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模块二 知识全整合
专题 4 图形的性质
第 4 讲 等腰三角形
一、线段垂直平分线
1．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等；
2．判定：到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
二、角平分线
1．性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
2．判定：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；
三、等腰三角形
1．性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（顶角的角平分线，底边上的中线，底边
上的高），是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线；
2．判定：等角对等边；
四、等边三角形
1．性质：三边相等，三个角都等于60°,有三条对称轴；
2．判定
（1）三边都相等的三角形是等边三角形；
（2）有两个角是60°的三角形是等边三角形；（3）有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形；
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1．理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理和判定定理；
2．理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理；
3．理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理和判定定理；
4．探索等边三角形的性质定理和判定定理；
【例1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）
1．如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．
若EC＝2，则OD的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4+2
【变1】（2023·广东惠州·校联考二模）
2．如图， ， ， 于 ．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ， ，求 的长．
试卷第2页，共3页【例1】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）
3．如图，在 中， ， ，线段 的垂直平分线交 于点 ，
交 于点 ，则 ．
【变1】（2022·湖北恩施·二模）
4．已知，如图， 是 的角平分线， ， ，垂足为E、F．求
证： 垂直平分 ．
【例1】（2023·浙江台州·统考中考真题）
5．如图，锐角三角形 中， ，点D，E分别在边 ， 上，连接 ，
．下列命题中，假命题是（ ）．
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【变1】（2023·江苏泰州·统考中考真题）
6．如图， 中， ， ，射线 从射线 开始绕点C逆时针旋转 角 ，与射线 相交于点D，将 沿射线 翻折至 处，
射线 与射线 相交于点E．若 是等腰三角形，则 的度数为
．
【例1】（2023·山东滨州·统考中考真题）
7．已知点 是等边 的边 上的一点，若 ，则在以线段
为边的三角形中，最小内角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变1】（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）
8．如图，等边三角形 的边长为 ，动点P从点A出发以 的速度沿 向
点B匀速运动，过点P作 ，交边 于点Q，以 为边作等边三角形 ，
使点A，D在 异侧，当点D落在 边上时，点P需移动 s．
一、选择题
2023·内蒙古·统考中考真题）
9．如图，直线 ，直线 与直线 分别相交于点 ，点 在直线 上，且
．若 ，则 的度数为（ ）
试卷第4页，共3页A． B． C． D．
（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）
10．如图，将 绕点A逆时针旋转到 ，旋转角为 ，点B的
对应点D恰好落在 边上，若 ，则旋转角 的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2023·黑龙江·统考中考真题）
11．如图， 是等腰三角形， 过原点 ，底边 轴，双曲线 过
两点，过点 作 轴交双曲线于点 ，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
（2023·河南·统考中考真题）
12．如图1，点P从等边三角形 的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，
再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x， ，图2是点P运动时y
随x变化的关系图象，则等边三角形 的边长为（ ）A．6 B．3 C． D．
（2023·河北唐山·统考一模）
13．老师在微信群发了这样一个图：以线段 为边作正五边形 和正三角形
，连接 ， 交于点 ，下列四位同学的说法不正确的是（ ）
甲
乙 是 的垂直平分线
丙 是等腰三角形
丁 与 平行
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）
14．如图，已知 和 都是等腰三角形， ， 交于
点F，连接 ，下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④
．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
试卷第6页，共3页（2023·安徽·统考中考真题）
15．如图， 是线段 上一点， 和 是位于直线 同侧的两个等边三角
形，点 分别是 的中点．若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C． 周长的最小值为6 D．四边形 面积的最小值为
二、填空题
（2022·北京·统考中考真题）
16．如图，在 中， 平分 若 则 ．
（2023·辽宁锦州·统考中考真题）
17．如图，在 中， 的垂直平分线交 于点D．交 于点E．连接 ．若
， ，则 的度数为 ．
（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）
18．在 中， ， ，点 到 的距离是 ， 到 的距离是 ，
则 等于
（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）19．如图， 是边长为 的等边三角形，点 为高 上的动点．连接 ，将
绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值是
．
三、解答题
（2023·浙江湖州·统考中考真题）
20．如图，在 中， ， 于点D，点E为AB的中点，连结DE．
已知 ， ，求BD，DE的长．
（2023·安徽蚌埠·统考一模）
21．在 中， ， ，点 是射线 上一点，连接 ，过
点 作 ，垂足为点 ，直线 、 相交于点 ．
(1)如图 所示，当点 在线段 延长线上时，求证： ≌ ；
(2)如图 所示，当点 在线段 上时，连接 ，过点 作 于 ，
于 ，求证： 平分 ．
（2023·广西·统考中考真题）
22．【探究与证明】
折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
试卷第8页，共3页【动手操作】如图1，将矩形纸片 对折，使 与 重合，展平纸片，得到折
痕 ；折叠纸片，使点B落在 上，并使折痕经过点A，得到折痕 ，点B，E
的对应点分别为 ， ，展平纸片，连接 ， ， ．
请完成：
(1)观察图1中 ， 和 ，试猜想这三个角的大小关系；
(2)证明（1）中的猜想；
【类比操作】如图2，N为矩形纸片 的边 上的一点，连接 ，在 上取
一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕 ；折叠纸片，使点
B，P分别落在 ， 上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为 ， ，展平纸片，
连接， ．
请完成：
(3)证明 是 的一条三等分线．
（2023·北京·统考中考真题）
23．在 中、 ， 于点M，D是线段 上的动
点（不与点M，C重合），将线段 绕点D顺时针旋转 得到线段 ．(1)如图1，当点E在线段 上时，求证：D是 的中点；
(2)如图2，若在线段 上存在点F（不与点B，M重合）满足 ，连接 ，
，直接写出 的大小，并证明．
试卷第10页，共3页参考答案：
1．C
【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性
质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝
DE，即可求出OD的长．
【详解】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，
∴EH＝EC，
∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，
∵DE∥OB，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2HE＝2EC，
∵EC＝2，
∴DE＝4，
∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，
∴∠DEO＝15°，
∴∠AOE＝∠DEO，
∴OD＝DE＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质等，
熟练掌握这些性质是解题的关键．
2．(1)见解析
(2)6【分析】（1）过C点作 ，交 的延长线于点F．由 证明 ，
可得 ，结论得证；
（2）证明 ，可得 ，可求出 ．
【详解】（1）证明：过C点作 ，交 的延长线于点F．
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）解：由（1）可得 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助
线构造全等三角形．
3． ##10度
【分析】由 ， ，求得 ，根据线段的垂直平分线、等边对等
角和直角三角形的两锐角互余求得．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
答案第2页，共2页∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线性质，熟记直角三角形的性质、
线段垂直平分线性质是解题的关键．
4．见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的三线合一性质定理，线段垂直平
分线的判定，熟练掌握以上定理是解答本题的关键，首先由角平分线的性质定理可知
，再由三角形内角和定理可推得 ，最后用等腰三角形的三线合一性质定
理即可推得结论成立．
【详解】 是 的角平分线， ， ，
， ， ，
∴ ,
∴ ,
∴ 垂直平分 ．
5．A
【分析】由 ，可得 ，再由 ，由 无法证明
与 全等，从而无法得到 ；证明 可得 ；
证明 ，可得 ，即可证明；证明 ，即可得
出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵若 ，
又 ，
∴ 与 满足“ ”的关系，无法证明全等，
因此无法得出 ，故A是假命题，
∵若 ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故B是真命题；
若 ，则 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故C是真命题；
若 ，则在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故D是真命题；
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，
正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理．
6． 或 或
【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知 ， ，再画出图
形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知 ， ，
答案第4页，共2页当 时， ，
由三角形的外角性质得 ，即 ，
此情况不存在；
当 时，
， ，
由三角形的外角性质得 ，
解得 ；
当 时， ，
∴ ，
由三角形的外角性质得 ，
解得 ；
当 时， ，∴ ，
∴ ；
综上， 的度数为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数
形结合是解题的关键．
7．B
【分析】将 绕点 逆时针旋转 得到 ，可得以线段 为边的三角形，
即 ，最小的锐角为 ，根据邻补角以及旋转的性质得出 ，
进而即可求解．
【详解】解：如图所示，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴以线段 为边的三角形，即 ，最小的锐角为 ，
∵ ，
∴
∴
∴ ，
答案第6页，共2页故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题
的关键．
8．1
【分析】当点D落在 上时，如图， ，根据 等边三角形，
是等边三角形，证明 ，进而可得x的值．
【详解】解：设点P的运动时间为 ，由题意得 ，
，
∵ ，
∴ ，
∵ 和 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，含 角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．
9．C
【分析】由 ， ，可得 ，由 ，可得
，进而可得 的度数．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质．解题的关键在于
明确角度之间的数量关系．
10．C
【分析】先求出 ，再利用旋转的性质求出 ， ，然后利用等
边对等角求出 ，最后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵旋转，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即旋转角 的度数是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对
答案第8页，共2页等角是解题的关键．
11．C
【分析】设 ，根据反比例函数的中心对称性可得 ，然后过点A作
于E，求出 ，点D的横坐标为 ，再根据 列式求出 ，进而
可得点D的纵坐标，将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出 的值．
【详解】解：由题意，设 ，
∵ 过原点 ，
∴ ，
过点A作 于E，
∵ 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ，点D的横坐标为 ，
∵底边 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，
∴点D的纵坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，中心对称的性质，等腰三角形的性质等知
识，设出点B坐标，正确表示出点D的坐标是解题的关键．
12．A
【分析】如图，令点 从顶点 出发，沿直线运动到三角形内部一点 ，再从点 沿直线
运动到顶点 ．结合图象可知，当点 在 上运动时， ， ，易知
，当点 在 上运动时，可知点 到达点 时的路程为 ，可知
，过点 作 ，解直角三角形可得 ，进而可求得等
边三角形 的边长．
【详解】解：如图，令点 从顶点 出发，沿直线运动到三角形内部一点 ，再从点 沿
直线运动到顶点 ．
结合图象可知，当点 在 上运动时， ，
∴ ， ，
又∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
答案第10页，共2页∴ ，
∴ ，
当点 在 上运动时，可知点 到达点 时的路程为 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
过点 作 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
即：等边三角形 的边长为6，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的
条件．
13．A
【分析】根据正五边形和正三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的
判定，逐项判断即可求解．
【详解】解：在正五边形 和正三角形 中，
，正五边形 的每个内角为 ，
正三角形 的每个内角的度数为 ，
∴ ，
∴ ，
即 不垂直于 ，故甲同学的说法错误，符合题意；
如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴点D在线段 的垂直平分线上，
∵ ，
∴点G在线段 的垂直平分线上，
∴ 是 的垂直平分线，故乙同学说法正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，故丙同学说法正确，不符合题意；
∵ ，
∴ 与 平行，丁同学说法正确，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了正五边形和正三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂
直平分线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
14．C
【分析】①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可
得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③
分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF
平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合 即可判定．
【详解】解：∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
答案第12页，共2页∴∠ACF+∠CGF=90°,
∴∠BFC=90°
故②正确；
分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S =S ,
BAD CAE
△ △
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴ 平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．
故③错误；
∵ 平分∠BFE，
∴
故④正确．
故答案为C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知
识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．
15．A
【分析】延长 ，则 是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当 点与 重合时，则 三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求
解．
【详解】解：如图所示，
延长 ，
依题意
∴ 是等边三角形，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
则 为 的中点
如图所示，
设 的中点分别为 ，
答案第14页，共2页则
∴当 点在 上运动时， 在 上运动，
当 点与 重合时，即 ，
则 三点共线， 取得最小值，此时 ，
则 ，
∴ 到 的距离相等，
则 ，
此时
此时 和 的边长都为2，则 最小，
∴ ，
∴
∴ ，
或者如图所示，作点 关于 对称点 ，则 ，则当 三点共线时，
此时
故A选项错误，
根据题意可得 三点共线时， 最小，此时 ，则 ，故
B选项正确；周长等于 ，
即当 最小时， 周长最小，
如图所示，作平行四边形 ，连接 ，
∵ ，则
如图，延长 , ，交于点 ，
则 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
在 与 中，
∴
∴
∴
∴
∴ ，则 ，
∴ 是直角三角形，
答案第16页，共2页在 中，
∴当 时， 最短，
∵
∴ 周长的最小值为 ，故C选项正确；
∵
∴四边形 面积等于
∴当 的面积为0时，取得最小值，此时， 重合， 重合
∴四边形 面积的最小值为 ，故D选项正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形
的性质，得出当 点与 重合时得出最小值是解题的关键．
16．1
【分析】作 于点F，由角平分线的性质推出 ，再利用三角形面积公
式求解即可．
【详解】解：如图，作 于点F，
∵ 平分 ， ， ，∴ ，
∴ ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题
的关键．
17． ## 度
【分析】先在 中利用等边对等角求出 的度数，然后根据垂直平分线的性质可
得 ，再利用等边对等角得出 ，最后结合三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知
识，掌握等腰三角形的等边对等角是解题的关键．
18．2或10
【分析】根据 可判断点 都在 的垂直平分线上，然后分两种情
况讨论：①当点 在 的内部时，②当点O在 的外部时，分别计算 即可．
【详解】解：∵ ，
∴点 都在 的垂直平分线上，
由题意知，分两种情况：
①当点 在 的内部时， ；
②当点O在 的外部时， ；
故答案为：2或10．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的基本性质．解本题的关键在于分类讨论．
19． ##
答案第18页，共2页【分析】根据题意，证明 ，进而得出 点在射线 上运动，作点 关于
的对称点 ，连接 ，设 交 于点 ，则 ，则当 三点共线时，
取得最小值，即 ，进而求得 ，即可求解．
【详解】解：∵ 为高 上的动点．
∴
∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ． 是边长为 的等边三角形，
∴
∴
∴ ，
∴ 点在射线 上运动，
如图所示，
作点 关于 的对称点 ，连接 ，设 交 于点 ，则
在 中， ，则 ，
则当 三点共线时， 取得最小值，即
∵ ， ，
∴
∴
在 中， ,
∴ 周长的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形
的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的
关键．20．
【分析】先根据等腰三角形三线合一性质求出 的长，再根据勾股定理求得 的长，最
后根据条件可知 是 的中位线，求得 的长．
【详解】解，∵ ， 于点D，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ 于点D，
∴ ，
∴在 中， ．
∵ ，
∴ ，
∵E为AB的中点，
∴ ．
【点睛】此题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线
的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证出 ，根据 可证明 ；
（2）证明 ，由全等三角形的性质得出 ，由角平分线的性
质得出结论．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
，
答案第20页，共2页在 和 中，
，
（2）证明： ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， ， ，
平分
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，掌握全等三角形的判
定定理和性质定理是解题的关键．
22．(1)
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）根据题意可进行求解；
（2）由折叠的性质可知 ， ，然后可得 ，则有 是
等边三角形，进而问题可求证；
（3）连接 ，根据等腰三角形性质证明 ，根据平行线的性质证明 ，证明 ，得出 ，
即可证明 ．
【详解】（1）解：由题意可知 ；
（2）证明：由折叠的性质可得： ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）证明：连接 ，如图所示：
由折叠的性质可知： ， ， ，
∵折痕 ， ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
答案第22页，共2页∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的一条三等分线．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及
矩形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，证明，
是解题的关键．
23．(1)见解析
(2) ，证明见解析
【分析】（1）由旋转的性质得 ， ，利用三角形外角的性质求出
，可得 ，等量代换得到 即可；
（2）延长 到H使 ，连接 ， ，可得 是 的中位线，然后求出
，设 ， ，求出 ，证明
，得到 ，再根据等腰三角形三线合一证明 即可．
【详解】（1）证明：由旋转的性质得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即D是 的中点；
（2） ；
证明：如图2，延长 到H使 ，连接 ， ，∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
由旋转的性质得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， 是等腰三角形，
∴ ， ，
设 ， ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形
中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形
是解题的关键．
答案第24页，共2页
