文档内容
模块二 知识全整合
专题 4 图形的性质
第 8 讲 正方形
一、正方形的性质
1．正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；
2.边的性质：对边平行，四条边相等；
3.角的性质：四个角都是直角；
4.对角线的性质：对角线垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；
两条对角线把正方形分成4个全等的等腰直角三角形；
5.对称性：是轴对称图形，有4条对称轴；是中心对称图形，对称中心也叫正方形的中
心；
二、正方形的判定
1.在矩形的基础上判定
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（2）对角线垂直的矩形是正方形；
2.在菱形的基础上判定
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线相等的菱形是正方形；
三、中点四边形
1.连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形；
2.连接矩形各边中点得到的四边形是菱形；
3.连接菱形各边中点得到的四边形是矩形；《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1.理解正方形的概念；
2.理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系；
3.掌握正方形的性质和判定；
【例1】
（2023·四川攀枝花·统考中考真题）
1．如图，已知正方形 的边长为3，点 是对角线 上的一点， 于点
， 于点 ，连接 ，当 时，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【变1】
（2023·福建·统考中考真题）
2．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数 和 的图象的四个分支上，
则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．3
试卷第2页，共3页【例1】
（2022·四川攀枝花·统考中考真题）
3．如图，以 的三边为边在 上方分别作等边 、 、 ．且点
A在 内部．给出以下结论：
①四边形 是平行四边形；
②当 时，四边形 是矩形；
③当 时，四边形 是菱形；
④当 ，且 时，四边形 是正方形．
其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．
【变1】
（2022·辽宁阜新·统考中考真题）
4．已知，四边形 是正方形， 绕点 旋转（ ）， ，
，连接 ， ．
(1)如图 ，求证： ≌ ；
(2)直线 与 相交于点 ．
如图 ， 于点 ， 于点 ，求证：四边形 是正方形；
如图 ，连接 ，若 ， ，直接写出在 旋转的过程中，线段长度的最小值．
【例1】
（2022·广西玉林·统考中考真题）
5．若顺次连接四边形 各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形 的两
条对角线 一定是( )
A．互相平分 B．互相垂直 C．互相平分且相等 D．互相垂直且相
等
【变1】
（2023·山东临沂·统考一模）
6．四边形 的对角线 ， 交点 ，点 ， ， ， 分别为边 ， ，
， 的中点．有下列四个推断，
①对于任意四边形 ，四边形 可能不是平行四边形；
②若 ，则四边形 一定是菱形；
③若 ，则四边形 一定是矩形；
④若四边形 是菱形，则四边形 也是菱形．
所有正确推断的序号是 ．
一、选择题
（2023·重庆·统考中考真题）
7．如图，在正方形 中，点 ， 分别在 ， 上，连接 ， ， ，
．若 ，则 一定等于（ ）
试卷第4页，共3页A． B． C． D．
（2022·江苏泰州·统考中考真题）
8．如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形
DEFG.设DE=d，点F、G与点C的距离分别为d，d，则d＋d＋d 的最小值为( )
1 2 3 1 2 3
A． B． C． D．
（2022·内蒙古包头·中考真题）
9．如图，在矩形 中， ，点E，F分别在 边上，
，AF与 相交于点O，连接 ，若 ，则 与 之间的数量
关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2022·浙江绍兴·统考中考真题）
10．如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是对角线
上的动点，且 ， ， 分别是边 ，边 上的动点．下列四种说法：①
存在无数个平行四边形 ；②存在无数个矩形 ；③存在无数个菱形 ；
④存在无数个正方形 ．其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
（2023·湖南怀化·统考中考真题）
11．如图，点 是正方形 的对角线 上的一点， 于点 ， ．
则点 到直线 的距离为 ．
（2023·四川宜宾·统考中考真题）
12．如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一点，连接 ，线段
以 为中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．若 ， ，则 的最
小值为 ．
（2022·辽宁·统考中考真题）
13．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OD的中点，连
接CE并延长交AD于点G，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，点H
为EF的中点．连接OH，则 的值为 ．
试卷第6页，共3页（2023·浙江衢州·统考中考真题）
14．如图，点A、B在x轴上，分别以 ， 为边，在x轴上方作正方形 ，
．反比例函数 的图象分别交边 ， 于点P，Q．作 轴于
点M， 轴于点N．若 ，Q为 的中点，且阴影部分面积等于6，则k
的值为 ．
三、解答题
（2022·湖南邵阳·统考中考真题）
15．如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 ， 在对角线 上，
且 ， ．
求证：四边形 是正方形．
（2023·湖北十堰·统考中考真题）
16．如图， 的对角线 交于点 ，分别以点 为圆心， 长
为半径画弧，两弧交于点 ，连接 ．(1)试判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)请说明当 的对角线满足什么条件时，四边形 是正方形？
（2022·江苏镇江·统考中考真题）
17．已知，点 、 、 、 分别在正方形 的边 、 、 、 上．
(1)如图1，当四边形 是正方形时，求证： ；
(2)如图2，已知 ， ，当 、 的大小有_________关系时，四边
形 是矩形；
(3)如图3， ， 、 相交于点 ， ，已知正方形 的
边长为16， 长为20，当 的面积取最大值时，判断四边形 是怎样的
四边形？证明你的结论．
（2022·贵州黔东南·统考中考真题）
18．阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图， 和 都是等边三角形，点 在 上．
求证：以 、 、 为边的三角形是钝角三角形．
(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接 ，根据已知条件，可以证明 ，
试卷第8页，共3页，从而得出 为钝角三角形，故以 、 、 为边的三角形是
钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
(2)【拓展迁移】如图，四边形 和四边形 都是正方形，点 在 上．
①试猜想：以 、 、 为边的三角形的形状，并说明理由．
②若 ，试求出正方形 的面积．
（2022·四川乐山·统考中考真题）
19．华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．
2．如图，在正方形ABCD中， ．求证： ．
证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
(1)【问题探究】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、
CD、DA上，且 ．试猜想 的值，并证明你的猜想．(2)【知识迁移】如图，在矩形ABCD中， ， ，点E、F、G、H分别在
线段AB、BC、CD、DA上，且 ．则 ______．
(3)【拓展应用】如图，在四边形ABCD中， ， ， ，
点E、F分别在线段AB、AD上，且 ．求 的值．
（2023·辽宁丹东·统考一模）
20．已知正方形 和等腰直角三角形 ， ，连接 ， ， ，
，点G，H，I分别为线段 ， ， 的中点，连接 ， ， ．
(1)如图1，当点B，A，F在一条直线上时，请直接写出线段 与 的关系；
试卷第10页，共3页(2)如图2，将 绕点A顺时针旋转 ，判断线段 与 的关系，
并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若 ， ， ， ， 的面积分别为 ，
， ．
①请直接写出 与 大小关系；
②直接写出 的值．
（2023·山东日照·统考中考真题）
21．在平面直角坐标系 内，抛物线 交y轴于点C，过点C
作x轴的平行线交该抛物线于点D．
(1)求点C，D的坐标；
(2)当 时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P
为直线 上方抛物线上一点，将直线 沿直线 翻折，交x轴于点 ，求点
P的坐标；
(3)坐标平面内有两点 ，以线段 为边向上作正方形 ．
①若 ，求正方形 的边与抛物线的所有交点坐标；
②当正方形 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之
差为 时，求a的值．参考答案：
1．C
【分析】先证四边形 是矩形，可得 ， ，由等腰直角三角形的性
质可得 ，可求 ， 的长，由勾股定理可求 的长，由“ ”可证
，可得 ．
【详解】解：如图：
连接 ，
四边形 是正方形，
， ，
， ， ，
四边形 是矩形，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
， ，
，
， ， ，
，
，
故选： ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等
知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
2．A
【分析】如图所示，点 在 上，证明 ，根据 的几何意义即可求解．
【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为
，点 在 上，
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ 点在第二象限，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的 的几何意义，熟练掌握以上知识是解
题的关键．
3．①②③④
【分析】对于结论①，由等边三角形的性质可得， ，则 ；
同理，由 ，得 ，由 ， 即可得出四边形
是平行四边形；对于结论②，当 时，
，结合结论①，可知结论②正确；对于结论③，
当 时， ，结合结论①，可知结论③正确；对于结论④，综合②③的结论
知：当 ，且 时，四边形 既是菱形，又是矩形，故结论④正确．
答案第2页，共2页【详解】解析：① 、 是等边三角形，
， ， ，
，
，
，
同理由 ，得 ，
由 ， 即可得出四边形 是平行四边形，故结论①正确；
②当 时，
，
由①知四边形 是平行四边形，
平行四边形 是矩形，故结论②正确；
③由①知 ， ，四边形 是平行四边形，
当 时， ，
平行四边形 是菱形，故结论③正确；
④综合②③的结论知：当 ，且 时，四边形 既是菱形，又是矩
形，
四边形 是正方形，故结论④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方法，熟练掌握以上图
形的判定方法是解题的关键．
4．(1)见解析
(2)①见解析②
【分析】 根据 证明三角形全等即可；
根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
作 交 于点 ，作 于点 ，证明 是等腰直角三角形，求
出 的最小值，可得结论．
【详解】（1）证明： 四边形 是正方形，
， ．， ．
，
，
在 和 中，
≌ ；
（2） 证明：如图 中，设 与 相交于点 ．
，
．
≌ ，
．
，
．
，
， ，
四边形 是矩形，
．
四边形 是正方形，
， ．
．
又 ，
答案第4页，共2页≌ ．
．
矩形 是正方形；
解：作 交 于点 ，作 于点 ，
∵
∴ ≌ ．
．
， ，
最大时， 最小， ．
．
由 可知， 是等腰直角三角形，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰
直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，
属于中考压轴题．
5．D
【分析】由题意作出图形，然后根据正方形的判定定理可进行排除选项．
【详解】解：如图所示，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AD、DC、BC、AB的中
点，∴ ，
∴四边形EFGH是平行四边形，
对于A选项：对角线互相平分，四边形EFGH仍是平行四边形，故不符合题意；
对于B选项：对角线互相垂直，则有 ，可推出四边形EFGH是矩形，故不符合题
意；
对于C选项：对角线互相平分且相等，则有 ，可推出四边形EFGH是菱形，故不
符合题意；
对于D选项：对角线互相垂直且相等，则有 ， ，可推出四边形EFGH是
正方形，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定，熟练掌
握三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定是解题的关键．
6．②③
【分析】根据四边形的性质及中位线的性质推导即可．
【详解】解： 点 ， ， ， 分别为边 ， ， ， 的中点，
且 ， 且 ，
且 ，
是平行四边形，
故①错误；
点 ， ， ， 分别为边 ， ， ， 的中点，
， ，
答案第6页，共2页，
，
是平行四边形，
四边形 是菱形，
故②正确；
点 ， ， ， 分别为边 ， ， ， 的中点，
， ，
，
，
，
是平行四边形，
是矩形，
故③正确；
若要四边形 是菱形，需满足 ,
当四边形 是菱形， 不一定等于 ，
故④错误；
综上，正确的有：②③，
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了中位线定理，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的
判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
7．A
【分析】利用三角形逆时针旋转 后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角
和定理即可求解．
【详解】将 绕点 逆时针旋转 至 ，
∵四边形 是正方形，∴ ， ，
由旋转性质可知： ， ， ，
∴ ，
∴点 三点共线，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键
是能正确作出旋转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度．
8．C
【分析】连接CF、CG、AE，证 可得 ，当A、E、F、C四点
共线时，即得最小值；
【详解】解：如图，连接CF、CG、AE，
答案第8页，共2页∵
∴
在 和 中，
∵
∴
∴
∴
当 时，最小，
∴d＋d＋d 的最小值为 ，
1 2 3
故选：C．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，正确构造全等三角形是解本题
的关键．
9．A
【分析】过点O作OM⊥BC于点M，先证明四边形ABFE是正方形，得出 ，
再利用勾股定理得出 ，即可得出答案．
【详解】过点O作OM⊥BC于点M，，
四边形ABCD是矩形，
，
∴∠AEF=180°-∠BAD=90°，
，
∴四边形ABFE是矩形，
又∵AB=AE，
四边形ABFE是正方形，
，EF=BF，
，
，
，EF=2CF，
由勾股定理得 ，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，熟练
掌握知识点是解题的关键．
10．C
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．
【详解】
答案第10页，共2页如图，连接AC、与BD交于点O，连接ME，MF，NF，EN，MN，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
∵BE=DF
∴OE=OF
∵点E、F时BD上的点，
∴只要M，N过点O，
那么四边形MENF就是平行四边形
∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
只要MN=EF，MN过点O，则四边形MENF是矩形，
∵点E、F是BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
只要MN⊥EF，MN过点O，则四边形MENF是菱形；
∵点E、F是BD上的动点，
∴存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN=EF，MN⊥EF，MN过点O，
则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故选：C
【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本
题的关键时明确题意，作出合适的辅助线．
11．
【分析】过点 作 于 ，证明四边形四边形 是正方形，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于 ，
∵点 是正方形 的对角线 上的一点， 于点
∴四边形 是矩形，∴ 是等腰直角三角形，
∴
∴四边形 是正方形，
∴ ，
即点 到直线 的距离为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判
定是解题的关键．
12．
【分析】连接 ，将 以 中心，逆时针旋转 ， 点的对应点为 ，由 的运动
轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆，可得： 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆，
再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点
之间的距离最短”，所以当 、 、 三点共线时， 的值最小，可求
，从而可求解．
【详解】解，如图，连接 ，将 以 中心，逆时针旋转 ， 点的对应点为 ，
的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆，
的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆，
如图，当 、 、 三点共线时， 的值最小，
四边形 是正方形，
， ，
是 的中点，
，
答案第12页，共2页，
由旋转得： ，
，
，
的值最小为 ．
故答案： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，
掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．
13．
【分析】以O为原点，平行于AB的直线为x轴，建立直角坐标系，过E作EM⊥CD于M，
过F作FN⊥DC，交DC延长线于N，设正方形ABCD的边长为2，从而求出E的坐标，然
后根据待定系数法求出直线CE的解析式，即可求出G的坐标，从而可求出GE，根据旋转
的性质可求出F的坐标，进而求出H的坐标，则可求OH，最后代入计算即可得出答案．
【详解】解：以O为原点，平行于AB的直线为x轴，建立直角坐标系，过E作EM⊥CD于
M，过F作FN⊥DC，交DC延长线于N，如图：
设正方形ABCD的边长为2，则C（1，1），D（﹣1，1），
∵E为OE中点，∴E（ ， ），
设直线CE解析式为y＝kx+b，把C（1，1），E（ ， ）代入得：
，
解得 ，
∴直线CE解析式为 ，
在 中，令x＝﹣1得y＝ ，
∴G（﹣1， ），
∴GE＝ ＝ ，
∵将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，
∴CE＝CF，∠ECF＝90°，
∴∠MCE＝90°﹣∠NCF＝∠NFC，
∵∠EMC＝∠CNF＝90°，
∴△EMC≌△CNF（AAS），
∴ME＝CN，CM＝NF，
∵E（ ， ），C（1，1），
∴ME＝CN＝ ，CM＝NF＝ ，
∴F（ ， ），
∵H是EF中点，
∴H（ ，0），
答案第14页，共2页∴OH＝ ，
∴ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，两点间距离公式等知识，以O为原点，
平行于AB的直线为x轴，建立直角坐标系是解题的关键．
14．24
【分析】设 ，则 ，从而可得 、 ，由正方形的性质可得
，由 轴，点P在 上，可得 ，由于Q为 的中点，
轴，可得 ，则 ，由于点Q在反比例函数 的图象上可得
，根据阴影部分为矩形，且长为 ，宽为a，面积为6，从而可得 ，
即可求解．
【详解】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在正方形 中， ，
∵Q为 的中点，
∴ ，
∴ ，∵Q在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵P在 上，
∴P点纵坐标为 ，
∵P点在反比例函数 的图象上，
∴P点横坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，
灵活运用所学知识是解题的关键．
15．证明过程见解析
【分析】菱形的两条对角线相互垂直且平分，再根据两条对角线相互垂直平分且相等的四
边形是正方形即可证明四边形AECF是正方形．
【详解】证明：∵ 四边形ABCD是菱形
∴ OA=OC，OB=OD且AC⊥BD，
又∵ BE=DF
∴ OB-BE=OD-DF
即OE=OF
∵OE=OA
答案第16页，共2页∴OA=OC=OE=OF且AC=EF
又∵AC⊥EF
∴ 四边形DEBF是正方形．
【点睛】此题考查了菱形的性质和正方形的判定，解题的关键是掌握上述知识．
16．(1)平行四边形，见解析
(2) 且
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到 ，根据两组
对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．
（2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可．
【详解】（1）四边形 是平行四边形．理由如下：
∵ 的对角线 交于点 ，
∴ ，
∵以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 ，
∴
∴四边形 是平行四边形．
（2）∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，
∴ 且 时，四边形 是正方形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性
质是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
(3)平行四边形，证明见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质证得 ，根据角角边证明
．
（2）当 ，证得 ， 是等腰直角三角形，
∠HEF=∠EFG=90°，即可证得四边形EFGH是矩形．
（3）利用正方形的性质证得 为平行四边形，过点 作 ，垂足为点 ，交 于点 ，由平行线分线段成比例，设 ， ， ，则可表示出 ，
从而把△OEH的面积用x的代数式表示出来，根据二次函数求出最大值，则可得
OE=OG，OF=OH，即可证得平行四边形．
【详解】（1）∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ；
（2） ；证明如下：
∵四边形 为正方形，
∴ ，AB=BC=AD=CD，
∵AE=AH，CF=CG，AE=CF，
∴AH=CG，
∴ ，
∴EH=FG．
∵AE=CF，
∴AB－AE=BC－CF，即BE=BF，
∴ 是等腰直角三角形，
∴∠BEF=∠BFE=45°，
∵AE=AH，CF=CG，
∴∠AEH=∠CFG=45°，
∴∠HEF=∠EFG=90°，
∴EH∥FG，
∴四边形EFGH是矩形．
（3）∵四边形 为正方形，
答案第18页，共2页∴ ．
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形．
∴ ．
∴ ．
过点 作 ，垂足为点 ，交 于点 ，
∴ ．
∵ ，
设 ， ， ，则 ，
∴ ．
∴ ．
∴当 时， 的面积最大，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质与判定，平行线分线
段成比例定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，有一定
的综合性，解题的关键是熟悉这些知识并灵活运用．
18．(1)钝角三角形；证明见详解
(2)①直角三角形；证明见详解；②S ABCD=
四边形
【分析】（1）根据等边三角形性质得出，BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，再证△EBA≌△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，可
得△ADC为钝角三角形即可；
（2）①以 、 、 为边的三角形是直角三角形，连结CG，根据正方形性质，得出
∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°，再证△EBA≌△GBC（SAS）得出
AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，可证△AGC为直角三角形即可；②连结BD，根据勾股定理
求出AC= ，然后利用正方形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵△ABC与△EBD均为等边三角形，
∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，
∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，
∴∠EBA=∠DBC，
在△EBA和△DBC中，
，
∴△EBA≌△DBC（SAS），
∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，
∴△ADC为钝角三角形，
∴以 、 、 为边的三角形是钝角三角形．
（2）证明：①以 、 、 为边的三角形是直角三角形．
连结CG，
∵四边形 和四边形 都是正方形，
∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，
∵EG为正方形的对角线，
∴∠BEA=∠BGE=45°，
答案第20页，共2页∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，
∴∠EBA=∠GBC，
在△EBA和△GBC中，
，
∴△EBA≌△GBC（SAS），
∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，
∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°，
∴△AGC为直角三角形，
∴以 、 、 为边的三角形是直角三角形；
②连结BD，
∵△AGC为直角三角形， ，
由（2）可知，AE=CG，
∴AC= ，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AC=BD= ，
∴S ABCD= ．
四边形【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理，
掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理是解题关键．
19．(1)1；证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，利用正
方形ABCD，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求证△ABM≌△ADN即可．
（2）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，利用在矩形
ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，求证△ABM∽△ADN．再根据其对应
边成比例，将已知数值代入即可．
（3）先证 是等边三角形，设 ，过点 ，垂足为 ，交
于点 ，则 ，在 中，利用勾股定理求得 的长，然后证
，利用相似三角形的对应边对应成比例即可求解．
【详解】（1） ，理由为：
过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，
答案第22页，共2页∴AM＝HF，AN＝EG，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN
∴△ABM≌△ADN
∴AM＝AN，即EG＝FH，
∴ ；
（2）解：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，
∴AM＝HF，AN＝EG，
在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN．
∴△ABM∽△ADN，
∴ ，∵ ， ，AM＝HF，AN＝EG，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
（3）解：∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴设 ，
过点 ，垂足为 ，交 于点 ，则 ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股
定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，难度较大，是一道难题．
20．(1) 且
(2) 且 ，理由见详解
答案第24页，共2页(3)① ，②
【分析】（1）连接 ，延长 交 于 ，可证 ，结合三角形中位线即
可求解；
（2）连接 交 于 ， 与 交于 ，可证 ，结合三角形中位线即
可求解；
（3）①过 作 ，交 的延长线于 ，过 作 ，可证 ，
即可求解；②可求 ，由 即可求解．
【详解】（1）解： 且 ，
如图，连接 ，延长 交 于 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
在 和 中
，
( )，
， ，
点G，H，I分别为线段 ， ， 的中点，， ，
， ，
；
， ，
，
，
，
，
；
故 且 ．
（2）解： 且 ，
如图，连接 交 于 ， 与 交于 ，
由（1）得：， ， ，
在 和 中
，
( )，
， ，
点G，H，I分别为线段 ， ， 的中点，
， ，
答案第26页，共2页， ，
；
， ，
，
，
，
，
；
故 且 ．
（3）解：① ，
如图，过 作 ，交 的延长线于 ，过 作 ，
，
， ，
，
在 和 中
，
（ ），
，
， ，又 ，
．
② ，
由（2）得： ， ，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，三角形中位线定理，面积转换，正方形的
性质，旋转的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
21．(1) ，
答案第28页，共2页(2)
(3)① ， ， ；②
【分析】（1）先求出 ，再求出抛物线对称轴，根据题意可知C、D关于抛物线对称
轴对称，据此求出点D的坐标即可；
（2）先求出 ，如图，设 上与点M关于直线 对称的点为 ，由轴对
称的性质可得 ，利用勾股定理建立方程组
，解得 或 （舍去），则 ，求出直线
的解析式为 ，然后联立 ，解得 或 ，则
；
（3）分图3-1，图3-2，图3-3三种情况，利用到x轴的距离之差即为纵坐标之差结合正方
形的性质列出方程求解即可．
【详解】（1）解：在 中，当 时， ，
∴ ，
∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，
∴C、D关于抛物线对称轴对称，∴ ；
（2）解：当 时，抛物线解析式为 ，
当 ，即 ，解得 或 ，
∴ ；
如图，设 上与点M关于直线 对称的点为 ，
由轴对称的性质可得 ，
∴ ，
解得： ，即
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 或
答案第30页，共2页∴ ；
（3）解：①当 时，抛物线解析式为 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
当 时， ，
∴抛物线 恰好经过 ；
∵抛物线对称轴为直线 ，
由对称性可知抛物线经过 ，
∴点 时抛物线与正方形的一个交点，
又∵点F与点D重合，
∴抛物线也经过点 ；
综上所述，正方形 的边与抛物线的所有交点坐标为 ， ， ；
②如图3-1所示，当抛物线与 分别交于T、D，
∵当正方形 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴点T的纵坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
解得 （舍去）或 ；
如图3-2所示，当抛物线与 分别交于T、S，
∵当正方形 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为
，
∴ ，
解得 （舍去，因为此时点F在点D下方）
如图3-3所示，当抛物线与 分别交于T、S，
∵当正方形 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为
，
答案第32页，共2页∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去）；
当 时， ，
当 时， ，
∴ 不符合题意；
综上所述， ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，
利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键．
