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模块四 思想全把握
专题 2 函数思想
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．函数描述了
自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数
学模型，从而进行研究．它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点．一般地，函
数思想是构造函数从而利用函数的性质解题．函数有三种表示形式：解析式、表格、
图像．可以从这三个方面去捕捉函数，构造函数模型，进而利用函数的性质解决问题．
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以
是中考的重点．我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；
有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多
个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，
翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答．
考点解读：数的变化存在着某种函数，代数式的值就是其中某些字母的函数，等式中
也蕴含函数，从数式中构建函数，利用函数的性质解决数式问题．
【例1】（2023·江苏南通·统考中考真题）1．若实数 ， ， 满足 ， ，则代数式 的值可以是
（ ）
A． B． C． D．
【变1】（2022·江苏南通·统考中考真题）
2．已知实数m，n满足 ，则 的最大值为
（ ）
A．24 B． C． D．
考点解读：图像和表格本身就是函数的两种表现形式，用函数的性质分析图像和表格，
从中得出结论，用这些结论解决问题；
【例1】（2022·河北·统考中考真题）
3．某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共
同完成需n天，选取6组数对 ，在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变1】（2023·宁夏·统考中考真题）
4．如图是某种杆秤．在秤杆的点 处固定提纽，点 处挂秤盘，点 为0刻度点．当
秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点 ，秤杆处于平衡．秤盘放入
试卷第2页，共3页克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提扭的距离为 毫米时秤杆处于平衡．测得
与 的几组对应数据如下表：
/克 0 2 4 6 10
/毫米 10 14 18 22 30
由表中数据的规律可知，当 克时， 毫米．
考点解读：最值就是最大值和最小值．二次函数 ，当a>0时，Y有最小
值；当a<0时，y有最大值；一次函数和反比例函数在自变量的取值范围内，也可能存
大最大值和最小值．因此最值就应联想到构建函数，利用函数的性质求解．
【例1】（2023·天津·统考中考真题）
5．如图，要围一个矩形菜园 ，共中一边 是墙，且 的长不能超过 ，
其余的三边 用篱笆，且这三边的和为 ．有下列结论：
① 的长可以为 ；
② 的长有两个不同的值满足菜园 面积为 ；
③菜园 面积的最大值为 ．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变1】（2020·北京·统考中考真题）
6．在平面直角坐标系 中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如
下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦 （ 分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦 和 ，则这两条弦的位置关系
是 ；在点 中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距
离”；
（2）若点A，B都在直线 上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为 ，
求 的最小值；
（3）若点A的坐标为 ，记线段AB到⊙O的“平移距离”为 ，直接写出 的
取值范围．
考点解读：在速度一定的情况下，运动路程就是运动时间的函数；如果某些量的变化
引起另一些量的变化，这里面可能存在函数关系，找出其中变量之间的函数关系，利
用函数性质解决问题．
【例1】（2023·江苏宿迁·统考中考真题）
7．某商场销售 两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出 种20件，
种10件，销售总额为840元；如果售出 种10件， 种15件，销售总额为660元．
(1)求 两种商品的销售单价．
(2)经市场调研， 种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可
增加10件； 种商品的售价不变， 种商品售价不低于 种商品售价．设 种商品降
价 元，如果 两种商品销售量相同，求 取何值时，商场销售 两种商品可获
试卷第4页，共3页得总利润最大？最大利润是多少？
【变1】（2022·广东广州·统考中考真题）
8．如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE= DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+ CF的值是否也最小？如果是，求CE+
CF的最小值；如果不是，请说明理由．
一、选择题
（2022·内蒙古包头·中考真题）
9．已知实数a，b满足 ，则代数式 的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
（2021·四川绵阳·统考中考真题）
10．关于 的方程 有两个不相等的实根 、 ，若 ，则
的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
（2023·湖北恩施·统考中考真题）
11．如图，取一根长 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在
中点O的左侧距离中点 处挂一个重 的物体，在中点
O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位： ）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足 ．以L的数值为横坐标，F的
数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（ ）
A． B． C．
D．
（2023·广东深圳·统考中考真题）
12．如图1，在 中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单
位/s，其中 长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则 的长为（ ）
A． B． C．17 D．
（2023·江苏泰州·统考中考真题）
13．函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应
关系的可能是（ ）
试卷第6页，共3页x 1 2 4
y 4 2 1
A． B．
C． D．
（2023·辽宁·统考中考真题）
14．如图， ，在射线 ， 上分别截取 ，连接 ，
的平分线交 于点D，点E为线段 上的动点，作 交 于点F，
作 交射线 于点G，过点G作 于点H，点E沿 方向运动，
当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形 与 重叠部
分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
（2021·江苏南通·统考中考真题）
15．平面直角坐标系 中，已知点 ，且实数m，n满足 ，
则点P到原点O的距离的最小值为 ．
（2023·浙江温州·统考中考真题）16．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对
汽缸壁所产生的压强P（ ）与汽缸内气体的体积V（ ）成反比例，P关于V的
函数图象如图所示．若压强由 加压到 ，则气体体积压缩了
．
（2023·山东聊城·统考中考真题）
17．如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一
列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对： ； ； ； ；
…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现
其中的规律．请写出第n个数对： ．
（2023·山东烟台·统考中考真题）
18．如图1，在 中，动点 从点 出发沿折线 匀速运动至点 后
停止．设点 的运动路程为 ，线段 的长度为 ，图2是 与 的函数关系的大致
图象，其中点 为曲线 的最低点，则 的高 的长为 ．
试卷第8页，共3页三、解答题
（2023·山东·统考中考真题）
19．某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够
长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和
芍药，学校已定购篱笆120米．
(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，
知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最
多可以购买多少株牡丹？
（2023·辽宁营口·统考中考真题）
20．某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液
的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去
年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可
卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液
的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低
于进价．
(1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；
(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最
大利润是多少元？
（2023·山东临沂·统考中考真题）
21．综合与实践问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮
妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，
记录如下：
售价（元/盆） 日销售量（盆）
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
数据整理
(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆）
日销售量
（盆）
模型建立
(2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系；
拓广应用
(3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
（2023·山东潍坊·统考中考真题）
22．为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，
收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（ ），
并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．
试卷第10页，共3页(1)从 ， ， 中，选择适当的函数模型分
别模拟两种场景下 随 变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
(2)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试
剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
（2023·山东潍坊·统考中考真题）
23．工匠师傅准备从六边形的铁皮 中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所
示．经测量， ， 与 之间的距离为2米， 米， 米，
， ． ， ， 是工匠师傅画出的裁剪虚线．当
的长度为多少时，矩形铁皮 的面积最大，最大面积是多少？
（2022·江苏徐州·统考中考真题）
24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为
BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连
接DG，交PC于点H．
(1)∠EDC的度数为 ；
(2)连接PG，求△APG 的面积的最大值；
(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
(4)求 的最大值．
（2023·湖南张家界·统考中考真题）
25．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与x轴交于点和点 两点，与y轴交于点 ．点D为线段 上的一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求 周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作 交抛物线第一象限部分于点P，连接 ，记
与 的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最
大值．
试卷第12页，共3页参考答案：
1．D
【分析】联立方程组，解得 ，设 ，然后根据二次函数的性质，即可
求解．
【详解】解：依题意， ，
解得：
设
∴
∵
∴ 有最大值，最大值为
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解
题的关键．
2．B
【分析】先将所求式子化简为 ，然后根据 及
求出 ，进而可得答案．
【详解】解：；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子
化简并求出 的取值范围是解题的关键．
3．C
【分析】根据题意建立函数模型可得 ，即 ，符合反比例函数，根据反比例函
数的图象进行判断即可求解．
【详解】解：依题意，
，
， 且为整数．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例数的应用，根据题意建立函数模型是解题的关键．
4．50
【分析】根据表格可得y与x的函数关系式，再将 代入求解即可．
【详解】解：由表格可得，物品每增加2克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加4毫米，则
物品每增加1克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加2毫米，
当不挂重物时，秤砣所挂位置与提扭的距离为10毫米，
∴y与x的函数关系式为 ，
答案第2页，共2页当 时， ，
故答案为：50．
【点睛】本题考查由表格得函数关系式以及求函数值，通过表格得出函数关系式是解题的
关键．
5．C
【分析】设 的长为 ，矩形 的面积为 ，则 的长为 ，根据矩形
的面积公式列二次函数解析式，再分别根据 的长不能超过 ，二次函数的最值，解
一元二次方程求解即可．
【详解】设 的长为 ，矩形 的面积为 ，则 的长为 ，由题意得
，
其中 ，即 ，
① 的长不可以为 ，原说法错误；
③菜园 面积的最大值为 ，原说法正确；
②当 时，解得 或 ，
∴ 的长有两个不同的值满足菜园 面积为 ，说法正确；
综上，正确结论的个数是2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解
析式是解题的关键．
6．（1）平行，P；（2） ；（3）
3
【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，分别求出OE、OF的长，由
得到 的最小值；
（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A 为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离 的最大值即点A，B点的位置，由此
得出 的取值范围．
【详解】解：（1）平行；P；
3
（2）如图，线段AB在直线 上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，
CD∥AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，OF⊥CD，令 ，直线与x轴交点
为（-2，0），直线与x轴夹角为60°，∴ ．
由垂径定理得： ，
∴ ；
（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A 为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O
内找到与之平行，且长度为1的弦即可；
答案第4页，共2页点A到O的距离为 ．
如图，平移距离 的最小值即点A到⊙O的最小值： ；
平移距离 的最大值线段是下图AB的情况，即当A,A 关于OA对称，且AB ⊥A A 且
1 2 1 2 1 2
AB =1时.∠B AA=60°，则∠OA A=30°,
1 2 2 2 1 2 1
∵OA=1,∴OM= , A M= ,
2 2
∴MA=3,AA= ,
2∴ 的取值范围为： ．
【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与
圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键．
7．(1) 的销售单价为 元、 的销售单价为 元
(2)当 时，商场销售 两种商品可获得总利润最大，最大利润是 元．
【分析】（1）设 的销售单价为 元、 的销售单价为 元，根据题中售出 种20件，
种10件，销售总额为840元；售出 种10件， 种15件，销售总额为660元列方程组求
解即可得到答案；
（2）设利润为 ，根据题意，得到 ，结合二次函数性质及题中限制
条件分析求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设 的销售单价为 元、 的销售单价为 元，则
，解得 ，
答： 的销售单价为 元、 的销售单价为 元；
（2）解： 种商品售价不低于 种商品售价，
，解得 ，即 ，
设利润为 ，则
，
，
在 时能取到最大值，最大值为 ，
当 时，商场销售 两种商品可获得总利润最大，最大利润是 元．
【点睛】本题考查二元一次方程组及二次函数解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列
出方程组，根据函数关系找到函数关系式分析是解决问题的关键．
8．(1) ；
答案第6页，共2页(2)①四边形ABEF的面积为 ；②最小值为12
【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO= ，即可求解；
（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN=
，设BE= ，则EN= ，从而得到EM=MN-EN= ，再由BE= DF，可得
DF= ，从而得到四边形ABEF的面积s= S ABD - S DEF ，①
△ △
当CE⊥AB时，可得点E是△ABC重心，从而得到BE=CE= BO= ，即可求解；
②作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小
值；再由 ，可得当 ，即BE= 时， s达到最小值，从而
得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解．
【详解】（1）解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，
∴∠CAB=60°，
∴△ABC是等边三角形，∴BO=AB▪sin60°= = ，
∴BD=2BO= ；
（2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6，
由（1）得：BD= ；
菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，
∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBN=30°；
∴EN= BE
∵ ，
∴MN= ，
设BE= ，则EN= ，
∴EM=MN-EN= ，
∵S ABCD= AD▪MN= ，
菱形
答案第8页，共2页∴S ABD= S ABCD= ，
菱形
△
∵BE= DF，
∴DF= ，
∴S DEF= DF ▪EM= = ，
△
记四边形ABEF的面积为s，
∴s= S ABD - S DEF = -（ ） ，
△ △
∵点E在BD上，且不在端点，∴0<BE<BD，即 ；
①当CE⊥AB时，
∵OB⊥AC，
∴点E是△ABC重心，
∴BE=CE= BO= ，
此时 = ，
∴当CE⊥AB时，四边形ABEF的面积为 ；
②作CH⊥AD于H，如图，
∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上，
∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，
∵∠BAD=120°，
∴∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AH=DH=3，
∴CH= ，
∵ ，
∴当 ，即BE= 时， s达到最小值，
∵BE= DF，
∴DF=3，
此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，
∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，
∴CE+ CF的值达到最小，
其最小值为CO+ CH= =12．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角
形的重心，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次
函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识是解题的关键．
9．A
【分析】由已知得b=a+1，代入代数式即得a2-4a+9变形为(a-2)2+5，再根据二次函数性质
求解．
【详解】解：∵b-a=1，
∴b=a+1，
∴a2+2b-6a+7
=a2+2(a+1)-6a+7
=a2-4a+9
=(a-2)2+5，
∵(a-2)2≥0，
答案第10页，共2页∴当a=2时，代数式a2+2b-6a+7有最小值，最小值为5，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a-2)2+5是解题的关键．
10．D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，
求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可．
【详解】解：由方程 有两个不相等的实根 、
可得， ， ，
∵ ，可得 ， ，即
化简得
则
故 最大值为
故选D
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及了配方法求解代数式的最大值，
根据一元二次方程根与系数的关系得到系数的关系是解题的关键．
11．B
【分析】根据题意 代入数据求得 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，函数为反比例函数，
当 时， ，
即 函数图象经过点 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的
关键．12．C
【分析】根据图象可知 时，点 与点 重合，得到 ，进而求出点 从点 运动
到点 所需的时间，进而得到点 从点 运动到点 的时间，求出 的长，再利用勾股定
理求出 即可．
【详解】解：由图象可知： 时，点 与点 重合，
∴ ，
∴点 从点 运动到点 所需的时间为 ；
∴点 从点 运动到点 的时间为 ，
∴ ；
在 中： ；
故选C．
【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出
的长，是解题的关键．
13．C
【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
【详解】解：A、若直线 过点 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
当 时， ，故 不在直线 上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，
，不合题意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入 得
，解得 ，符合题意；
答案第12页，共2页D、由C可知，不合题意．
故选：C．
【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待
定系数法是解题的关键．
14．A
【分析】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系
进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ 是边长为6的正三角形，
∵ 平分 ，
∴ ， ， ，
①当矩形 全部在 之中，即由图1到图2，此时 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
②如图3时，当 ，
则 ，解得 ，由图2到图3，此时 ，
如图4，记 ， 的交点为 ，则 是正三角形，
∴ ，
∴ ， 而 ，
∴ ，
∴
，
③如图6时， ，由图3到图6，此时 ，
如图5，同理 是正三角形，
答案第14页，共2页∴ ， ， ，
∴
，
因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下
的抛物线，
故选：A．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，求出各种情况下S与x的函数关系式是正确解答
的前提，理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键．
15．
【分析】由已知得到点P的坐标为( ， )，求得PO=
，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，则 ，
∴点P的坐标为( ， )，
∴PO= ，
∵ ，
∴ 当 时，有最小值，
且最小值为 ，
∴PO的最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了点的坐标，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解决
本题的关键．
16．20
【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为 ，然后问题可求解．
【详解】解：设P关于V的函数解析式为 ，由图象可把点 代入得：
，
∴P关于V的函数解析式为 ，
∴当 时，则 ，
当 时，则 ，
∴压强由 加压到 ，则气体体积压缩了 ；
故答案为20．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．
17．
【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现
第 个数对的第一个数为： ，第 个数对的第二个位： ，即可求解．
【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…
即： ， ， ， ， ，…
则第 个数对的第一个数为： ，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…
即： ； ； ； ； …，
则第 个数对的第二个位： ，
答案第16页，共2页∴第n个数对为： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规
律解决问题．
18． ##
【分析】过点 作 于点 ，当点 与 重合时，在图2中 点表示当
时，点 到达点 ，此时当 在 上运动时， 最小，勾股定理求得 ，
然后等面积法即可求解．
【详解】如图过点 作 于点 ，当点 与 重合时，在图2中 点表示当
时，点 到达点 ，此时当 在 上运动时， 最小，
∴ ，
在 中，
∴
∵ ，∴ ,
故答案为： ．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息
是解题的关键．
19．(1)长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米
(2)最多可以购买1400株牡丹
【分析】（1）设长为x米，面积为y平方米，则宽为 米，可以得到y与x的函数关
系式，配成顶点式求出函数的最大值即可；
（2）设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为 平方米，由题意列出
不等式求得种植牡丹面积的最大值，即可解答．
【详解】（1）解：设长为x米，面积为y平方米，则宽为 米，
∴ ，
∴当 时，y有最大值是1200，
此时，宽为 （米）
答：长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米．
（2）解：设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为 平方米，
由题意可得
解得： ，
即牡丹最多种植700平方米，
（株），
答：最多可以购买1400株牡丹．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找
出所求问题需要的条件．
答案第18页，共2页20．(1)今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元；
(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润
是8100元．
【分析】（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是
元，根据题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，根
据题意得出： ，根据二次函数的性质可得出答案．
【详解】（1）解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进
价是 元，
根据题意可得： ，
解得： ，
经检验： 是方程的解，
元，
答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元.
（2）解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，
根据题意得出： ，
整理得： ，
根据二次函数的性质得出：当 时，利润最大，
最大利润为： ，
答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利
润是8100元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出关系式是解题关
键．
21．(1)见解析(2)售价每涨价2元，日销售量少卖4盆
(3)①定价为每盆 元或每盆 元时，每天获得400元的利润；②售价定为 元时，每天
能够获得最大利润
【分析】（1）按照从小到大的顺序进行排列即可；
（2）根据表格数据，进行求解即可；
（3）①设定价应为 元，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；
②设每天的利润为 ，列出二次函数表示式，利用二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：按照售价从低到高排列列出表格如下：
2
售价（元/盆） 18 20 26 30
2
日销售量 4
54 50 38 30
（盆） 6
（2）由表格可知，售价每涨价2元，日销售量少卖4盆；
（3）①设：定价应为 元，由题意，得：
，
整理得： ，
解得： ，
∴定价为每盆 元或每盆 元时，每天获得400元的利润；
②设每天的利润为 ，由题意，得：
，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值为 元．
答：售价定为 元时，每天能够获得最大利润．
【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用．从表格中有效的获取信息，正确
的列出方程和二次函数，是解题的关键．
答案第20页，共2页22．(1)场景A中 随 变化的函数关系为 ，场景B中 随 变化的函
数关系为
(2)场景B
【分析】（1）由图象可知，场景A中 随 变化的函数关系为 ，将
， 代入 ，进而可得 ；场景B中 随
变化的函数关系为 ，将 代入，进而可得 ；
（2）场景A中当 时， ；场景B中，将 代入 ，解得， ,判
断作答即可．
【详解】（1）解：由图象可知，场景A中 随 变化的函数关系为 ，
将 ， 代入 ，得 ，
解得 ，
∴ ；
场景B中 随 变化的函数关系为 ，
将 ，代入 ，得 ，解得 ，
∴ ；
（2）解：场景A中当 时， ；
场景B中，将 代入 ，得 ，解得 ，
∵ ，
∴该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长．
【点睛】本题考查了函数图象，一次函数解析式，二次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23．当 的长度为 米时，矩形铁皮 的面积最大，最大面积是 平方米
【分析】连接 ，分别交 于点 ，交 于点 ，先判断出四边形 是矩形，从
而可得 ，再判断出四边形 和四边形 都是矩形，从而可得
米， ，然后设矩形
的面积为 平方米， 米，则 米， 米，利
用矩形的面积公式可得 关于 的二次函数，最后利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】解：如图，连接 ，分别交 于点 ，交 于点 ，
，
，
米，
四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 和四边形 都是矩形，
米， ，
和 都是等腰直角三角形，
，
，
答案第22页，共2页设矩形 的面积为 平方米， 米，则 米，
米，
米，
米，
，
又 ， 与 之间的距离为2米， 米，
，
由二次函数的性质可知，当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增
大而减小，
则当 时， 取得最大值，最大值为 ，
答：当 的长度为 米时，矩形铁皮 的面积最大，最大面积是 平方米．
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函
数的性质是解题关键．
24．(1)45°
(2)9
(3)PE=DG，理由见解析
(4)
【分析】（1）先说明∠B=45°，再说明DE是△CBP的中位线可得DE BP，然后由平行
线的性质即可解答；
（2）先说明△EDF和△GFC是等腰直角三角形可得DF=EF= 、GF=CF=
；设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE，然后通过三角形中位线、勾股定理、线段的和差用x表示出AG，再根据三角形的面积公式列出表达式，最后运用二次函数求最值即可；
（3）先证明△GFD≌△CFE，可得DG=CE，进而可得PE=DG；由△GFD≌△CFE可得
∠ECF=∠DGF，进而得到∠GHE=∠CFE=90°，即可说明DG、PE的位置关系；
（4）先说明△CEF∽△CDH得到 ，进而得到 ，然后将已经求得的
量代入可得 ，然后根据 求最值即可．
【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12
∴∠B=∠ACB=45°
∵，D、E分别为BC、PC的中点
∴DE BP，DE=
∴∠EDC=∠B=45°．
（2）解：如图：连接PG
∵∠EDC=∠ACB=45°，GF⊥DC
∴△EDF和△GFC是等腰直角三角形
∴DF=EF= ，GF=CF= ，
设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE
∴DE= ，EF=
∵Rt△APC，
∴PC=
∴CE=
∵Rt△EFC
∴FC=FG=
∴CG= CF=
答案第24页，共2页∴AG=12-CG=12- =
∴S APG=
△
所以当x=6时，S APG有最大值9．
△
（3）解：DG=PE，DG⊥PE，理由如下：
∵DF=EF，∠CFE=∠GFD，GF=CF
∴△GFD≌△CFE(SAS)
∴DG=CE
∵E是PC的中点
∴PE=CE
∴PE=DG；
∵△GFD≌△CFE
∴∠ECF=∠DGF
∵∠CEF=∠PEG
∴∠GHE=∠EFC=90°，即DG⊥PE．
（4）解：∵△GFD≌△CFE
∴∠CEF=∠CDH
又∵∠ECF=∠DCH
∴△CEF∽△CDH
∴ ，即
∴
∵FC= ，CE= ，CD=∴
∴ 的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线、平行线的性质、二次函数求最值、全等三角形的
判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
25．(1)
(2)
(3) ，
【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为 ，将 代入求解即可；
（2）作点O关于直线 的对称点E，连接 ，根据点坐特点及正方形的判定得出
四边形 为正方形， ，连接AE，交 于点D，由对称性 ，此时
有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可；
（3）由待定系数法确定直线 的表达式为 ，直线 的表达式为 ，设
，然后结合图形及面积之间的关系求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为 ，
将 代入上式得： ，
答案第26页，共2页所以抛物线的表达式为 ；
（2）作点O关于直线 的对称点E，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵O、E关于直线 对称，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
连接 ，交 于点D，由对称性 ，
此时 有最小值为 的长，
∵ 的周长为 ，
， 的最小值为10，
∴ 的周长的最小值为 ；
（3）由已知点 ， ， ，
设直线 的表达式为 ，
将 ， 代入 中， ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
同理可得：直线 的表达式为 ，∵ ，
∴设直线 表达式为 ，
由（1）设 ，代入直线 的表达式
得： ，
∴直线 的表达式为： ，
由 ，得 ，
∴ ，
∵P，D都在第一象限，
∴
，
∴当 时，此时P点为 .
．
答案第28页，共2页【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短
问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键．
