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模块四 思想全把握
专题 3 方程思想
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型
(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过(组)或不等式(组)来使问题获解.
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题.宇宙世界，充斥着
等式和不等式.我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；
求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关.列
方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的.
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求学生能根据具体问题中的数量关
系列出方程，理解方程的意义，认识方程解的意义，检验方程的解是否合理，建立模
型观念.
考点解读：很多数学概念本身就包含等量关系，根据概率就能建立得到方程；还有一
些运算、定义的新运算，隐藏其中的某项，并结出结果，根据运算就能建立方程；方
程或不等式的解满足条件，根据满足的条件建立方程或不等式；根据代数式的值满足
的条件建立方程或不等式.
【例1】
（2023·四川凉山·统考中考真题）1．分式 的值为0，则 的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
【变1】
（2020·四川绵阳·统考中考真题）
2．若多项式 是关于x，y的三次多项式，则 ．
考点解读：日历中蕴含方程，图形中有线段之间的关系、角之间的关系、面积和体积
之间的关系，根据这些关系建立方程；很多表格中每行的数据、每列的数据、行与列
的数据之间存在着关系，根据这些关系建立方程.
【例1】
（2022·山东威海·统考中考真题）
3．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符
号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格
中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一
个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶
幻方，则mn＝ ．
【变1】
（2023·西藏·统考中考真题）
4．列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由 块形状大小相同的
长方形墙砖砌成．
试卷第2页，共3页(1)求一块长方形墙砖的长和宽；
(2)求电视背景墙的面积．
考点解读：根据函数值求自变量的值，其实就是解方程；函数图象与x轴的交点、函
数图象交点的坐标，就需要转化为方程和方程组来解决；二次函数与x轴的交点情况、
函数图象的交点情况可以用一元二次方程根的判别式来求解.
【例1】
（2023·山东济南·统考中考真题）
5．定义：在平面直角坐标系中，对于点 ，当点 满足
时，称点 是点 的“倍增点”，已知点 ，有
下列结论：
①点 ， 都是点 的“倍增点”；
②若直线 上的点A是点 的“倍增点”，则点 的坐标为 ；
③抛物线 上存在两个点是点 的“倍增点”；
④若点 是点 的“倍增点”，则 的最小值是 ．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变1】
（2022·贵州六盘水·统考中考真题）
6．如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点．(1)求 ， 两点的坐标；
(2)将直线 向下平移 个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点 ，与
轴交于点 ，与 轴交于点 ，若 ，求 的值．
考点解读：实际问题通常以一定的情境出现，里面有很多模型，不少模型有专门的数
量关系，根据这些数量关系建立方程，进而解决问题.
【例1】
（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）
7．佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产 ， 两种不同款式的服装，每套 款服装
所用布料的米数相同，每套 款服装所用布料的米数相同，若 套 款服装和 套 款
服装需用布料 米， 套 款服装和 套 款服装需用布料 米．
(1)求每套 款服装和每套 款服装需用布料各多少米；
(2)该中学需要 ， 两款服装共 套，所用布料不超过 米，那么该服装厂最少需
要生产多少套 款服装？
【变1】
（2023·湖北宜昌·统考中考真题）
8．为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买
豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
试卷第4页，共3页(1)求豆沙粽和肉粽的单价；
(2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈
妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈
20 30 270
妈
小乐妈
30 20 230
妈
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是
40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．
A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的
一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为 包， 包，
A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
一、选择题
（2022·上海崇明·统考二模）
9．如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么x的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2022·湖北武汉·统考中考真题）
10．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．
将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之
和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则 与 的和是
（ ）A．9 B．10 C．11 D．12
（2023·山东菏泽·校考三模）
11．对于实数 和 ，定义一种新运算“ ”为： ，这里等式右边是实
数运算．例如： ．则方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
（2023·黑龙江·统考中考真题）
12．某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元
全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，
其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（
）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
（2023·黑龙江·统考中考真题）
13．如图，在长为 ，宽为 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的
部分全部种上花卉，且花圃的面积是 ，则小路的宽是（ ）
A． B． C． 或 D．
（2023·江苏宿迁·统考中考真题）
14．如图，直线 、 与双曲线 分别相交于点 ．
若四边形 的面积为4，则 的值是（ ）
试卷第6页，共3页A． B． C． D．1
（2023·山东济南·统考中考真题）
15．如图，在 中， ， ，以点 为圆心，以 为半径作弧
交 于点 ，再分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点
，作射线 交 于点 ，连接 ．以下结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
（2021·青海·统考中考真题）
16．已知单项式 与 是同类项，则 ．
（2023·湖南怀化·统考中考真题）
17．定义新运算： ，其中 ， ， ， 为实数．例如：．如果 ，那么 ．
（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）
18．已知代数式 是一个完全平方式，则实数t的值为 ．
2023·湖北恩施·统考中考真题）
19．《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有
户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、
邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出
4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线
的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是 尺．
（2023·湖北宜昌·统考中考真题）
20．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）
之间的关系是 ，则铅球推出的距离 m．
（2022·山东济南·统考中考真题）
21．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如
图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方
形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是 ．
试卷第8页，共3页（2022·重庆·统考中考真题）
22．特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2
倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份
销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1∶3∶2，三种特产的总利润是总成本的25%，则
每包米花糖与每包麻花的成本之比为 ．
三、解答题
（2022·浙江杭州·统考中考真题）
23．计算： ．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是 ，请计算 ．
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
（2023·北京·统考中考真题）
24．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天
头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是 ，左、
右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的 ．某人要装裱一副对联，对联的长为
，宽为 ．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．
（书法作品选自《启功法书》）（2023·四川德阳·统考中考真题）
25．2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能
源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实
现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，
规划面积 平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建
“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独
施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工
程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工
程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队
完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超
过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安
排方式所支付费用最低？
（2023·湖南湘西·统考中考真题）
26．如图（1），二次函数 的图像与 轴交于 ， 两点，
与 轴交于点 ．
试卷第10页，共3页(1)求二次函数的解析式和 的值．
(2)在二次函数位于 轴上方的图像上是否存在点 ，使 ？若存在，请
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图（2），作点 关于原点 的对称点 ，连接 ，作以 为直径的圆．点
是圆在 轴上方圆弧上的动点（点 不与圆弧的端点 重合，但与圆弧的另一个端点
可以重合），平移线段 ，使点 移动到点 ，线段 的对应线段为 ，连接
， ， 的延长线交直线 于点 ，求 的值．参考答案：
1．A
【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴ ，
解得 ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为
0是解题的关键．
2．0或8
【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案．
【详解】解： 多项式 是关于 ， 的三次多项式，
， ，
， ，
或 ，
或 ，
或8．
故答案为：0或8．
【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键．
3．1
【分析】由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为m，然后以此得出可
知第三行左边的数字为4，第一行中间的数字为m-n+4，第三行中间数字为n-6，第三行右
边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得关于m，n方程组，解出
即可．
【详解】如图，根据题意，可得第二行的数字之和为：m+2+(-2)=m
可知第三行左边的数字为：m-(-4)-m=4
第一行中间的数字为：m-n-(-4)=m-n+4
第三行中间数字为m-2-(m-n+4)=n-6
第三行右边数字为：m-n-(-2)=m-n+2
再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为：
解得
∴
故答案为：1
【点睛】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表
格，利用每行，每列，每条对角线上的三个数之和相等列方程．
4．(1) ， ；
(2) ．
【分析】（1）首先设一块长方形墙砖的长为 ，宽为 ，然后用 的代数式分别表示
出长方形的两条长边分别为 ， ，宽为 ,进而根据长方形的性质列出
方程组，解方程组即可得出答案；
（2）根据长方形的面积计算公式即可得出答案．
【详解】（1）解：设一块长方形墙砖的长为 ，宽为 ．
依题意得：
答案第2页，共2页，
解得：
，
答：一块长方形墙砖的长为 ，宽为 ．
（2）求电视背景墙的面积为： ．
答：电视背景墙的面积为 ．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，根据长方形的两组
对边分别相等列出方程组是解答此题的关键．
5．C
【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证 即可；②点 ，根据
“倍增点”定义，列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点 是点
的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即
可判断；④设点 ，根据“倍增点”定义可得 ，根据两点间距离公式可
得 ，把 代入化简并配方，即可得出 的最小值为 ，即可
判断．
【详解】解：①∵ ， ，
∴ ，
∴ ，则 是点 的“倍增点”；
∵ ， ，∴ ，
∴ ，则 是点 的“倍增点”；
故①正确，符合题意；
②设点 ，
∵点A是点 的“倍增点”，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故②不正确，不符合题意；
③设抛物线上点 是点 的“倍增点”，
∴ ，整理得： ，
∵ ，
∴方程有两个不相等实根，即抛物线 上存在两个点是点 的“倍增点”；
故③正确，符合题意；
④设点 ，
∵点 是点 的“倍增点”，
∴ ，
∵ ， ，
∴
答案第4页，共2页，
∵ ，
∴ 的最小值为 ，
∴ 的最小值是 ，
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的
距离公式，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解．
6．(1)
(2)
【分析】（1）联立 与 解方程即可求解；
（2）过点 作 轴于点 ，可得 ，根据平行线分线段成比例可得
，根据平移求得平移后的解析式为 ，求得 ,进而求得 的坐标，
的坐标，将点 的坐标代入一次函数 ，解方程即可求解．
【详解】（1）解：联立 与 ，
解得 ，
；
（2）解：如图，过点 作 轴于点 ，，
，
，
直线 向下平移 个单位长度得到 ，根据图象可知 ,
令 ，得 ，
令 ，得 ，
， ，
，
，
与反比例函数 在第一象限的图象交于点 ，
，
将 代入 ，
得 ，
答案第6页，共2页解得 或 （舍去）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，平行线分线段成比例，解一元二次
方程，掌握以上知识是解题的关键．
7．(1)每套 款服装用布料 米，每套 款服装需用布料 米
(2)服装厂需要生产 套 款服装
【分析】（1）每套 款服装用布料 米，每套 款服装需用布料 米，根据题意列出二元
一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设服装厂需要生产 套 款服装，则生产 套 款服装，根据题意列出一元一
次不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：每套 款服装用布料 米，每套 款服装需用布料 米，根据题意得，
，
解得： ，
答：每套 款服装用布料 米，每套 款服装需用布料 米；
（2）设服装厂需要生产 套 款服装，则生产 套 款服装，根据题意得，
，
解得： ，
∵ 为正整数，
∴ 的最小值为 ，
答：服装厂需要生产 套 款服装．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等
式以及方程组是解题的关键．
8．(1)豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元
(2)①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；②
【分析】（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为 元，依题意列一元一次方程即
可求解；（2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，依题意列二元一次方
程组即可求解；
②根据销售额=销售单价 销售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值．
【详解】（1）解：设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为 元，
依题意得 ，
解得 ；
则 ；
所以豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；
（2）解：①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，
依题意得 ，解得 ，
所以豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；
②依题意得 ，
解得 或 ，
，
∴ ，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，
根据题意找到题中的等量关系列出方程或方程组是解题的关键．
9．D
【分析】根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，
这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．
【详解】∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
10．D
【分析】根据题意设出相应未知数，然后列出等式化简求值即可．
答案第8页，共2页【详解】解：设如图表所示：
根据题意可得：x+6+20=22+z+y，
整理得：x-y=-4+z，
x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，
整理得：x=-2+z，y=2z-22，
∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，
解得：z=12，
∴x+y
=3z-24
=12
故选：D．
【点睛】题目主要考查方程的应用及有理数加法的应用，理解题意，列出相应方程等式然
后化简求值是解题关键．
11．C
【分析】根据题中的新定义化简，转化为分式方程，解分式方程即可．
【详解】由题意化简： ，
∴ ，解得： ，
经检验： 是原分式方程的解，
故选： ．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
12．B
【分析】设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元
列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可．
【详解】解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中且 均为整数，根据题意得，
，
整理得， ，
①当 时， ，
∴
∵ 且 均为整数，
∴当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
②当 时， ，
∴
∵ 且 均为整数，
∴当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
综上，此次共有6种采购方案，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题
的关键．
13．A
【分析】设小路宽为 ，则种植花草部分的面积等于长为 ，宽为
的矩形的面积，根据花草的种植面积为 ，即可得出关于x的一元二次方程，解之取
其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设小路宽为 ，则种植花草部分的面积等于长为 ，宽为
的矩形的面积，
答案第10页，共2页依题意得：
解得： ， （不合题意，舍去），
∴小路宽为 ．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
14．A
【分析】连接四边形 的对角线 ，过 作 轴，过 作 轴，直
线 与 轴交于点 ，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形 是平
行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定
，再求出直线 与 轴交于点 ，通
过联立 求出 纵坐标，代入方程求解即可得到答案．
【详解】解：连接四边形 的对角线 ，过 作 轴，过 作 轴，
直线 与 轴交于点 ，如图所示：
根据直线 、 与双曲线 交点的对称性可得四边形 是平行四
边形，
，直线 与 轴交于点 ，
当 时， ，即 ，
与双曲线 分别相交于点 ，
联立 ，即 ，则 ，由 ，解得 ，
，即 ，解得 ，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握
平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键．
15．C
【分析】由题意得， ， 平分 ，根据三角形内角和及角平分线判断A即
可；由角平分线求出 ，得到 ，根据三角形内角和求出
，得到 ，即可判断B；证明 ，得到 ，
设 ，则 ，求出x，即可判断C；过点E作 于G，
于H，由角平分线的性质定理推出 ，即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得， ， 平分 ，
∵在 中， ， ，
∴
∵ 平分 ，
∴ ，故A正确；
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
答案第12页，共2页∴ ，
∴ ，故B正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，故C错误；
过点E作 于G， 于H，
∵ 平分 ， ， ，
∴
∴ ，故D正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．
16．3
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），求出m，n的值，
再代入代数式计算即可．
【详解】解：∵单项式 与 是同类项，
∴2m=4，n+2=-2m+7，
解得：m=2，n=1，
则m+n=2+1=3．
故答案是：3．
【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，
是易混点．
17．
【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵
∴
即
解得：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键．
18． 或
【分析】直接利用完全平方公式求解．
【详解】解：∵代数式 是一个完全平方式，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
故答案为： 或
【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．
答案第14页，共2页19．8，6，10
【分析】设竿的长为x尺，则门高为 尺，门宽为 尺，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设竿的长为x尺，则门高为 尺，门宽为 尺，
根据题意可得： ，
解得： 或 （舍去），
∴ （尺）， （尺），
即门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺，
故答案为：8，6，10．
【点睛】本题考查勾股定理的应用和解一元二次方程，正确设未知数找到等量关系是解题
的关键．
20．10
【分析】令 ，则 ，再解方程，结合函数图象可得答案．
【详解】解：令 ，则 ，
解得： ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令 求解方程的解是解本题的关
键．
21．16
【分析】设小正方形的边长为 ，利用 、 、 表示矩形的面积，再用 、 、 表示三
角形以及正方形的面积，根据面积列出关于 、 、 的关系式，解出 ，即可求出矩形面
积．
【详解】解：设小正方形的边长为 ，
矩形的长为 ，宽为 ，
由图1可得： ，
整理得： ，， ，
，
，
矩形的面积为 ．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关
键．
22．4：3
【分析】设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则
每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，根据三种特产
的总利润是总成本的25%列得 ，计算可得．
【详解】解：设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，
则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，由题意得
，
解得3y=4x，
∴y：x=4：3，
故答案为：4：3．
【点睛】此题考查了三元一次方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系是解题的关键．
23．(1)-9
(2)3
【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；
（2）设被污染的数字为x，由题意，得 ，解方程即可；
【详解】（1）解： ；
（2）设被污染的数字为x，
答案第16页，共2页由题意，得 ，解得 ，
所以被污染的数字是3．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步
骤是接替的关键．
24．边的宽为 ，天头长为
【分析】设天头长为 ，则地头长为 ，边的宽为 ，再分别
表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．
【详解】解：设天头长为 ，
由题意天头长与地头长的比是 ，可知地头长为 ，
边的宽为 ，
装裱后的长为 ，
装裱后的宽为 ，
由题意可得：
解得 ，
∴ ，
答：边的宽为 ，天头长为 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，
找准数量关系．
25．(1)乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
(2)甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最
低为 万元．【分析】（1）设乙单独完成需要 个月，由“乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工
10个月恰好完成任务．”建立分式方程求解即可；
（2）由题意可得： ，可得 ，结合 ， ，可得 ，
结合 都为正整数，可得 为3的倍数，可得甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，
从而可得答案．
【详解】（1）解：设乙单独完成需要 个月，则
，
解得： ，
经检验 是原方程的解且符合题意；
答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
（2）由题意可得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得： ，
∵ 都为正整数，
∴ 为3的倍数，
∴ 或 或 ，
∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，
方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为： （万元），
方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为： （万元），
方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为： （万元），
∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为 万元．
答案第18页，共2页【点睛】本题考查的是分式方程的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，
确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
26．(1) ，
(2)不存在，理由见解析
(3)
【分析】（1）将点 ， 的坐标代入 得到二元一次方程组求解可得 ，
的值，可确定二次函数的解析式，再令 ，解关于 的一元二次方程可得点 的坐标，
从而确定 的值；
（2）不存在．设 ，根据 ，可得 ，根据
，可确定方程无实数根，即可作出判断；
（3）根据对称的性质和点的坐标可得 ，根据等腰三角形的性质及判定可
得 ， ，再根据 为圆的直径，可得
，然后分两种情况：①当点 与点 不重合时，由平移的性质可得四边形
是平行四边形，从而得到 ， ，再证明 ，
可得 ，可得 的值；②当点 与点 重合时，此时点 与点 重合，可得
， ，代入 可得结论．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图像与 轴交于 ， 两点，
与 轴交于点 ，
∴ ，
解得： ，∴二次函数的解析式为 ，
当 时，得： ，
解得： ， ，
∴ ，
∴二次函数的解析式为 ， ；
（2）不存在．理由如下：
如图，设 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵点 在二次函数位于 轴上方的图像上，且 ，
∴ ，
整理得： ，
∵ ，
∴方程无实数根，
∴不存在符合条件的点 ；
（3）如图，设 交 轴于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点 与点 关于原点 对称，
答案第20页，共2页∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为圆的直径，
∴ ，
∵平移线段 ，使点 移动到点 ，线段 的对应线段为 ，
①当点 与点 不重合时，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
②当点 与点 重合时，此时点 与点 重合，
∴ ， ，∴ ，
综上所述， 的值为 ．
【点睛】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，一元二
次方程的应用，直径所对的圆周角为直角，对称和平移的性质，平行四边形的判定和性质，
全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，运用了分
类讨论的思想．找到全等三角形是解题的关键．
答案第22页，共2页
