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模块二 知识全整合
专题 5 几何变换
第 5 讲 视图、投影和几何作图
一、几何体的展开图
1．常见的几何体：柱体，锥体，球体；
2．常见几何体的侧面展开图
（1）圆柱的侧面展开图是长方形；
（2）圆锥的侧面展开图是扇形；
（3）正方体的侧面展开图是长方形；
（4）三棱柱的侧面展开图是长方形．
3．正方体的表面展开图二、三视图
1．物体的三视图：主视图、俯视图、左视图；
（1）主视图：从正面看到的图，叫做主视图；
（2）左视图：从左面看到的图，叫做左视图；
（3）俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图；
2．三视图的特点
（1）位置有规定：主视图要在左上边，它下方应是俯视图，左视图坐落在右上边 ．
（2）长度要求：主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图
的宽相等．
3．画几何体的三视图
（1）确定主视图的位置，画出主视图；
（2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
（3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”．
（4）几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线要画成虚线．
三、投影
1．投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现
象．影子所在的平面称为投影面；
2．平行投影：由平行光线所形成的投影叫做平行投影；
3．中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影叫做中心投影．
试卷第2页，共2页四、尺规作图
1．尺规作图：用没有刻度的直尺和圆规作图；
2．基本尺规作图
（1）作线段等于已知线段
（2）作角等于已知角；
（3）作一个角的平分线；
（4）作已知线段的垂直平分线；
（5）经过一点作已知直线的垂线；五、位似图形
1．位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过
同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心；
2．位似图形的性质
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2）位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行．
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1．了解位似的意义，知道位似可以将一图形放大或缩小；
2．经历从不同角度观察立体图形的过程，知道简单立体图形的侧面展开图；
3．经历尺规作图的过程，增加动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形，
理解尺规作图的基本原理与方法，发展空间观念和空间想象力；
【例1】（2023·吉林长春·统考中考真题）
1．下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，
则多面体的上面是（ ）
A．面① B．面② C．面⑤ D．面⑥
【变1】（2022·江苏南京·统考中考真题）
2．直三棱柱的表面展开图如图所示， ， ， ，四边形 是正
方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点 距离最大的是（ ）
试卷第4页，共2页A．点 B．点 C．点 D．点
【例1】（2023·江苏盐城·统考中考真题）
3．由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【变1】（2023·四川成都·统考中考真题）
4．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭
成这个几何体的小立方块最多有 个．【例1】（2023·湖北襄阳·统考中考真题）
5．如图， 是菱形 的对角线．
(1)作边 的垂直平分线，分别与 ， 交于点 ， （尺规作图，不写作法，保
留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接 ，若 ，求 的度数．
【变1】（2023·江苏·统考中考真题）
6．如图， 、 、 、 是直线 上的四点， ．
(1)求证： ；
(2)点 、 分别是 、 的内心．
①用直尺和圆规作出点 （保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接 ，则 与 的关系是________．
【例1】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）
7．如图，在直角坐标系中， 的三个顶点分别为 ，现以原
点O为位似中心，在第一象限内作与 的位似比为2的位似图形 ，则顶点
的坐标是（ ）
试卷第6页，共2页A． B． C． D．
【变1】（2022·广西河池·统考中考真题）
8．如图、在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，
3），C（1，2）． △
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△ABC ；
1 1 1
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个 ABC ，使它与 ABC的相似比为 ，
2 2 2
并写出点B 的坐标． △ △
2
一、选择题
（2022·贵州六盘水·统考中考真题）
9．如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
（2023·山东青岛·统考中考真题）
10．一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图
①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
（2022·江苏徐州·统考中考真题）
11．如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是（
）
A． B． C． D．
（2023·河南周口·校联考三模）
12．“光沿直线传播”产生了影子，下面是在同一时刻的太阳光下两棵树产生的影子，
其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·山东青岛·统考中考真题）
13．一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ）
试卷第8页，共2页A． B． C． D．
（2023·山东潍坊·统考中考真题）
14．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯
的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
（2023·内蒙古·统考中考真题）
15．几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表
示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
（2023·江苏·统考中考真题）
16．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）．A． B． C． D．
（2023·四川遂宁·统考中考真题）
17．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐
标系中，格点 成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
（2023·辽宁·统考中考真题）
18．如图，在平面直角坐标系中，四边形 的顶点坐标分别是
，若四边形 与四边形 关于原点 位似，
且四边形 的面积是四边形 面积的4倍，则第一象限内点 的坐标为
．
试卷第10页，共2页（2022·浙江温州·统考中考真题）
19．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中
心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 ，此时各叶片影子在点
M右侧成线段 ，测得 ，垂直于地面的木棒 与影子 的比
为2∶3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大
高度等于 米．
（2023·四川成都·统考中考真题）
20．如图，在 中， 是边 上一点，按以下步骤作图：①以点 为圆心，以适
当长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；②以点 为圆心，以 长为半径
作弧，交 于点 ；③以点 为圆心，以 长为半径作弧，在 内部交前
面的弧于点 ：④过点 作射线 交 于点 ．若 与四边形 的面积
比为 ，则 的值为 ．三、解答题
（2023·青海·统考中考真题）
21．如图， 是 的一个外角， ， .
(1)尺规作图：作 的平分线，交 于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：四边形 是平行四边形.
（2023·陕西·统考中考真题）
22．如图．已知锐角 ， ，请用尺规作图法，在 内部求作一点 ．
使 ．且 ．（保留作图痕迹，不写作法）
（2023·湖北鄂州·统考中考真题）
23．如图，点E是矩形 的边 上的一点，且 ．
(1)尺规作图（请用 铅笔）：作 的平分线 ，交 的延长线于点F，连接
．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)试判断四边形 的形状，并说明理由．
（2023·江苏盐城·统考中考真题）
24．如图， ， ， ．
试卷第12页，共2页(1)求证： ；
(2)用直尺和圆规作图：过点 作 ，垂足为 ．（不写作法，保留作图痕迹）
（2023·江苏徐州·统考中考真题）
25．两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉
环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉
倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指
孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比
例关系．
(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ；
(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例
关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出
内孔．
（2023·江苏·统考中考真题）
26．如图，在 中， ．
(1)尺规作图：作 ，使得圆心 在边 上， 过点 且与边 相切于点 （请
保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若 ，求 与 重叠部分的面积．（2023·四川成都·统考中考真题）
27．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与y轴交于点A，与反比例函数
的图象的一个交点为 ，过点B作AB的垂线l．
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线l上，且 的面积为5，求点C的坐标；
(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画 ，使它与 位似，相似比
为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
（2022·江苏南京·统考中考真题）
28．在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得
多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形
成自位似轴对称．
例如：如图①，先将 以点 为位似中心缩小，得到 ，再将 沿过点
的直线 翻折，得到 ，则 与 成自位似轴对称．
试卷第14页，共2页(1)如图②，在 中， ， ， ，垂足为 ，下列3对三
角形：① 与 ；② 与 ；③ 与 ．其中成自位似轴
对称的是________（填写所有符合条件的序号）；
(2)如图③，已知 经过自位似轴对称变换得到 ， 是 上一点，用直尺
和圆规作点 ，使 与 是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说
明）；
(3)如图④，在 中， 是 的中点， 是 内一点， ，
，连接 ，求证： ．参考答案：
1．C
【分析】根据底面与多面体的上面是相对面，则形状相等，间隔1个长方形，且没有公共
顶点，即可求解．
【详解】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤，
故选：C．
【点睛】本题考查了长方体的表面展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
2．B
【分析】根据勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，折叠成直三棱柱后，运用勾股
定理计算比较大小即可．
【详解】∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∵四边形 是正方形，将其折叠成直三棱柱，
∴直棱柱的高 ，
∴ ， ， ，
，
∵ ，
∴选B．
【点睛】本题考查了几何体的展开与折叠，勾股定理及其逆定理，熟练掌握展开图与折叠
的意义是解题的关键．
3．D
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】观察图形可知，该几何体的俯视图如下：
．
故选：D．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4．
【分析】根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，即可求解．
【详解】解：根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，如图
所示，
∴搭成这个几何体的小立方块最多有 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)
【分析】（1）分别以点 ，点 为圆心，大于 的长为半径作弧，交于点 ，点 ，
作直线 交 于点 ，交 于点 ，连接 即可；
（2）连接 ，由菱形的性质得到 ， ，则 ，
由线段的垂直平分线的性质可得 ，故得到 ，则
．
【详解】（1）解：
（2）解：连接 ，
菱形 ，
， ，
，
垂直平分 ，
答案第2页，共2页，
，
．
【点睛】本题主要考查基本作图，菱形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的
性质．按照要求作出边 的垂直平分线是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)①见解析 ②
【分析】（1）可证得 ，结合 ， 即可证明结论．
（2）①三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，因此只需作出任意两个角的角
平分线，其交点即为所求．②因为 ，所以 可看作由 平移得到，
点 ，点 为对应点，点 ，点 为对应点，据此即可求得答案．
【详解】（1）∵ ， ， ，
∴ ．
在 和 中
∴ ．
（2）①三角形的内心为三角形的三个角的平分线的交点，作 ， 的角平分线，
其交点即为点 ．
②因为 ，所以 可看作由 平移得到，点 ，点 为对应点，点
，点 为对应点，根据平移的性质可知 ．
故答案为： ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、图形的平移，牢记全等三角形的判定方法和图
形平移的性质（连接各组对应点的线段平行或在同一条直线上）是解题的关键．
7．C
【分析】直接根据位似图形的性质即可得．
【详解】解：∵ 的位似比为2的位似图形是 ，且 ，
，即 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
8．(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A B C 的坐标，然后描点连线得到
1、 1、 1
ABC
1 1 1．
△（2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A
2
、B
2
、C
2
的坐标，然后描点连线即可．
【详解】（1）如图， 为所作．
（2）如图， 为所作，点B 的坐标为（-4，-6）．
2
【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴．
9．A
答案第4页，共2页【分析】根据正方体展开图分析即可求解．
【详解】根据正方体展开图分析，
①的对面是⑤，不能裁掉①
故选A
【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，理正方体的表面展开图的模型是解题的关键．
正方体的表面展开图用‘口诀’：一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面，间二、
拐角邻面知．
10．B
【分析】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出
使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答．
【详解】解：由图①可知：1的相对面是3，2的相对面是4，5的相对面是6，
由图2可知：
要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，
上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6，
能看见的面数字之和为： ；
左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4，5，6，
能看见的面数字之和为： ；
右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4，6，
能看见的面数字之和为： ；
∴能看得到的面上数字之和最小为： ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面”，
是解题的关键．
11．D
【分析】根据骰子表面展开后，其相对面的点数之和是7，逐项判断即可作答．
【详解】A项，2的对面是4，点数之和不为7，故A项错误；
B项，2的对面是6，点数之和不为7，故B项错误；C项，2的对面是6，点数之和不为7，故C项错误；
D项，1的对面是6，2的对面是5，3的对面是4，相对面的点数之和都为7，故D项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了立体图形的侧面展开图的知识，解答时，找准相对面是解答本题
的关键．没有共同边的两个面即为相对的面．
12．D
【分析】根据同一时刻阳光下的影子肯定为同侧且平行的，且与物体相连，直接判断即可．
【详解】解：根据同一时刻阳光下的影子肯定为同侧且平行的，且与物体相连，只有D选
项符合题意，
故选：D．
【点睛】此题考查平行投影，解题关键是根据投影的概念进行解答即可．
13．D
【分析】运用三种视图的空间方位进行解题．
【详解】解：A、选项不符合三种视图，不符合题意；
B、选项是主视图，不符合题意；
C、选项是右视图，不符合题意；
D、选项是左视图，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
14．C
【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得．
【详解】解：卯的俯视图是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键．
15．D
【分析】根据各层小正方体的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案．
【详解】解：根据俯视图可知，这个几何体中：主视图有三列：左边一列1个，中间一列
2个，右边一列2个，
所以该几何体的主视图是
答案第6页，共2页故选：D．
【点睛】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想
象能力方面的考查，熟练掌握三视图的判断方法是解题关键．
16．B
【分析】根据题意可得这个几何体为圆锥，然后求出圆锥的母线长为 ，再根据圆锥的侧
面（扇形）面积公式，即可求解．
【详解】解：根据题意得：这个几何体为圆锥，
如图，过点 作 于点 ，
根据题意得： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
即圆锥的母线长为 ，
∴这个几何体的侧面积是 ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，求圆锥的侧面积，根据题意得到这个几何
体为圆锥是解题的关键．
17．A
【分析】根据题意确定直线 的解析式为： ，由位似图形的性质得出 所在直
线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．
【详解】解：由图得： ，
设直线 的解析式为： ，将点代入得：，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，
∴当 时， ，
∴位似中心的坐标为 ，
故选：A．
【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形
的特点是解题关键．
18．
【分析】根据位似图形的概念得到四边形 和四边形 相似，根据相似多边形的
面积比等于相似比的平方求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：∵四边形 的面积是四边形 面积的4倍，
∴四边形 和四边形 的相似比为 ，
∵ ，
∴第一象限内点 ，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平
方是解题的关键．
19． 10
【分析】过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过
点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，求出CH的长度，根据 ，
求出OM的长度，证明 ，得出 ， ，求出IJ、BI、OI的长度，
答案第8页，共2页用勾股定理求出OB的长，即可算出所求长度．
【详解】如图，过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点
J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，
由题意可知，点O是AB的中点，
∵ ，
∴点H是CD的中点，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵由题意可知： ，
∴ ，解得 ，
∴点O、M之间的距离等于 ，
∵BI⊥OJ，
∴ ，
∵由题意可知： ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形OHDJ是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∵在 中，由勾股定理得： ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴叶片外端离地面的最大高度等于 ，
故答案为：10， ．
【点睛】本题主要考查了投影和相似的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正
确作出辅助线是解答本题的关键．
20．
【分析】根据作图可得 ，然后得出 ，可证明 ，进而
根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据作图可得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与四边形 的面积比为 ，
∴
∴
∴ ，
答案第10页，共2页故答案为： ．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图
与相似三角形的性质与判定是解题的关键．
21．(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）利用基本作图作 的平分线即可；
（2）先利用 得到 ，再根据角平分线的定义得到 ，则
利用三角形外角性质可判断 ，所以 ，然后利用 可判断四边
形 是平行四边形．
【详解】（1）解：如图， 为所作；
（2）证明： ，
，
平分 ，
，
，
即 ，
，
，
，
四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查了作图 基本作图、等腰三角形的性质和平行四边形的判定，熟练掌握5
种基本作图是解决问题的关键．
22．见解析
【分析】先作 的平分线 ，再作 的垂直平分线 ，直线 交 于 点，则 点
满足条件．【详解】解：如图，点 即为所求．
【点睛】本题考查了作图 复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，
结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的
性质．
23．(1)见解析
(2)四边形 是菱形，理由见解析
【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出 ，结合角平分线的定义可得
，则 ，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）四边形 是菱形；
理由：∵矩形 中， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
答案第12页，共2页又∵ ，
∴平行四边形 是菱形．
【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判
定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题
的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据边角边证明 即可证明结论成立；
（2）根据过直线外一点向直线最垂线的作法得出即可．
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：所作图形如图，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，过直线外一点向直线最垂线的作法，
熟练记忆正确作法是解题关键．
25．(1)
(2)①符合，图见详解；②图见详解
【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；
（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，
然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为 ；环的“肉”的面积
为 ，
∴它们的面积之比为 ；
故答案为 ；
（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为
A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于 长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同
理可画出线段 的垂直平分线，线段 的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O
画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即
可
由作图可知满足比例关系为 的关系；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径 ，过点A作一条射线，然后以A为圆心，
适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接 ，然后分别过点C、D
作 的平行线，交 于点F、G，进而以 为直径画圆，则问题得解；如图所示：
【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及
平行线所截线段成比例是解题的关键．
答案第14页，共2页26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作 的角平分线交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，以
为圆心， 为半径作 ，即可；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得圆的半径，设 交 于点 ，连接 ，
可得 是等边三角形，进而根据 与 重叠部分的面积等于扇形面积与等边三
角形的面积和，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：∵ ， 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
则 ，
解得： ，
如图所示，设 交 于点 ，连接 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，如图所示，过点 作 于点 ，
∴
∴
在 中， ,
∴ ,
∴ ，则 ，
∴ 与 重叠部分的面积为 ．
【点睛】本题考查了基本作图，切线的性质，求扇形面积，熟练掌握基本作图与切线的性
质是解题的关键．
27．(1)点A的坐标为 ，反比例函数的表达式为 ；
(2)点C的坐标为 或
(3)点P的坐标为 ；m的值为3
【分析】（1）利用直线 解析式可的点C的坐标，将点 代入 可得
a的值，再将点 代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；
（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是 的垂线先求出点M的坐标，
再用待定系数法求直线l的解析式 ，C点坐标为 ，根据
答案第16页，共2页( 分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而
得解；
（3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为
点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到 ，由
得到 ，继而得到直线 与直线 的解析式中的一次项系数相
等，设直线 的解析式是： ，将 代入 求得 的解析式是：
，再将直线 与双曲线的解析式联立求得 ，再用待定系数法求出
的解析式是 ，利用直线 的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为
，再用两点间的距离公式得到 ， 从而求得 ．
【详解】（1）解：令 ，则
∴点A的坐标为 ，
将点 代入 得：
解得：
∴
将点 代入 得：
解得：
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）解：设直线l于y轴交于点M，直线 与x轴得交点为N，令 解得：
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∵ ，
∴
又∵直线l是 的垂线即 ， ，
∴ ，
∴
设直线l的解析式是： ，
将点 ，点 代入 得：
解得：
∴直线l的解析式是： ，
答案第18页，共2页设点C的坐标是
∵ ，( 分别代表点B与点C的横坐标)
解得： 或6，
当 时， ；
当 时， ，
∴点C的坐标为 或
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，
∴点E是直线l与双曲线 的另一个交点，
将直线l与双曲线的解析式联立得：
解得： 或
∴
画出图形如下：
又∵
∴
∴∴直线 与直线 的解析式中的一次项系数相等，
设直线 的解析式是：
将点 代入 得：
解得：
∴直线 的解析式是：
∵点D也在双曲线 上，
∴点D是直线 与双曲线 的另一个交点，
将直线 与双曲线的解析式联立得：
解得： 或
∴
设直线 的解析式是：
将点 ， 代入 得：
解得：
∴直线 的解析式是： ，
又将直线 的解析式与直线l的解析式联立得：
解得：
答案第20页，共2页∴点P的坐标为
∴
∴
【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，
反比例函数综合 几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联
立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键．
28．(1)①②
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题中定义作出图形，即可得出结论；
（2）先根据题意和轴对称性质作出 轴对称前的 ，即 以点 为位似中
心缩小的 ，在 作出Q对应的 ，进而作出点 对应的点P即可；
（3）延长 交 于点 ，证明 和 得到 ，进
而得到 ，证明 得到 ，利用平行线的判定即可得出结
论．
【详解】（1）解：① 与 成自位似轴对称，对称轴为 的角平分线所在的
直线，如图；② 与 成自位似轴对称，对称轴为 平分线所在的直线，如图，
，
③ 与 不成自位似轴对称，
故答案为：①②；
（2）解：如图，
1）分别在 和 上截取 ， ，
2）连接 ，在 上截取 ，
3）连接 并延长交 于P，则点 即为所求；
（3）证明：延长 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ，
答案第22页，共2页∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查位似和轴对称的性质、相似三角形的判定与性质，理解题中所给定义，
熟练掌握轴对称性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
