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模块二 知识全整合
专题 1 数与式
第 3 讲 分式
一、分式的概念
1．分式：形如 ，其中A、B表示两个整式，B中含有字母，B≠0，这样的式子叫做
分式；
2．分式有意义的条件：分式 有意义，则B≠0；分式 无意义，则B=0；
3．分式的值为零的条件：分式 的值为0，则A=0且B≠0；
4．分式的值为整数的条件：分式 的值为整数，且A、B都是整数，则A是B的倍数，
B是A的约数．
二、分式的基本性质
1．分式的基本性质： ，其中M≠0；
2．分式的符号法则： ；
3．最简分式：分子和分母没有公因式的分式，叫做最简分式；
4．通分：把异分母的分式化为与原分式的值相等的同分母的分式；5．约分，把分子和分母中的公因式约去；
三、分式的运算
1．分式的加减法： ；
2．分式的乘除法： ， ；
3．分式的乘方： ；
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业要求：
1．知道分式的分母不能为零；
2．能利用分式的基本性质进行约分、通分，并化简分式；
3．能对简单的分式进行加、减、乘、除运算并将结果化为最简分式．
【例1】
（2023·浙江湖州·统考中考真题）
1．若分式 的值为0，则x的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【变1】
（2023·山西大同·校联考模拟预测）
2．若分式 的值为正整数，则 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【例1】
（2020·河北·统考中考真题）
3．若 ，则下列分式化简正确的是（ ）
试卷第2页，共3页A． B． C． D．
【变1】
（2023上·山东威海·八年级统考期末）
4．若 ， 的值均扩大到原来的 倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）．
A． B． C． D．
【例1】
（2023·江苏扬州·校考模拟预测）
5．已知 ，其中A、B为常数，那么 的值为 ．
【变1】
（2023·湖南娄底·统考中考真题）
6．先化简，再求值： ，其中x满足 ．
一、选择题
（2023·江苏·统考中考真题）
7．若代数式 的值是0，则实数x的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
（2023·广西·统考中考真题）
8．若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川凉山·统考中考真题）
9．分式 的值为0，则 的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
（2023·湖南·统考中考真题）10．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·广东茂名·统考一模）
11．下列等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·河北·统考二模）
12．嘉琪在分式化简运算中每一步运算都在后面列出了依据，所列依据错误的是（
）
化简：
解：原式
………………①通分
……………………②合并同类项
……………………③提公因式
………………………………④约分
A．① B．② C．③ D．④
（2023·河北衡水·二模）
13．已知 ， ， ，其中“ ”代表“＋、－、×、÷”中的一
种运算符号，下列说法正确的是（ ）
A．若“ ”代表的是“＋”，则 B．若“ ”代表的是“－”，则
C．若“ ”代表的是“×”，则 D．若“ ”代表的是“÷”，则
（2023上·重庆忠县·八年级统考期末）
14．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
试卷第4页，共3页（2023·河北保定·校考模拟预测）
15．如图，若x为大于1的正整数，则表示分式 的值落在（ ）
A．段①处 B．段②处 C．段③处 D．段④处
（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）
16．代数式 的值为 ．则 为整数值的个数有（ ）
A．0个 B．7个 C．8个 D．无数个
二、填空题
（2023·福建·统考中考真题）
17．已知 ，且 ，则 的值为 ．
（2023·上海嘉定·模拟预测）
18．已知： ，则 ．
（2023·广东广州·广东广雅中学校考二模）
19．已知：分式 的值为整数，则整数a有 ．
（2023·云南楚雄·统考三模）
20．若 ，则 ．
三、解答题
（2023·湖北襄阳·统考中考真题）
21．化简： ．
（2023·四川甘孜·统考中考真题）
22．化简： ．
（2023·江苏·统考中考真题）
23．先化简，再求值： ，其中 ．（2023·湖北黄石·统考中考真题）
24．先化简，再求值： ，然后从1，2，3，4中选择一个合适
的数代入求值．
（2023·四川绵阳·统考中考真题）
25．先简化，再求值： ，其中 ， ．
26．课堂上，老师提出了下面的问题：
已知 ， ， ，试比较 与 的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较 与 的大小．
小华：∵ ，
∴ ．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．
(2)比较大小： __________ ．（填“ ”“ ”或“ ”）
（2023·四川攀枝花·统考中考真题）
27．已知 ，求 的值．
（2023·山西大同·统考三模）
28．阅读与思考
下面是小宇同学课外阅读的一则数学材料，请仔细阅读并完成相应任务．
“真分式”与“假分式”
我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： ．在分式中，
对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假
分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式．如 ， …这样的
分式是假分式；如 ， …这样的分式是真分式．类似地，假分式也可以化为
整式与真分式的和的形式．
试卷第6页，共3页例如：
将分式 化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下：
．
将分式 化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下：
方法1： ．
方法2：由于分母为 ，可设 （ ， 为常数），
，
．
，解得
．
．
这样，分式 就被化成了一个整式与一个真分式的和的形式．
任务：
(1)分式 是__________分式（填“真”或“假”）；将假分式 化为一个整式
与一个真分式的和的形式为__________．
(2)请将 化为一个整式与一个真分式的和的形式．
(3)若分式 的值为整数，请根据（2）的结果直接写出符合条件的2个 的值．参考答案：
1．A
【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零．
【详解】解：依题意得： 且 ，
解得 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于
零．
2．C
【分析】先利用分式的运算法则把原式进行化简，再根据分式的值为正整数求出 的取值
可以为多少．
【详解】解：原式 ，
，
，
，
，
要使分式有意义，则 ，
，
故选： ．
【点睛】本题考查了分式的值，根据分式运算法则进行化简是解答本题的关键．
3．D
【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
【详解】∵a≠b，
∴ ，选项A错误；，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
4．B
【分析】根据 ， 扩大到 倍为： ， ；把 ， 依次代入选项，进行判断，即可．
【详解】∵ ， 的值均扩大到原来的 倍为 ，
∴A、 ，不符合题意；
B、 ，符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、 ，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查分式的知识，解题的关键是掌握分式的基本性质．
5．1
【分析】由 ，可得 ，即可求出 与 的
值．
【详解】解：由 可得，
，
，
， ，
．
故答案为：1．
答案第2页，共2页【点睛】本题考查分式的加减法，能够熟练掌握分式的加法的运算法则是解题的关键．
6． ；2
【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再
整体代入计算即可．
【详解】解：
；
∵ ，
∴ ，其中 ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟练的化简分式并整体代入进行计算是解本题的
关键．
7．B
【分析】由 即可求解．
【详解】解：由分母不为零得：
∵代数式 的值是0
∴
综上：
故选：B
【点睛】本题考查了分式有意义的条件、分式的值为零．掌握分式有意义的条件是关键．
8．A
【分析】根据分式有意义的条件可进行求解．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ；
故选A．【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
9．A
【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴ ，
解得 ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为
0是解题的关键．
10．D
【分析】根据分式的约分可判断A，根据幂的乘方运算可判断B，根据分式的加法运算可
判断C，根据零指数幂的含义可判断D，从而可得答案．
【详解】解： ，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，运算正确，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查分式的约分，幂的乘方运算，分式的加法运算，零指数幂，熟记运算法
则是解本题的关键．
11．A
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不为零的数，分式的值
不变，逐个判断即可解答．
【详解】解： ，故A正确；
答案第4页，共2页与 不一定相等，故B错误；
与 不一定相等，故C错误；
当 时， ，故D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知该性质是解题的关键．
12．A
【分析】根据分式的加减运算法则即可得出结论．
【详解】①不是通分，而是同分母分式的加减法，故说法错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的加减运算，分清楚同分母分式的加减法和通分的区别是解题
的关键．
13．A
【分析】当“ ”代表的是“＋”时，得出 ，计算 的值的符号，即可得出
M与N的大小关系，可判断A；当“ ”代表的是“－”，得出 ，与A同理，可
判断B；当“ ”代表的是“×”和当“ ”代表的是“÷”时，由分式的基本性质即可判断C
和D．
【详解】解：若“ ”代表的是“＋”，则 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故A正确，符合题意；
若“ ”代表的是“－”，则 ，∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故B错误，不符合题意；
若“ ”代表的是“×”，则 ．
∵ ，
∴ ，故C错误，不符合题意；
若“ ”代表的是“÷”，则 ．
∵ ，
∴ ，故D错误，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查分式的基本性质和分式的混合运算．掌握分式的分子和分母同时乘以或
除以同一个不为0的整式，分式的值不变和分式的混合运算法则是解题关键．
14．A
【分析】根据分式的定义，即一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式，
即可一一判定．
【详解】解：A. 是最简分式，故该选项符合题意；
B. ，故该选项不是最简分式，不符合题意；
C. ，故该选项不是最简分式，不符合题意；
D. ，故该选项不是最简分式，不符合题意；
答案第6页，共2页故选：A．
【点睛】本题考查了最简分式的判定及分式的性质，理解最简分式的定义是解决本题的关
键．
15．C
【分析】先化简分式，再确定分式值的范围即可．
【详解】解： ，
∵x为正整数，
∴x的最小值为1，
∴当 时， ，
∴ ，
∴分式 的值落在段③处，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简，解题关键是能够运用分式的基本性质进行化简并确定分
式值的范围．
16．B
【分析】先将分式进行化简，然后根据题意确定 为整数的x的值，即可确定F的值的个
数．
【详解】解：
，
∵代数式 的值为 ，且F为整数，∴ 为整数，且
∴ 的值为： ，共7个，
∴对应的F值有7个，
故选：B．
【点睛】题目主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值及分式有意义的条件是
解题关键．
17．1
【分析】根据 可得 ，即 ，然后将 整体代入
计算即可．
【详解】解：∵
∴ ，
∴ ，即 ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到 是
解答本题的关键．
18．7
【分析】根据比例的性质交叉相乘得到 即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
则
即 ，
则 ．
故答案为：7．
【点睛】本题考察了比例的性质，属于基础题，计算过程细心即可．
答案第8页，共2页19． ，1，2，4，5，7
【分析】根据因式分解，可得最简分式，根据分式的值是整数，可得分母能被分子整除，
可得答案．
【详解】解： ，
∵分式 的值为整数，
∴ 或 或 ，
解得： ， ， ， ， ， ，
故答案为 ，1，2，4，5，7．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，根据分式的值的情况求解参数等等，解题的关键在
于能够熟练掌握相关知识进行求解．
20．0或1
【分析】分 或 两种情况讨论，两边同时除a得 ，再根据完全平
方式变形为 即可求解．
【详解】解：由题意可得： ，
∴ 或 ，
当 时，两边同时除a得： ，即 ，
∴
∴ ，
当 时， ；
当 时， ，故答案为：0或1．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求解，利用分类讨论的思想求
解是解题的关键．
21．
【分析】先根据同分母分式相加减法则计算，再利用提公因式和平方差公式分解因式，把
除法换成乘法，即可求解；
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
22．
【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然
后约分即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序．
23． ，
【分析】先将括号内式子通分，变分式除法为乘法，约分化简，再将 代入求值．
【详解】解：
答案第10页，共2页，
将 代入，得：
原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式的运算法则．
24． ，当 时，值为
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的m的值代入进行计算
即可．
【详解】解：
，
∴当 时，原式
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
25． ， ．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式
子即可．【详解】原式＝
＝
＝
＝ ；
， 原式＝ .
【点睛】考查分式的混合运算-化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法
则．
26．(1)
(2)
【分析】（1）根据作差法求 的值即可得出答案；
（2）根据作差法求 的值即可得出答案．
【详解】（1）解： ，
，
，
；
（2）解： ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运
算的方法．
答案第12页，共2页27．1
【分析】由 可知 ，然后对分式进行化简，进而问题可求解．
【详解】解：由 可知 ，
∴
．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
28．(1)真；
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据定义，例题，化为一个整式与一个真分式的和的形式；
（2）根据方法一、化为一个整式与一个真分式的和的形式；
（3）根据题意可得 是整数，进而即可求解．
【详解】（1）解：根据定义，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，
∴ 是真分式，故答案为：真； ．
（2）解：∵
（3）解：由（2）可得
∵ 的值为整数，
∴ 是整数，
∴
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
答案第14页，共2页
