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模块四 思想全把握
专题 5 分类思想
当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这
个量或图形的各种情况进行分类讨论．
考点解读：实数分为正实数、零、负实数，根据条件，不同的数得到不同的规律或结
论，需要分类讨论；代数式中字母的不同取值范围确定代数式的性质，需要分类讨论．
【例1】（2023·山东青岛·校考一模）
1．设a，b，c为有理数，则由 构成的各种数值是 ．
【变1】（2023·重庆·统考中考真题）
2．在多项式 （其中 中，对相邻的两个字母间任意添
加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为
“绝对操作”．例如： ，
， ．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
考点解读：改变图形的位置关系，图形的某些性质也会改变；根据题意可以画出多种
符合要求的图形，需要分类讨论；
【例1】（2023·河南·统考中考真题）
3．矩形 中，M为对角线 的中点，点N在边 上，且 ．当以点
D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时， 的长为 ．
【变1】（2023·广东深圳·统考中考真题）
4．（1）如图，在矩形 中， 为 边上一点，连接 ，
①若 ，过 作 交 于点 ，求证： ；
②若 时，则 ______．
（2）如图，在菱形 中， ，过 作 交 的延长线于点 ，过
作 交 于点 ，若 时，求 的值．
（3）如图，在平行四边形 中， ， ， ，点 在 上，且
，点 为 上一点，连接 ，过 作 交平行四边形 的边于
点 ，若 时，请直接写出 的长．
试卷第2页，共3页考点解读：一方面，根据题意能够列出多种不同的方程（组），这时需要分类讨论；
另一方面，解绝对值方程、解含字母系数的一元一次方程、解含字母系数的二元一次
方程（组）、含字母系数的一元一次不等式（组）、解含字母系数的一元二次方程，
根据字母的取值范围进行分类．
【例1】（2023·四川宜宾·统考中考真题）
5．若关于x的不等式组 所有整数解的和为 ，则整数 的值为
．
【变1】（2023·山东菏泽·校考一模）
6．已知关于x的分式方程 无解，则a的值为 ．
考点解读：一方面，根据自变量的取值范围，产生不同的函数；另一方面，同一函数，
自变量取不同的值，函数呈现不同的性质；我们需要对其分类讨论．
【例1】（2023·辽宁·统考中考真题）
7．如图， ，在射线 ， 上分别截取 ，连接 ，
的平分线交 于点D，点E为线段 上的动点，作 交 于点F，
作 交射线 于点G，过点G作 于点H，点E沿 方向运动，
当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形 与 重叠部
分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（ ）A． B．
C． D．
【变1】（2023·重庆·统考中考真题）
8．如图， 是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速
度同时从点A出发，点E沿折线 方向运动，点F沿折线 方向运
动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．
(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
一、选择题
（2022·重庆·统考中考真题）
试卷第4页，共3页9．对多项式 任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之
为“加算操作”，例如： ，
，…，给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2023·江苏南通·统考中考真题）
10．如图， 中， ， ， ．点 从点 出发沿折线
运动到点 停止，过点 作 ，垂足为 ．设点 运动的路径长为 ，
的面积为 ，若 与 的对应关系如图所示，则 的值为（ ）
A．54 B．52 C．50 D．48
（2023·辽宁锦州·统考中考真题）
11．如图，在 中， ， ， ，在 中，
， ， 与 在同一条直线上，点C与点E重合． 以每秒
1个单位长度的速度沿线段 所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，
停止运动．设运动时间为t秒， 与 重叠部分的面积为S，则下列图象能大
致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．C． D．
二、填空题
（2023·广东汕尾·统考二模）
12．已知 ， ，则 的值 ．
（2022·四川广安·统考中考真题）
13．若（a﹣3）2+ =0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 ．
（2023·青海西宁·统考中考真题）
14．在 中， ， ，点D在 边上，连接 ，若 为
直角三角形，则 的度数是 ．
（2023·江苏泰州·统考中考真题）
15．如图， 中， ， ，射线 从射线 开始绕点C逆时针旋
转 角 ，与射线 相交于点D，将 沿射线 翻折至 处，
射线 与射线 相交于点E．若 是等腰三角形，则 的度数为
．
（2023·江西·统考中考真题）
16．如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转角 （
）得到 ，连接 ， ．当 为直角三角形时，旋转角 的度数
为 ．
（2023·浙江宁波·统考中考真题）
试卷第6页，共3页17．如图，在 中， ，E为 边上一点，以 为直径的半圆O与
相切于点D，连接 ， ．P是 边上的动点，当 为等腰
三角形时， 的长为 ．
（2023·四川眉山·统考中考真题）
18．如图，在平面直角坐标系 中，点B的坐标为 ，过点B分别作x轴、y轴
的垂线，垂足分别为点C、点A，直线 与 交于点D．与y轴交于点E．
动点M在线段 上，动点N在直线 上，若 是以点N为直角顶点的
等腰直角三角形，则点M的坐标为
（2023·江苏无锡·统考中考真题）
19．二次函数 的图像与x轴交于点 、 ，与 轴交于点 ，
过点 的直线将 分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则
的值为 ．三、解答题
（2022·四川泸州·统考中考真题）
20．如图，直线 与反比例函数 的图象相交于点 ， ，已知点 的
纵坐标为6
(1)求 的值；
(2)若点 是 轴上一点，且 的面积为3，求点 的坐标．
（2023·青海西宁·统考中考真题）
21．一次函数 的图象与 轴交于点 ，且经过点 ．
(1)求点 和点 的坐标；
(2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数 的图象；
(3)点 在 轴的正半轴上，若 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合
条件的 点坐标．
试卷第8页，共3页（2023·浙江绍兴·统考中考真题）
22．在平行四边形 中（顶点 按逆时针方向排列），
为锐角，且 ．
(1)如图1，求 边上的高 的长．
(2) 是边 上的一动点，点 同时绕点 按逆时针方向旋转 得点 ．
①如图2，当点 落在射线 上时，求 的长．
②当 是直角三角形时，求 的长．
（2023·浙江·统考中考真题）
23．小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，
的直径 垂直弦AB于点E，且 ， ．
(1)复习回顾：求 的长．
(2)探究拓展：如图2，连接 ，点G是 上一动点，连接 ，延长 交 的延
长线于点F．
①当点G是 的中点时，求证： ；
②设 ， ，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接 ，当 为等腰三角形时，请计算 的长．
（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点 ，与
轴的交点为点 和点 ．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点 ， 在 轴正半轴上， ，点 在线段 上， 以线段
， 为邻边作矩形 ，连接 ，设 ．
连接 ，当 与 相似时，求 的值；
当点 与点 重合时，将线段 绕点 按逆时针方向旋转 后得到线段 ，
连接 ， ，将 绕点 按顺时针方向旋转 后得到 ，
点 ， 的对应点分别为 、 ，连接 当 的边与线段 垂直时，请直
接写出点 的横坐标．
（2023·四川南充·统考中考真题）
25．如图1，抛物线 （ ）与 轴交于 ， 两点，与
轴交于点 ．
试卷第10页，共3页(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，
求点P的坐标；
(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点 的直线（直线 除
外）与抛物线交于G，H两点，直线 ， 分别交x轴于点M，N．试探究
是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．参考答案：
1． ，0
【分析】此题要分类讨论a，b，c与0的关系，然后根据绝对值的性质进行求解；
【详解】解：∵a，b，c为有理数，
①若 ，
∴ ；
②若a，b，c中有两个负数，则 ，
∴ ，
③若a，b，c中有一个负数，则 ，
∴ ，
④若a，b，c中有三个负数，则 ，
∴ ，
故答案为： ，0．
【点睛】此题主要考查绝对值的性质，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值，还
考查了分类讨论的思想，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对
值是0．
2．C
【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加
一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．
【详解】解： ，故说法①正确．
若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现 ，显然无论怎么添加绝对值，都无法使
的符号为负，故说法②正确．
当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是 ；
； ；
．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是； ；
．共有7种情况；
有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；
需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思
想的应用．
3．2或
【分析】分两种情况：当 时和当 时，分别进行讨论求解即可．
【详解】解：当 时，
∵四边形 矩形，
∴ ，则 ，
由平行线分线段成比例可得： ，
又∵M为对角线 的中点，
∴ ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
当 时，
答案第2页，共2页∵M为对角线 的中点，
∴ 为 的垂直平分线，
∴ ，
∵四边形 矩形，
∴ ，则 ，
∴
∴ ，
综上， 的长为2或 ，
故答案为：2或 ．
【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出
草图进行分类讨论是解决问题的关键．
4．（1）①见解析；② ；（2） ；（3） 或 或
【分析】（1）①根据矩形的性质得出 ， ，进而证明
结合已知条件，即可证明 ；
②由①可得 ， ，证明 ，得出 ，根
据 ，即可求解；
（2）根据菱形的性质得出 ， ，根据已知条件得出 ，
证明 ，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）分三种情况讨论，①当点 在 边上时，如图所示，延长 交 的延长线于点，连接 ，过点 作 于点 ，证明 ，解 ，进而得
出 ，根据 ，得出 ，建立方程解方程即可求解；
②当 点在 边上时，如图所示，连接 ，延长 交 的延长线于点 ，过点 作
，则 ，四边形 是平行四边形，同理证明 ，根据
得出 ，建立方程，解方程即可求解；③当 点在 边
上时，如图所示，过点 作 于点 ，求得 ，而 ，得出矛
盾，则此情况不存在．
【详解】解：（1）①∵四边形 是矩形，则 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
②由①可得 ，
∴
∴ ，
又∵
∴ ,
故答案为： ．
（2）∵在菱形 中， ，
∴ ， ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵
答案第4页，共2页∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）①当点 在 边上时，如图所示，延长 交 的延长线于点 ，连接 ，过
点 作 于点 ，
∵平行四边形 中， ， ，
∴ ， ,
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴
在 中， ，则 ， ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴
∴
设 ，则 ， ，
，
∴
解得： 或 ，
即 或 ，
②当 点在 边上时，如图所示，
连接 ，延长 交 的延长线于点 ，过点 作 ，则 ，四边形
是平行四边形，
设 ，则 ， ，
∵
答案第6页，共2页∴
∴ ，
∴
∴ ，
∵
∴
过点 作 于点 ，
在 中， ，
∴ ， ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
，
∴
∴ ，
即 ，
∴
即
解得： （舍去）
即 ；
③当 点在 边上时，如图所示，过点 作 于点 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 点不可能在 边上，
综上所述， 的长为 或 或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形
的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
5． 或
【分析】根据题意可求不等式组的解集为 ，再分情况判断出 的取值范围，即
可求解．
【详解】解：由①得： ，
由②得： ，
不等式组的解集为： ，
所有整数解的和为 ，
①整数解为： 、 、 、 ，
，
解得： ，
答案第8页，共2页为整数，
．
②整数解为： ， ， ， 、 、 、 ，
，
解得： ，
为整数，
．
综上，整数 的值为 或
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的
解法，理解参数的意义是解题的关键．
6．10或0或5
【分析】分原方程分母为零和方程的解的分母为零两种情况分别求解即可．
【详解】解：解方程 得， ，
若方程无解，则 ，
∴ ，
当 或 时，方程无解，
即 或 时，
当 时， ，
当 时， ，
综上，a的值为10或0或5．
【点睛】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的
关键．
7．A
【分析】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系
进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ 是边长为6的正三角形，
∵ 平分 ，∴ ， ， ，
①当矩形 全部在 之中，即由图1到图2，此时 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
②如图3时，当 ，
则 ，解得 ，
由图2到图3，此时 ，
如图4，记 ， 的交点为 ，则 是正三角形，
答案第10页，共2页∴ ，
∴ ， 而 ，
∴ ，
∴
，
③如图6时， ，由图3到图6，此时 ，
如图5，同理 是正三角形，
∴ ， ， ，
∴
，
因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下
的抛物线，故选：A．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，求出各种情况下S与x的函数关系式是正确解答
的前提，理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键．
8．(1)当 时， ；当 时， ；
(2)图象见解析，当 时，y随x的增大而增大
(3)t的值为3或
【分析】（1）分两种情况：当 时，根据等边三角形的性质解答；当 时，
利用周长减去 即可；
（2）在直角坐标系中描点连线即可；
（3）利用 分别求解即可．
【详解】（1）解：当 时，
连接 ，
由题意得 ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
当 时， ；
（2）函数图象如图：
答案第12页，共2页当 时，y随t的增大而增大；
（3）当 时， 即 ；
当 时， 即 ，解得 ，
故t的值为3或 ．
【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点
问题是解题的关键．
9．D
【分析】给 添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得
的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．
【详解】解：∵
∴①说法正确
∵
又∵无论如何添加括号，无法使得 的符号为负号
∴②说法正确
③第1种：结果与原多项式相等；
第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n；
第3种：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n；
第4种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n；
第5种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n；
第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n；
第7种：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n；
第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n；故③符合题意；
∴共有8种情况∴③说法正确
∴正确的个数为3
故选D．
【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．
10．B
【分析】根据点 运动的路径长为 ，在图中表示出来，设 ，在直角三
角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到 的值．
【详解】解：当 时，由题意可知，
，
在 中，由勾股定理得 ，
设 ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ，
，
，
当 时，由题意可知， ，
设 ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中由勾股定理得 ，
答案第14页，共2页中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合
的思想解题．
11．A
【分析】分 ， ， 三种情况，分别求出函数解析即可判断．
【详解】解：过点D作 于H，
，
∵ ， ，
∴ ，
∴
当 时，
如图，重叠部分为 ，此时 ， ，，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴
∴ ；
当 时，
如图，重叠部分为四边形 ，此时 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
答案第16页，共2页∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
当 时
如图，重叠部分为四边形 ，此时 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即
∴ ，
综上， ，
∴符合题意的函数图象是选项A．
故选：A．
【点睛】此题结合图像平移时面积的变化规律，考查二次函数相关知识，根据平移点的特
点列出函数表达式是关键，有一定难度．
12． 或
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握求
根公式，并注意进行分类讨论．【详解】解：依题意得a，b是方程 的解，
解 得： ， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故答案为： 或 ．
13．11或13##13或11
【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得 的值，进而根据等腰三角形的
定义，分类讨论，根据构成三角形的条件取舍即可求解．
【详解】解：∵（a﹣3）2+ =0，
∴ ， ，
当 为腰时，周长为： ，
当 为腰时，三角形的周长为 ，
故答案为：11或13．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
14． 或
【分析】由题意可求出 ，故可分类讨论①当 时和②当
时，进而即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．
∵ 为直角三角形，
∴可分类讨论：①当 时，如图1，
答案第18页，共2页∴ ；
②当 时，如图2，
综上可知 的度数是 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解答本题的关键是明确题
意，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
15． 或 或
【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知 ， ，再画出图
形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知 ， ，
当 时， ，
由三角形的外角性质得 ，即 ，
此情况不存在；
当 时，， ，
由三角形的外角性质得 ，
解得 ；
当 时， ，
∴ ，
由三角形的外角性质得 ，
解得 ；
当 时， ，
∴ ，
∴ ；
综上， 的度数为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数
形结合是解题的关键．
答案第20页，共2页16． 或 或
【分析】连接 ，根据已知条件可得 ，进而分类讨论即可求解．
【详解】解：连接 ，取 的中点 ，连接 ，如图所示，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∴
∴ ，
如图所示，当点 在 上时，此时 ，则旋转角 的度数为 ，
当点 在 的延长线上时，如图所示，则
当 在 的延长线上时，则旋转角 的度数为 ，如图所示，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，∵
∴四边形 是矩形，
∴
即 是直角三角形，
综上所述，旋转角 的度数为 或 或
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与
判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
17． 或
【分析】连接 ，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出 的长，勾股定理求
出 和 的长，分 和 两种情况进行求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵以 为直径的半圆O与 相切于点D，
∴ ， ，
∴
设 ，则 ，
在 中： ，即： ，
解得： ，
∴ ，
答案第22页，共2页∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ 为等腰三角形，
当 时， ，
当 时，
∵ ，
∴点 与点 重合，
∴ ，
不存在 的情况；
综上： 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟
练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点 的位置，是解题的关键．18． 或
【分析】如图，由 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得 在以 为直径
的圆 上， ，可得 是圆 与直线 的交点，当 重合时，符合题
意，可得 ，当N在 的上方时，如图，过 作 轴于 ，延长 交
于 ，则 ， ，证明 ，设 ，可
得 ， ，而 ，则 ，
再解方程可得答案．
【详解】解：如图，∵ 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ 在以 为直径的圆 上， ，
∴ 是圆 与直线 的交点，
当 重合时，
∵ ，则 ，
∴ ，符合题意，
∴ ，
答案第24页，共2页当N在 的上方时，如图，过 作 轴于 ，延长 交 于 ，则
， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，设 ，
∴ ， ，
而 ，
∴ ，
解得： ，则 ，
∴ ，
∴ ；
综上： 或 ．故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全
等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，
清晰的分类讨论是解本题的关键．
19． 或 或
【分析】先求得 ， ， ，直线 解析式为 ，直线 的
解析式为 ，1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，
必为中线，则①如图1，直线 过 中点，②如图2，直线 过 中点，直线 解
析式为 ， 中点坐标为 ，待入直线求得 ；③如图3，直线
过 中点， 中点坐标为 ，直线 与 轴平行，必不成立；2）当分成三角形和
梯形时，过点 的直线必与 一边平行，所以必有 型相似，因为平分面积，所以
相似比为 ．④如图4，直线 ，根据相似三角形的性质，即可求解；⑤如图
5，直线 ，⑥如图6，直线 ，同理可得 ，进而根据
，即可求解．
【详解】解：由 ，令 ，解得： ，令 ，解得： ，
∴ ， ， ，
设直线 解析式为 ，
∴
答案第26页，共2页解得：
∴直线 解析式为 ，当 时， ，则直线 与y轴交于 ，
∵ ，
∴ ，
∴点 必在 内部．
1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线
设直线 的解析式为
∴
解得：
则直线 的解析式为
①如图1，直线 过 中点，，
中点坐标为 ，代入直线求得 ，不成立；
②如图2，直线 过 中点，直线 解析式为 ， 中点坐标为 ，待入直线求得 ；
③如图3，直线 过 中点， 中点坐标为 ，
直线 与 轴平行，必不成立；
2）、当分成三角形和梯形时，过点 的直线必与 一边平行，所以必有 型相似，
因为平分面积，所以相似比为 ．
④如图4，直线 ，
∴
∴ ，
∴ ，
解得 ；
⑤如图5，直线 ， ，则
∴ ，又 ，
∴ ，
∵ ，
∴不成立；
⑥如图6，直线 ，同理可得 ，
∴ ， ， ，
答案第28页，共2页∴ ，解得 ；
综上所述， 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟
练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．
20．(1)b=9
(2)C(4,0)，或C(8,0)
【分析】（1）把y=6代入 得到x=2，得到A(2,6)，把A(2,6)代入 ，得到
b=9；
（2）解方程组 ，得到 x=2(舍去)，或x=4， ，得到B(4,3)，设
C(x,0)，直线与x轴交点为D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，得到
AE=6，BF=4，根据 时，x=6，得到D(6,0)，推出 ，根据
=3，求得x=3，或x=9，得到C(4,0)，
或C(8,0)．
【详解】（1）解：∵直线 与反比例函数 的图象相交于点A，B，点A的
纵坐标为6，
∴ ，x=2，
∴A(2,6)，
∴ ，b=9；（2） ，即 ，
∴x=2(舍去)，或x=4，
∴ ，
∴B(4,3)，
设C(x,0)，直线与x轴交点为D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
则AE=6，BF=3，
时，x=6，
∴D(6,0)，
∴ ，
∴
，
∵ ，
∴ ， ，
∴x=4，或x=8，
∴C(4,0)，或C(8,0)．
答案第30页，共2页【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数，三角形面积，解决问题的关键是熟练掌
握一次函数和反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，三角形面积计算公式．
21．(1)
(2)见解析
(3) 坐标是 ，
【分析】（1）令 得出点 的坐标是 ，把 代入 ，即可求解；
（2）画出经过 的直线，即可求解；
（3）根据等腰三角形的定义，勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象与x轴交于点 ，
∴令
解得
∴点 的坐标是
∵点 在一次函数 的图象上
把 代入 ，
得 ，
∴ ，∴点 的坐标是 ；
（2）解：如图所示，
（3）解：如图所示，当 时， ;
∵ ， ，
∴ ，
当 时，
∴符合条件的点 坐标是 ， .
答案第32页，共2页【点睛】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图象，勾股定理，等腰三角形的定义，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．(1)8
(2)① ；② 或
【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答案；
（2）①先证明 ，再证明 ，最后利用相似三角形对应边
成比例列出方程即可；
②分三种情况讨论完成，第一种： 为直角顶点；第二种： 为直角顶点；第三种， 为
直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案．
【详解】（1）在 中， ，
在 中， ．
（2）①如图1，作 于点 ，由（1）得， ，则
，
作 交 延长线于点 ，则 ，
∴ ．
∵
∴ ．
由旋转知 ，
∴ ．设 ，则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
②由旋转得 ， ，
又因为 ，所以 ．
情况一：当以 为直角顶点时，如图2．
∵ ，
∴ 落在线段 延长线上．
∵ ，
∴ ，
由（1）知， ，
∴ ．
情况二：当以 为直角顶点时，如图3．
答案第34页，共2页设 与射线 的交点为 ，
作 于点 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
设 ，则 ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
化简得 ，
解得 ，
∴ ．情况三：当以 为直角顶点时，
点 落在 的延长线上，不符合题意．
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及
性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键．
23．(1) ；
(2)①见解析；② ；③ 的长为 或 ．
【分析】（1）先求得 的直径为10，再利用垂径定理求得 ，在 中，
利用勾股定理即可求解；
（2）①连接 ，由点G是 的中点，推出 ，根据等角的余角相等即可证
明结论成立；
②利用勾股定理求得 ，利用垂径定理得到 ，推出 ，证明
，利用相似三角形的性质即可求解；
③分两种情况讨论，当 和 时，证明 ，利用相似
三角形的性质求解即可.
【详解】（1）解：连接 ，
∵ 的直径 垂直弦AB于点E，且 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
答案第36页，共2页在 中， ，
∴ ；
（2）解：①连接 ，
∵点G是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 的直径 垂直弦AB于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 的直径 垂直弦AB于点E，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ；
③当 时，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ；
当 时，
在 中， ，
在 中， ，
答案第38页，共2页∴ ，
同理 ，
∴ ，即 ，
∴ ；
综上， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答
本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24．(1)
(2)① 或 ；② 或 或
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①利用已知条件用含a的代数式表示出点E，D，F，G的坐标，进而得到线段 的
长度，利用分类讨论的思想方法和相似三角形的性质，列出关于a的方程，解方程即可得
出结论；
②利用已知条件，点的坐标的特征，平行四边形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形
的判定与性质求得 ， 和 的长，利用分类讨论的
思想方法分三种情形讨论解答利用旋转的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理求
得相应线段的长度即可得出结论；
【详解】（1） 二次函数 的图象经过点 ，与 轴的交点为点
，解得：
此抛物线的解析式为
（2） 令 ，则
解得： 或 ，
∴
．
∵ ,
∴
四边形 为矩形，
∴
∴
∴
Ⅰ 当 时，
∴
∴
∴
Ⅱ 当 时，
∴
∴
答案第40页，共2页∴
综上，当 与 相似时， 的值为 或 ；
点 与点 重合，
∴
∴
∴
四边形 为平行四边形，
在 和 中，Ⅰ、当 所在直线与 垂直时，如图，
， ， 三点在一条直线上，
过点 作 轴于点 ， 则
∴此时点 的横坐标为
Ⅱ 当 所在直线与 垂直时，如图，
，
，
设 的延长线交 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作
，交 的延长线于点 ，则 轴， ．
，
，
．
，
．
答案第42页，共2页，
，
此时点 的横坐标为 ；
Ⅲ 当 所在直线与 垂直时，如图，
， ，
，
， ， 三点在一条直线上，则 ，
过点 作 ，交 的延长线于点 ，
，
此时点 的横坐标为 ．
综上，当 的边与线段 垂直时，点 的横坐标为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，矩形的性质，
相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直
角三角形的边角关系定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度和正确利用分类讨论的思
想方法是解题的关键
25．(1)
(2) 或 或
(3)定值，理由见详解【分析】（1）将 两点代入抛物线的解析式即可求解；
（2）根据P，Q的不确定性，进行分类讨论：①过 作 轴，交抛物线于 ，过
作 ，交 轴于 ，可得 ，由 ，可求解；②在 轴的负半轴
上取点 ，过 作 ，交抛物线于 ，同时使 ，连接 、 ，过
作 轴，交 轴于 ， ，即可求解；③当 为平行四边形的对角线时，
在①中，只要点Q在点B的左边，且满足 ，也满足条件，只是点P的坐标仍是①
中的坐标；
（3）可设直线 的解析式为 ， ， ，
可求 ，再求直线 的解析式为 ，从而可求
，同理可求 ，即可求解．
【详解】（1）解： 抛物线 与x轴交于 两点，
，
解得 ，
故抛物线的解析式为 ．
（2）解：①如图，过 作 轴，交抛物线于 ，过 作 ，交 轴于 ，
答案第44页，共2页四边形 是平行四边形，
，
，
解得： ， ，
；
②如图，在 轴的负半轴上取点 ，过 作 ，交抛物线于 ，同时使
，连接 、 ，过 作 轴，交 轴于 ，
四边形 是平行四边形，
，在 和 中，
，
( )，
，
，
，
解得： ， ，
；
如上图，根据对称性： ，
③当 为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且 时，也
满足条件，此时点P的坐标仍为 ；
综上所述： 的坐标为 或 或 ．
（3）解：是定值，
答案第46页，共2页理由：如图， 直线 经过 ，
可设直线 的解析式为 ，
、 在抛物线上，
可设 ， ，
，
整理得： ，
， ，
，
当 时， ，
，
设直线 的解析式为 ，则有
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
解得： ，
，
，
同理可求： ，
；
当 与 对调位置后，同理可求 ；
故 的定值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，求函数
图象与坐标轴交点坐标，动点产生的平行四边形判定，一元二次方程根与系数的关系，理
解一次函数与二次函数图象的交点，与对应一元二次方程根的关系，掌握具体的解法，并
会根据题意设合适的辅助未知数是解题的关键．
答案第48页，共2页
