文档内容
模块二 知识全整合
专题 4 图形的性质
第 3 讲 全等三角形
一、全等三角形的判定
1．全等三角形：能够完全重合的两个三角形就是全等三角形；
2．全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL；
二、全等三角形的性质
1．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；
2．全等三角形的拓展性质：全等三角形对应高（中线、角平分线）相等，全等三角形
的周长相等，面积相等；
三、全等三角形常见模型
1．手拉手模型
2．三垂直模型3．平移模型
沿一边所在直线平移可使两个三角形重合．图示:
4．轴对称模型
所给图形沿某一直线折叠，直线两边的部分完全重合．图示:
5．旋转模型
（1）不共顶点:绕某一顶点旋转，再平移后两个三角形重合．图示:
（2）共顶点:绕某一顶点旋转一定角度后两个三角形重合．图示:
6．一线三等角模型
三等角( )在同一直线上(等角可以为锐角、钝角、直角．特别地，等
角为直角时，称为一线三垂直模型)．图示:
试卷第2页，共3页7．倍长中线模型
8．半角模型
9．截长补短模型
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1．理解全等三角形的概念；
2．掌握基本事实：SAS，ASA，SSS，HL；
3．证明定理：AAS；
【例1】（2023·四川成都·统考中考真题）
1．如图，已知 ，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若
，则 的长为 ．【变1】（2021·山东日照·统考中考真题）
2．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发，以 的速
度沿 边向点 运动，到达点 停止，同时，点 从点 出发，以 的速度沿
边向点 运动，到达点 停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随
之停止运动．当 为 时， 与 全等．
【例1】（2023·四川甘孜·统考中考真题）
3．如图， 与 相交于点 ， ，只添加一个条件，能判定
的是( )
A． B． C． D．
【变1】（2023·浙江衢州·统考中考真题）
4．已知：如图，在 和 中， 在同一条直线上．下面四个条件：
① ；② ；③ ；④ ．
(1)请选择其中的三个条件，使得 （写出一种情况即可）；
试卷第4页，共3页(2)在（1）的条件下，求证： ．
【例1】（2023·重庆·统考中考真题）
5．如图，在 中， ， ，点D为 上一点，连接 ．
过点B作 于点E，过点C作 交 的延长线于点F．若 ，
，则 的长度为 ．
【变1】（2023四川成都模拟）
6．初步探究：如图1，在四边形 中， ， ，E，F分别
是 ， 上的点，且 ．探究图中 、 、 之间的数
量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长 到点G，使 ，连接 ，先
证明 ，再证明 ，可得出结论是 ．
灵活运用：如图2，在四边形 中， ， ，E，F分别是
、 上的点，且 ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
拓展延伸：如图3，在四边形 中， ， ，若点E在
的延长线上，点F在 的延长线上，仍然满足 ，请直接写出
与 的数量关系．【例1】（2023·吉林长春·统考中考真题）
7．如图，工人师傅设计了一种测零件内径 的卡钳，卡钳交叉点O为 、 的
中点，只要量出 的长度，就可以道该零件内径 的长度．依据的数学基本事实是
（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B．两角及其夹边分别相等的两个三角形
全等
C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短
【变1】（2022·江苏扬州·统考中考真题）
8．如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过
电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为 ，提供了下
列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
一、选择题
（2023·山东·统考中考真题）
9．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点
均在小正方形方格的顶点上，线段 交于点 ，若 ，
则 等于（ ）
试卷第6页，共3页A． B． C． D．
（2023·河北·统考中考真题）
10．在 和 中， ．已知
，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
（2023·重庆·统考中考真题）
11．如图，在正方形 中，O为对角线 的中点，E为正方形内一点，连接 ，
，连接 并延长，与 的平分线交于点F，连接 ，若 ，则
的长度为（ ）
A．2 B． C．1 D．
二、填空题
（2023·浙江台州·统考一模）
12．如图， ，点D在边 上，延长 交边 于点F，若
，则 ．
（2023·内蒙古·统考中考真题）
13．如图，在平面直角坐标系中，点 坐标 ，连接 ，将 绕点 逆时针旋转，得到 ，则点 的坐标为 ．
（2023·山东·统考中考真题）
14．如图，在平面直角坐标系中，点 在反比例函数 的图象上．点 的
坐标为 ．连接 ．若 ，则 的值为 ．
（2023·湖北襄阳·统考中考真题）
15．如图，在 中， ，点 是 的中点，将 沿 折叠得到 ，
连接 .若 于点 ， ，则 的长为 ．
（2023·四川遂宁·统考中考真题）
16．如图，以 的边 、 为腰分别向外作等腰直角 、 ，连结
、 、 ，过点 的直线 分别交线段 、 于点 、 ，以下说法：①当
时， ；② ；③若 ， ， ，则
；④当直线 时，点 为线段 的中点．正确的有 ．(填序
试卷第8页，共3页号)
三、解答题
2023·辽宁大连·统考中考真题）
17．如图，在 和 中，延长 交 于 ， ，
．求证： ．
2023·江苏·统考中考真题）
18．已知：如图，点 为线段 上一点， ， ， ．求证：
．
（2023·江苏南通·统考中考真题）
19．如图，点 ， 分别在 ， 上， ， ， 相交于点
， ．
求证： ．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．第一步又 ， ，
∴ 第二步
∴ 第三步
(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
（2023·山东临沂·统考中考真题）
20．如图， ．
(1)写出 与 的数量关系
(2)延长 到 ，使 ，延长 到 ，使 ，连接 ．求证：
．
(3)在（2）的条件下，作 的平分线，交 于点 ，求证： ．
（2022·贵州黔西·统考中考真题）
21．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C
重合），且 ．
试卷第10页，共3页(1)当 时，求证： ；
(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点， ，垂足为K，交AC于点H且
．若 ， ，请用含a，b的代数式表示EF的长．参考答案：
1．3
【分析】利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：由全等三角形的性质得： ，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．
2．2或
【分析】可分两种情况：① 得到 ， ，② 得到
， ，然后分别计算出 的值，进而得到 的值．
【详解】解：①当 ， 时， ，
，
，
，
，解得： ，
，
，
解得： ；
②当 ， 时， ，
，
，
，解得： ，
，
，
解得： ，
综上所述，当 或 时， 与 全等，
故答案为：2或 ．
【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
3．B
【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．
【详解】解：A、不能证明△ ，故此选项不合题意；
B、由 可得 ， ，可利用 证明 ，故此选项符
合题意；
C、不能证明 ，故此选项不合题意；
D、不能证明 ，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关
键，．
4．(1)①②③或①③④（写出一种情况即可）
(2)见解析
【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可；
（2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可．
【详解】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③；
或者选择的条件为：①③④；
（2）证明：当选择的条件为①②③时，
，
，
即 ，
在 和 中，
，
；
当选择的条件为①③④时，
，
，
即 ，
答案第2页，共2页在 和 中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
5．3
【分析】证明 ，得到 ，即可得解．
【详解】解： ∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中：
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相
等证明三角形全等是解题的关键．
6．初步探究： ；灵活应用：成立，见解析；拓展延伸：
【分析】初步探究：延长 到点G，使 ，连接 ，可判定 ，
进而得出 ， ，再判定 ，可得出
，据此得出结论；灵活运用：延长 到点G，使 ，连接 ，先判定 ，进而得出
， ，再判定 ，可得出
；
拓展延伸：在 延长线上取一点G，使得 ，连接 ，先判定 ，
再判定 ，得出 ，最后根据 ，推导得
到 ，即可得出结论．
【详解】解：初步探究：结论： ，
理由：如图1，延长 到点G，使 ，连接 ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
答案第4页，共2页，
，
，
；
故答案为： ；
灵活运用：仍成立，
理由：如图2，延长 到点G，使 ，连接 ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，，
，
；
拓展延伸：结论： ，
理由：如图3，在 延长线上取一点G，使得 ，连接 ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
答案第6页，共2页，
，
，
，
即 ，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题
的关键是作辅助线构造全等三角形．
7．A
【分析】根据题意易证 ，根据证明方法即可求解．
【详解】解：O为 、 的中点，
， ，
（对顶角相等），
在 与 中，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．
8．C
【分析】根据SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求．
【详解】A. ．根据SSS一定符合要求；
B. ．根据SAS一定符合要求；
C. ．不一定符合要求；
D. ．根据ASA一定符合要求．故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的
SSS，SAS，ASA三个判定定理．
9．C
【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解．
【详解】解：如图，
由图可知： ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解
题的关键．
10．C
【分析】过A作 于点D，过 作 于点 ，求得 ，分两
种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作 于点D，过 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
当 在点D的两侧， 在点 的两侧时，如图，
答案第8页，共2页∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
当 在点D的两侧， 在点 的同侧时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ；
综上， 的值为 或 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论
是解题的关键．
11．D
【分析】连接 ，根据正方形 得到 ， ，根据角平分线的
性质和等腰三角形的性质，求得 ，再证明 ，求得 ，
最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即可求出 的长度．
【详解】解：如图，连接 ，四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
平分 ，
，
，
在 与 ,
，
，
，
，
O为对角线 的中点，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角
三角形特征，作出正确的辅助线，求得 是解题的关键．
12． ##145度
【分析】根据 可得 ，再由三角形内角和得到
，利用邻补角定义求出 即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
答案第10页，共2页【点睛】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和以及邻补角定义，解答关键是在全
等三角形性质基础上灵活运用数形结合思想
13．
【分析】过点 作 轴于点A，过点 作 轴于点C，易证 ，
即得出 ， ，即 ．
【详解】解：如图，过点 作 轴于点A，过点 作 轴于点C，
∵将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．正确作出辅助线构造全等三角
形是解题关键．
14． ##
【分析】过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，证明 ，进而根据全等三角形的性质得出 ，根据点 ，进而得出
，根据点 在反比例函数 的图象上．列出方程，求得 的值，
进而即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴
∵点 的坐标为 ．
∴ ，
∴
∵ 在反比例函数 的图象上，
∴
解得： 或 （舍去）
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，求得点 的坐
答案第12页，共2页标是解题的关键．
15．
【分析】取 中点 ，连接 ，取 中点 ，连接 ，作 于点 ．设
，由折叠可知 则 ，得到 ，从而推导出
，由三角形中位线定理得到 ，从而推导出 ，得到四边
形 是正方形， ， ，最后利用勾股定理解答即可．
【详解】解：取 中点 ，连接 ，取 中点 ，连接 ，作 于点 ．
∵ ， 为 的中点，
∴ ， ， ．
∵点 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，则 于点 ，
设 ，由折叠可知 则 ，
∵ ，
∴ ， ，
又由折叠得 ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得： ，∴ ，
∵ 是 的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
由折叠知 ， ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ，即 ， ，
在 中， ．
答案第14页，共2页故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，正方形
的判定及性质等，解答本题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解．
16．①②④
【分析】①当 时， 是等边三角形，根据等角对等边，以及三角形的内
角和定理即可得出 ，进而判断①；证明 ，
根据全等三角形的性质判断②；作直线 于点 ， 过点 作 于点 ，
过点 作 于点 ，证明 ， ， ，
即可得 是 的中点，故④正确，证明 ，可得 ，在
中， ，在 中， ，得出 ，在
中，勾股定理即可求解．
【详解】解：①当 时， 是等边三角形，
∴
∴
∵等腰直角 、 ，
∴
∴
∴ ；故①正确；
②∵等腰直角 、 ，
∴ ，
∴
∴
∴ ；故②正确；
④如图所示，作直线 于点 ， 过点 作 于点 ，过点 作
于点 ，∵ ，
∴ ，
又 ，
∴
又∵ ，
∴
同理得， ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，，
∴ ，
∴ ，即 是 的中点，故④正确，
∴ ，
设 ，则
在 中，
在 中，
∴
∴
解得：
∴ ，
答案第16页，共2页∴ ，
∴
∴
在 中，
∴ ,故③错误
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰
三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关
键．
17．证明见解析
【分析】由 ， ，可得 ，证明
，进而结论得证．
【详解】证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活
运用．
18．证明见详解；
【分析】根据 得到 ，结合 ， ，即可得到
即可得到证明．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据平行线得到三角形全等判
定的条件．
19．(1)二
(2)见解析
【分析】（1）根据证明过程即可求解．
（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．
【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二．
（2）证明：∵ ，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
20．(1) ，
答案第18页，共2页(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）勾股定理求得 ，结合已知条件即可求解；
（2）根据题意画出图形，证明 ，得出 ，则 ，即
可得证；
（3）延长 交于点 ，延长 交 于点 ，根据角平分线以及平行线的性质证
明 ，进而证明 ，即可得证．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
∵
∴
即 ；
（2）证明：如图所示，
∴
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ， ,
∴
∴
∴∴
（3）证明：如图所示，延长 交于点 ，延长 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
答案第20页，共2页又 ，则 ，
在 中，
，
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线
的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
21．(1)见解析
(2) ，见解析
(3)
【分析】（1）先利用正方表的性质求得 ， ，再利用判定三角形全等
的“SAS”求得三角形全等，然后由全等三角形的性质求解；
（2）延长CB至M，使 ，连接AM，先易得 ，推出
， ，进而得到 ，最后利用全等三角形的性
质求解；
（3）过点H作 于点N，易得 ，进而求出 ，
再根据（2）的结论求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ．
在 和 中
，∴ ，
∴ ；
（2）解：BE，EF，DF存在的数量关系为 ．
理由如下：
延长CB至M，使 ，连接AM，
则 ．
在 和 中
，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴∠MAE=∠FAE，
在 和 中
，
∴ ，
∴EM=EF，
∵EM=BE+BM，
∴ ；
答案第22页，共2页（3）解：过点H作 于点N，
则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中
，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由（2）知， ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，
作出辅助线，构建三角形全等是解答关键．
答案第24页，共2页
