∴ ， ，
设乙车出发 时，两车距各自出发地路程的差是 ，
当 时，此时甲在到达C地前，
由 ，
解得 ， （不合题意，舍去）；
当 时，此时甲在C地休息，则 ，
解得 ， （不合题意，舍去）；
当 时，此时甲在返回B地中，则
解得 ， （不合题意，舍去）
综上，乙车出发 或 ，两车距各自出发地路程的差是 ．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用-行程问题、一元一次方程的应用，解题的关键是
结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义．
7．(1)30
(2)
(3)10天
【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；
（2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为 ，用待定系数法求解，再结合图象即
可得到自变量x的取值范围；
（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天
数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可．
【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，
∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，（天）
∴甲组比乙组多挖掘了30天，
故答案为：30；
（2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为 ，
将 和 两个点代入，可得 ，
解得 ，
∴
（3）解：甲组每天挖 （米）
甲乙合作每天挖 （米）
∴乙组每天挖 （米），乙组挖掘的总长度为 （米）
设乙组己停工的天数为a，
则 ，
解得 ，
答：乙组已停工的天数为10天．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得
到有用信息是解题的关键．
8．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)相邻刻线间的距离为5厘米
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意可直接代值求解；
（3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解；
答案第8页，共2页（4）根据（3）可进行求解；
（5）分别把 ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， 代入求解，然后问题可求解．
【详解】（1）解：由题意得： ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意得： ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由（1）（2）可得： ，
解得： ；
（4）解：由任务一可知： ，
∴ ，
∴ ；
（5）解：由（4）可知 ，
∴当 时，则有 ；当 时，则有 ；当 时，则有 ；当
时，则有 ；当 时，则有 ；当 时，则有 ；当
时，则有 ；当 时，则有 ；当 时，则有 ；当
时，则有 ；当 时，则有 ；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意．
9．D
【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合图象提供信息逐项判断即可．【详解】解： 时， ，因此小星家离黄果树景点的路程为 ，故A选项错误，
不合题意；
时， ，因此小星从家出发第1小时的平均速度为 ，故B选项错误，不
合题意；
时， ，因此小星从家出发2小时离景点的路程为 ，故C选项错误，不合题
意；
小明离家1小时后的行驶速度为 ，从家出发2小时离景点的路程为 ，
还需要行驶1小时，因此小星从家到黄果树景点的时间共用了 ，故D选项正确，符合题
意；
故选D．
【点睛】本题主要考查从函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，看懂所给一次函数
的图象．
10．A
【分析】利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，将两个解析式联立，通过解方程求
出交点的横坐标即可．
【详解】解：令小亮出发时对应的t值为0，小莹出发时对应的t值为10，则小亮到达乙地
时对应的t值为70，小莹到达甲地时对应的t值为40，
设小亮对应函数图象的解析式为 ，
将 代入解析式得 ，解得 ，
小亮对应函数图象的解析式为 ，
设小莹对应函数图象的解析式为 ，
将 ， 代入解析式，得 ，
解得 ，
答案第10页，共2页小莹对应函数图象的解析式为 ，
令 ，得 ，
解得 ，
小亮与小莹相遇的时刻为8:28．
故选A．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出两条直线的函
数解析式，熟练运用数形结合思想．
11．(1)《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；
(2)当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费
用为2316元．
【分析】（1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是 元，根据“用600
元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本”列分式方程，解之即可求解；
（2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出m的
取值范围，根据m的取值范围结合函数解析式解答即可．
【详解】（1）解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是 元，
依题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；
（2）解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为 本，
依题意得， ，
解得 ，设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元），
依题意得， ，
∵ ，
∴y随m的增大而增大，
∴当 时，有最小值，此时 （元），
（本）
答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总
费用为2136元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的
实际应用，根据题意表示出y与x之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键．
12．(1)甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
(2)购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为 元，根据题意，
得 ，求解；
（2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则 ，解
得 ，故最小整数解为 ， ，根据一次函数增减性，求得最小值
= ．
【详解】（1）解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为 元，根据题
意，得
解得， ，
，
答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
（2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,
则 ，解得 ，故最小整数解为 ，
，
∵ ，则w随m的增大而增大，
∴ 时，w取最小值，最小值 ．
答案第12页，共2页答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不
等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键．
13．(1)
(2)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）求得甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为 ，联立
，即可求解．
【详解】（1）解：设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为 ，将 ，
代入得，
，
解得： ，
∴ ；
（2）设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为
将点 代入得，
解得： ，
∴ ；联立
解得：
∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为 米
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
14．(1)120
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法求得 的解析式，将 代入解析式，解方程即可解答；
（2）根据题意可得 的值，即为货车装货时距离乙地的长度，结合货车停下来装完货物后，
发现此时与出租车相距 ，可求出装货时间，即点 的坐标，再根据货车继续出发
后与出租车相遇，求出装完货后货车的速度，即直线 的解析式中 的值，最后将点
B坐标代入直线 的解析式，利用待定系数法即可解答；
（3）根据（2）中直线 的解析式求得点 的坐标，结合题意，可得点 的坐标，从而
可得到出租车返回时的速度，然后进行分类讨论：①出租车和货车第二次相遇前，相距
时；②出租车和货车第二次相遇后，距离 时，分别进行解答即可．
【详解】（1）解：结合图象，可得 ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入解析式，可得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
把 代入 ，得 ，
故答案为：120；
（2）解：根据货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距 ，
答案第14页，共2页可得此时出租车距离乙地为 ，
出租车距离甲地为 ，
把 代入 ，可得 ，解得 ，
货车装完货时， ，可得 ，
根据货车继续出发 后与出租车相遇，可得 （出租车的速度 货车的速度） ，
根据直线 的解析式为 ，可得出租车的速度为 ，
相遇时，货车的速度为 ，
故可设直线 的解析式为 ，
将 代入 ，可得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离 与行驶时间 之间的函
数关系式为 ；
（3）解：把 代入 ，可得 ，解得 ，
，
，
根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，可得
,
，
出租车返回时的速度为 ，
设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距 ，
此时货车距离乙地为 ，出租车距离乙地为 ，①出租车和货车第二次相遇前，相距 时；
可得 ，
解得 ，
②出租车和货车第二次相遇后，相距 时；
可得 ，
解得 ，
故在出租车返回的行驶过程中，货车出发 或 与出租车相距 ．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，用待定系数法求一次函数，一次函数的实际应
用，能准确地理解题意，根据题中信息求得所需数据是解题的关键．
15．(1)
(2)出发后甲机器人行走 分钟，与乙机器人相遇
(3) 两地间的距离为600米
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用待定系数法求出 所在直线的表达式，再列方程组求出交点坐标，即可；
（3）列出方程即可解决．
【详解】（1）∵ ，
∴ 所在直线的表达式为 ．
（2）设 所在直线的表达式为 ，
∵ ，
∴ 解得
∴ ．
甲、乙机器人相遇时，即 ，解得 ，
答案第16页，共2页∴出发后甲机器人行走 分钟，与乙机器人相遇．
（3）设甲机器人行走 分钟时到 地， 地与 地距离 ，
则乙机器人 分钟后到 地， 地与 地距离 ，
由 ，得 ．
∴ ．
答： 两地间的距离为600米．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，要利用方
程组的解，求出两个函数的交点坐标，充分应用数形结合思想是解题的关键．
16．(1)
(2)① ；②能追上，理由见解析
【分析】（1）结合图表可得 ，根据速度等于路程除以时间，即可解答；
（2）①根据时间=路程÷速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可；
②如图，将妹妹走完全程的图象画出，将 和 的解析式求出，求两个函数的交点即可．
【详解】（1）解：由图可得 ，
（米/分），
∴哥哥步行速度为100米/分．
（2）①根据妺妺到书吧前的速度为200米/分，
∴妹妹所用时间t为： （min）．
∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，
∴ ．
②能追上．
如图，根据哥哥的速度没变，可得 的解析式的k值相同，妹妹的速度减小但仍大于
哥哥的速度，将妹妹的行程图象补充完整，
设 所在直线为 ，将 代入，得 ，解得 ，
∴ ．
∵妺妺的速度是160米/分．
设 所在直线为 ，将 代入，得 ，
解得 ，
∴ ．
联立方程 ，
解得 ，
∴ 米，即追上时兄妺俩离家300米远．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题），从图像中获得正确的信息是解题
的关键．
17．(1)参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名
(2)6
(3)学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元
【分析】（1）设参加本次实践活动的老师有x名，根据“若每位老师带38名学生，则还
剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生”列出方程求
解即可；
（2）根据每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，得出汽车总数不超
答案第18页，共2页过6辆，根据要保证所有师生都有车坐，得出汽车总数不少于 辆，即可解答；
（3）设租用甲客车a辆，则租用乙客车 辆，列出不等式组，解得 ，设租
车费用为y元，得出 ，根据一次函数增减性得出y随a的增大而增大，即可
解答．
【详解】（1）解：设参加本次实践活动的老师有x名，
，
解得： ，
∴ ，
答：参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名；
（2）解：∵每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，
∴汽车总数不超过6辆，
∵要保证所有师生都有车坐，
∴汽车总数不少于 （辆），则汽车总数最少为6辆，
∴共需租车6辆，
故答案为：6．
（3）解：设租用甲客车a辆，则租用乙客车 辆，
，
解得： ，
∵a为整数，
∴ 或 ，
方案一：租用甲客车4辆，则租用乙客车2辆；
方案二：租用甲客车5辆，则租用乙客车1辆；
设租车费用为y元，
，
∵ ，
∴y随a的增大而增大，∴当 时，y最小， ，
综上：学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次
函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程、不等
式组、一次函数表达式．
18．(1)900
(2)
(3)
【分析】（1）根据 ，计算求解即可；
（2）由题意知， ，整理求解即可；
（3）当 ，则 ，根据优惠后油的单价比原价便宜 元，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知， （元），
答：实际花了900元购买会员卡；
（2）解：由题意知， ，整理得 ，
∴y关于x的函数解析式为 ；
（3）解：当 ，则 ，
∵ ，
∴优惠后油的单价比原价便宜 元．
【点睛】本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数的应用．解题的关键在
于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析式．
19．(1)30件
(2)
(3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30件，两种
方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一
答案第20页，共2页【分析】（1）由图象的交点坐标即可得到解答；
（2）由图象可得点 ，设方案二的函数表达式为 ，利用待定系数
法即可得到方案二y关于x的函数表达式；
（3）利用图象的位置关系，结合交点的横坐标即可得到结论．
【详解】（1）解：由图象可知交点坐标为 ，即员工生产30件产品时，两种方案
付给的报酬一样多；
（2）由图象可得点 ，设方案二的函数表达式为 ，
把 代入上式，得
解得
∴方案二的函数表达式为 ．
（3）若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；
若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；
若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一．
【点睛】此题考查了从函数图像获取信息、一次函数的应用等知识，从函数图象获取正确
信息和掌握待定系数法是解题的关键．
20．(1) 的值为3， 的值为2
(2)
(3)0.5
【分析】（1）根据表格数据列出方程组，解方程组即可求出 、 的值；
（2）分两种情况讨论，根据题意，结合“总利润 每支利润 数量”分别列出代数式即可
求出 与 的函数关系式，注意写出自变量 的取值范围；
（3）设降价后获得肉串的总利润为 元，令 ，先根据题意列出 关于 的关系式，
再写出 关于 的关系式，根据函数增减性和题中数量关系即可求出结果．【详解】（1）解：根据表格可得： ，
解得： ，
∴ 的值为3， 的值为2；
（2）当 时，店主获得海鲜串的总利润 ；
当 时，店主获得海鲜串的总利润 ；
∴ ；
（3）设降价后获得肉串的总利润为 元，令 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 随 的增大而减小，
当 时， 的值最小，
由题意可得： ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ 的最大值是0.5．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质和应用以及二元一次方
程组的应用是解决问题的关键．
答案第22页，共2页
