文档内容
模块四 思想全把握
专题 8 建模思想
为了更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性地描述一个实际现象，人们采用一种普
遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学．使用数学语言描述的事
物就称为数学模型．有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数
学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替
代．
义务教育数学课程标准指出：模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰
的认识，知道数学建模是数学与现实联系的基本途径；初步感知数学建模的基本过程，
从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表
示数学问题中的数量 关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义．
考点解读：用代数式表示实际问题，探究数式的规律，比较数式的大小，通过数式运
算得出结果，体验运算结果的意义．
【例1】
（2022·湖南怀化·统考中考真题）
1．正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是 ．
【变1】
（2022·浙江舟山·中考真题）
2．观察下面的等式： ， ， ，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
考点解读：通过对实际问题的调查得出数据，利用统计图表整理数据并分析数据，提
供解决问题的一些策略和方法；通过列表或画树状图求随机事件发生的概率，体验概
率的意义；利用几何模型解决问题，提高对图形的感知能力．
【例1】
（2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考三模）
3．【阅读材料】
如图， 、 相交于点 ， 是 中点， ，求证： 是
教材
习题 中点．
问题
由条件易证 ，从而得到 ，即点 是 的中点
分析
方法
构造“平行 字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法
提取
试卷第2页，共3页请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知 中， ，点 在边 上，点 在边 的延长线上，
连接 交 于点 ．
(1)如图1，若 ， ，求证：点 是 的中点；
(2)如图2，若 ， ，探究 与 之间的数量关系；
【灵活应用】如图3， 是半圆 的直径，点 是半圆上一点，点 是 上一点，
点 在 延长线上， ， ， ，当点 从点 运动到点 ，点
运动的路径长为______， 扫过的面积为______．
【变1】
（2023·甘肃武威·统考中考真题）
4．【模型建立】
（1）如图1， 和 都是等边三角形，点 关于 的对称点 在 边上．
①求证： ；
②用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2， 是直角三角形， ， ，垂足为 ，点 关于
的对称点 在 边上．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的值．考点解读：找出实际问题中的数量关系和变化规律，用数学符号建立方程、不等式，
求出结果并讨论结果的意义．
【例1】
（2023·四川德阳·统考中考真题）
5．2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源
装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现
会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，
规划面积 平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建
“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独
施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工
程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工
程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队
完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超
过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安
排方式所支付费用最低？
【变1】
（2020·山东青岛·中考真题）
6．实际问题：
某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时
可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一
次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．
试卷第4页，共3页某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金
额？
问题建模：
从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取 个整数，这
个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解
决问题的方法．
探究一：
（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
所取的2个整数 1，2 1，3， 2，3
2个整数之和 3 4 5
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小
是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结
果？
表②
1， 2，
所取的2个整数 1，2 1，4 2，4 3，4
3， 3
2个整数之和 3 4 5 5 6 7
如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其
中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不
同的结果．
（4）从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取2个整数，这2个
整数之和共有______种不同的结果．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的
结果．
（2）从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取3个整数，这3个
整数之和共有______种不同的结果．探究三：
从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取4个整数，这4个整数之
和共有______种不同的结果．
归纳结论：
从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取 个整数，这
个整数之和共有______种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任
意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和
共有204种不同的结果？（写出解答过程）
（2）从3，4，5，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取
个整数，这 个整数之和共有______种不同的结果．
考点解读：找出实际问题中的变量及变量之间的变化关系，用数学符号建立函数，利
用函数的解析式、表格、图象来刻画变量之间的关系，求出结果并讨论结果的意义．
【例1】
（2022·山东潍坊·中考真题）
7．某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小
莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田
年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图．
试卷第6页，共3页小亮认为，可以从y=kx+b(k>0) ，y= (m>0) ，y=−0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，
模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．
(1)小莹认为不能选 ．你认同吗？请说明理由；
(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变
化趋势，并求出函数表达式；
(3)根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最
大是多少？
【变1】
（2023·浙江台州·统考中考真题）
8．【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透
明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始
放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
3
水面高度h/cm（观察值） 29 28.1 27 25.8
0
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“ ， ”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均
匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2 利用 时， ； 时， 这两组数据求水面高度h与流水时间t
的函数解析式．【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组
决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式
求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越
小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过 的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接
读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
一、选择题
（2023·山东淄博·统考二模）
9．如图为某三岔路口交通环岛的简化模型．在某高峰时段，单位时间进出路口A，
B，C的机动车辆数如图所示．图中 分别表示该时段单位时间通过路段
的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与
驶出的车辆数相等），则 的大小关系（用“ ”“ ”或“ ”连接）是
（ ）
A． B． C． D．
（2019·湖北宜昌·统考中考真题）
10．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积
的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 ， ， ，记
试卷第8页，共3页，那么三角形的面积为 如图，在 中，
， ， 所对的边分别记为 ， ， ，若 ， ， ，则 的面
积为（ ）
A． B． C． D．
（2023·青海西宁·统考中考真题）
11．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五
寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩
余 尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余 尺．问木长多少尺？设木长 尺，绳长
尺，根据题意列方程组得（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
（2023·湖南湘西·校考二模）
12．在数学实践活动中，某同学用一张如图①所示的矩形纸板制做了一个扇形，并由
这个扇形围成一个圆锥模型（如图②所示），若扇形的圆心角为 ，圆锥的底面半
径为2，则此圆锥的母线长为 ．
（2022·河北·统考中考真题）
13．如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．
（1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑
子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝ ；
（2）设甲盒中都是黑子，共 个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个；接
下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有 个白子，此时乙盒
中有y个黑子，则 的值为 ．
（2020·广东·统考中考真题）
14．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老
鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的
线或点，模型如图， ，点 ， 分别在射线 ， 上， 长度始终
保持不变， ， 为 的中点，点 到 ， 的距离分别为4和2．在此滑
动过程中，猫与老鼠的距离 的最小值为 ．
三、解答题
（2022·广东深圳·模拟预测）
15．【建模】某班开端午联欢会，生活委员彤彤先购买了2个装饰挂件共计3元，又
购买了单价为2元的粽形香囊x个，设y（元）是所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格，
则y与x的关系式为 ．
【探究】根据函数的概念，彤彤发现：y是x的函数．结合自己学习函数的经验，为了
更好地研究这个函数，彤彤打算先脱离实际背景，对该函数的完整图象与性质展开探
试卷第10页，共3页究．请根据所给信息，将彤彤的探究过程补充完整：
（1）列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣1 0 …
y … …
（2）在平面直角坐标系中描点、连线，画出该函数图象：
（3）观察图象，彤彤发现以下性质：
①该函数图象是中心对称图形，对称中心是 ；
②该函数值y不可能等于 ；
③当x＞﹣2时，y随x的增大而 （填“增大”或者“减小”），当x＜﹣2时，亦是如
此．
【应用】根据上述探究，结合实际经验，彤彤得到结论：粽形香囊越多，所购买物品
的平均价格越 （填“高”或者“低”），但不会突破 元．
（2023·广东深圳·校考模拟预测）
16．【问题情境】
（1）爱探究的小明在做数学题时遇到这样一个问题：如图 ， 是 的直径， 是
上的一动点，若 ，则 面积的最大值为 ．请帮小明直接填空；
【模型归纳】
（2）小明在完成填空后，对上面问题中模型进行如下归纳：如图 ， 是 的弦，是 优弧上的一动点，过 点作 于 点，当且仅当 经过圆心 时，
最大．请帮助小明完成这个结论的证明；
【模型应用】
（3）如图 是四边形休闲区域设计示意图 ，已知 ，
，休闲区域内原有一条笔直小路 的长为 米，现为了市民在该区域内散
步方便，准备再修一条长为 米的小路 ，满足点 在边 上，点 在小路
上．按设计要求需要给图中阴影区域（即 与四边形 ，小路宽度忽略不
计）种植花卉，为了节约成本且满足设计需求，阴影部分的面积要尽可能的小．请问，
是否存在符合设计要求的方案？若存在，请直接写出阴影部分面积的最小值；若不存
在，请说明理由．
（2023河南郑州模拟）
17．阅读理解
半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两
边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等
三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．
【问题背景】
如图1，在四边形 中， 分别是
上的点， ，试探究图1中线段 之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长 到点 ，使 ，连接 ，
先证明 ，再证明 ，则可得到线段 之间的数
量关系是______________．
【探索延伸】
如图2，在四边形 中， ， 分别是 上的点，
试卷第12页，共3页，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（ 处）北偏西 的 处，舰艇乙在
指挥中心南偏东 的 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰
艇甲向正东方向以 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 的方向以 海里/小
时的速度前进， 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 处，且两舰
艇之间的夹角 为 ，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．
（2023·山西忻州·统考模拟预测）
18．近几年，我国快递市场跟随电商经历了爆发式增长，快递已成为人们生活的一部
分．越来越多的人选择通过快递公司代办点邮寄包裹，那么选择哪家快递公司更合算
呢？以此为驱动问题，某校八年级开展了项目学习．以下是李华同学帮家人选择更优
惠的快递公司的活动报告（不完整），请仔细阅读并完成相应任务．
为家人选择更优惠的快递公司活动报告
一、收集信息
经了解我家附近有甲、乙两个不同的快递公司代办点，服务质量同等，爸爸妈妈邮寄
快递通常是随机去其中的一个代办点．他们邮寄的快递都是省外且在 以内，体积
一般较小．快递费通常是由首重费和续重费组成，以 为单位计费，不足 按
计费．取实际重量和体积重量（长 宽 高 ，单位 ）中两者较大值作为物品重
量计费．
甲、乙两个代办点省外邮寄费用标准如下：
甲：首重 收费8元，续重5元 ；（即所寄物品重量不超过 时收费8元，重
量超过 时超过部分按每千克加收5元计费）
乙：首重 收费10元，续重4元 ．
二、建立模型１．发现所寄物品的快递费用 （元）与物品重量 之间存在函数关系， 与 之
间的关系式为：
在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象（如图，不完整），两图象交于点 ．
三、解决问题
我们可以根据图象推断哪个快递公司更优惠．结论如下：
……
任务：
(1)请将函数图像补充完整（在图中画出 的函数图象），直接写出点 的坐标，并根
据图象推断哪个快递公司更优惠．
(2)同一个问题可以有不同的解决策略，李华借助一次函数的图象解决了这个问题，请
你想想，此问题还可以借助哪些知识解决．
(3)同一策略可以帮助我们解决生活中的许多共性问题，例如以上策略还可以解决哪款
手机套餐资费更划算的问题，请你再举出一个利用以上策略解决的实际问题．
（2023·山东济宁·济宁学院附属中学校考二模）
19．阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．前苏联在1964年根据阿尔·比鲁尼
本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长
弦上的射影，就是折弦的中点．
【定理模型】如图①，已知 和 是 的两条弦（即折线 是 的一条折
弦）， ，M是 的中点，那么从M向弦 作垂线的垂足D是折弦
试卷第14页，共3页的中点，即 ．
下面是运用“补短法”证明 的部分证明过程：
如图②，延长 至点F，使 ，连接 ，…
【定理证明】
(1)按照上面思路，写出剩余部分的证明过程．
【问题解决】
(2)如图③， 内接于 ，已知 ，D为 上一点，连接 ，
， ，求 的周长．
（2023·陕西宝鸡·统考三模）
20．在学习对称的知识点时，我们认识了如下图所示的“将军饮马”模型求最短距离．
问题提出：
(1)如图1所示，已知A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，并连接
与 ，使 的值最小．
问题探究：
(2)如图2所示，正方形 的边长为2，E为 的中点，P是 上一动点．连接
和 ，则 的最小值是___________；
问题解决：(3)某地有一如图3所示的三角形空地 ，已知 ，P是 内一点，连
接 后测得 米，现当地政府欲在三角形空地 中修一个三角形花坛 ，
点 分别是 边上的任意一点（不与各边顶点重合），求 周长的最小
值．
（2023·北京丰台·二模）
21．学校新建的体育器材室的一面外墙如图1所示，它的轮廓由抛物线和矩形
构成．数学兴趣小组要为器材室设计一个矩形标牌 ，要求矩形 的顶点
E，H在抛物线上，顶点F，G在矩形 的边 上．为了设计面积最大的矩形
，兴趣小组对矩形 的面积与它的一边 的长之间的关系进行研究．
具体研究过程如下，请补充完整．
(1)建立模型：
以 的中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系 ，通过研究发现，抛
物线满足函数关系 ．设矩形 的面积为 ， 的长为
，则另一边 的长为_______m（用含a的代数式表示），得到S与a的关系式为：
_________ ；
(2)探究函数：
列出S与a的几组对应值：
试卷第16页，共3页… 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 …
… 0.49 0.94 1.29 1.50 1.52 1.31 0.82 …
在下面的平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点，并画出该函数的图象；
(3)解决问题：
结合函数图象得到， 的长约为__________m时，矩形面积最大．
（2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模）
22．问题提出：
（1）在学习几何时，我们可以通过构造基本图形，将几何“模型”化．例如在三角形
全等与三角形的相似的学习过程中，“K”字形是非常重要的基本图形．如图1，已知：
，D、C、E三点共线， ，由 易证
；
如图2，已知： ，D，C，E三点共线，若 、
、 ，则 的长为______；
问题探究：（2）①如图3，已知： ， ， 、
C、E三点共线，求证： ；
②如图4，已知点 ，点B在直线 上，若 ，则此时点B的
坐标为______；问题拓展：
（3）如图5，正方形 中，点G是 边上一点， ， ，垂足分
别为F、E．若 ，四边形 的面积等于10，求正方形 的面积．
（4）如图6，正方形 中，点E、F分别在 、 边上， ，连接 、
DF，则 的最小值是______．
（2023·河南郑州·郑州市第八中学校考二模）
23．由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角
顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种
模型称为“手拉手模型”．
(1)【问题发现】
如图1所示，两个等腰直角三角形 和 中， ， ，
，连接 、 ，两线交于点P， 和 的数量关系是 ；
和 的位置关系是 ；
(2)【类比探究】
如图2所示，点P是线段 上的动点，分别以 、 为边在 的同侧作正方形
与正方形 ，连接 分别交线段 、 于点M、N．
①求 的度数；
②连接 交 于点H，直接写出 的值；
(3)【拓展延伸】
试卷第18页，共3页如图3所示，已知点C为线段 上一点， ， 和 为 同侧的两个
等边三角形，连接 交 于N，连接 交 于M，连接 ，直接写出线段
的最大值．
（2023·山西大同·校联考模拟预测）
24．阅读与思考
下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应的任务：
由一道习题引发的思考−−“十字架模型”的拓展研究
在我们教材上，有这样一道习题：如图1，四边形 是一个正方形花园，E，F是
它的两个门，要修建两条路 和 ，且使得 ，那么这两条路等长吗？为什
么？
对于上面问题，我是这样思考的：
∵四边形 是正方形，∴ ， ．
又∵ ，∴
∴ ，（依据*）
∴ ，∴ ．
有趣的是对于两个端点分别在正方形 一组对边上的线段，若这样的两条线段互
相垂直，是否这两条线段仍然相等呢？对此我们可以做进一步探究：
如图2，在正方形 中，若点M、N、P、Q分别是 、 、 、 上的任
意四点，且 ，垂足为O，则 仍然与 相等．理由如下：
过点M作 ，垂足为E，过点P作 ，垂足为F．则容易证明四边形
和 均为矩形，
∴ ， ．∵ ，∴
在四边形QOND中，∵ ，
…
任务：任务：根据上面小论文的分析过程，解答下列问题：
(1)画横线部分的“依据*”是__________________________．
(2)在小论文的分析过程，主要运用的数学思想有：_______．（从下面选项中填出两
项）．
A．转化思想 B．方程思想 C．由特殊到一般的思想 D．函数思想
(3)请根据小论文提供的思路，补全图2剩余的证明过程．
（2023·广东深圳·统考模拟预测）
25．深圳地铁16号线（Shenzhen Metro Line 16），又称“深圳地铁龙坪线”，是深圳市境内第16条建成运营的地铁线路，于2022年12月28日开通运营一期工程（大运
站至田心站）．
数学小组成员了解到16号线地铁进入某站时在距离停车线400米处开始减速．他们想
了解地铁从减速开始，经过多少秒在停车线处停下？
为解决这一问题，数学小组建立函数模型来描述地铁列车车头离停车线的距离s（米）
与时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应问题．
(1)【建立模型】
①收集数据：
t（秒） 0 4 8 12 16 20 24 28 …
32 19
s（米） 400 256 144 100 64 36 …
4 6
②绘制图象：
在平面直角坐标系中描出所收集数据对应的点，并用光滑的曲线依次连接．
③猜想模型：
观察这条曲线的形状，它可能是 函数的图象．（请填写选项）
A．一次 B．二次 C．反比例
④求解析式：
请根据表格的数据，求出s关于t的解析式（自变量t的取值范围不作要求）．
试卷第20页，共3页⑤验证结论：
将数据中的其余几对值代入所求的解析式，发现它们 满足该函数解析式．（填“都”
或“不都”）
(2)【问题解决】
地铁从减速开始，经过 秒在停车线处停下．
(3)【拓展应用】
已知16号地铁列车在该地铁站经历的过程如下：
进站：车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒；
停靠：列车停靠时长为40秒（即列车停稳到再次启动停留的时间为40秒）；
出站：列车再次启动到列车车头刚好出站，用时5秒．
数学小组经计算得知，在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离s（米）与时
间t（秒）的函数关系变为 ，请结合函数图象，求出该地铁站的
长度是 米．参考答案：
1．744
【分析】由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），计算出第27行
最后一个偶数，再减去与第21位之差即可得到答案．
【详解】由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），
∴第27行的最后一个数，即第27个数为 ，
∴第27行的第21个数与第27个数差6位数，即 ，
故答案为：744．
【点睛】本题考查数字类规律的探究，根据已知条件的数字排列找到规律，用含n的代数
式表示出来由此解决问题是解题的关键．
2．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分
母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个
分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为
．
（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为 ，用分式的加法计算式子右
边即可证明．
【详解】（1）解：∵第一个式子 ，
第二个式子 ，
第三个式子 ，
……
∴第（n+1）个式子 ；（2）解：∵右边= =左边，
∴ ．
【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发
现其中各分母的变化规律．
3．(1)见解析；(2) ；【灵活应用】 ，
【分析】（1）过点 作 ，证 ，即可得点 是 的中点；
（2）过点 作 ，可证 ，得 ，由 ， ，
得 ，再证 ，可得 ，由平行线分线段成比例得
，由 ，可得 ， ，即可得出
；
[灵活应用]：由题意可得 ，过点 作 ，则 ，可得
，进而可得 ，证 ，可知 ，过点 作 ，
则 ， ，可得点 在以 为直径的半圆上运动，可求得 运动的路
径长度，过点 作 ，则 ， ，则点 在以 为直径的半圆
上运动，可知 扫过的面积为以 为直径的半圆与以 为直径的半圆的面积之差，即
可求得答案．
【详解】解：（1）证明： ， ，
，
过点 作 ，则 ， ，
答案第2页，共2页是等腰直角三角形，则 ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
点 是 的中点；
（2）过点 作 ，则 ，
， ，则 ，
，
，
， ，
，
又 ，
，
，
，，
则 ，
，
；
[灵活应用]：
是半圆 的直径，点 是半圆上一点，
，
过点 作 ，则 ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
答案第4页，共2页，
过点 作 ，则 ， ，
，
， ，
，则 ，
，
点 在以 为直径的半圆上运动，
运动的路径长为：
过点 作 ，则 ， ，
，
，
点 在以 为直径的半圆上运动，
则 扫过的面积为以 为直径的半圆与以 为直径的半圆的面积之差，
即： 扫过的面积为
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线分线段成
比例，圆周角定理，动点的运动路径，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．4．（1）①见解析；② ，理由见解析；（2） ，理由见解
析；（3）
【分析】（1）①证明： ，再证明 即可；②由 和
关于 对称，可得 ．证明 ，从而可得结论；
（2）如图，过点 作 于点 ，得 ，证明 ，
．可得 ，证明 ， ，可得
，则 ，可得 ，从而可得结论；
（3）由 ，可得 ，结合 ，求解
， ，如图，过点 作 于点 ．可得 ，
，可得 ，再利用余弦的定义可得答案．
【详解】（1）①证明：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
答案第6页，共2页② ．理由如下：
∵ 和 关于 对称，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
（2） ．理由如下：
如图，过点 作 于点 ，得 ．
∵ 和 关于 对称，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ 是直角三角形， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，即 ．
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
如图，过点 作 于点 ．
∵ ，
∴ ，
．
∴ ．
答案第8页，共2页∴ ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，
轴对称的性质，锐角三角函数的灵活应用，本题难度较高，属于中考压轴题，作出合适的
辅助线是解本题的关键．
5．(1)乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
(2)甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最
低为 万元．
【分析】（1）设乙单独完成需要 个月，由“乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工
10个月恰好完成任务．”建立分式方程求解即可；
（2）由题意可得： ，可得 ，结合 ， ，可得 ，
结合 都为正整数，可得 为3的倍数，可得甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，
从而可得答案．
【详解】（1）解：设乙单独完成需要 个月，则
，
解得： ，
经检验 是原方程的解且符合题意；
答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
（2）由题意可得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得： ，∵ 都为正整数，
∴ 为3的倍数，
∴ 或 或 ，
∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，
方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为： （万元），
方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为： （万元），
方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为： （万元），
∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为 万元．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，
确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
6．探究一：（3） ；（4） （ ， 为整数）；探究二：（1） （2） ；
探究三： 归纳结论： （ 为整数，且 ， ＜ ＜ ）；问题解决：
；拓展延伸：（1） 个或 个；（2） ．
【分析】探究一：
（3）根据（1）（2）的提示列表，可得答案；
（4）仔细观察（1）（2）（3）的结果，归纳出规律，从而可得答案；
探究二：
（1）仿探究一的方法列表可得答案；
（2）由前面的探究概括出规律即可得到答案；
探究三：
根据探究一，探究二，归纳出从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取
4个整数的和的结果数，
再根据上面探究归纳出从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取
个整数，这 个整数之和的结果数；
问题解决：
利用前面的探究计算出这5张奖券和的最小值与最大值，从而可得答案；
拓展延伸：
答案第10页，共2页（1）直接利用前面的探究规律，列方程求解即可，
（2）找到与问题等价的模型，直接利用规律得到答案．
【详解】解：探究一：
（3）如下表：
取的2个整数
2个整数之和
所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9也就是从3到9的连续整数，其中最小
是3，最大是9，所以共有7种不同的结果．
（4）从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取2个整数，这2个整数
之和的最小值是3，和的最大值是 所以一共有 种．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，如下表：
取的3个整数 1,2,3 1,2,4 1,3,4 2,3,4
3个整数之和 6 7 8 9
从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种，
（2）从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，
这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是12,
所以从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有7种，
从而从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取3个整数，
这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是
所以一共有 种，
探究三：
从1，2，3，4，5这5个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是 最大是 ，
所以这4个整数之和一共有5种，
从1，2，3，4，5，6这6个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是 最大是 ，
所以这4个整数之和一共有9种，
从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取4个整数，这4个整数之和的最小值是10，和的最大值是 ，
所以一共有 种不同的结果．
归纳结论：
由探究一，从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取2个整数，这2个
整数之和共有 种．
探究二，从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取3个整数，这3个整
数之和共有 种，
探究三，从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取4个整数，这4个整
数之和共有 种不同的结果．
从而可得：
从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取 个整数，这 个整
数之和共有 种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），
一次任意抽取5张奖券，这5张奖券和的最小值是15，和的最大值是490，
共有 种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1） 从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取 个整数，
这 个整数之和共有 种不同的结果．
当 有
答案第12页，共2页或
或
从1，2，3，…，36这36个整数中任取29个或7个整数，使得取出的这些整数之和共有
204种不同的结果．
（2）由探究可知：从3，4，5，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取
个整数，等同于从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整
数中任取 个整数，
所以：从3，4，5，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取
个整数，这 个整数之和共有 种不同的结果．
【点睛】本题考查的是学生自主探究，自主归纳的能力，同时考查了一元二次方程的解法，
掌握自主探究的方法是解题的关键．
7．(1)认同，理由见解析
(2)①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；
(3)在2023年或2024年总年产量最大，最大是7.6吨．
【分析】（1）根据年产量变化情况，以及反比例函数的性质即可判断；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）设总年产量为w，依题意得w=−0.1x2+x+1+0.5x+1，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：认同，理由如下：
观察①号田的年产量变化：每年增加0.5吨，呈一次函数关系；
观察②号田的年产量变化：经过点（1，1.9），（2，2.6），（3，3.1），
∵1×1.9=1.9，2×2.6=5.2，1.9≠5.2，
∴不是反比例函数关系，
小莹认为不能选 是正确的；
（2）解：由（1）知①号田符合y=kx+b(k>0)，由题意得 ，
解得： ，
∴①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；
检验，当x=4时，y=2+1=3，符合题意；
②号田符合y=−0.1x2+ax+c，
由题意得 ，
解得： ，
∴②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；
检验，当x=4时，y=-1.6+4+1=3.4，符合题意；
（3）解：设总年产量为w，
依题意得：w=−0.1x2+x+1+0.5x+1=−0.1x2+1.5x+2
=−0.1(x2-15x+ - )+2
=−0.1(x-7.5)2+7.625，
∵−0.1<0，∴当x=7.5时，函数有最大值，
∴在2023年或2024年总年产量最大，最大是7.6吨．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的应用，待定系数法求函数式，二次函数的性质，
反比例函数的性质，理解题意，利用二次函数的性质是解题的关键．
8．任务1：见解析；任务2： ；任务3：（1） ，（2） ；
任务4：见解析
【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可；
任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t
的是一次函数关系，由待定系数法求解；
任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值；
（2）设 ，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由
答案第14页，共2页此求出w的值最小时k值即可；
任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，
有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素．
【详解】解：任务1：变化量分别为， ； ；
； ；
任务2：设 ，
∵ 时， ， 时， ；
∴
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为 ．
任务3：（1）当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴
．
（2）设 ，则
．
当 时，w最小．
∴优化后的函数解析式为 ．
任务4：时间刻度方案要点：
①时间刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）．【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求
解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键．
9．C
【分析】根据题意列出代数式，然后比较大小．
，比较得出结果 ．
【详解】解： ，
；
，
；
．
故选C．
【点睛】考查了整式的加减，解题的关键是根据题意列出代数式，然后比较大小．
10．A
【分析】利用阅读材料，先计算出 的值，然后根据海伦公式计算 的面积；
【详解】 ， ， ．
，
的面积 ；
故选A．
【点睛】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．
11．A
【分析】设木长 尺，绳长 尺，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 尺；将绳
子对折再量长木，长木还剩余 尺，列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】设木长 尺，绳长 尺，根据题意列方程组得
答案第16页，共2页故选：A．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键．
12．
【分析】设此圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆
锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到 ，然后
解方程即可．
【详解】解：设母线长为l，
则 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥
底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13． 4 1
【分析】①用列表的方式，分别写出甲乙变化前后的数量，最后按两倍关系列方程，求解，
即可
②用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，按要求计算写出代数式，化简，即可
③用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，算出移动的a个棋子中有x个白子，
个黑子，再根据要求算出y，即可
【详解】答题空1：
原甲：10 原乙：8
现甲：10-a 现乙：8+a
依题意：
解得：
故答案为：4
答题空2：
原甲：m 原乙：2m
现甲1：m-a 现乙1：2m+a第一次变化后，乙比甲多：
故答案为：
答题空3：
原甲：m黑 原乙：2m白
现甲1：m黑-a黑 现乙1：2m白+a黑
现甲2：m黑-a黑+a混合 现乙2：2m白+a黑-a混合
第二次变化，变化的a个棋子中有x个白子， 个黑子
则：
故答案为：1
【点睛】本题考查代数式的应用；注意用表格梳理每次变化情况是简单有效的方法
14．
【分析】根据当 、 、 三点共线，距离最小，求出BE和BD即可得出答案．
【详解】如图当 、 、 三点共线，距离最小，
∵ ， 为 的中点，
∴ ， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点间的距离线
段最短，判断出距离最短的情况是解题关键．
答案第18页，共2页15． ；（1） ，3，4，0，1， ；（2）见解析；（3）①（﹣2，2），②2，
③增大；高，2
【分析】[建模]依据平均数的算法，可得y与x的关系式；
（1）利用函数关系式，根据自变量x的值，即可得到y的值；
（2）依据坐标，进行描点、连线，即可得到函数图象；
（3）①由函数图象可得对称中心的坐标；
②依据函数图象与直线y＝2无限接近，即可得出该函数值y不可能等于2；
③依据函数图象的增减性，即可得出y随x的增大而增大．
[应用]依据函数图象的增减性，即可得到y随x的增大而增大，函数值y与2无限接近．
【详解】解：[建模]由题意得：y与x的关系式为 ，
故答案为： ；
（1）当x＝﹣4时，y＝ ；
当x＝﹣3时，y＝3；
当x＝﹣ 时，y＝4；
当x＝﹣ 时，y＝0；
当x＝﹣1时，y＝1；
当x＝0时，y＝ ；
故答案为： ；3；4；0；1； ；
（2）如图所示：（3）①由函数图象可得，对称中心是（﹣2，2）；
②函数图象与直线y＝2无限接近，故该函数值y不可能等于2；
③由函数图象可得，当x＞﹣2时，函数图象从左往右上升，即y随x的增大而增大．
故答案为：①（﹣2，2）；②2；③增大；
[应用]由函数图象可得，当x≥0时，函数图象从左往右上升，与直线y＝2无限接近，即y
随x的增大而增大，函数值y与2无限接近，
故粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越高，但不会突破2元．
故答案为：高，2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，利用图象解决问题，从图上获取有用
的信息是解题的关键所在．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合
在一起是分析解决函数问题的一种常用方法．
16．（1） ；（2）见解析；（3）存在，且最小值为 平方米．
【分析】（ ）过P作 ，当点 运动到弧 的中点 时， ，此时 边
上的高 最大，即 的面积最大，根据三角形的面积公式求解即可；
（ ）当 经过圆心 时，把此时的 记作 ，过点 作 于点 ，连接 ，
证明四边形 为矩形，则 ，由 中， ，证明
即可；
（ ）根据题意，只需求出 的最大值即可．根据圆周角定理可得 ，作
答案第20页，共2页的外接圆，设圆心为 ，则 ，过 作 于 ，求解 、 ，
由（ ）中结论可求解 面积的最大值，再利用旋转性质求解四边形 的面积即
可求解．
【详解】（ ）解：如图，过 作 ，当点 运动到弧 的中点 时， ，
此时 边上的高 最大，即 的面积最大，最大值为 ，
故答案为： ；
（ ）证明：如图，当 经过圆心 时，把此时的 记作 ，过点 作 于点
，连接 ，
∵ ， ， ，
∴四边形 为矩形．
∴ ．
∵在 中， ，且 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故当且仅当 经过圆心 时， 最大；（ ）解：存在，且最小值为 平方米．
根据题意，要使阴影面积最小，只需 的面积最大即可，连接 ，
∵四边形 中， ， ，
∴点 、 、 、 四点共圆， ， ，
∴ ，
作 的外接圆，设圆心为 ，则 ，
∴ 为等腰直角三角形，
过 作 于 ，
∵ 米，
∴ 米， 米，
由（ ）模型归纳可得 的最大面积为 （平方米），
将 绕着点 逆时针旋转 得到 ，
则 米， ， ，
∵ ，
∴ ，即 、 、 共线，
∴四边形 的面积 的面积 （平方米），
∴阴影部分面积的最小值为 （平方米）．
答案第22页，共2页【点睛】此题考查了与圆有关的知识、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等
腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、线段垂直平分线的性质、旋转的性质、三角
形的面积公式等知识，涉及知识点较多，解答的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会
利用辅助圆解决最值问题．
17．【问题背景】 ，理由见详解；【初步探索】 ；【探索延
伸】仍然成立，理由见详解；【结论运用】
【问题背景】将 绕点 逆时针旋转 得 ， 与 重合，可证点
共线，可证 ， ，由此即可求证；【初步探索】根据
作图可证 ，再证 即可；【探索延伸】证明方法与“初
步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接 ，过点 作 轴于点 ，
证明 ， ，由此即可求解．
【详解】解：【问题背景】 ，理由如下，
如图所示，
∵ ， ，
∴将 绕点 逆时针旋转 得 ， 与 重合，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴点 共线，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，即 ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【初步探索】根据题意， ，延长 至点 ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
答案第24页，共2页【探索延伸】仍然成立，理由如下，
如图所示，延长 至点 ，使得 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，且 ，∴ ；
【结论运用】如图所示，连接 ，过点 作 轴于点 ，
根据题意可得， ， ， ， ，
∴在 中， ， ，则
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵舰艇甲向正东方向以 海里/小时的速度前进，舰艇乙以 海里/小时的速度前进，形式
小时，
∴ （海里）， （海里），
如图所示，延长 至点 ，使得 ，则 ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
答案第26页，共2页∴在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ （海里），
∴此时两舰艇之间的距离为 海里，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查四边形的综合，全等三角形的判定和性质的综合，方位角的运用，
理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的的关键．
18．(1)图见解析， ，理由见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】对于（1），根据题意补全统计图，再结合图像分析即可；
对于（2），可以结合一元一次方程和不等式解决，再解答；
对于（3），根据实际解答即可．
【详解】（1）补全函数图象如图所示：
点 的坐标为 ．
从节省费用的角度考虑，当所寄物品重量小于 时，选择甲代办点更合适；当所寄物品
重量大于 时，选择乙代办点更合适；当所寄物品重量为 时，两个代办点的收费一样；
（2）此问题还可以借助一元一次不等式、一元一次方程的知识来解决；
当 时， ，所以当所寄物品重量大于 时，选择乙代办点更合适；
当 时， ，当所寄物品重量小于 时，选择甲代办点更合适；
当 时， ，当所寄物品重量等于 时，选择甲，乙代办点都可以.
（3）答案不唯一，如选用哪款旅游套餐更划算，选用哪款共享单车更划算等，合理即可．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意并正确解题是解决问题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明 ，则 ，再证明 ，则
，由此即可得证；
（2）过点 作 交于 ，可得 为等边三角形，则 ，根据阿基米
德折线定理可得 ，然后根据 的周长等于 即可得．
【详解】（1）证明：∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：过点 作 交于 ，
答案第28页，共2页∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
由阿基米德折线定理得： ，
∴ 的周长为 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形全等的判定与性质、解直角三角形、等边三角形
的判定与性质等知识点，理解阿基米德折线定理，熟练掌握圆的相关定理是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）作 点关于 的对称点 ，连接 得到交点 即为所求，
（2）利用正方形的性质，得到 ，从而得到答案，
（3）利用等腰三角形的性质，作两次轴对称，得出结论．
【详解】（1）解：如图所示，当P点在如图所示的位置时， 的值最小；
（2）解：如下图所示，∵四边形 是正方形，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
由题意易得： ，
当D、P、E共线时，在 中，根据勾股定理得， ．
（3）解：如下图所示，分别作点P关于 ， 的对称点 ，连接 ，
交 ， 于点 ，连接 ，此时 周长的最小值等于 ．
由轴对称性质可得， ，
∴ ，
在 中，
即 周长的最小值等于 ．
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，两点之间线段最短，其中准确作出点关于对称轴
对称的对称点是解题的关键．
21．(1) ；
(2)图象见解析
答案第30页，共2页(3)
【分析】（1）把 代入 即可求出 ，然后利用
矩形面积公式即可求出S与a的关系式；
（2）在平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点，并画出该函数的图象即可；
（3）根据图象的顶点坐标即可得出答案．
【详解】（1）∵ ，
∴ ．
当 时， ，
∴ ．
∴ ．
故答案是 ； ．
（2）正确画出该函数的图象，如下图：
（3）结合函数图象可得到， 时， 取得最大值，
∴ 的长约为 时，矩形面积最大．
故答案是 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题
的关键．22．（1） ；（2）①见解析；② ，（3）17；（4）
【分析】（1）先根据角的和差可得 ，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）①先根据角的和差可得 ，再根据三角形全等的判定定理证出
，根据全等三角形的性质可得 ，然后根据线段的和差、等
量代换即可得证；
②过点A作 轴于点 ，过点B作 轴于点 ，先根据（1）的结论可得
，再根据相似三角形的性质即可得；
（3）先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理证出 ，再根据全等三角
形的性质可得 ，设 ，根据四边形 的面积等
于10建立方程，解方程可得x的值，然后利用勾股定理可得 的值，由此即可得．
（4）设正方形的边长为 ， ，则 ，
，令 ，则 ，
，利用
，当且仅当
，即 时取最小值 ，求出 的最小值.
【详解】（1）证明： ，
，
，
在 和 中，
，
答案第32页，共2页．
∴ ，
即 ，
∴
∵ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）①证明： ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
②如图，过点A作 轴于点 ，过点B作 轴于点 ，
由（1）可知， ，
，，
，
∵点B在直线 上，
∴设点B的坐标为 ，
，
，
解得 ，
，
则此时点B的坐标为 ，
故答案为： ．
（3）解：∵四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
设 ，
∵四边形 的面积等于10，
答案第34页，共2页，即 ，
，
解得 或 (不符题意，舍去)，
，
则在 中， ，
所以正方形 的面积为 ．
（4）设正方形的边长为 ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∵ ，当且仅当 ，即 时，取最小值 ，
∴当 时， 取最小值 ，
此时 有最大值 ，
有最小值 ，
有最小值 ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、正方形的
性质、勾股定理、一次函数的几何应用、一元二次方程的应用等知识点，利用函数的增减
性确定最值，正确找出相似三角形和全等三角形是解题关键．
23．(1) ，
(2)① ；②
(3)
【分析】（1）证明 ，即可得到 ， ，问题得证；
（2）①连接 、 、 ，证明 ，再证明 ，即可得
出结果；②证明 ，即有 ，即可求解；
（3）证明 为等边三角形，就有MN=CN，由条件可以得出 ，即有
，可得 ，设 为x，则有 ，用相似三角形的性质
答案第36页，共2页把 用含x的式子表示出来，从而求出 最大值．
【详解】（1）∵ ，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）①连接 、 、 ，AC
∵四边形 和四边形 是正方形，
∴ ， ， ， ， ，
，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）∵ 和 为等边三角形，
∴ ， ， ．
∴ ，
即 ．
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 为x，则有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，NC有最大值是 ，
答案第38页，共2页即点C在 的中点时，线段 最大，最大值是 ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，相似三
角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及二次函数的最值的运用．在
解答的过程中书写全等三角形时对应顶点的字母要写在对应的位置上，灵活运用顶点式求
最值．
24．(1)同角的余角相等
(2)A、C
(3)见解析
【分析】（1）根据证明过程分析即可；
（2）在小论文的分析过程，体现了转化思想和由特殊到一般的思想；
（3）通过等量代换和全等三角形的判定得到 ，即可得到 ．
【详解】（1）∵
∴
∴ ，
∴
根据同角的余角相等即可得到
故答案为：同角的余角相等．
（2）在小论文的分析过程，体现了转化思想和由特殊到一般的思想
故答案为：A、C．
（3）∴
∵
∴
∵
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了同角的余角相等，基本的数学思想，全等三角形的判定和性质，正确
理解题意是解题的关键．25．(1)③B，④ ，⑤都
(2)40
(3)
【分析】（1）③根据图象可判断是二次函数； ④利用待定系数法求出二次函数解析式；
⑤把其他数值代入进行验证即可；
（2）把 代入可得t的值，
（3）由题意可得：地铁从减速开始，经过40秒在停车线处停下；车头从进站那一刻起到
停车线处停下，用时24秒；当 时， ，可得此时站内长度为： （米），在
地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离s（米）与时间t（秒）的函数关系变为
，可得当 时， ，从而可得答案．
【详解】（1）解：③根据图象可得：观察这条曲线的形状，它可能是二次函数的图象．
故选B；
④设函数为 ，把 ， ， 代入可得：
，解得： ，
∴ ；
⑤当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
故答案为：都
答案第40页，共2页（2）∵ ，
∴ ；
∴地铁从减速开始，经过40秒在停车线处停下；
故答案为：40
（3）由题意可得：地铁从减速开始，经过40秒在停车线处停下；车头从进站那一刻起到
停车线处停下，用时24秒；
∴当 时， ，
∴此时站内长度为： （米），
∵在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离s（米）与时间t（秒）的函数关系变
为 ，
∴当 时， ，
∴整个站的长度为： （米）；
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，熟练的求解二次函数的解析式，
以及利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键．
