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模块四 思想全把握
专题 2 函数思想
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．函数描述了
自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数
学模型，从而进行研究．它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点．一般地，函
数思想是构造函数从而利用函数的性质解题．函数有三种表示形式：解析式、表格、
图像．可以从这三个方面去捕捉函数，构造函数模型，进而利用函数的性质解决问题．
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以
是中考的重点．我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；
有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多
个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，
翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答．
考点解读：数的变化存在着某种函数，代数式的值就是其中某些字母的函数，等式中
也蕴含函数，从数式中构建函数，利用函数的性质解决数式问题．
【例1】（2023·江苏南通·统考中考真题）1．若实数 ， ， 满足 ， ，则代数式 的值可以是
（ ）
A． B． C． D．
【变1】（2022·江苏南通·统考中考真题）
2．已知实数m，n满足 ，则 的最大值为
（ ）
A．24 B． C． D．
考点解读：图像和表格本身就是函数的两种表现形式，用函数的性质分析图像和表格，
从中得出结论，用这些结论解决问题；
【例1】（2022·河北·统考中考真题）
3．某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共
同完成需n天，选取6组数对 ，在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变1】（2023·宁夏·统考中考真题）
4．如图是某种杆秤．在秤杆的点 处固定提纽，点 处挂秤盘，点 为0刻度点．当
秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点 ，秤杆处于平衡．秤盘放入
试卷第2页，共3页克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提扭的距离为 毫米时秤杆处于平衡．测得
与 的几组对应数据如下表：
/克 0 2 4 6 10
/毫米 10 14 18 22 30
由表中数据的规律可知，当 克时， 毫米．
考点解读：最值就是最大值和最小值．二次函数 ，当a>0时，Y有最小
值；当a<0时，y有最大值；一次函数和反比例函数在自变量的取值范围内，也可能存
大最大值和最小值．因此最值就应联想到构建函数，利用函数的性质求解．
【例1】（2023·天津·统考中考真题）
5．如图，要围一个矩形菜园 ，共中一边 是墙，且 的长不能超过 ，
其余的三边 用篱笆，且这三边的和为 ．有下列结论：
① 的长可以为 ；
② 的长有两个不同的值满足菜园 面积为 ；
③菜园 面积的最大值为 ．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变1】（2020·北京·统考中考真题）
6．在平面直角坐标系 中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如
下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦 （ 分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦 和 ，则这两条弦的位置关系
是 ；在点 中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距
离”；
（2）若点A，B都在直线 上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为 ，
求 的最小值；
（3）若点A的坐标为 ，记线段AB到⊙O的“平移距离”为 ，直接写出 的
取值范围．
考点解读：在速度一定的情况下，运动路程就是运动时间的函数；如果某些量的变化
引起另一些量的变化，这里面可能存在函数关系，找出其中变量之间的函数关系，利
用函数性质解决问题．
【例1】（2023·江苏宿迁·统考中考真题）
7．某商场销售 两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出 种20件，
种10件，销售总额为840元；如果售出 种10件， 种15件，销售总额为660元．
(1)求 两种商品的销售单价．
(2)经市场调研， 种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可
增加10件； 种商品的售价不变， 种商品售价不低于 种商品售价．设 种商品降
价 元，如果 两种商品销售量相同，求 取何值时，商场销售 两种商品可获
试卷第4页，共3页得总利润最大？最大利润是多少？
【变1】（2022·广东广州·统考中考真题）
8．如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE= DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+ CF的值是否也最小？如果是，求CE+
CF的最小值；如果不是，请说明理由．
一、选择题
（2022·内蒙古包头·中考真题）
9．已知实数a，b满足 ，则代数式 的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
（2021·四川绵阳·统考中考真题）
10．关于 的方程 有两个不相等的实根 、 ，若 ，则
的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
（2023·湖北恩施·统考中考真题）
11．如图，取一根长 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在
中点O的左侧距离中点 处挂一个重 的物体，在中点
O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位： ）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足 ．以L的数值为横坐标，F的
数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（ ）
A． B． C．
D．
（2023·广东深圳·统考中考真题）
12．如图1，在 中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单
位/s，其中 长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则 的长为（ ）
A． B． C．17 D．
（2023·江苏泰州·统考中考真题）
13．函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应
关系的可能是（ ）
试卷第6页，共3页x 1 2 4
y 4 2 1
A． B．
C． D．
（2023·辽宁·统考中考真题）
14．如图， ，在射线 ， 上分别截取 ，连接 ，
的平分线交 于点D，点E为线段 上的动点，作 交 于点F，
作 交射线 于点G，过点G作 于点H，点E沿 方向运动，
当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形 与 重叠部
分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
（2021·江苏南通·统考中考真题）
15．平面直角坐标系 中，已知点 ，且实数m，n满足 ，
则点P到原点O的距离的最小值为 ．
（2023·浙江温州·统考中考真题）16．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对
汽缸壁所产生的压强P（ ）与汽缸内气体的体积V（ ）成反比例，P关于V的
函数图象如图所示．若压强由 加压到 ，则气体体积压缩了
．
（2023·山东聊城·统考中考真题）
17．如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一
列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对： ； ； ； ；
…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现
其中的规律．请写出第n个数对： ．
（2023·山东烟台·统考中考真题）
18．如图1，在 中，动点 从点 出发沿折线 匀速运动至点 后
停止．设点 的运动路程为 ，线段 的长度为 ，图2是 与 的函数关系的大致
图象，其中点 为曲线 的最低点，则 的高 的长为 ．
试卷第8页，共3页三、解答题
（2023·山东·统考中考真题）
19．某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够
长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和
芍药，学校已定购篱笆120米．
(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，
知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最
多可以购买多少株牡丹？
（2023·辽宁营口·统考中考真题）
20．某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液
的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去
年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可
卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液
的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低
于进价．
(1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；
(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最
大利润是多少元？
（2023·山东临沂·统考中考真题）
21．综合与实践问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮
妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，
记录如下：
售价（元/盆） 日销售量（盆）
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
数据整理
(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆）
日销售量
（盆）
模型建立
(2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系；
拓广应用
(3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
（2023·山东潍坊·统考中考真题）
22．为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，
收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（ ），
并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．
试卷第10页，共3页(1)从 ， ， 中，选择适当的函数模型分
别模拟两种场景下 随 变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
(2)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试
剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
（2023·山东潍坊·统考中考真题）
23．工匠师傅准备从六边形的铁皮 中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所
示．经测量， ， 与 之间的距离为2米， 米， 米，
， ． ， ， 是工匠师傅画出的裁剪虚线．当
的长度为多少时，矩形铁皮 的面积最大，最大面积是多少？
（2022·江苏徐州·统考中考真题）
24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为
BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连
接DG，交PC于点H．
(1)∠EDC的度数为 ；
(2)连接PG，求△APG 的面积的最大值；
(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
(4)求 的最大值．
（2023·湖南张家界·统考中考真题）
25．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与x轴交于点和点 两点，与y轴交于点 ．点D为线段 上的一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求 周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作 交抛物线第一象限部分于点P，连接 ，记
与 的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最
大值．
试卷第12页，共3页参考答案：
1．D
【分析】联立方程组，解得 ，设 ，然后根据二次函数的性质，即可
求解．
【详解】解：依题意， ，
解得：
设
∴
∵
∴ 有最大值，最大值为
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解
题的关键．
2．B
【分析】先将所求式子化简为 ，然后根据 及
求出 ，进而可得答案．
【详解】解：；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子
化简并求出 的取值范围是解题的关键．
3．C
【分析】根据题意建立函数模型可得 ，即 ，符合反比例函数，根据反比例函
数的图象进行判断即可求解．
【详解】解：依题意，
，
， 且为整数．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例数的应用，根据题意建立函数模型是解题的关键．
4．50
【分析】根据表格可得y与x的函数关系式，再将 代入求解即可．
【详解】解：由表格可得，物品每增加2克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加4毫米，则
物品每增加1克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加2毫米，
当不挂重物时，秤砣所挂位置与提扭的距离为10毫米，
∴y与x的函数关系式为 ，
答案第2页，共2页当 时， ，
故答案为：50．
【点睛】本题考查由表格得函数关系式以及求函数值，通过表格得出函数关系式是解题的
关键．
5．C
【分析】设 的长为 ，矩形 的面积为 ，则 的长为 ，根据矩形
的面积公式列二次函数解析式，再分别根据 的长不能超过 ，二次函数的最值，解
一元二次方程求解即可．
【详解】设 的长为 ，矩形 的面积为 ，则 的长为 ，由题意得
，
其中 ，即 ，
① 的长不可以为 ，原说法错误；
③菜园 面积的最大值为 ，原说法正确；
②当 时，解得 或 ，
∴ 的长有两个不同的值满足菜园 面积为 ，说法正确；
综上，正确结论的个数是2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解
析式是解题的关键．
6．（1）平行，P；（2） ；（3）
3
【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，分别求出OE、OF的长，由
得到 的最小值；
（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A 为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离 的最大值即点A，B点的位置，由此
得出 的取值范围．
【详解】解：（1）平行；P；
3
（2）如图，线段AB在直线 上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，
CD∥AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，OF⊥CD，令 ，直线与x轴交点
为（-2，0），直线与x轴夹角为60°，∴ ．
由垂径定理得： ，
∴ ；
（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A 为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O
内找到与之平行，且长度为1的弦即可；
答案第4页，共2页点A到O的距离为 ．
如图，平移距离 的最小值即点A到⊙O的最小值： ；
平移距离 的最大值线段是下图AB的情况，即当A,A 关于OA对称，且AB ⊥A A 且
1 2 1 2 1 2
AB =1时.∠B AA=60°，则∠OA A=30°,
1 2 2 2 1 2 1
∵OA=1,∴OM= , A M= ,
2 2
∴MA=3,AA= ,
2∴ 的取值范围为： ．
【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与
圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键．
7．(1) 的销售单价为 元、 的销售单价为 元
(2)当 时，商场销售 两种商品可获得总利润最大，最大利润是 元．
【分析】（1）设 的销售单价为 元、 的销售单价为 元，根据题中售出 种20件，
种10件，销售总额为840元；售出 种10件， 种15件，销售总额为660元列方程组求
解即可得到答案；
（2）设利润为 ，根据题意，得到 ，结合二次函数性质及题中限制
条件分析求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设 的销售单价为 元、 的销售单价为 元，则
，解得 ，
答： 的销售单价为 元、 的销售单价为 元；
（2）解： 种商品售价不低于 种商品售价，
，解得 ，即 ，
设利润为 ，则
，
，
在 时能取到最大值，最大值为 ，
当 时，商场销售 两种商品可获得总利润最大，最大利润是 元．
【点睛】本题考查二元一次方程组及二次函数解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列
出方程组，根据函数关系找到函数关系式分析是解决问题的关键．
8．(1) ；
答案第6页，共2页(2)①四边形ABEF的面积为 ；②最小值为12
【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO= ，即可求解；
（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN=
，设BE= ，则EN= ，从而得到EM=MN-EN= ，再由BE= DF，可得
DF= ，从而得到四边形ABEF的面积s= S ABD - S DEF ，①
△ △
当CE⊥AB时，可得点E是△ABC重心，从而得到BE=CE= BO= ，即可求解；
②作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小
值；再由 ，可得当 ，即BE= 时， s达到最小值，从而
得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解．
【详解】（1）解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，
∴∠CAB=60°，
∴△ABC是等边三角形，∴BO=AB▪sin60°= = ，
∴BD=2BO= ；
（2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6，
由（1）得：BD= ；
菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，
∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBN=30°；
∴EN= BE
∵ ，
∴MN= ，
设BE= ，则EN= ，
∴EM=MN-EN= ，
∵S ABCD= AD▪MN= ，
菱形
答案第8页，共2页∴S ABD= S ABCD= ，
菱形
△
∵BE= DF，
∴DF= ，
∴S DEF= DF ▪EM= = ，
△
记四边形ABEF的面积为s，
∴s= S ABD - S DEF = -（ ） ，
△ △
∵点E在BD上，且不在端点，∴0
