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模块二 知识全整合
专题 1 数与式
第1讲 实数的有关概念及运算
一、实数及分类
1． ，
2．常见的无理数：开不尽方的数，消不掉 的数，有一定规律的无限不循环小数；
二、数轴及相反数与绝对值
1．数轴的三要素：原点，正方向，单位长度；
2．实数与数轴上的点一一对应；
3．a的相反数是-a，如果a、b互为相反数，则a+b=0，当ab≠0时， ；
4．在数轴上，一个数表示的点到原点的距离就是这个数的绝对值，互为相反数的两个
数表示的点到原点的距离相等；
5．绝对值的性质：（1） ，
（2）一个数的绝对值是非负数，即 ；
三、近似数与科学记数法
1．精确度：近似数的最后一位表示这个数的精确度；
2．科学记数法规则： ，其中 ，n为整数，当 时，n等于a的整数
位数减去1；当 时，n等于a的左起第一个非零数至小数点之间（包含第一个非
零数）的数字个数的相反数；
四、实数大小比较
1．法则：正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小；
2．数轴比较：在数轴上，左边的数小于右边的数；
四、实数的运算
1．运算顺序：先算乘方与开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面
的，再算括号外面的；
2．运算律：加法交换律和结合律，乘法交换律和结合律，乘法分配律；
3．指数幂的运算： ，当n为正偶数时，（-1）n=1，当n为正奇
数时，（-1）n=-1；
五、非负数的性质
1．常见的非负数： ；
2．非负数就是正负数和零，非负数的最小值是0；
3．非负数的和是非负数，积是非负数；
4．若n个非负数的和为0，那么这n个数都为0；
名师解读《义务教育数学课程标准》（2022年版）
学业要求：理解负数的意义，会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量，理
解有理数的意义；，能用数轴上的点表示有理数，能借助数轴体会相反数和绝对值的
意义，初上体会数形结合的思想方法；能比较有理数的大小，能坟有理数的相反数和
绝对值wf运用乘方的意义准确进行有理数的乘方运算；能熟练地对有理数进行加、减、
乘、除、乘方运算（以三步以内为主），理角有理数的运算律，能合理运用运算律简
化运算，能运用有理数的运算解决简单问题；
试卷第2页，共3页了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，感悟数的扩充；初步认识实灵
敏与数轴上的点具有一一对应关系，能用实轴上的点表示一些具体的实数，能比较实
数的大小；会求实数的相反数和绝对值；初步认识近似数，在解决实际问题中，能用
计算器进行近似计算，会按问题要求进行简单的近似计算，会对结果取近似值；
【例1】
（2023·广东深圳·统考中考真题）
1．如果 °C表示零上10度，则零下8度表示（ ）
A． B． C． D．
【变1】
（2023·湖南永州·统考中考真题）
2．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正
负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“ ”，则“ ”表示（ ）
A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮
食
【例2】
（2023·四川凉山·统考中考真题）
3．下列各数中，为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【变1】
（2022·湖南常德·统考中考真题）
4．在 ， ， ， ，2022这五个数中无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例1】
（2023·海南·统考中考真题）
5．如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）A．1 B．0 C． D．
【变1】
（2023·四川自贡·统考中考真题）
6．如图，数轴上点A表示的数是2023， ，则点B表示的数是（ ）
A．2023 B． C． D．
【例2】
（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）
7． 的绝对值是( )
A． B．10 C． D．
【变1】
（2023·浙江衢州·统考中考真题）
8．手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位： ），
则下列信号最强的是（ ）
A． B． C． D．
【例1】
（2023·湖南益阳·统考中考真题）
9．四个实数 ，0，2， 中，最大的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【变1】
（2023·江苏扬州·统考中考真题）
10．已知 ，则a、b、c的大小关系是( )
A． B． C． D．
【例2】
（2023·江苏·统考中考真题）
11．实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）．
试卷第4页，共3页A． B． C． D．
【变1】
（2023·山东·统考中考真题）
12．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例1】
（2023·西藏·统考中考真题）
13．已知a，b都是实数，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C．1 D．2023
【变1】
（2023·山东·统考中考真题）
14． 的三边长a，b，c满足 ，则 是
（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角
形
【例1】
（2023·河南·统考中考真题）
15．计算： ；
【变1】
（2023·青海西宁·统考中考真题）
16．计算： ．【例2】
（2023·江苏宿迁·统考中考真题）
17．计算： ．
【变1】
（2023·湖南湘西·统考中考真题）
18．计算： ．
【例1】
（2023·海南·统考中考真题）
19．共享开放机遇，共创美好生活．2023年4月10日至15日，第三届中国品博览会
在海南省海口市举行，以“打造全球消费精品展示交易平台”为目标，进场观众超32
万人次，数据 用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【变1】
（2023·湖北黄石·统考中考真题）
20．据《人民日报》（2023年5月9日）报道，我国海洋经济复苏态势强劲，在建和
新开工的海上风电项目建设总规模约为18000000千瓦，比上年同期翻一番其中
18000000用科学记数法表示为 ．
一、选择题
（2023·湖南·统考中考真题）
21．中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家．若收入500
元记作 元，则支出237元记作（ ）
A． 元 B． 元 C．0元 D． 元
（2023·西藏·统考中考真题）
22．2023年1月18日，国务院新闻办公室介绍了2022年知识产权相关工作情况，截
至2022年底，我国发明专利有效量为 万件．将数据 用科学记数法表示
为（ ）
试卷第6页，共3页A． B． C． D．
（2023·湖北荆州·统考中考真题）
23．在实数 ， ， ， 中，无理数是（ ）
A． B． C． D．3.14
（2023·山东潍坊·统考中考真题）
24．在实数1，－1，0， 中，最大的数是（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．
（2023·江苏徐州·统考中考真题）
25．如图，数轴上点 分别对应实数 ，下列各式的值最小的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·山东潍坊·统考中考真题）
26．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
（2023·甘肃武威·统考中考真题）
27．近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，
如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度
10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一
号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测
海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“ 米”，那么海平面以下
10907米记作“ 米”．
（2022·江苏连云港·统考中考真题）
28．写出一个在1到3之间的无理数： ．
（2023·宁夏·统考中考真题）29．如图，点 ， ， 在数轴上，点 表示的数是 ，点 是 的中点，线段
，则点 表示的数是 ．
（2023·湖南·统考中考真题）
30．已知实数a，b满足 ，则 ．
（2023·四川内江·统考中考真题）
31．在 中， 的对边分别为a、b、c，且满足
，则 的值为 ．
（2023·广东广州·统考中考真题）
32．近年来，城市电动自行车安全充电需求不断攀升．截至2023年5月底，某市已建
成安全充电端口逾280000个，将280000用科学记数法表示为 ．
（2023·山东·统考中考真题）
33．计算： ．
三、解答题
（2023·湖南益阳·统考中考真题）
34．计算： ．
（2023·湖北十堰·统考中考真题）
35．计算： ．
（2023·浙江·统考中考真题）
36．计算： ．
（2023·内蒙古·统考中考真题）
37．计算： ．
试卷第8页，共3页（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）
38．计算： ．参考答案：
1．B
【分析】根据“负数是与正数互为相反意义的量”即可得出答案．
【详解】解：因为 °C表示零上10度，
所以零下8度表示“ ”．
故选B
【点睛】本题考查正负数的意义，属于基础题，解题的关键在于理解负数的意义．
2．A
【分析】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解．
【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为“ ”，则“ ”表示运出30吨粮食．
故选：A
【点睛】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关
键．
3．A
【分析】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得．
【详解】解：A、 ，是有理数，则此项符合题意；
B、 是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意；
C、 是无理数，则此项不符合题意；
D、 是无理数，则此项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键．
4．A
【分析】根据无理数的概念，无限不循环小数是无理数即可判断．
【详解】解：在 ， ， ， ，2022这五个数中无理数为 和 ，共2个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查无理数的概念，掌握无理数的概念是解题的关键．
5．A
【分析】根据数轴可知点A表示的数是 ，再根据相反数的定义，即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是 ，的相反数是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，相反数，掌握相反数的定义是解题关键．
6．B
【分析】根据数轴的定义求解即可．
【详解】解；∵数轴上点A表示的数是2023， ，
∴ ，
∴点B表示的数是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
7．A
【分析】根据“正数的绝对值是它本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是它的相反数”求
解即可．
【详解】解：因为 为负数，
所以 的绝对值为 ，
故选A．
【点睛】本题主要考查求绝对值，掌握“正数的绝对值是它本身，0的绝对值为0，负数的
绝对值是它的相反数”是解题的关键．
8．A
【分析】根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答．
【详解】解： ，
则信号最强的是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，负数比较大小时，绝对值大的反而小，熟知比较
法则是解题的关键．
9．C
【分析】根据实数的大小比较法则，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴最大的数是2．
答案第2页，共2页故选：C
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．
10．C
【分析】由 ， ，进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
11．D
【分析】根据实数在数轴上的位置，判断实数的大小关系，即可得出结论．
【详解】解：由图可知， ， ，
A、 ，错误；
B、 ，错误；
C、 ，错误；
D、 ，正确；
故选D．
【点睛】本题考查利用数轴比较实数的大小关系．正确的识图，掌握数轴上的数从左到右
依次增大，是解题的关键．
12．C
【分析】根据数轴可得， ，再根据 逐项判定即可．
【详解】由数轴可知 ，
∴ ，故A选项错误；
∴ ，故B选项错误；
∴ ，故C选项正确；
∴ ，故D选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查实数与数轴，根据 进行判断是解题关键．13．B
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可求解a，b的值，再代入计算可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】此题考查了绝对值与偶次方非负性的应用，解题关键是利用非负性求出a、b的值．
14．D
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由
的关系，可推导得到 为直角三角形．
【详解】解∵
又∵
∴ ，
∴
解得 ，
∴ ，且 ，
∴ 为等腰直角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和
答案第4页，共2页为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理．
15．
【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握实数运算的法则是解题的关键．
先求绝对值、算术平方根和负整指数幂，再进行加减计算即可．
【详解】解：原式 ．
16．
【分析】计算乘方、化简绝对值、计算零指数幂，再进行加减运算即可得到答案．
【详解】解：原式
.
【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17．
【分析】根据去绝对值运算、零指数幂运算及特殊角的三角函数值分别计算后，再根据二
次根式加减运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查二次根式加减运算，涉及去绝对值运算、零指数幂运算及特殊角的三角
函数值，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
18．1
【分析】先计算零次幂，特殊角的正弦值，负指数幂，求解绝对值，再合并即可．
【详解】解：
．【点睛】本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础也是重要知识点，必须熟练掌
握，同时考查了特殊角的三角函数值，零次幂的含义，熟练掌握零次幂，特殊角的正弦值
以及负指数幂的运算法则是解题的关键．
19．B
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解： ，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
20．
【分析】将一个数表示为 的形式，其中 ，n为整数，这种记数方法叫做
科学记数法，据此即可得出答案．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练
掌握．
21．B
【分析】根据相反意义的量的意义解答即可．
【详解】∵收入500元记作 元，
∴支出237元记作 元，
故选B．
【点睛】本题考查了相反意义的量，正确理解定义是解题的关键．
22．B
【分析】科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
答案第6页，共2页当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
23．B
【分析】根据无理数的特征，即可解答．
【详解】解：在实数 ， ， ， 中，无理数是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的特征，即为无限不循环小数，熟知该概念是解题的关键．
24．D
【分析】正数大于0，负数小于0，两个正数；较大数的算术平方根大于较小数的算术平方
根．
【详解】解： ，∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查实数的大小比较，二次根式的化简，掌握二次根式的性质公式是解题的
关键．
25．C
【分析】根据数轴可直接进行求解．
【详解】解：由数轴可知点C离原点最近，所以在 、 、 、 中最小的是 ；
故选C．
【点睛】本题主要考查数轴上实数的表示、有理数的大小比较及绝对值，熟练掌握数轴上
有理数的表示、有理数的大小比较及绝对值是解题的关键．
26．C
【分析】根据数轴的性质可得 ， ，据此逐项判断即可得．
【详解】解：由数轴可知， ， ．
A、 ，则此项错误，不符合题意；B、 ，则此项错误，不符合题意；
C、 ，
，则此项正确，符合题意；
D、 ，
，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
27．
【分析】根据正负数表示相反的意义解答即可．
【详解】解：把海平面以上9050米记作“ 米”，则海平面以下10907米记作
米，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了正负数的理解：在一个事件中，规定一个量为正，则表示相反意义的
量为负，正确理解正负数表示一对相反的意义的量是解题的关键．
28． (答案不唯一)
【分析】由于12=1，32=9，所以只需写出被开方数在1和9之间的，且不是完全平方数的
数即可求解．
【详解】解：1和3之间的无理数如 ．
故答案为： (答案不唯一)．
【点睛】本题主要考查常见无理数的定义和性质，解题关键是估算无理数的整数部分和小
数部分．
29．
【分析】根据两点间的距离公式和中点平分线段进行计算即可．
【详解】解：∵点 是 的中点，线段 ，
∴ ，
答案第8页，共2页∴点 表示的数是： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，以及线段的中点．熟练掌握线段中点的定义，以
及数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
30．
【分析】由非负数的性质可得 且 ，求解a，b的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 且 ，
解得： ， ；
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，偶次方的非负性的应用，负整数指数幂的含义，
理解非负数的性质，熟记负整数指数幂的含义是解本题的关键．
31． ##
【分析】由 ，可得 ，求解
，证明 ，再利用正弦的定义求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
解得： ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，算术平方根，绝对值，偶次方的非负
性，勾股定理的逆定理的应用，锐角的正弦的含义，证明 是解本题的关键．
32．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ，n为整数，
据此判断即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为 ，其中
，确定 与 的值是解题的关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数
点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；
当原数的绝对值小于1时，n是负数．
33．
【分析】根据零次幂、负整数指数幂和立方根的性质化简，然后计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零次幂、负整数指数幂和立方根的性质是
解题的关键．
34．
【分析】先化简绝对值，计算二次根式的乘方运算，有理数的乘法运算，再合并即可．
答案第10页，共2页【详解】解：
．
【点睛】本题考查的是化简绝对值，二次根式的乘方运算，实数的混合运算，掌握实数的
混合运算的运算法则是解本题的关键．
35．
【分析】先化简绝对值、计算负整数指数幂、零指数幂，再进行实数混合运算即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了实数的混合运算，涉及负整数指数幂、零指数幂及绝对值的计算，熟
练掌握相关运算法则是解题的关键．
36．2
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的意义分别化简，再
利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【详解】原式 ．
【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，绝对值的意义，掌握
这些知识并正确计算是解题关键．
37．
【分析】根据实数的混合运算法则即可求解．
【详解】原式
【点睛】本题考查实数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值、求绝对值法则，负指数幂的运算法则是解题关键．
38．10
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，
进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂
运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，准确计算．
答案第12页，共2页
