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模块二 知识全整合
专题 4 图形的性质
第 6 讲 多边形与平行四边形
一、多边形
1．多边形：在同一平面内，由不在同一直线上的线段首尾顺次连接而成的图形就是多
边形；
2．多边形的内角和定理： ；
3．多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°;
4．多边形的对角线
（1）从一个顶点出发可以画（n-3）条对角线；
（2）n边形共有对角线的条数是： ；
4．正多边形：各个内角都相等，各条边相等的多边形叫做正多边形；
5．对称性：正多边形是轴对称图形，偶数边形的正多边形是中心对称图形；
6．正多边形的每个外角的度数是： ，每个内角的度数是： ；
二、平行四边形
1．平行四边形的性质
（1）边的性质：对边平行且相等；
（2）角的性质：对角相等，邻角互补；（3）对角线的性质：对角线互相平行；
（4）对称性：是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；
2．平行四边形的判定
（1）利用边来判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）利用角来判定
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（3）利用对角线判定
对角线互相平行的四边形是平行四边形；
3．平行四边形的周长和面积
（1）周长等于长与宽和的2倍；
（2）面积等于底乘以高；
4．中点四边形
连结任意四边形各边的中点得到的四边形是平行四边形；
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1．了解多边形及相关概念；
2．探索并掌握多边形的内角和定理和外角和定理；
3．理解平行四边形的概念，了解四边形的不稳定性；
4．探索并证明平行四边形的性质定理和判定定理；
5．理解平行线间距离，能度量平行线间的距离；
【例1】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）
1．如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如
同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角 （ ）
试卷第2页，共3页A． B． C． D．
【变1】（2023·吉林长春·统考中考真题）
2．如图，将正五边形纸片 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，展开后，
再将纸片折叠，使边 落在线段 上，点 的对应点为点 ，折痕为 ，则
的大小为 度．
【例1】（2023·海南·统考中考真题）
3．如图，在 中， ， ， 平分 ，交边 于点 ，
连接 ，若 ，则 的长为（ ）
A．6 B．4 C． D．
【变1】（2023·福建·统考中考真题）
4．如图，在 中， 为 的中点， 过点 且分别交 于点 ．若
，则 的长为 ．【例1】（2023·湖北·统考中考真题）
5．如图， 和 都是等腰直角三角形，
，点 在 内， ，连接 交 于点
交 于点 ，连接 ．给出下面四个结论：① ；②
；③ ；④ ．其中所有正确结论的序号是 ．
【变1】（2023·浙江杭州·统考中考真题）
6．如图，平行四边形 的对角线 相交于点 ，点 在对角线 上，且
，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 的面积等于2，求 的面积．
一、选择题
（2023·湖南湘西·统考中考真题）
7．一个七边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
（2023·山东枣庄·统考中考真题）
试卷第4页，共3页8．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若 ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖南益阳·统考中考真题）
9．如图， 的对角线 交于点 ，下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖南·统考中考真题）
10．如图，在四边形 中， ，若添加一个条件，使四边形 为平
形四边形，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·河北·统考中考真题）
11．综合实践课上，嘉嘉画出 ，利用尺规作图找一点C，使得四边形 为
平行四边形．图1~图3是其作图过程．
（1）作 的垂直平 （2）连接 ，在 的延 （3）连接 ， ，则四
分线交 于点O； 长线上截取 ； 边形 即为所求．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
（2023·江苏宿迁·统考中考真题）
12．如图，直线 、 与双曲线 分别相交于点 ．
若四边形 的面积为4，则 的值是（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题
（2023·广东广州·统考中考真题）
13．如图，在 中， ， ， ，点M是边 上一动点，
点D，E分别是 ， 的中点，当 时， 的长是 ．若点N在
边 上，且 ，点F，G分别是 ， 的中点，当 时，四边形
面积S的取值范围是 ．
（2022·山西大同·校联考一模）
14．如图， ， ， ， ，则线段 的长为
．
试卷第6页，共3页（2023·江苏·统考中考真题）
15．如图，在 中， ，D是 延长线上的一点，
．M是边 上的一点（点M与点B、C不重合），以 为邻边作
．连接 并取 的中点P，连接 ，则 的取值范围是 ．
三、解答题
（2023·江苏镇江·统考中考真题）
16．如图，B是AC的中点，点D，E在 同侧， ， ．
(1)求证： ≌ ．
(2)连接 ，求证：四边形 是平行四边形．
（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）
17． 中， ，垂足为E，连接 ，将 绕点E逆时针旋转 ，得到
，连接 ．(1)当点E在线段 上， 时，如图①，求证： ；
(2)当点E在线段 延长线上， 时，如图②：当点E在线段 延长线上，
时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
(3)在（1）、（2）的条件下，若 ， ，则 _______．
（2022·辽宁·统考中考真题）
18．在▱ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为射线CD上的动点（点P不与点D重
合），连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E．
(1)如图①，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系；
(2)如图②，当点P在线段CD上时，求证：DA+ DP＝DE；
(3)点P在射线CD上运动，若AD＝3 ，AP＝5，请直接写出线段BE的长．
（2022·贵州贵阳·统考中考真题）
19．小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
如图，在 中， 为 边上的高， ，点 在 边上，且 ，
点 是线段 上任意一点，连接 ，将 沿 翻折得 ．
(1)问题解决：
如图①，当 ，将 沿 翻折后，使点 与点 重合，则
______；
(2)问题探究：
如图②，当 ，将 沿 翻折后，使 ，求 的度数，并
求出此时 的最小值；
试卷第8页，共3页(3)拓展延伸：
当 ，将 沿 翻折后，若 ，且 ，根据题意在备用
图中画出图形，并求出 的值．
（2023·重庆·统考中考真题）
20．如图，在等边 中， 于点 ， 为线段 上一动点（不与 ，
重合），连接 ， ，将 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，连接 交 于点 ，连接 ， ， 与 所在直线交于点 ，求
证： ；
(3)如图3，连接 交 于点 ，连接 ， ，将 沿 所在直线翻折至
所在平面内，得到 ，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内，
得到 ，连接 ， ．若 ，直接写出 的最小值．
（2023·河南·统考中考真题）
21．李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展
的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的
问题，请你解答．
(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点 的直线 轴，作 关于 轴对称的图形 ，再分别作 关于 轴和直线 对称的图形 和
，则 可以看作是 绕点 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为
______； 可以看作是 向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．
(2)探究迁移：如图 ， 中， ， 为直线 下方一点，
作点 关于直线 的对称点 ，再分别作点 关于直线 和直线 的对称点 和
，连接 ， ，请仅就图 的情形解决以下问题：
①若 ，请判断 与 的数量关系，并说明理由；
②若 ，求 ， 两点间的距离．
(3)拓展应用：在（2）的条件下，若 ， ， ，连接 ．当
与 的边平行时，请直接写出 的长．
试卷第10页，共3页参考答案：
1．A
【分析】由正八边形的外角和为 ，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即
可．
【详解】解：∵正八边形的外角和为 ，
∴ ，
故选A
【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为 是解本题的关键．
2．
【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为 ，根据折叠的性质求
得 在 中，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵正五边形的每一个内角为 ，
将正五边形纸片 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，
则 ，
∵将纸片折叠，使边 落在线段 上，点 的对应点为点 ，折痕为 ，
∴ ， ，
在 中， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题
的关键．
3．C
【分析】由平行四边形的性质可得 ， ， ，由平行
线的性质可得 ，由角平分线的定义可得 ，从而得到
，推出 ， ，过点 作 于点 ，由直角三角形
的性质和勾股定理可得 ， ， ，即可得到答案．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，，
平分 ，
，
，
，
，
，
如图，过点 作 于点 ，
，
则 ，
，
，
， ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、直
角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关
键．
4．10
【分析】由平行四边形的性质可得 即 ，
再结合 可得 可得 ，最进一步说明 即
可解答．
【详解】解：∵ 中，
∴ ，
∴ ，
答案第2页，共2页∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,即 ．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证明三
角形全等是解答本题的关键．
5．①③④
【分析】由题意易得 ， ， ，
，则可证 ，然后根据全等三角形的性质
及平行四边形的性质与判定可进行求解．
【详解】解：∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
，
∴ ，故①正确；
∴ ，
∴ ， ，故③正确；
∵ ， ， ，
∴ ， ；故②错误；
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，故④正确；故答案为①③④．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的
性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的
性质与判定是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)1
【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得 ， ，结合
可得 ，即可证明四边形 是平行四边形；
（2）根据等底等高的三角形面积相等可得 ，再根据平行四边形的性质可
得 ．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形．
（2）解： ， ，
，
四边形 是平行四边形，
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相
平分．
7．B
【分析】根据多边形的内角和公式 列式计算即可得解.
答案第4页，共2页【详解】解：
.故选B.
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，熟记内角和公式是解题的关键.
8．B
【分析】如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到 ，
平行线的性质，得到 ，三角形的外角的性质，得到 ，进
而求出 的度数．
【详解】解：如图：
∵正六边形的一个外角的度数为： ，
∴正六边形的一个内角的度数为： ，
即： ，
∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
【点睛】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边
形的外角和是 ，是解题的关键．
9．C
【分析】根据平行四边形性质逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在 中， ，
，则 不一定成立，该选项不符合题意；
B、根据平行四边形性质：对角线相互平分，不一定垂直，则 不一定成立，该选
项不符合题意；
C、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在 中， ，该选项符合题意；D、根据平行四边形性质，对角线不一定平分对角，则 不一定成立，该选
项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形性质，熟记平行四边形对角线相互平分是解决问题的关键．
10．D
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A．根据 ， ，不能判断四边形 为平形四边形，故该
选项不正确，不符合题意；
B． ∵ ，∴ ，不能判断四边形 为平形四边形，故该选项不
正确，不符合题意；
C．根据 ， ，不能判断四边形 为平形四边形，故该选项不正确，
不符合题意；
D．∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴
∴四边形 为平形四边形，
故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关
键．
11．C
【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断．
【详解】解：根据图1，得出 的中点 ，图2，得出 ，
可知使得对角线互相平分，从而得出四边形 为平行四边形，
判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形
的判定定理．
12．A
答案第6页，共2页【分析】连接四边形 的对角线 ，过 作 轴，过 作 轴，直
线 与 轴交于点 ，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形 是平
行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定
，再求出直线 与 轴交于点 ，通
过联立 求出 纵坐标，代入方程求解即可得到答案．
【详解】解：连接四边形 的对角线 ，过 作 轴，过 作 轴，
直线 与 轴交于点 ，如图所示：
根据直线 、 与双曲线 交点的对称性可得四边形 是平行四
边形，
，
直线 与 轴交于点 ，
当 时， ，即 ，
与双曲线 分别相交于点 ，
联立 ，即 ，则 ，由 ，解得 ，，即 ，解得 ，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握
平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键．
13．
【分析】根据三角形中位线定理可得 ，设 ，从而 ，
由此得到四边形 是平行四边形，结合 边上的高为 ，即可得到函数解析
式，进而得到答案．
【详解】解：∵点D，E分别是 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ；
如图，设 ，
由题意得， ，且 ，
∴ ，
又F、G分别是 的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
由题意得， 与 的距离是 ，
答案第8页，共2页∴ ，
∴ 边上的高为 ，
∴四边形 面积 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ， ．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，二次函数的性质，求函数解析式，解题时
要熟练掌握并灵活运用是关键．
14．
【分析】过点 作 ，且 ，连接 ， ，根据平行四边形的判定和性质
可得 ， ，根据平行线的性质可得 ， ，根据等边三
角形的判定和性质可得 ， ，根据等角对等边可得 ，根据
勾股定理求得 ，即可求解．
【详解】解：过点 作 ，且 ，连接 ， ，如图：
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
又∵ ， ，∴ ， ，
∵ ， ，
∴三角形 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
∴ ，
解得： ，
即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，等边三角形的性质，等角
对等边，勾股定理等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
15．
【分析】过点B作 交 的延长线于点 ，连接 ，过点P作 的平行线交
于点 ，交 于点 ，连接 ，过点 作 ，分析可知 为 的最
大值， 为 的最小值，据此即可求解．
【详解】解：过点B作 交 的延长线于点 ，连接 ，过点P作 的平行
线交 于点 ，交 于点 ，连接 ，过点 作 ，如图所示：
答案第10页，共2页由题意得：点 在线段 上运动（不与点 重合），点 在线段 上运动（不与
点 重合），
∴ 为 的最大值，当 时， 取得最小值，最小值等于 的长，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 且 ，
∴ ，
∵P为 的中点，
∴ ，
∵P为 的中点，
∴ 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故 ，
∵点M与点B、C不重合，
∴ 的取值范围是 ，
故答案为： ．【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理、动点轨迹问题，平行四边形
的判定和性质，垂线段最短等知识的综合．根据题意确定动点轨迹是解题关键．
16．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由B是 的中点得 ，结合 ， ，根据全等三角形
的判定定理“ ”即可证明 ≌ ；
（2）由（1）中 ≌ 得 ，进一步得 ，再结合 ，
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
【详解】（1）解：∵B是 的中点，
∴ ．
在 和 中，
∴ ≌ （ ）．
（2）如图所示，
∵ ≌ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形
的判定方法与性质是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)图②： ，图③：
(3)1或7
答案第12页，共2页【分析】（1）求证 ， ，得 ，所以 ，
进而 ，所以 ；
（2）如图②，当点E在线段 延长线上， 时，同（1），
，得 ，结合平行四边形性质，得 ，所以
；如图③，当点E在线段 延长线上， 时，求证
，得 ，同（1）可证 ， ，结合平行
四边形性质，得 ，所以 ；
（3）如图①， 中，勾股定理，得 ，求得 ；如
图②， ，则 , 中， ，可得图②中，不存
在 ， 的情况；如图③， 中，勾股定理，得 ，求
得 ．
【详解】（1）证明： ，
．
，
∴
∴
．
，
．
．
，
．
．
四边形 是平行四边形，．
；
（2）如图②，当点E在线段 延长线上， 时，
同（1）， ，
∴
四边形 是平行四边形，
．
∴
即 ；
如图③，当点E在线段 延长线上， 时，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
同（1）可证，
答案第14页，共2页∴
四边形 是平行四边形，
．
∴
即
（3）如图①，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴
∵
∴
中， , ，
由 ，得 ；
如图②， ，则 , 中， ，
∴ ,与 矛盾，故图②中，不存在 ， 的情况；
如图③，
∵四边形 是平行四边形
∴
∴
∵
∴
中， ，
∴
由 知， ．
综上， 或7．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据条件选用恰当的方
法作全等的判定是解题的关键．
18．(1)PA＝PE
(2)见解析
(3)BE的长为 或7【分析】（1）连接BD，证明△BDC是等腰直角三角形，可得∠ADP＝∠PBE＝135°，进
而证明△ADP≌△EBP（ASA），即可得PA＝PE；
（2）过点P作PF⊥CD交DE于点F，证明△ADP≌△EFP（ASA），由cos∠PDF＝ ，
根据DE＝DF+EF，即可得证；
（3）①当点P在线段CD上时，如图②，作AG⊥CD，交CD延长线于G，②当点P在CD
的延长线上时，作AG⊥CD，交CD延长线于G，分别求解即可．
【详解】（1）解：连接BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，
∵AD＝BD，
∴∠BDC＝∠C＝45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵点P为CD的中点，
∴DP＝BP，∠CPB＝45°，
∴∠ADP＝∠PBE＝135°，
∵PA⊥PE，
∴∠APE＝∠DPB＝90°，
∴∠APD＝∠BPE，
∴△ADP≌△EBP（ASA），
∴PA＝PE；
（2）证明：如图，过点P作PF⊥CD交DE于点F，
答案第16页，共2页∵PF⊥CD，EP⊥AP，
∴∠DPF＝∠APE＝90°，
∴∠DPA＝∠FPE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠DAB＝45°，AB∥CD，
又∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝∠C＝∠CDB＝45°，
∴∠ADB＝∠DBC＝90°，
∴∠PFD＝45°，
∴∠PFD＝∠PDF，
∴PD＝PF，
∴∠PDA＝∠PFE＝135°，
∴△ADP≌△EFP（ASA），
∴AD＝EF，
在Rt△FDP中，∠PDF＝45°，
∵cos∠PDF＝ ，
∴DF＝ ，
∵DE＝DF+EF，
∴DA+ DP＝DE；
（3）解：当点P在线段CD上时，如图②，作AG⊥CD，交CD延长线于G，则△ADG是等腰直角三角形，
∴AG＝DG＝3，
∴GP＝4，
∴PD＝1，
由（2）得，DA+ DP＝DE；
∴3 + ＝DE，
∴DE＝4 ，
∴BE＝DE﹣BD＝4 ﹣3 ＝ ，
当点P在CD的延长线上时，作AG⊥CD，交CD延长线于G，
同理可得△ADP≌△EFP（AAS），
∴AD＝EF，
∵PD＝AG+DG＝4+3＝7，
答案第18页，共2页∴DF＝ PD＝7 ，
∴BE＝BD+DF﹣EF＝DF＝7 ，
综上：BE的长为 或7 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，余弦，平行四边形的性质与判定，正确的
添加辅助线是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)作图见解析，
【分析】（1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质可得 ，
根据特殊角的三角函数值即可求解；
（2）根据折叠的性质即可求得 ，由三角形内角和定
理可得 ，根据点 在 边上，当 时，
取得最小值，最小值为 ；
（3）连接 ，设 ,然后结合勾股定理分析求解．
【详解】（1） ，
是等边三角形，
四边形 是平行四边形，
，
，
为 边上的高，
，（2） ， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
， 是等腰直角三角形， 为底边上的高，则
点 在 边上，
当 时， 取得最小值，最小值为 ；
（3）如图，连接 ，
，则 ，
设 ， 则 ， ，
折叠，
，
，
，
，
，
，
，
，
答案第20页，共2页，
，
在 中， ，
，
延长 交 于点 ，如图，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
．
同理，当点F落在 下方时，
．综上，m的值为
【点睛】本题考查了轴对称的性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形，勾股定理，三
角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，
综合运用以上知识是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质得出 ， ，进而证明
，即可得证；
（2）过点 作 ，交 点的延长线于点 ，连接 ， ，证明四边形四边形
是平行四边形，即可得证；
（3）如图所示，延长 交于点 ，由（2）可知 是等边三角形，根据折叠的
性质可得 ， ，进而得出 是等边三角形，
由（2）可得 ，得出四边形 是平行四边形，则
，进而得出 ，则 ，
当 取得最小值时，即 时， 取得最小值，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵将 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
∴
∴
即
答案第22页，共2页在 和 中
，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图所示，过点 作 ，交 点的延长线于点 ，连接 ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵
∴
∴ 垂直平分 ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ,
∴ 在 的垂直平分线上，
∵
∴ 在 的垂直平分线上，
∴ 垂直平分∴ ，
∴
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴
∴
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ，
∴
在 与 中，
∴
∴
∴
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；
（3）解：依题意，如图所示，延长 交于点 ，
由（2）可知 是等边三角形，
答案第24页，共2页∴
∵将 沿 所在直线翻折至 所在平面内，得到 ，将 沿 所在直
线翻折至 所在平面内，得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴
由（2）可得
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴四边形 是平行四边形，
∴
由（2）可知 是 的中点，则
∴
∴
∵折叠，
，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴当 取得最小值时，即 时， 取得最小值，此时如图所示，∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四
边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21．(1) ， ．
(2)① ，理由见解析；②
(3) 或
【分析】（1）观察图形可得 与 关于 点中心对称，根据轴对称的性质可得
即可求得平移距离；
（2）①连接 ，由对称性可得， ，进而可得
，即可得出结论；
②连接 分别交 于 两点，过点 作 ，交 于点 ，由对称性
可知： 且 ，得出 ，证明四边形
答案第26页，共2页是矩形，则 ，在 中，根据 ，即可求解；
（3）分 ， ，两种情况讨论，设 ，则 ，先求得
，勾股定理求得 ，进而表示出 ，根据由（2）②可得 ，
可得 ，进而建立方程，即可求解．
【详解】（1）（1）∵ 关于 轴对称的图形 ， 与 关于 轴
对称，
∴ 与 关于 点中心对称，
则 可以看作是 绕点 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为
∵ ，
∴ ，
∵ , 关于直线 对称，
∴ ，
即 ，
可以看作是 向右平移得到的，平移距离为 个单位长度．
故答案为： ， ．（2）① ，理由如下，
连接 ，
由对称性可得， ，
∴ ，
②连接 分别交 于 两点，过点 作 ，交 于点 ，
由对称性可知： 且 ，
∵四边形 为平行四边形，
∴
答案第28页，共2页∴ 三点共线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ,
∴
（3）解：设 ，则 ，
依题意， ，
当 时，如图所示，过点 作 于点 ，
∴
∵ ， ，
∴ ，∴ ，则 ，
在 中， ，
∴ ，则 ，
∴
在 中， ，则 ， ，
在 中， ，
，
∴
由（2）②可得 ，
∵
∴
∴ ，
解得： ；
如图所示，若 ，则 ，
答案第30页，共2页∵ ，则 ，
则 ，
∵ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟
练掌握轴对称的性质是解题的关键．
