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模块四 思想全把握
专题 6 类比思想
所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可
能相同或相似的一种推理形式．类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认
其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证．
类比用于数学中，就是把两个(或两类)不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些
方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处．
考点解读：有理数的加减乘除运算法则同样适用于实数，有理数的运算律也适用于实
数；整式加减中有合并同类项，二次根式加减中有合并同类二次根式；展开数式类比，
可以使知识联系更加紧密，方法运用更加灵活，问题解决更加轻松．
【例1】（2023·湖北武汉·统考一模）
1．我国南宋著名数学家杨辉精研数学，著有 详解九章算法 ，对数的运算进行了深
入研究与总结，类比其中的思想方法，可以解决很多数与式的计算问题 已知 ， 为
实数，且 ， ，计算可得： ， ， ，
由此求得 （ ）
A． B． C． D．【变1】（2022·青海西宁·统考中考真题）
2．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将 因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干
组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．
分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提
示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
(1)请用分组分解法将 因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将 因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦
图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角
三角形的两条直角边长分别是a和 ，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据
以上信息，先将 因式分解，再求值．
考点解读：三角形的全等与相似，矩形和菱形，展开图表类比，强化几何图形间的联
系，有利于实际几何方法的贯通．
【例1】（2023·山东·统考中考真题）
试卷第2页，共3页3．（1）如图1，在矩形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ，垂足
为点 ．求证： ．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ，延长
到点 ，使 ，连接 ．求证： ．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ，
， ，求 的长．
【变1】（2023·广西·统考中考真题）
4．【探究与证明】
折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】如图1，将矩形纸片 对折，使 与 重合，展平纸片，得到折
痕 ；折叠纸片，使点B落在 上，并使折痕经过点A，得到折痕 ，点B，E
的对应点分别为 ， ，展平纸片，连接 ， ， ．
请完成：
(1)观察图1中 ， 和 ，试猜想这三个角的大小关系；
(2)证明（1）中的猜想；
【类比操作】如图2，N为矩形纸片 的边 上的一点，连接 ，在 上取
一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕 ；折叠纸片，使点
B，P分别落在 ， 上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为 ， ，展平纸片，连接， ．
请完成：
(3)证明 是 的一条三等分线．
考点解读：整体代入求值发展到整体代入消元，一元二次方程的直接开平方法发展到
配方法，再演变到公式法，展开方程类比，有助于对方程解的理解和应用，有利于形
成“消元”、“降次”的解方程思想．
【例1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）
5．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以
至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与
有限的转化的思想，比如将 化成分数，设 ，则有 ， ，解得
，类比上述方法及思想则 （ ）
A．3 B． C． D．
【变1】（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）
6．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程 的两个实数根 和系数a，
b，c有如下关系： ， ．
材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求 的值．
解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ．
试卷第4页，共3页则 ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程 的两个实数根为 ，则 ___________，
___________；
(2)类比：已知一元二次方程 的两个实数根为m，n，求 的值；
(3)提升：已知实数s，t满足 且 ，求 的值．
考点解读：在自变量的确定的取值范围内，研究一次函数的最值，同样在自变量的确
定的取值范围内，可以研究二次函数的最值．展开函数类比，就是类比解析式，类比
函数图像，类比函数的性质，纵横式的理解函数的知识和方法，积极构建函数模型．
【例1】（2022·湖南永州·统考中考真题）
7．已知关于 的函数 ．
(1)若 ，函数的图象经过点 和点 ，求该函数的表达式和最小值；
(2)若 ， ， 时，函数的图象与 轴有交点，求 的取值范围．
(3)阅读下面材料：
设 ，函数图象与 轴有两个不同的交点 ， ，若 ， 两点均在原点左侧，探
究系数 ， ， 应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：
①因为函数的图象与 轴有两个不同的交点，所以 ；
②因为 ， 两点在原点左侧，所以 对应图象上的点在 轴上方，即 ；
③上述两个条件还不能确保 ， 两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴
位置来进一步限制抛物线的位置：即需 ．
综上所述，系数 ， ， 应满足的条件可归纳为：请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：
若函数 的图象在直线 的右侧与 轴有且只有一个交点，求 的取值
范围．
【变1】（2023·江苏连云港·统考中考真题）
8．【问题情境 建构函数】
（1）如图1，在矩形 中， 是 的中点， ，垂足为 ．设
，试用含 的代数式表示 ．
【由数想形 新知初探】
（2）在上述表达式中， 与 成函数关系，其图像如图2所示．若 取任意实数，此
时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．
【数形结合 深度探究】
（3）在“ 取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值
随 的增大而增大；②函数值 的取值范围是 ；③存在一条直线与该
函数图像有四个交点；④在图像上存在四点 ，使得四边形 是平行
四边形．其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）
【抽象回归 拓展总结】
（4）若将（1）中的“ ”改成“ ”，此时 关于 的函数表达式是
__________；一般地，当 取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函
数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．
试卷第6页，共3页一、选择题
（2020·贵州遵义·统考中考真题）
9．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．
在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝
15°，所以tan15° ．类比这种方法，计算
tan22.5°的值为（ ）
A． B． ﹣1 C． D．
（2022·河南商丘·统考一模）
10．张老师在课堂上展示了一道题：如图（1），在四边形 中， ，
，已知 ，求 的长．
小明的方法：过点A作 于点E，如图（2），将 绕点A逆时针旋转 ，
得到 ，将不规则四边形转化为正方形进行求解．类比小明的方法解题：如图
（3），在 中， ，点M是 内一点，且
，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
（2022·重庆·统考二模）11．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数
高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个
整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解
决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将
分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行．如：
a﹣1 ，这样，分式就拆分成一
个分式 与一个整式a﹣1的和的形式，下列说法正确的有（ ）个．
①若x为整数， 为负整数，则x＝﹣3；②6 9；③若分式
拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11
（整式部分对应等于5m﹣11，真分式部分对应等于 ），则m2+n2+mn的最小值为
27．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
（2023·山东菏泽·校考三模）
12．对于实数P，我们规定：用 表示不小于 的最小整数．例如： ，
，现在对72进行如下操作：
，即对72只需进行3次操作
后变为2．类比上述操作：对36只需进行 次操作后变为2
（2023·广东珠海·统考二模）
13．我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，
．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解
试卷第8页，共3页= ．
（2022·广东深圳·统考一模）
14．《九章算术》中，赵爽利用“弦图”（如图①）证明了勾股定理，类比此方法研
究等边三角形（如图②）：在等边三角形ABC中，如果∠BAD=∠CBE=∠ACF，那么
△ABD的三边存在一定的数量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，则这三边a，b，c满足
的数量关系是 ．
三、解答题
（2020·湖北荆州·统考中考真题）
15．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像和性质后，进一步研究了函数
的图像与性质，其探究过程如下：
（1）绘制函数图像，如图1
①列表；下表是x与y的几组对应值，其中 ；
②描点：根据表中各组对应值(x，y)在平面直角坐标系中描出了各点；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像，请你把图像补充完整；
（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质：①_______________；
②_______________；
（3）①观察发现：如图2，若直线y=2交函数 的图像于A，B两点，连接OA，
过点B作BC//OA交x轴于点C，则 ；
②探究思考：将①的直线y=2改为直线y=a(a>0)，其他条件不变，则 ；
③类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数 的图像于A，B两点，连接OA，过
点B作BC//OA交x轴于C，则 ；
试卷第10页，共3页（2022·湖北随州·校考模拟预测）
16．（一）情境再现
借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1是用边长分别为a，b的两
个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用这一图形可以推导出
的乘法公式是______；（用字母a，b表示）
（二）情境延伸
图2是2002年北京世界数学家大会的会标，会标是用边长分别为a，b，c的四个完全
相同的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，利用这一图形可以推导出一个关
于a，b，c的怎样结论？并写出简单的推导过程；
（三）问题解决
如图3，A表示的是边长为1的一个正方形，面积为 ，B表示的是一个边长为
2的正方形，C，D表示的是边长为1和2的两个长方形，B，C，D的面积和为
，由于A，B，C，D拼成的是一个边长为3的正方形，
所以A，B，C，D的面积和可表示为 或 ，所以 .类比上述分析过程，在图3的基础上推导： （画出图形，并写出必要的
推导过程）
（四）问题猜想
______（直接写出结论，不用进行推导）.
（2022·山东烟台·统考中考真题）
17．
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD
＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝
90°．连接BD，CE．请直接写出 的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且
＝ ＝ ．连接BD，CE．
①求 的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
（2022·广东深圳·统考中考真题）
18．（1）【探究发现】如图①所示，在正方形 中， 为 边上一点，将
沿 翻折到 处，延长 交 边于 点．求证：
试卷第12页，共3页（2）【类比迁移】如图②，在矩形 中， 为 边上一点，且
将 沿 翻折到 处，延长 交 边于点 延长 交 边于点 且
求 的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形 中， ， 为 边上的三等分点，
将 沿 翻折得到 ，直线 交 于点 求 的长．
（2023·四川成都·统考中考真题）
19．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在 中， ，D是 边上一点，且 （n为正整数），
E是 边上的动点，过点D作 的垂线交直线 于点F．【初步感知】
(1)如图1，当 时，兴趣小组探究得出结论： ，请写出证明过程．
【深入探究】
(2)①如图2，当 ，且点F在线段 上时，试探究线段 之间的数量
关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 之间数量关系的一般结论（直
接写出结论，不必证明）
【拓展运用】
(3)如图3，连接 ，设 的中点为M．若 ，求点E从点A运动到点C的
过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．
（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）
20．综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，
再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广
阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在 和 中， ， ，
，连接 ， ，延长 交 于点 ．则 与 的数量关
系：______， ______ ；
(2)类比探究：如图2，在 和 中， ， ，
试卷第14页，共3页，连接 ， ，延长 ， 交于点 ．请猜想 与 的
数量关系及 的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3， 和 均为等腰直角三角形， ，
连接 ， ，且点 ， ， 在一条直线上，过点 作 ，垂足为点 ．则
， ， 之间的数量关系：______；
(4)实践应用：正方形 中， ，若平面内存在点 满足 ， ，
则 ______．参考答案：
1．C
【分析】先根据题意求出 ，进而推出 ，
由此代值计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了规律型：数字的变化类，多项式乘多项式，正确推出
是解题的关键．
2．(1)
(2)
(3) ，9
【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式
即可；
（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到
， ，整体代入得出答案即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
，
∴根据题意得 ， ，
∴原式 ．
【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理
的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．
3．（1）见解析 （2）见解析 （3）3
【分析】（1）由矩形的性质可得 ，则 ，再由
，可得 ，则 ，根据等角的余角相等得
，即可得证；
（2）利用“ ”证明 ，可得 ，由 ，可得 ，利
用“ ”证明 ，则 ，由正方形的性质可得 ，根据
平行线的性质，即可得证；
（3）延长 到点 ，使 ，连接 ，由菱形的性质可得 ，
答案第2页，共2页，则 ，推出 ，由全等的性质可得
， ，进而推出 是等边三角形，再根据线段的和差关系计
算求解即可．
【详解】（1）证明： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明： 四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
又 ，
，
点 在 的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长 到点 ，使 ，连接 ，四边形 是菱形，
， ，
，
，
， ，
，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相
似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知
识点并灵活运用是解题的关键．
4．(1)
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）根据题意可进行求解；
（2）由折叠的性质可知 ， ，然后可得 ，则有 是
等边三角形，进而问题可求证；
（3）连接 ，根据等腰三角形性质证明 ，根据平行线的性
质证明 ，证明 ，得出 ，
即可证明 ．
答案第4页，共2页【详解】（1）解：由题意可知 ；
（2）证明：由折叠的性质可得： ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）证明：连接 ，如图所示：
由折叠的性质可知： ， ， ，
∵折痕 ， ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的一条三等分线．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及
矩形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，证明，
是解题的关键．
5．A
【分析】设 ，等式两边平方得 ，然后解一元二次方程即可．
【详解】解：设 ，
两边平方得 ，
整理得 ，
解得 ， （舍去），
即则 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：方程的思想的运用是解决问题的关键．也考查
了规律性问题的解决方法．
6．(1) ，
(2)
(3) 的值为 或 ．
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出 ， ，再根据
答案第6页，共2页，最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程 的两个根，即得出 ， ，
从而由 ，求得 或 ，最后分类讨论分别代入求值
即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 的两个根为 ， ，
∴ ， ．
故答案为： ， ；
（2）解：∵一元二次方程 的两根分别为m、n，
∴ ， ，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足 ，
∴s、t可以看作方程 的两个根，
∴ ， ，
∵，
∴ 或 ，
当 时，
，
当 时，
，
综上分析可知， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合
运算．理解题意，掌握一元二次方程 根与系数的关系： 和
是解题关键．
7．(1) 或 ，0
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，然后化顶点式即可求得最小值；
（2）利用函数的图象与 轴有交点△≥0，即可得出结论；
答案第8页，共2页（3）根据a＞0、a=0、a＜0，分别讨论，再利用△，x=1处函数值的正负、函数对称轴画
出草图，结合图象分析即可．
【详解】（1）根据题意，得
解之，得 ，所以
函数的表达式 或 ，当 时， 的最小值是-8．
（2）根据题意，得 而函数的图象与 轴有交点，所以
所以 ．
（3）函数 的图象
图1： 即 ，
所以， 的值不存在．
图2： 即 的值 .图3： 即
所以 的值不存在
图4： 即
所以 的值不存在．
图5：
即
所以 的值为
图6： 函数与 轴的交点为
所以 的值为0成立．
综上所述， 的取值范围是 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的应用．（1）中掌握待定系数法是解题关键；（2）中掌握二
次函数与x轴交点个数与△的关系是解题关键；（3）中需注意分类讨论，结合图象分析更
加直观．
8．（1） ；（2） 取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对
答案第10页，共2页称，见解析；（3）①④；（4） ，见解析
【分析】（1）证明 ，得出 ，进而勾股定理求得 ，即
，整理后即可得出函数关系式；
（2）若 为图像上任意一点，则 ．设 关于原点的对称点为 ，则
．当 时，可求得 ．则 也在 的图像上，即可
得证，根据中心对称的性质补全函数图象即可求解；
（3）根据函数图象，以及中心对称的性质，逐项分析判断即可求解；
（4）将（1）中的4换成 ，即可求解；根据（2）的图象探究此类函数的相关性质，即
可求解．
【详解】（1）在矩形 中， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，∴ ．
∵ ，点 是 的中点，∴ ．
在 中， ，
∴ ．∴ ．∴ 关于 的表达式为： ．
（2） 取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称．
理由如下：
若 为图像上任意一点，则 ．
设 关于原点的对称点为 ，则 ．
当 时，
．
∴ 也在 的图像上．
∴当 取任意实数时， 的图像关于原点对称．
函数图像如图所示．
（3）根据函数图象可得①函数值 随 的增大而增大，故①正确，
②由(1)可得函数值 ，故函数值的范围为 ，故②错误；
③根据中心对称的性质，不存在一条直线与该函数图像有四个交点，故③错误；
④因为平行四边形是中心对称图形，则在图像上存在四点 ，使得四边形
是平行四边形，故④正确；
故答案为：①④．
答案第12页，共2页（4） 关于 的函数表达式为 ；
当 取任意实数时，有如下相关性质：
当 时，图像经过第一、三象限，函数值 随 的增大而增大， 的取值范围为
；
当 时，图像经过第二、四象限，函数值 随 的增大而减小， 的取值范围为
；
函数图像经过原点；
函数图像关于原点对称；
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，中心对称的性质，根据函数图象获取信息，根据
题意求得解析式是解题的关键．
9．B
【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接
AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使
BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝ ，CD＝ ，
故选：B.
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作
辅助线得到22.5°的直角三角形.
10．B
【分析】如图，将△BCM绕点C逆时针旋转90°，得到△ACN，连接MN，则∠MCN=90°，CN=CM= ，AN=BM=3，可得MN=2，再由勾股定理逆定理可得
∠AMN=90°，可得 ，即可求解．
【详解】解：如图，将△BCM绕点C逆时针旋转90°，得到△ACN，连接MN，则
∠MCN=90°，CN=CM= ，AN=BM=3，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴∠AMN=90°，
∴ ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，勾股定理及其逆定理，熟练掌握图形的旋转的性质，
勾股定理及其逆定理是解题的关键．
11．D
【分析】利用题干中的方法将分式拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，利用
整数或整式的性质对每个结论进行判断即可．
【详解】解：∵ 为负整数，
为负整数，
答案第14页，共2页故①的结论正确；
∵ ，
又 ，
∴ ，且 有最小值2，
∴ 有最大值3，
∴ ，
∴②的结论正确；
∵ ，
∴m＝x＋2，n−6＝−（x＋2），
∴m＝x＋2，n＝4−x．
∴m2＋n2＋mn
＝(m＋n)2−mn
＝36−（−x2＋2x＋8）
＝x2−2x＋28
＝(x−1)2＋27，
∵(x−1)2≥0，
∴m2＋n2＋mn有最小值为27，
∴③的结论正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的加减法，整式的加减法，本题是阅读型题目，理解并熟练
应用题干中的方法是解题的关键．
12．3
【分析】理解题中新定义运算的规则，对36进行运算即可．
【详解】解：由题意可得：
故答案为：3
【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是理解新定义运算以及掌握二次根式的性质．
13．
【分析】把图2可有两种计算方法：①三个长方体相加；②大正方体减去小正方体，按要
求列出式子，即可解答．
【详解】解：将图2看作三个长方体相加时，可得式子：
；
原式两边提取 ，可得原式 ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形的体积如何计算是解题的关键．
14．c2=a2+ab+b2
【分析】作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG=60°，在Rt△ADG中，DG= b，
AG= b，在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出结论．
【详解】解：作AG⊥BD于G，如图所示：
∵△DEF是正三角形，
∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG中，DG= b，AG= b，
在Rt△ABG中， ，
∴c2=a2+ab+b2．
答案第16页，共2页故答案为：c2=a2+ab+b2．
【点睛】考查了正三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正三
角形的判定与性质是解决问题的关键．
15．（1）①1，②见解析，③见解析；（2）①函数的图象关于 轴对称，②当 时，
随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小；（3）①4，②4，③2k
【分析】（1）根据表格中的数据的变化规律得出当 时， ，而当 时，
，求出 的值；补全图象；
（2）根据（1）中的图象，得出两条图象的性质；
（3）由图象的对称性，和四边形的面积与 的关系，得出答案．
【详解】解：（1）当 时， ，而当 时， ，
，
故答案为：1；补全图象如图所示：
（2）根据（1）中的图象可得：①函数的图象关于 轴对称，②当 时， 随 的增大
而增大，当 时， 随 的增大而减小；
（3）如图，①由 ， 两点关于 轴对称，由题意可得四边形 是平行四边形，且
，
②同①可知： ，
③ ，
故答案为：4，4， ．
【点睛】本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利
用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．
16．（一）情境再现： ；（二）情境延伸： ；（三）问题
解决： ，图见解析，推导过程见解析；（四）问题猜想：
【分析】（一）情境再现：根据大正方形的面积等于两个长方形的面积与两个小正方形的
面积的和。进而列等式可得结论；
（二）情境延伸：根据大正方形的面积等于4个小直角三角形的面积与小正方形的面积和，
进而列出等式化简可得结论；
（三）问题解决：类比图3，画出图形，根据大正方形的面积等于各个小图形的面积和，
列式化简可得结论；
（四）问题猜想：由前几个图形面积等式观察出规律
答案第18页，共2页，进而由 化简求解即可．
【详解】解：（一）情境再现
由题意，得 ，
故答案为： ；
（二）情境延伸
结论： ，
证明：由图可知， ，
，
∴ ，
化简，得 ；
（三）问题解决
解：如图4，A表示1个 的正方形，即 ；
B表示1个 的正方形，C与D恰好可以拼成1个 的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个 的正方形，即： ；
G与H，E与F和I可以表示3个 的正方形，即 ；
而整个图形恰好可以拼成一个 的大正方形，
由此可得： ；
（四）问题猜想由（三的）结论 ， ，
可猜想， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握通过不同的方法计算同一个
图形的面积来证明一些公式的方法，利用数形结合是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
(3)① ；②
【分析】（1）证明 BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）证明 BAD∽△△CAE，进而得出结果；
（3）①先△证明 ABC∽△ADE，再证得 CAE∽△BAD，进而得出结果；
②在①的基础上△得出∠ACE＝∠ABD，△进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：∵△ABC和 ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠△BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
答案第20页，共2页∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
（3）解：① ，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE， ，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和
性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
18．（1）见解析；（2） ；（3） 的长为 或
【分析】（1）根据将 沿 翻折到 处，四边形 是正方形，得 ，
，即得 ，可证 ；
（2）延长 ， 交于 ，设 ，在 中，有 ，得
， ，由 ，得 ， ， ，而， ，可得 ，即 ， ，设 ，则
，因 ，有 ，即解得 的长为 ；
（3）分两种情况：（Ⅰ）当 时，延长 交 于 ，过 作 于 ，
设 ， ，则 ， ，由 是 的角平分线，有 ①，
在 中， ②，可解得 ， ；
（Ⅱ）当 时，延长 交 延长线于 ，过 作 交 延长线于 ，
同理解得 ， ．
【详解】证明：（1） 将 沿 翻折到 处，四边形 是正方形，
， ，
，
， ，
；
（2）解：延长 ， 交于 ，如图：
设 ，
答案第22页，共2页在 中， ，
，
解得 ，
，
， ，
，
，即 ，
， ，
， ，
， ，
，即 ，
，
设 ，则 ，
，
，
，即 ，
解得 ，
的长为 ；
（3）（Ⅰ）当 时，延长 交 于 ，过 作 于 ，如图：设 ， ，则 ，
，
，
，
，
沿 翻折得到 ，
， ， ，
是 的角平分线，
，即 ①，
，
， ， ，
在 中， ，
②，
联立①②可解得 ，
；
（Ⅱ）当 时，延长 交 延长线于 ，过 作 交 延长线于 ，
如图：
答案第24页，共2页同理 ，
，即 ，
由 得： ，
可解得 ，
，
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，
三角形角平分线的性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．
19．(1)见解析
(2)① ，证明过程略；②当点F在射线 上时， ，
当点F在 延长线上时，
(3)
【分析】（1）连接 ，当 时， ，即 ，证明 ，从而得到即可解答；
（2）①过 的中点 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，当 时，
，根据 ，可得 是等腰直角三角形， ，根据（1）中结
论可得 ，再根据 ， ，即可得到 ；
②分类讨论，即当点F在射线 上时；当点F在 延长线上时，画出图形，根据①中的
原理即可解答；
（3）如图，当 与 重合时，取 的中点 ，当 与 重合时，取 的中点 ，
可得 的轨迹长度即为 的长度，可利用建系的方法表示出 的坐标，再利
用中点公式求出 ，最后利用勾股定理即可求出 的长度．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
当 时， ，即 ，
，
， ， ,
， ，即 ，
，
，
答案第26页，共2页在 与 中，
，
，
，
；
（2）①
证明：如图，过 的中点 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，
当 时， ，即 ，
是 的中点，
， ，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，且 ，
，
根据（1）中的结论可得 ，
；故线段 之间的数量关系为 ；
②解：当点F在射线 上时，
如图，在 上取一点 使得 ，过 作 的平行线，交 于点 ，交 于点
，
同①，可得 ，
， ，
， ，
同①可得 ，
，
即线段 之间数量关系为 ；
当点F在 延长线上时，
如图，在 上取一点 使得 ，过 作 的平行线，交 于点 ，交 于点
，连接
答案第28页，共2页同（1）中原理，可证明 ，
可得 ，
， ，
， ，
同①可得 ，
即线段 之间数量关系为 ,
综上所述，当点F在射线 上时， ；当点F在 延长线上时，
；
（3）解：如图，当 与 重合时，取 的中点 ，当 与 重合时，取 的中点
，可得 的轨迹长度即为 的长度，
如图，以点 为原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，过点 作 的垂线段，交 于点 ，过点 作 的垂线段，交 于点 ，
，
， ，
，
，
，
，
是 的中点，
，
，
，
答案第30页，共2页，
根据（2）中的结论 ，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及
性质，平行线的性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键．
20．(1) ，
(2) ， ，证明见解析
(3)
(4) 或
【分析】（1）根据已知得出 ，即可证明 ，得出 ，
，进而根据三角形的外角的性质即可求解；
（2）同（1）的方法即可得证；
（3）同（1）的方法证明 ，根据等腰直角三角形的性质得出，即可得出结论；
（4）根据题意画出图形，连接 ，以 为直径, 的中点为圆心作圆，以 点为圆心，
为半径作圆，两圆交于点 ，延长 至 ，使得 ，证明 ，
得出 ，勾股定理求得 ，进而求得 ，根据相似三角形的性质即可得出
，勾股定理求得 ，进而根据三角形的面积公式即可求
解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 交于点 ，
∵
∴ ，
故答案为： ， ．
（2）结论： ， ；
证明：∵ ，
∴ ，即 ，
又∵ ， ，
答案第32页，共2页∴
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
（3） ，理由如下，
∵ ，
∴ ，
即 ，
又∵ 和 均为等腰直角三角形
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
（4）解：如图所示，
连接 ，以 为直径, 的中点为圆心作圆，以 点为圆心， 为半径作圆，两圆交于
点 ，延长 至 ，使得 ，
则 是等腰直角三角形，
∵ ,
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
在 中， ，
∴
∴
过点 作 于点 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中，
答案第34页，共2页∴
∴
解得： ，则 ，
设 交于点 ，则 是等腰直角三角形，
∴
在 中，
∴
∴
又 ，
∴
∴
∴ ，
∴
∴ ，
在 中， ，∴ ，
综上所述， 或
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，
勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟练运用已知模型是解题的关键．
答案第36页，共2页
