文档内容
模块二 知识全整合
专题 1 数与式
第 4 讲 数的开方与二次根式
一、平方根与立方根
1.平方根：如果 ，那么x叫做a的平方根，记作： ；
正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根；
2.算术平方根：a的算术平方根是 ， ；
3.立方根：如果 ，那么x叫做a的立方根，记作： ；
正数的立方根是正数，零的立方根是零，负数的立方根是负数，于是有： ；
4.平方与开平方互为逆运算，立方与开立方互为逆运算，开方与乘方互为逆运算；
二、二次根式
1.二次根式：形如 ，其中 ，这样的式子叫做二次根式；
2.二次根式有意义：二次根式有意义的条件是 ；
3.二次根式的性质：（1） ；
（2）双重非负性： ， ；
（3） ；
4.二次根式的运算
（1）二次根式的乘除法
， ；
，
（2）最简二次根式：被开方数不含开得尽方的因数和因式，被开方数不含分母，分母
不含二次根式；
（3）同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式；
（4）二次根式的加减法
（5）有理化
有理化因式：两个二次根式的积是有理数或整式，这两个二次根式互为有理化因式；
分母有理化：化掉分母中的二次根式，称为分母有理化；
【例1】
（2023·山东·统考中考真题）
1．面积为9的正方形，其边长等于（ ）
A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方
根
【变1】
（2023·湖南永州·统考中考真题）
2．下列各式计算结果正确的是（ ）
试卷第2页，共3页A． B． C． D．
【例1】
（2022·四川攀枝花·统考中考真题）
3． ．
【变1】
（2022·福建龙岩·校考模拟预测）
4．若式子 与 互为相反数，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【例1】
（2023·山东·统考中考真题）
5． 的三边长a，b，c满足 ，则 是
（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角
形
【变1】
（2023·广东广州·统考中考真题）
6．已知关于x的方程 有两个实数根，则 的
化简结果是（ ）
A． B．1 C． D．
【例1】
（2023·重庆·统考中考真题）
7．估计 的值应在（ ）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【变1】
（2023·湖北荆州·统考中考真题）
8．已知 ，则与 最接近的整数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例1】
（2023·山东潍坊·统考中考真题）
9．从 、 ， 中任意选择两个数，分别填在算式 里面的“□”与
“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
【变1】
（2023·湖南张家界·统考中考真题）
10．阅读下面材料：
将边长分别为a， ， ， 的正方形面积分别记为 ， ， ， ．
则
例如：当 ， 时，
根据以上材料解答下列问题：
(1)当 ， 时， ______， ______；
(2)当 ， 时，把边长为 的正方形面积记作 ，其中n是正整数，从
（1）中的计算结果，你能猜出 等于多少吗？并证明你的猜想；
(3)当 ， 时，令 ， ， ，…， ，且
试卷第4页，共3页，求T的值．
一、选择题
（2023·江苏无锡·统考中考真题）
11．实数9的算术平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
（2023·四川巴中·统考中考真题）
12．下列各数为无理数的是（ ）
A．0.618 B． C． D．
（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）
13．二次根式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为
（ ）
A． B． C．
D．
（2022·湖北黄石·统考中考真题）
14．函数 的自变量x的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且 C． D． 且
（2023·山东青岛·统考中考真题）
15．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·河北·统考中考真题）
16．若 ，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
（2023·广东湛江·三模）17．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． （ ， ） D．
（ ）
（2023·山东烟台·统考中考真题）
18．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·重庆·统考中考真题）
19．估计 的值应在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间
C．9和10之间 D．10和11之间
（2022·内蒙古·中考真题）
20．实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
二、填空题
（2023·山东滨州·统考中考真题）
21．一块面积为 的正方形桌布，其边长为 ．
（2023·江苏徐州·校考三模）
22．64的平方根与立方根的和是 ．
（2023·四川内江·统考中考真题）
23．若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ．
（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）
24．若式子 有意义，则x的取值范围是 ．
（2023·四川内江·统考中考真题）
25．在 中， 的对边分别为a、b、c，且满足
，则 的值为 ．
试卷第6页，共3页（2023·内蒙古·统考中考真题）
26．观察下列各式：
， ， ，
…
请利用你所发现的规律，计算： ．
（2023·四川凉山·统考中考真题）
27．计算 ．
（2023·山东聊城·统考中考真题）
28．计算： ．
（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）
29．计算 的结果是 ．
（2022·四川眉山·中考真题）
30．将一组数 ，2， ， ，…， ，按下列方式进行排列：
，2， ， ；
， ， ，4；
…
若2的位置记为 ， 的位置记为 ，则 的位置记为 ．
三、解答题
（2023·福建·统考中考真题）
31．计算： ．
（2023·山东淄博·统考中考真题）
32．先化简，再求值： ，其中 ， ．
（2023·上海·统考中考真题）33．计算：
（2023·甘肃武威·统考中考真题）
34．计算： ．
（2023·山东潍坊·统考中考真题）
35．［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究 的值，其中 ．
例求 的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
的结果等于该正方形的面积，
即 ．
方法2：借助函数 和 的图象，观察图②可知
的结果等于 ， ， ，…， …等各条竖直线段的
长度之和，
即两个函数图象的交点到 轴的距离．因为两个函数图象的交点 到 轴的距为1，
所以， ．
试卷第8页，共3页【实践应用】
任务一 完善 的求值过程．
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知
______．
方法2：借助函数 和 的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为______，
所以， ______．
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求 的值．
任务三 用方法2，求 的值（结果用 表示）．
【迁移拓展】长宽之比为 的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的
新矩形仍是黄金矩形．
观察图⑤，直接写出 的值．
试卷第10页，共3页参考答案：
1．B
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：∵面积等于边长的平方，
∴面积为9的正方形，其边长等于9的算术平方根．
故选B．
【点睛】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 ，
那么这个正数x叫做a的算术平方根．
2．D
【分析】根据合并同类项的运算法则，二次根式的运算，积的乘方运算法则，以及负整数
幂运算法则，逐个进行计算即可．
【详解】解：A、 ，故A不正确，不符合题意；
B、 ，故B不正确，不符合题意；
C、 ，故C不正确，不符合题意；
D、 ，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项的运算法则，二次根式的运算，积的乘方运算法则，
以及负整数幂运算法则，解题的关键是熟练掌握相关运算法则并熟练运用．
3．
【分析】根据立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，进行计算即可．
【详解】解：原式 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，正确进行计
算是解题的关键．
4．C
【分析】根据题意可得 ，即有 ，两边立方，即可得
到一元一次方程，解方程即可求解x，问题随之得解．【详解】根据题意可得： ，
解得： ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数的定义，立方根以及解一元一次方程等知识，灵活利用立方根
求解方程是解答本题的关键．
5．D
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由
的关系，可推导得到 为直角三角形．
【详解】解∵
又∵
∴ ，
∴
解得 ，
∴ ，且 ，
∴ 为等腰直角三角形，
故选：D．
答案第2页，共2页【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和
为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理．
6．A
【分析】首先根据关于x的方程 有两个实数根，得判别式
，由此可得 ，据此可对 进行化简．
【详解】解：∵关于x的方程 有两个实数根，
∴判别式 ，
整理得： ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式
的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
7．A
【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得．
【详解】解： ，
，
，即 ，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
8．B
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解．
【详解】解：
∵ ，
∴ ,
∴与 最接近的整数为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则
是解题的关键．
9． （或 或 ，写出一种结果即可）
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
【详解】解：①选择 和 ，
则
．
②选择 和 ，
则
．
③选择 和 ，
答案第4页，共2页则
．
故答案为： （或 或 ，写出一种结果即可）．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
10．(1) ，
(2)猜想结论： ，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；
（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；
（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．
【详解】（1）解：
当 ， 时，
原式 ；当 ， 时，
原式 ；
（2）猜想结论：
证明：
；
（3）
．
【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键．
11．A
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】解： ，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为
相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12．C
答案第6页，共2页【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断即可．
【详解】解：由题意知，0.618， ， ，均为有理数，
是无理数，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数，立方根．解题的关键在于熟练掌握无理数是无限不循环小数．
13．C
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表
示即可得解．
【详解】解：根据题意得， ，
解得 ，
在数轴上表示如下：
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的
解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
14．B
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：依题意，
∴ 且
故选B
【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件
是解题关键．
15．C
【分析】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
16．A
【分析】把 代入计算即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．
17．A
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义逐个判断即可，熟记
最简二次根式的定义是解题的关键．
【详解】解： 、 是最简二次根式，故本选项符合题意；
、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、 （ ， ）中被开方数是分数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、 （ ），不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选： ．
18．C
【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、 ，与 不是同类二次根式，不符合题意；
答案第8页，共2页B、 与 不是同类二次根式，不符合题意；
C、 ，与 是同类二次根式，符合题意；
D、 ，与 不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次
根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特
征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
19．B
【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断．
【详解】解：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算
法则是解题的关键．
20．B
【分析】根据数轴得∶ 00， a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求
解即可．
【详解】解∶∵根据数轴得∶ 00， a-1<0，
∴原式=|a|+1+1-a
=a+1+1- a=2．
故选∶B．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握 是解题的关键．
21． ## 米
【分析】由正方形的边长是其面积的算术平方根可得答案．
【详解】解：一块面积为 的正方形桌布，其边长为 ，
故答案为：
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，理解题意，利用算术平方根的含义表示正方形
的边长是解本题的关键．
22．12或
【分析】根据平方根和立方根的定义求解即可．
【详解】解： 64的平方根是 ，64的立方根是 ，
64的平方根与64的立方根的和是 或 ，
故答案为：12或 ．
【点睛】此题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握这两个定义是解题的关键．
23．
【分析】利用相反数，立方根的性质求出 及c的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意得： ，
，
故答案为：
【点睛】此题考查了代数式求值，相反数、立方根的性质，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
24． 且 ## 且
【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．
【详解】∵式子 有意义，
∴ 且 ，
∴ 且 ，
答案第10页，共2页故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分
式有意义的条件是解题的关键．
25． ##
【分析】由 ，可得 ，求解
，证明 ，再利用正弦的定义求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，算术平方根，绝对值，偶次方的非负
性，勾股定理的逆定理的应用，锐角的正弦的含义，证明 是解本题的关键．
26． ##
【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【详解】，
故答案为： ．
【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键．
27．
【分析】根据零指数幂、二次根式的性质进行计算即可．
【详解】
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质等知识，掌握任何一个不为零的数
的零次幂都是1是解题的关键．
28．3
【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算括号内的减法，然后计算二次根式的除法即
可．
【详解】解：
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的
关键．
答案第12页，共2页29．
【分析】利用二次根式的混合运算法则及分母有理数的方法即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及分母有理数，熟练掌握其运算法则是解题的关
键．
30．
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得 的位置即可．
【详解】数字可以化成：
， ， ， ；
， ， ， ；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵ ，28是第14个偶数，而
∴ 的位置记为
故答案为：
【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统
一是关键．
31．3
【分析】根据算术平方根，绝对值，零指数幂，有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了算术平方根，绝对值，零指数幂，有理数的混合运算，熟练掌握以上
运算法则是解题的关键．
32． ；
【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案．【详解】原式
,
当 时,
原式 ．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算二次根式的运算，正确合并同类项是解题关键．
33．
【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整
数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．
34．
【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关
键．
35．任务一，方法1： ；方法2： ， ；任务二， ；任务三， ；[迁移拓展]
【分析】任务一，仿照例题，分别根据方法1，2进行求解即可；
答案第14页，共2页任务二，借助函数 和 得出交点坐标，进而根据两个函数图象的交点到 轴
的距离．因为两个函数图象的交点 到 轴的距为2，即可得出结果；
任务三 参照方法2，借助函数 和 的图象，得出交点坐标，即可求解；
[迁移拓展]观察图⑤第一个正方形的面积为 ，第二个正方形的面积为
，……进而得出则
的值等于长宽之比为 的矩形减
去1个面积为 的正方形的面积，即可求解．
【详解】解：任务一，方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知
故答案为： ．
方法2：借助函数 和 的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为 ，
所以， ．
故答案为： ， ．
任务二：参照方法2，借助函数 和 的图象， ，解得：
∴两个函数图象的交点的坐标为 ，
．
任务三 参照方法2，借助函数 和 的图象，两个函数图象的交点的坐标为
，
∴
[迁移拓展]根据图⑤，第一个正方形的面积为 ，第二个正方形的面积为
，……
则 的值等于长宽之比为 的矩形
减去1个面积为1的正方形的面积，
即
【点睛】本题考查了一次函数交点问题，正方形面积问题，理解题意，仿照例题求解是解
题的关键．
答案第16页，共2页
