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模块二 知识全整合
专题 1 数与式
第 2 讲 整式与因式分解
一、代数式及相关概念
1.代数式：用运算符号把数与字母连结而成的式子叫做代数式．要按照代数式的书写
规则写代数式．
2.单项式：数与字母的乘积的代数式叫单项式．单独的一个数或字母与是单项式．单
项式里面的数字因数叫估单项式的系数，单项式里面所有字母因数的指数和叫做单项
式的次数．
3.多项式：几个单项式的和叫多项式．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次
数．没有字母的项叫常数项．
4.整式：单项式和多项式统称整式．可以按要求对整式进行升幂排列或降幂排列．
二、整式的运算
1.幂的运算法则：
（1）同底数的幂相乘： ；
（2）同底数的幂相除： ；
（3）幂的乘方： ；（4）积的乘方： ；
2.整式的加减法则
（1）去括号法则： ， ；
（2）同类项：所含字母相同，相同字母的指数也相同；
合并同类项法则： ；
3.整式的乘除法则
（1）单项式乘单项式：系数相乘，同底数的幂相乘；
（2）单项式乘多项式： ；
（3）多项式乘多项式： ；
（4）单项式除单项式：系数相除，同底数的幂相除；
（5）多项式除以单项式： ；
4.乘法公式
（1）平方差公式： ；
（2）完全平方公式： ；
5.因式分解的基本方法
（1）提公因式法
公因式的确定：
系数：取各项系数的最大公约数；
字母：取各项相同的字母；
指数：取各项相同字母的最低次数；
提公因式法则： ；
（2）运用公式法
平方差公式： ；
完全平方公式： ；
（3）十字相乘法： ；
（4）分组分解法：分组后有公因式，分组后能用公式．
试卷第2页，共3页名师解读《义务教育数学课程标准》（2022年版）
学业要求：
1.能运用代数式表示具体问题中简单的数量关系，会选择适当的方法求代数式的值；
2.会用文字和符号表述整数指数幂的基本性质，能根据整数指数幂的基本性质进行幂
的运算；
3.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；
4.知道平方差公式、完全平方公式的几何背景，并能运用公式进行简单计算和推理；
能用提公因式法、公式法进行因式分解；
【例1】
（2023·河北·统考中考真题）
1．代数式 的意义可以是（ ）
A． 与x的和 B． 与x的差 C． 与x的积 D． 与x的商
【变1】
（2023·吉林长春·统考中考真题）
2．2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑
项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的
路程为 公里．（用含x的代数式表示）
【例1】
（2023·江苏南通·统考中考真题）
3．若 ，则 的值为（ ）
A．24 B．20 C．18 D．16
【变1】
（2023·山东·统考中考真题）
4．已知实数 满足 ，则 ．【例1】
（2023·山东·统考中考真题）
5．已知一列均不为1的数 满足如下关系： ，
，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．2
【变1】
（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）
6．在求 的值时，发现： ， ，从而得到
．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，
记作 ；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作 ；
再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作 ；
按此方法继续下去，则 ．（结果用含n的代数式表示）
【例1】
（2023·江苏镇江·统考中考真题）
7．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出
个球放入乙袋，再从乙袋中取出 个球放入丙袋，最后从丙袋中取出 个球放
试卷第4页，共3页入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则 的值等于（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
【变1】
（2023·四川乐山·统考中考真题）
8．若m、n满足 ，则 ．
【例1】
（2023·湖北黄石·统考中考真题）
9．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变1】
（2023·青海西宁·统考中考真题）
10．计算： ．
【例1】
（2023·四川攀枝花·统考中考真题）
11．我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相
应的代数恒等式：① ②
③ ④
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变1】
（2023·江苏宿迁·统考中考真题）
12．若实数m满足 ，则
试卷第6页，共3页．
【例1】
（2023·湖南·统考中考真题）
13．先化简，再求值： ，其中 ．
【变1】
（2023·内蒙古·统考中考真题）
14．先化简，再求值： ，其中 ，
．
【例1】
（2023·山东·统考中考真题）
15．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变1】
（2023·辽宁丹东·统考中考真题）
16．因式分解： ．
一、选择题
（2023·四川雅安·统考中考真题）
17．若 ．则 的值是（ ）
A． B． C．5 D．
（2023·云南·统考中考真题）18．按一定规律排列的单项式： ，第 个单项式是（ ）
A． B． C． D．
（2023·山东济南·统考中考真题）
19．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·四川德阳·统考中考真题）
20．已知 ，则 （ ）
A．y B． C． D．
（2023·湖北随州·统考中考真题）
21．设有边长分别为a和b( )的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形
纸片若干张．如图所示要拼一个边长为 的正方形，需要1张A类纸片、1张B类
纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为 、宽为 的矩形，则需要C类纸片
的张数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
（2023·四川攀枝花·统考中考真题）
22．以下因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·四川绵阳·统考中考真题）
23．如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第
1幅图形中“●”的个数为 ，第2幅图形中“●”的个数为 ，第3幅图形中“●”
试卷第8页，共3页的个数为 ，…，以此类推，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川德阳·统考中考真题）
24．在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计
了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式串m，n， ；
第2次操作后得到整式串m，n， ， ；
第3次操作后…
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的
差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（ ）
A． B．m C． D．
二、填空题
（2023·广东深圳·统考中考真题）
25．已知实数a，b，满足 ， ，则 的值为 ．
（2023·四川凉山·统考中考真题）
26．已知 ，则 的值等于 ．
（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）
27．已知代数式 是一个完全平方式，则实数t的值为 ．
（2023·湖北黄石·统考中考真题）
28．因式分解： ．
（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）
29．因式分解： ．（2023·湖南张家界·统考中考真题）
30．因式分解： ．
（2022·四川内江·统考中考真题）
31．分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ ．
（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）
32．1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数
表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律， 展开的多项式中各
项系数之和为 ．
（2023·湖北十堰·统考中考真题）
33．用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，
第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n
个图案需要火柴棍的根数为 （用含n的式子表示）．
三、解答题
（2023·吉林长春·统考中考真题）
34．先化简．再求值： ，其中 ．
（2023·江苏盐城·统考中考真题）
35．先化简，再求值： ，其中 ， .
（2023·广东广州·统考中考真题）
试卷第10页，共3页36．已知 ，代数式： ， ， ．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分
式．
（2022·青海西宁·统考中考真题）
37．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将 因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干
组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．
分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提
示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
(1)请用分组分解法将 因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将 因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦
图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角
三角形的两条直角边长分别是a和 ，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据
以上信息，先将 因式分解，再求值．参考答案：
1．C
【分析】根据代数式赋予实际意义即可解答．
【详解】解： 的意义可以是 与x的积．
故选C．
【点睛】本题主要考查了代数式的意义，掌握代数式和差乘除的意义是解答本题的关键．
2．
【分析】根据题意列出代数式即可．
【详解】根据题意可得，
他离健康跑终点的路程为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意．
3．D
【分析】根据 得到 ，再将整体代入 中求值．
【详解】解： ，
得 ，
变形为 ，
原式 ．
故选：D．
【点睛】本题考查代数式求值，将 变形为 是解题的关键．
4．8
【分析】由题意易得 ，然后整体代入求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴；
故答案为8．
【点睛】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式
的值．
5．A
【分析】根据题意可把 代入求解 ，则可得 ， ， ……；由
此可得规律求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ， ，…….；
由此可得规律为按2、 、 、 四个数字一循环，
∵ ，
∴ ；
故选A．
【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．
6． ##
【分析】根据题意得出 ，进而即可求解．
【详解】解：依题意， ，
∴ ，
故答案为： ．
答案第2页，共2页【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．
7．A
【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出 ，
，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案．
【详解】调整后，甲袋中有 个球， ，乙袋中有
个球， ，丙袋中有 个球．
∵一共有 （个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，
∴调整后每只袋中有 （个）球，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键．
8．16
【分析】先将已知 变形为 ，再将 变形为 ，然后整体代
入即可．
【详解】解：∵
∴
∴
故答案为：16．
【点睛】本题考查代数式值，幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除
法法则是解题的关键．
9．D
【分析】根据整式中合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项式法则逐项运
算判断即可．
【详解】解：A、 ，原选项计算错误，不符合题意；
B、 ，原选项计算错误，不符合题意；C、 ，原选项计算错误，不符合题意；
D、 ，原选项计算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式运算中的合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项
式法则，解题的关键是熟练这些法则．
10．
【分析】运用完全平方公式，平方差公式及整式的加减运算法则处理；
【详解】解：原式
.
【点睛】本题考查整式的运算，掌握乘法公式以简化运算是解题的关键．
11．D
【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故选： ．
【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一
个图形的面积．
12．
【分析】根据完全平方公式得
，再代值计算
即可．
【详解】解：
答案第4页，共2页故答案为： ．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式
及其变式是解题本题的关键．
13． ，6
【分析】先去括号、再合并同类项将原式进行化简，然后将 代入计算即可解答．
【详解】解： ，
，
；
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了整式的混合运算、化简求值等知识点，正确利用整式混合运算法则化
简成为解题的关键．
14． ，45
【分析】先按照完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并
同类项即可．
【详解】原式
．
当 ， 时
原式 ．
【点睛】本题考查的是整式的化简求值，同时考查了二次根式的混合运算，掌握完全平方
公式与平方差公式进行简便运算是解题的关键．
15．C
【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项．【详解】解：A、 ，属于整式的乘法，故不符合题意；
B、 ，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意；
C、 ，属于因式分解，故符合题意；
D、因为 ，所以因式分解错误，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键．
16．
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，
熟练掌握平方差公式 ．
17．A
【分析】把所求代数式 变形为 ，然后把条件整体代入求值即可．
【详解】解：∵
∴ ，
∴
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了代数式求值以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式
答案第6页，共2页变形为 ．
18．C
【分析】根据单项式的规律可得，系数为 ，字母为 ，指数为1开始的自然数，据此即
可求解．
【详解】解：按一定规律排列的单项式： ，第 个单项式是
，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．
19．D
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方等运算法则逐项判断即得答案.
【详解】解：A、 ，故本选项运算错误，不符合题意；
B、 与 不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意；
C、 ，故本选项运算错误，不符合题意；
D、 ，故本选项运算正确，符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方等知识，熟练掌握相关运
算法则是解题的关键.
20．D
【分析】利用同底数幂的乘法的逆运算可得 ，再代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选D
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记“ ”是解本题的关
键．
21．C【分析】计算出长为 ，宽为 的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡
片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张．
【详解】解：长为 ，宽为 的大长方形的面积为：
；
需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解 结
果中 项的系数即为需要C类卡片的张数．
22．B
【分析】利用平方差公式， 还可分解因式；利用十字相乘法，
．
【详解】解： ；故A不正确，不符合题意．
；故B正确，符合题意．
；故C，D不正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键．
23．C
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可．
【详解】解： ，
，
，
，
…，
；
答案第8页，共2页∴
，
故选∶C．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键．
24．D
【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有
的整式之和为： ，结合 ，从而可得答案．
【详解】解：第1次操作后得到整式串m，n， ；
第2次操作后得到整式串m，n， ， ；
第3次操作后得到整式串m，n， ， ， ；
第4次操作后得到整式串m，n， ， ， ， ；
第5次操作后得到整式串m，n， ， ， ， ， ；
归纳可得：以上整式串每六次一循环，
∵ ，
∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等，
∴这个和为 ，
故选D
【点睛】本题考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概
括规律并灵活运用是解本题的关键．
25．42
【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
【详解】．
故答案为：42．
【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键
是掌握以上知识点．
26．2023
【分析】把 化为： 代入降次，再把 代入求值即可．
【详解】解：由 得： ， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是代数式的求值，找到整体进行降次是解题的关键．
27． 或
【分析】直接利用完全平方公式求解．
【详解】解：∵代数式 是一个完全平方式，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
故答案为： 或
【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．
28．
【分析】将整式 变形含有公因式 ，提取即可．
答案第10页，共2页【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解题的关
键是找到公因式．
29．
【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
30．
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法及公式法是解题关键．
31．（a2+1）（a+2）（a﹣2）
【分析】首先利用十字相乘法分解为 ，然后利用平方差公式进一步因式分
解即可．
【详解】解：a4﹣3a2﹣4
＝（a2+1）（a2﹣4）
＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．
【点睛】本题考查利用因式分解，解决问题的关键是掌握解题步骤：一提二套三检查．
32．
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．【详解】根据题意得： 展开后系数为： ，
系数和： ，
展开后系数为： ，
系数和： ，
展开后系数为： ，
系数和： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清
系数中的规律．
33． ##
【分析】当 时，有 个三角形；当 时，有 个三角形；当
时，有 个三角形；第n个图案有 个三角形，每个三角形用三根计
算即可．
【详解】解：当 时，有 个三角形；
当 时，有 个三角形；
当 时，有 个三角形；
第n个图案有 个三角形，
每个三角形用三根，
故第n个图案需要火柴棍的根数为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了整式的加减的数字规律问题，熟练掌握规律的探索方法是解题的关键．
34． ；
【分析】根据完全平方公式以及单项式乘以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计
算即可求解．
答案第12页，共2页【详解】解：
当 时，原式
【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及
单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．
35． ，
【分析】根据完全平方公式和平方差公式展开后化简，最后代入求值即可．
【详解】
当 ， 时，原式 ．
【点睛】本题考查整式混合运算的化简求值，解题的关键是根据完全平方公式和平方差公
式展开．
36．(1)
(2)见解析
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：①当选择A、B时：
，
；②当选择A、C时：
，
；
③当选择B、C时：
，
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步
骤，以及分式化简的方法．
37．(1)
(2)
(3) ，9
【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式
即可；
（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到
， ，整体代入得出答案即可．
【详解】（1）解：
答案第14页，共2页；
（2）解：
；
（3）解：
，
∴根据题意得 ， ，
∴原式 ．
【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理
的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．
