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模块二 知识全整合
专题 4 图形的性质
第 1 讲 几何初步
一、线段、直线、射线
1．线段
（1）线段有两个端点；
（2）两点之间，线段最短；
（3）两点间的距离：连结两点的线段的长度；
（4）线段中点：把一条线段分成两条相等线段的点，就是线段的中点；
2．射线
（1）线段向一方无限延伸，形成射线；
（2）射线有一个端点；
3．直线
（1）线段向两方无限延伸，形成直线；
（2）直线没有端点；
（3）两点确定一条直线；
二、角
（1）有公共端点的两条射线形成的图形，叫做角；
（2）一条射线绕着它的端点旋转形成的图形，叫做角；（3）角度的换算： ；
（4）余角：两个互余的角的和为90°，同角的余角相等；
（5）补角：两个互补的角的和为180°，同角的补角相等；
（6）角平分线：从角的顶点出发，把一个角分成两个相等的角的射线，就是角的平分
线；
三、相交线
1．两条直线相交
（1）两条直线相交，只有一个交点；
（2）对顶角相等，邻补角互补；
（3）垂直：两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；在同一平面内，过一点有且
只有一条直线与已知直线垂直；
（4）垂线段：垂线段最短；
（5）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；
2．三条直线相交
（1）三线八角：同位角，内错角，同旁内角；
（2）三条直线相交，最少有1个交点，最多有3个交点；
四、平行线
1．平行线
（1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；
（2）平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
（3）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线平行；
2．平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补；
3．平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同旁内角互补，两直线平行；
五、命题与证明
1．命题
（1）命题：判断一件事情的语句叫做命题；
（2）命题的结构：命题由题设和结论两部分组成；
试卷第2页，共3页（3）命题的形式：可以写成“如果…．．，那么…．”的形式；
（4）命题的真假：条件成立，结论也成立的命题是真命题；条件成立，结论不成立的
命题是假命题；
2．逆命题
（1）互逆命题：两个命题的题设和结论正好相反，这样的两个命题叫做互逆命题；
（2）原命题和逆命题：两个互逆的命题，一个称原命题，另一个称为它的逆命题；
3．逆定理
（1）逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，就叫它为这个定理的逆定理；
（2）互逆定理：原定理和它的逆定理是一对互逆定理；
4．举反例
（1）反例：满足命题的条件，不满足命题的结论的例子；
（2）举反例：举出一个反例来说明命题是假命题；
5．反证法
（1）假设命题的结论不正确；
（2）从假设出发，推出矛盾；
（3）由矛盾的结果说明假设不成立；
（4）肯定原命题正确．
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1．了解点、线、角的概念；
2．理解线段长短的度量；
3．探究并理解角的大小的度量；
4．理解两条直线平行或垂直的关系，形成和发展抽象能力；
5．了解原命题和逆命题的概念；
6．体会反证法的含义；
【例1】（2021·内蒙古·统考中考真题）
1．已知线段 ，在直线AB上作线段BC，使得 ．若D是线段AC的中点，
则线段AD的长为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
【变1】（2023·北京·统考中考真题）
2．如图， ， ，则 的大小为（ ）A． B． C． D．
【例1】（2023·湖北襄阳·统考中考真题）
3．将含有 角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若 ，则 度数
（ ）
A． B． C． D．
【变1】（2023·四川雅安·统考中考真题）
4．如图， ， 于点C， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例1】（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）
5．下列命题：
① ；
② ；
③圆周角等于圆心角的一半；
试卷第4页，共3页④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变1】（2023·湖南·统考中考真题）
6．我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ”．
假设三角形没有一个内角小于或等于 ，即三个内角都大于 ．则三角形的三个内
角的和大于 ，这与“三角形的内角和等于 ”这个定理矛盾．所以在一个三角
形中，至少有一个内角小于或等于 ．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
【例1】（2022·广西柳州·统考中考真题）
7．如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变1】（2023·河北·统考中考真题）
8．淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西 的方向，
则淇淇家位于西柏坡的（ ）
A．南偏西 方向 B．南偏东 方向
C．北偏西 方向 D．北偏东 方向
一、选择题（2022·湖北十堰·统考中考真题）
9．如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，
就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
（2021·浙江台州·统考中考真题）
10．小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三
条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是
（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线
（2022·江苏常州·统考中考真题）
11．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路
的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）
12．如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若 ，则 的度数
试卷第6页，共3页是（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川德阳·统考中考真题）
13．如图，直线 ，直线l分别交 ， 于点M，N， 的平分线
交 于点F， ，则 （ ）
A． B． C． D．
（2023·辽宁营口·统考中考真题）
14．如图， 是 的平分线， ， ，则 的度数是（ ）
A．50° B．40° C．35° D．45°
（2022·山东烟台·统考中考真题）
15．如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的
南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（ ）
A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°（2023·湖南·统考中考真题）
16．如图，直线 直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接 ，过点A作
，交直线m于点C．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2023·广东深圳·统考中考真题）
17．如图为商场某品牌椅子的侧面图， ， 与地面平行， ，
则 （ ）
A．70° B．65° C．60° D．50°
（2023·浙江金华·统考中考真题）
18．如图，已知 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖南岳阳·统考中考真题）
19．下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．菱形的四条边相等
C．正五边形是中心对称图形 D．单项式 的次数是4
（2023·甘肃武威·统考中考真题）
20．如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书
中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高
试卷第8页，共3页悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即
“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；
反射角等于人射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置
一面平面镜可改变光路，当太阳光线 与地面 所成夹角 时，要使太
阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜 与地面的夹角
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
（2020·吉林·统考中考真题）
21．如图，某单位要在河岸 上建一个水泵房引水到 处，他们的做法是：过点 作
于点 ，将水泵房建在了 处．这样做最节省水管长度，其数学道理是
．
（2023·山东烟台·统考中考真题）
22．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知 ，则 的度数为 ．
（2022·江苏无锡·统考中考真题）23．请写出命题“如果 ，那么 ”的逆命题： ．
（2022·广西桂林·统考中考真题）
24．如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝ cm．
（2023·四川乐山·统考中考真题）
25．如图，点O在直线 上， 是 的平分线，若 ，则
的度数为 ．
（2022·湖南益阳·统考中考真题）
26．如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34 ，
公路PB的走向是南偏东56 ，则这两条公路的夹角∠APB＝ °．
（2022·江苏连云港·统考中考真题）
27．已知∠A的补角是60°，则 ．
（2023·北京·统考中考真题）
28．学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共
需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须
在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2
试卷第10页，共3页在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要
分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟．
（2023·四川雅安·统考中考真题）
29．如图，在 中， ．P为边 上一动点，作 于
点D， 于点E，则 的最小值为 ．
（2023·辽宁锦州·统考中考真题）
30．如图，在 中， ， ， ，按下列步骤作图：
①在 和 上分别截取 、 ，使 ．②分别以点D和点E为圆心，以
大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点M．③作射线 交 于点F．
若点P是线段 上的一个动点，连接 ，则 的最小值是 ．参考答案：
1．C
【分析】先分C在AB上和C在AB的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的
定义和线段的和差进行计算即可．
【详解】解：如图：当C在AB上时，AC=AB-BC=2,
∴AD= AC=1
如图：当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=6,
∴AD= AC=3
故选C．
【点睛】本题主要考查了线段的和差、中点的定义以及分类讨论思想，灵活运用分类讨论
思想成为解答本题的关键．
2．C
【分析】由 ， ，可求出 的度数，再根据角与角之
间的关系求解．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和 相
比，多加了 ．
3．C
【分析】根据条件可得 ，再根据 即可求解．
【详解】解：如图所示，∵ ，
，
∵ ，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解答此题的
关键．
4．B
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得 的度数，根据垂直的定义可得
，然后根据 即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解本
题的关键．
5．A
【分析】运用同底数幂相乘法则可判定①；根据负数的绝对值越大，自身越小可判定②；
根据圆周角定理可判定③；根据随机事件和方差的意义可判定④⑤．
【详解】解：① ，故①是真命题；
② ，故②是假命题；
③在同圆或等圆值，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，故③是假命题；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是随机事件，故④是假命题；
答案第2页，共2页⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差不变，故⑤是假命题．
综上，正确的只有①．
故选A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘、无理数大小比较、圆周角定理、随机事件、方差
等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
6．A
【分析】根据反证法的步骤分析判断，即可解答．
【详解】解：假设三角形没有一个内角小于或等于 ，即三个内角都大于 ．
则三角形的三个内角的和大于 ，
这与“三角形的内角和等于 ”这个定理矛盾．
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ．
以上步骤符合反证法的步骤．
故推理使用的证明方法是反证法．
故选：A．
【点睛】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
7．B
【分析】根据两点之间线段最短进行解答即可．
【详解】解：∵两点之间线段最短，
∴从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线中，最短的路线是②，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握两点之间所有连线中，
线段最短．
8．D
【分析】根据方向角的定义可得答案．
【详解】解：如图：∵西柏坡位于淇淇家南偏西 的方向，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏东 方向．故选D．
【点睛】本题主要考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键．
9．B
【分析】由直线公理可直接得出答案．
【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的
参照线，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点．
10．A
【分析】根据线段的性质即可求解．
【详解】解：两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航的实
际可选路线都比两地距离要长，
故选：A．
【点睛】本题考查线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键．
11．A
【分析】根据垂线段最短解答即可．
【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．
12．C
【分析】由平行线的性质和余角的定义求解即可．
【详解】解：如图，
由题意可知 ，
∴ ，
∴ ．
故选C．
【点睛】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质和余角的定义．掌握两直线平行，
同位角相等是解题关键．
答案第4页，共2页13．B
【分析】先证明 ， ，结合角平分线可得
，从而可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 的平分线 交 于点F，
∴ ，
∴ ，
故选B
【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，熟记两直线平行，同旁内角互补
是解本题的关键．
14．B
【分析】根据邻补角求出 ，利用角平分线求出 ，再根据平行线的性质求出
的度数．
【详解】解：∵ ，
∴
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角，正确掌握平行线的性质是
解题的关键．
15．A
【分析】根据题意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根据等腰三角形的性质可得
∠ABC＝∠C＝75°，从而求出∠BAC的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB＝∠ABE
＝40°，从而求出∠DAC的度数，即可解答．
【详解】解：如图：由题意得：
∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB＝∠ABE＝40°，
∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，
∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°，
故选：A．
．
【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关
键．
16．C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得出 ，结合已知条件即可求出
∠2的度数．
【详解】解：如图所示，
∵直线 直线n，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
答案第6页，共2页∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直
线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
17．A
【分析】根据平行得到 ，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解
即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解
题的关键．
18．C
【分析】由 可得 ，可得 ，再利用邻补角的含义可得答案．
【详解】解：如图，标记角，
∵ ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ；
故选C
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，邻补角的含义，熟记平行线的判定与性质是
解本题的关键．
19．B【分析】根据平行线的性质，菱形的性质，正五边形定义，中心对称图形的定义，单项式
次数的定义求解．
【详解】A. 两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故此命题为假命题；
B. 根据菱形的性质，菱形的四条边相等，故此命题为真命题；
C. 正五边形不符合中心对称图形的定义，不是中心对称图形，故此命题为假命题；
D. 单项式 的次数是3，故此命题是假命题；
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，菱形的性质，正五边形定义，中心对称图形的定义，单
项式次数的定义，熟练掌握上述知识是关键．
20．B
【分析】如图，过 作 平面镜 ，可得 ，
，而 ，再建立方程
，可得 ，从而可得答案．
【详解】解：如图，过 作 平面镜 ，
∴ ， ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
答案第8页，共2页∴ ，
故选B．
【点睛】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，角平分线的含义，属于跨学科题，熟
记基础概念是解本题的关键．
21．垂线段最短
【分析】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
【详解】通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点睛】此题主要考查点到直线的距离，动手比较、发现结论是解题关键．
22． ## 度
【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解．
【详解】解：如图所示，依题意， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
23．如果 ，那么
【分析】根据逆命题的概念解答即可．
【详解】解：命题“如果 ，那么 ”的逆命题是“如果 ，那么 ”，
故答案为：如果 ，那么 ．
【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题
的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其
中一个命题称为另一个命题的逆命题．
24．4【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm．
【详解】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4（cm），
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键．
25． ##20度
【分析】根据邻补角得出 ，再由角平分线求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】题目注意考查邻补角及角平分线的计算，找准各角之间的关系是解题关键．
26．90
【分析】根据题意可得∠APC＝34 ，∠BPC＝56 ，然后进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：
∠APC＝34 ，∠BPC＝56 ，
∴∠APB＝∠APC＋∠BPC＝90 ，
故答案为：90．
【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
27．120
【分析】如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．由此定义即可求解．
【详解】解：∵∠A的补角是60°，
∴∠A=180°-60°=120°，
故答案为：120．
【点睛】本题考查补角的定义，熟练掌握两个角互为补角的定义是解题的关键．
答案第10页，共2页28． 53 28
【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两
名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生
做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序
E，乙学生同时做工序F，然后可得答案．
【详解】解：由题意得： （分钟），
即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；
假设这两名学生为甲、乙，
∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B
都需要9分钟完成，
∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟，
然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9
分钟，
最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，
∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要 （分钟），
故答案为：53，28；
【点睛】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．
29．
【分析】连接 ，利用勾股定理列式求出 ，判断出四边形 是矩形，根据矩形的
对角线相等可得 ，再根据垂线段最短可得 时，线段 的值最小，然后根
据直角三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ，∴ ，
∵ 于点D， 于点E， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
由垂线段最短可得 时，线段 的值最小，此时线段 的值最小，
此时， ，
代入数据： ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出
时，线段 的值最小是解题的关键．
30．
【分析】过点P作 于点Q，过点C作 于点H，先利用角平分线和三角形
的内角和定理求出 ，然后利用含 的直角三角的性质得出 ，则
，当C、P、Q三点共线，且与 垂直时， 最小，
最小值为 ，利用含 的直角三角的性质和勾股定理求出 ， ，最后利
用等面积法求解即可．
【详解】解：过点P作 于点Q，过点C作 于点H，
答案第12页，共2页由题意知： 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当C、P、Q三点共线，且与 垂直时， 最小， 最小值为 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含 的直角三角形的性质，勾股定理等知识，
注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．
