文档内容
模块一 中考新动向
专题 2 “迁移信息”类型
迁移，就是搬动转移，即离开原来的所在地而另换地点．迁移数学信息，就是把学生
已经获得的知识转移到新的情境中．数学信息迁移题即以学生已有的知识为基础，以
全新的数学情境为载体，以新信息为主要内容，要求考生在阅读理解的基础上提取和
运用有效信息，进而作出判断、推理、概括、运算和表述的一种题型．其形式生动活
泼、内容新颖、背景公平、设问方式灵活，同时它能有效地考查学生阅读理解能力、
探索能力、创新能力、抽象思维能力和综合运用数学知识的能力，有利于在数学教学
中深化素质教育．
近年中考试题以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，在考查基础知识的同时，
注重对考生创新意识的考查．试题遵循“相对稳定，突出重点，稳中求变，变中有新，
适度创新”的基本思路数学信息迁移题作为一类常考常新的题型更是备受青睐．心理
学理论认为，迁移是一种学习对另一种学习的影响，通俗地讲，迁移就是能够在新的
情境下运用已学的东西．中考试题中，常用定义型、类比型、开放型的方式促进信息正迁移．
考点讲解：定义型信息迁移题是近年中考中出现频率较高的题型之一，其通过定义新
概念、新运算、新法则，展现新性质，考查考生阅读、理解、内化、运用新信息解决
问题的能力．
角度1：新定义类：
【例1】
（2023·四川成都·统考中考真题）
1．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数 ， 的平方差，且 ，则称这
个正整数为“智慧优数”．例如， ，16就是一个智慧优数，可以利用
进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是
；第23个智慧优数是 ．
【变1】
（2022·甘肃兰州·统考中考真题）
2．在平面直角坐标系中， 是第一象限内一点，给出如下定义： 和
两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
(1)求点 的“倾斜系数”k的值；
(2)①若点 的“倾斜系数” ，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
试卷第2页，共3页②若点 的“倾斜系数” ，且 ，求OP的长；
(3)如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC： 运动， 是正方形ABCD上
任意一点，且点P的“倾斜系数” ，请直接写出a的取值范围．
角度2：新运算类：
【例2】
（2023·内蒙古·统考中考真题）
3．定义新运算“ ”，规定： ，则 的运算结果为（ ）
A． B． C．5 D．3
【变1】
（2023·湖南怀化·统考中考真题）
4．定义新运算： ，其中 ， ， ， 为实数．例如：
．如果 ，那么 ．
考点讲解：《义务教育数学课程标准》要求“让学生经历数学观察、数学思考、数学
表达、概括归纳、迁移运用等学习过程，体会数学是认识、理解、表达真实世界的工
具、方法和语言．”此类题目重在考查思维的灵活性、广阔性及观察与推理能力．
【例1】
（2022·青海西宁·统考中考真题）
5．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将 因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干
组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．
分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
(1)请用分组分解法将 因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将 因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦
图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角
三角形的两条直角边长分别是a和 ，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据
以上信息，先将 因式分解，再求值．
【变1】
（2023·山东潍坊·统考中考真题）
6．［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究 的值，其中 ．
例求 的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
的结果等于该正方形的面积，
即 ．
方法2：借助函数 和 的图象，观察图②可知
试卷第4页，共3页的结果等于 ， ， ，…， …等各条竖直线段的
长度之和，
即两个函数图象的交点到 轴的距离．因为两个函数图象的交点 到 轴的距为1，
所以， ．
【实践应用】
任务一 完善 的求值过程．
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知
______．
方法2：借助函数 和 的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为______，所以， ______．
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求 的值．
任务三 用方法2，求 的值（结果用 表示）．
【迁移拓展】
长宽之比为 的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的
新矩形仍是黄金矩形．
观察图⑤，直接写出 的值．
考点讲解：开放型信息迁移题主要指条件不完备或结论不明确及条件和结论都不唯一
的试题，因为此类题目答案往往不唯一，进而给考生留有较大的探索空间，此类题目
多以填空题和解答题出现．
角度1 条件开放性问题
【例1】
（2023·浙江衢州·统考中考真题）
7．已知：如图，在 和 中， 在同一条直线上．下面四个条件：
① ；② ；③ ；④ ．
试卷第6页，共3页(1)请选择其中的三个条件，使得 （写出一种情况即可）；
(2)在（1）的条件下，求证： ．
【变1】
（2023·湖南岳阳·统考中考真题）
8．如图，点 在 的边 上， ，请从以下三个选项中① ；
② ；③ ，选择一个合适的选项作为已知条件，使 为矩形．
(1)你添加的条件是_________（填序号）；
(2)添加条件后，请证明 为矩形．
角度2 结论开放性问题
【例2】
（2023·湖北黄冈·统考中考真题）
9．【问题呈现】
和 都是直角三角形， ，连接
， ，探究 ， 的位置关系．
(1)如图1，当 时，直接写出 ， 的位置关系：____________；
(2)如图2，当 时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说
明理由．
【拓展应用】(3)当 时，将 绕点C旋转，使 三点恰好在同一直
线上，求 的长．
【变1】
（2021·江苏淮安·统考中考真题）
10．【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角
形全等（简称HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若
CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 ．
【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝ （90°＜ ＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？
如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系
（用含有a、m的式子表示），并说明理由．
角度3 结构不良型问题
【例3】
（2021·贵州铜仁·统考中考真题）
11．如图， 交 于点 ，在 与 中，有下列三个条件：① ，
② ，③ ．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这
两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法，若多选的只
按第一种选法评分，后面的选法不给分）
试卷第8页，共3页（1）你选的条件为____________、____________，结论为____________；
（2）证明你的结论．
【变1】
（2023上·江苏泰州模拟）
12．如图，四边形 是矩形，给出下列几个信息：① ；② ；
③ ．从以上信息中选择两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题．
(1)你选择的条件是 ；结论是 ；（填序号）
(2)证明你构造的命题．
[素养落地]---逻辑推理
【解读素养】指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程，主
要包括两类，一类是从小范围成立的命题推断更大范围内成立的命题的推理，主要有
归纳、类比；一类是从大范围成立的命题推断小范围内也成立的推理，主要有演绎推
理．
【例1】
（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）13．定义：在平面直角坐标系 中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点
N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
(1)如图①，矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，
在点 ， ， 中，是矩形 “梦之点”的是___________；
(2)点 是反比例函数 图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个
“梦之点”H的坐标是___________，直线 的解析式是 ___________．当
时，x的取值范围是___________．
(3)如图②，已知点A，B是抛物线 上的“梦之点”，点C是抛物线的
顶点，连接 ， ， ，判断 的形状，并说明理由．
一、填空题
（2021·北京·统考中考真题）
14．如图，在矩形 中，点 分别在 上， ．只需添加一个条件
即可证明四边形 是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
试卷第10页，共3页（2023·浙江·统考中考真题）
15．如图，在 与 中， ，请添加一个条件 ，使得
．
（2023·四川乐山·统考中考真题）
16．定义：若x，y满足 且 （t为常数），则称点 为
“和谐点”．
（1）若 是“和谐点”，则 ．
（2）若双曲线 存在“和谐点”，则k的取值范围为 ．
（2023·江苏泰州·统考中考真题）
17．二次函数 的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是
（填一个值即可）
（2023·四川广安·统考中考真题）
18．定义一种新运算：对于两个非零实数 ， ．若 ，则
的值是 ．
二、解答题
（2023·山东枣庄·统考中考真题）
19．对于任意实数a，b，定义一种新运算： ，例如：
， ．根据上面的材料，请完成下列问题：
(1) ___________， ___________；(2)若 ，求x的值．
（2023·四川遂宁·统考中考真题）
20．我们规定：对于任意实数a、b、c、d有 ，其中等式右边是通
常的乘法和减法运算，如： ．
(1)求 的值；
(2)已知关于x的方程 有两个实数根，求m的取值范围．
（2022·浙江舟山·中考真题）
21．小惠自编一题：“如图，在四边形 中，对角线 ， 交于点O，
， ，求证：四边形 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小
洁交流．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个
条件，并证明．
（2023·湖北十堰·统考中考真题）
22．如图， 的对角线 交于点 ，分别以点 为圆心， 长
为半径画弧，两弧交于点 ，连接 ．
试卷第12页，共3页(1)试判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)请说明当 的对角线满足什么条件时，四边形 是正方形？
（2023·山东潍坊·统考中考真题）
23．某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿
件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．
【数据的收集与整理】
分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频
数分布表．
投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5
七年级频数 1
7 15 12 6
（人） 0
八年级频数 1
2 13 21 4
（人） 0
【数据的描述与分析】
（1）求扇形统计图中圆心角 的度数，并补全频数直方图．
（2）根据频数分布表分别计算有关统计量：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
七年级 3 3 1.48
八年级 m n 3.3 1.01直接写出表格中m、n的值，并求出 ．
【数据的应用与评价】
（3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿
情况进行比较，并做出评价．
（2022·重庆·统考中考真题）
24．对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数
字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵ ，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵ ，∴214不是“和倍数”．
(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且
．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为 ，最小的两
位数记为 ，若 为整数，求出满足条件的所有数A．
（2023·甘肃兰州·统考中考真题）
25．在平面直角坐标系中，给出如下定义： 为图形 上任意一点，如果点 到直线
的距离等于图形 上任意两点距离的最大值时，那么点 称为直线 的“伴随
点”．
例如：如图1，已知点 ， ， 在线段 上，则点 是直线 ：
轴的“伴随点”．
试卷第14页，共3页(1)如图2，已知点 ， ， 是线段 上一点，直线 过 ，
两点，当点 是直线 的“伴随点”时，求点 的坐标；
(2)如图3， 轴上方有一等边三角形 ， 轴，顶点A在 轴上且在 上方，
，点 是 上一点，且点 是直线 ： 轴的“伴随点”．当点 到
轴的距离最小时，求等边三角形 的边长；
(3)如图4，以 ， ， 为顶点的正方形 上始终存在点 ，使得
点 是直线 ： 的“伴随点”．请直接写出 的取值范围．
（2022·江苏南通·统考中考真题）
26．定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于 的点叫做这个函数图像的
“n阶方点”．例如，点 是函数 图像的“ 阶方点”；点 是函数
图像的“2阶方点”．
(1)在① ；② ；③ 三点中，是反比例函数 图像的“1阶方点”
的有___________（填序号）；
(2)若y关于x的一次函数 图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
(3)若y关于x的二次函数 图像的“n阶方点”一定存在，请直接写
出n的取值范围．
（2023·广西·统考中考真题）
27．【探究与证明】
折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】如图1，将矩形纸片 对折，使 与 重合，展平纸片，得到折痕 ；折叠纸片，使点B落在 上，并使折痕经过点A，得到折痕 ，点B，E
的对应点分别为 ， ，展平纸片，连接 ， ， ．
请完成：
(1)观察图1中 ， 和 ，试猜想这三个角的大小关系；
(2)证明（1）中的猜想；
【类比操作】如图2，N为矩形纸片 的边 上的一点，连接 ，在 上取
一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕 ；折叠纸片，使点
B，P分别落在 ， 上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为 ， ，展平纸片，
连接， ．
请完成：
(3)证明 是 的一条三等分线．
（2023·江苏·统考中考真题）
28．综合与实践
定义：将宽与长的比值为 （ 为正整数）的矩形称为 阶奇妙矩形．
（1）概念理解：
当 时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它
的宽（ ）与长 的比值是_________．
（2）操作验证：
试卷第16页，共3页用正方形纸片 进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为 ，连接 ；
第二步：折叠纸片使 落在 上，点 的对应点为点 ，展开，折痕为 ；
第三步：过点 折叠纸片，使得点 分别落在边 上，展开，折痕为 ．
试说明：矩形 是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：
用正方形纸片 折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并
作简要标注．
（4）探究发现：
小明操作发现任一个 阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点
为正方形 边 上（不与端点重合）任意一点，连接 ，继续（2）中操作的
第二步、第三步，四边形 的周长与矩形 的周长比值总是定值．请写出这
个定值，并说明理由．参考答案：
1．
【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．
【详解】解：依题意， 当 ， ，则第1个一个智慧优数为
当 ， ，则第2个智慧优数为
当 ， ，则第3个智慧优数为 ，
当 ， ，则第4个智慧优数为 ，
当 ， ，则第5个智慧优数为
当 ， ，则第6个智慧优数为
当 ， ，则第7个智慧优数为
……
时有4个智慧优数，同理 时有 个， 时有6个，
列表如下，观察表格可知当 时， 时，智慧数为 ，
时，智慧数为 ，
， 时，智慧数为 ，
， 时，智慧数为 ，
第1至第10个智慧优数分别为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
第11至第20个智慧优数分别为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
第21个智慧优数 ，第22个智慧优数为 ，第23个智慧优数为
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．
2．(1)3
(2)①a-2b或b=2a，②OP=
(3)a>
【分析】（1）直接由“倾斜系数”定义求解即可；
（2）①由点 的“倾斜系数” ，由 =2或 =2求解即可；
②由a=2b或b=2a，又因a+b=3，求出a、b值，即可得点P坐标，从而由勾股定理可求解；
（3）当点P与点D重合时，且k= 时，a有最小临界值，此时， = ，则 ，
求得a= +1；当点P与B点重合，且k= 时，a有最大临界值，此时， ，则
，求得：a=3+ ；即可求得 时，a的取值范围．
【详解】（1）解：由题意，得 ， ，
∵3> ，
∴点 的“倾斜系数”k=3；
答案第2页，共2页（2）解：①a=2b或b=2a，
∵点 的“倾斜系数” ，
当 =2时，则a=2b；
当 =2时，则b=2a，
∴a=2b或b=2a；
②∵ 的“倾斜系数” ，
当 =2时，则a=2b
∵ ，
∴2b+b=3，
∴b=1，
∴a=2，
∴P(2，1)，
∴OP= ；
当 =2时，则b=2a，
∵ ，
∴a+2a=3，
∴a=1，
∴b=2，
∴P(1，2)
∴OP= ；
综上，OP= ；
（3）解：由题意知，当点P与点D重合时，且k= 时，a有最小临界值，如图，连接
OD，延长DA交x轴于E，此时， = ，
则 ，
解得：a= +1；
∵ 则 ;
当点P与B点重合，且k= 时，a有最大临界值，如图，连接OB，延长CB交x轴于F，
答案第4页，共2页此时， ，
则 ，
解得：a=3+ ，
∵ ,则 ;
综上，若P的“倾斜系数” ，则a> ．
【点睛】本题考查新定义，正方形的性质，正比例函数性质，解题的关键是：（1）（2）
问理解新定义，（3）问求临界值．
3．D
【分析】根据新定义的运算求解即可．
【详解】解： ，
∵
，
∴
故选：D．
【点睛】题目主要考查新定义的运算，理解题意中的运算法则是解题关键．
4．【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵
∴
即
解得：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键．
5．(1)
(2)
(3) ，9
【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式
即可；
（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到
， ，整体代入得出答案即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
答案第6页，共2页；
（3）解：
，
∴根据题意得 ， ，
∴原式 ．
【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理
的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．
6．任务一，方法1： ；方法2： ， ；任务二， ；任务三， ；[迁移拓展]
【分析】任务一，仿照例题，分别根据方法1，2进行求解即可；
任务二，借助函数 和 得出交点坐标，进而根据两个函数图象的交点到 轴
的距离．因为两个函数图象的交点 到 轴的距为2，即可得出结果；
任务三 参照方法2，借助函数 和 的图象，得出交点坐标，即可求解；
[迁移拓展]观察图⑤第一个正方形的面积为 ，第二个正方形的面积为，……进而得出则
的值等于长宽之比为 的矩形减
去1个面积为 的正方形的面积，即可求解．
【详解】解：任务一，方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知
故答案为： ．
方法2：借助函数 和 的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为 ，
所以， ．
故答案为： ， ．
任务二：参照方法2，借助函数 和 的图象， ，
解得：
∴两个函数图象的交点的坐标为 ，
．
任务三 参照方法2，借助函数 和 的图象，两个函数图象的交点的坐标为
答案第8页，共2页，
∴
[迁移拓展]根据图⑤，第一个正方形的面积为 ，第二个正方形的面积为
，……
则 的值等于长宽之比为 的矩形
减去1个面积为1的正方形的面积，
即
【点睛】本题考查了一次函数交点问题，正方形面积问题，理解题意，仿照例题求解是解
题的关键．
7．(1)①②③或①③④（写出一种情况即可）
(2)见解析
【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可；
（2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可．
【详解】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③；
或者选择的条件为：①③④；
（2）证明：当选择的条件为①②③时，
，
，
即 ，
在 和 中，，
；
当选择的条件为①③④时，
，
，
即 ，
在 和 中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
8．(1)答案不唯一，①或②
(2)见解析
【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行选取；
（2）通过证明 可得 ，然后结合平行线的性质求得 ，
从而得出 为矩形．
【详解】（1）解：①或②
（2）添加条件①， 为矩形，理由如下：
在 中 ， ，
在 和 中 ，
∴
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
答案第10页，共2页∴ ，
∴ 为矩形；
添加条件②， 为矩形，理由如下：
在 中 ， ，
在 和 中 ，
∴
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为矩形
【点睛】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质和矩形
的判定方法（有一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题关键．
9．(1)
(2)成立；理由见解析
(3) 或
【分析】（1）根据 ，得出 ， ，证明 ，得出
，根据 ，求出
，即可证明结论；
（2）证明 ，得出 ，根据
，求出 ，即可证明结论；
（3）分两种情况，当点E在线段 上时，当点D在线段 上时，分别画出图形，根据
勾股定理求出结果即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
（2）解：成立；理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ；
答案第12页，共2页（3）解：当点E在线段 上时，连接 ，如图所示：
设 ，则 ，
根据解析（2）可知， ，
∴ ，
∴ ，
根据解析（2）可知， ，
∴ ，
根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： 或 （舍去），
∴此时 ；
当点D在线段 上时，连接 ，如图所示：
设 ，则 ，
根据解析（2）可知， ，
∴ ，
∴ ，
根据解析（2）可知， ，
∴ ，根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： 或 （舍去），
∴此时 ；
综上分析可知， 或 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内
角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的
图形，注意分类讨论．
10．【简单应用】AE＝AD；【拓展延伸】（1）相等，证明见解析；（2）AE﹣AD＝
2AC•cos（180°﹣ ），理由见解析
【分析】简单应用：证明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得结论．
拓展延伸：（1）结论：AE＝AD．如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，
过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N．证明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝
AN，证明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得结论．
（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cos（180°﹣ ）．在AB上取一点E′，使得BD＝
CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．证明TE＝TE′，求出AT，可得结论．
【详解】简单应用：解：如图（1）中，结论：AE＝AD．
理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），
∴AD＝AE．
故答案为：AE＝AD．
拓展延伸：（1）结论：AE＝AD．
答案第14页，共2页理由：如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延
长线于N．
∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，
∴△CAM≌△BAN（AAS），
∴CM＝BN，AM＝AN，
∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，
∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），
∴EM＝DN，
∵AM＝AN，
∴AE＝AD．
（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cos（180°﹣ ）．
理由：在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．
∵CE′＝BD，CE＝BD，
∴CE＝CE′，
∵CT⊥EE′，
∴ET＝TE′，
∵AT＝AC•cos（180°﹣ ）＝m•cos（180°﹣ ），
∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m•cos（180°﹣ ）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三
角形等知识，解题的关键在于能够熟练寻找全等三角形解决问题.
11．(1) ， ， ；(2)见解析【分析】(1)选择 ， 作为条件，可得到结论 ；
(2)利用对顶角相等，得到 ，再由角角边证明△AOC≌△BOD即可．
【详解】解：(1)选择的条件为 ， ，需要证明的结论为： ；
(2)由对顶角相等可知： ，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD(AAS)，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握三角形的判定方法是
解决本题的关键．
12．(1)①③，②
(2)见解析
【分析】（1）选择条件①③，证明结论②；
（2）根据 ， ，得到 ， ，设 ，
则 ， ，由勾股定理得到 ，
，设 与 相交与点F，根据矩形的性质得到 ，
，证明 ，得 ，则 ，
，根据 ，得到 ，故得到 ．
【详解】（1）解：选择的条件是：①③；结论是：②；
故答案为：①③，②；
（2）证明： ， ，
， ，
设 ，则 ， ，
答案第16页，共2页在 中，则 ，
在 中，则 ，
如图，设 与 相交与点F，
四边形 是矩形，
， ，
， ， ，
，
，
， ，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的运用，熟练掌握
相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．
13．(1) ，
(2) ， ， 或
(3) 是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可；
（2）把 代入 求出解析式，再求与 的交点即为 ，最后根据函数图象判断当 时，x的取值范围；
（3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出 ，
， ，即可判断 的形状．
【详解】（1）∵矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，
∴矩形 “梦之点” 满足 ， ，
∴点 ， 是矩形 “梦之点”，点 不是矩形 “梦之点”，
故答案为： ， ；
（2）∵点 是反比例函数 图象上的一个“梦之点”，
∴把 代入 得 ，
∴ ，
∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，
∴“梦之点”都在直线 上，
联立 ，解得 或 ，
∴ ，
∴直线 的解析式是 ，
函数图象如图：
答案第18页，共2页由图可得，当 时，x的取值范围是 或 ；
故答案为： ， ， 或 ；
（3） 是直角三角形，理由如下：
∵点A，B是抛物线 上的“梦之点”，
∴联立 ，解得 或 ，
∴ ， ，
∵
∴顶点 ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
【点睛】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，理解坐标与图
形性质，记住两点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键．
14． （答案不唯一）
【分析】由题意易得四边形 是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可进行求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
若要添加一个条件使其为菱形，则可添加 或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：
一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故答案为 （答案不唯一）．【点睛】本题主要考查菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握菱形
的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定是解题的关键．
15． 或 或
【分析】根据对顶角相等可得 ，再添加边相等，可利用 或 判定
．
【详解】解：∵在 与 中， ， ，
∴添加 ，则 ；
或添加 ，则 ；
或添加 ，则 ；
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： 、
、 、 、 ．注意： 、 不能判定两个三角形全等，判定两个三角
形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
16．
【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到 ，整理得到
，解得 （不合题意，舍去），即可得到答案；
（2）设点 为双曲线 上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理
得到 ，由 得到 ，则 ，由 进
一步得到 ，且 ，根据二次函数的图象和性质即可得到k的取值
范围．
【详解】解：（1）若 是“和谐点”，则 ，
则 ，
∴ ，
答案第20页，共2页即 ，解得 （不合题意，舍去），
∴ ，
故答案为：
（2）设点 为双曲线 上的“和谐点”，
∴ ， ，
即 ，
∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，且 ，
对抛物线 来说，
∵ ，
∴开口向下，
当 时， ，
当 时， ，
∵对称轴为 ， ，
∴当 时，k取最大值为4，
∴k的取值范围为 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识， 读懂题意，熟练
掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键．
17． （答案不唯一）【分析】根据根与系数的关系即可求解．
【详解】解：设二次函数 的图象与 轴交点的横坐标为 、 ，
即二元一次方程 的根为 、 ，
由根与系数的关系得： ， ，
一次函数 的图象与 轴有一个交点在 轴右侧，
， 为异号，
，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查抛物线与 轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关
系的应用．
18．
【分析】先根据 可得一个关于 的等式，再根据新运算的定义代入计算即可
得．
【详解】解： ，
，即 ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值，理解新运算的定义是解题关键．
19．(1)1；2；
(2) ，
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可．
【详解】（1） ，
答案第22页，共2页，
；
故答案为：1；2；
（2）若 时，即 时，则
，
解得： ，
若 时，即 时，则
，
解得： ，不合题意，舍去，
，
【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的
关键．
20．(1)10；
(2) 且 ．
【分析】（1）根据新定义计算即可求解；
（2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
整理得 ，
∵关于x的方程 有两个实数根，∴ ，且 ，
解得 且 ．
【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当 时，方程有两个实数根”是
解题的关键．
21．赞成小洁的说法，补充 ，见解析
【分析】赞成小洁的说法，补充： ，由四边相等的四边形是菱形即可判断．
【详解】赞成小洁的说法，补充： ．
证明： ， ，
， ．
又∵ ．
∴ ，
∴四边形 是菱形．
【点睛】本题考查菱形的判定以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的判定是解题的
关键．
22．(1)平行四边形，见解析
(2) 且
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到 ，根据两组
对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．
（2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可．
【详解】（1）四边形 是平行四边形．理由如下：
∵ 的对角线 交于点 ，
∴ ，
∵以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 ，
∴
∴四边形 是平行四边形．
（2）∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，
∴ 且 时，四边形 是正方形．
答案第24页，共2页【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性
质是解题的关键．
23．（1） ，见解析；（2） ， ， ；（3）见解析
【分析】（1）利用 乘以七年级学生投稿2篇的学生所占百分比即可得 的值；根据八
年级学生的投稿篇数的频数分布表补全频数直方图即可；
（2）根据中位数和众数的定义、加权平均数公式即可得；
（3）从中位数、众数、平均数、方差的意义进行分析即可得．
【详解】解：（1）两个年级随机抽取的学生数量为 （人），
则 ．
补全频数直方图如下：
（2） ，
将八年级学生的投稿篇数按从小到大进行排序后，第25个数和第26个数的平均数即为其
中位数，
， ，
中位数 ，
∵在八年级学生的投稿篇数中，投稿篇数4出现的次数最多，
∴众数 ．
（3）从中位数、众数、平均数来看，八年级学生的均高于七年级学生的，而且从方差来看，
八年级学生的小于七年级学生的，所以八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好．
【点睛】本题考查了扇形统计图、频数分布表、频数分布直方图、中位数、众数、平均数、
方差，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
24．(1)357不是15“和倍数”，441是9的“和倍数”；理由见解析(2)数A可能为732或372或516或156
【分析】（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可；
（2）先根据三位数A是12的“和倍数”得出 ，根据 ， 是最大的
两位数， 是最小的两位数，得出 ， （k
为整数），结合 得出 ，根据已知条件得出 ，从而得出
或 ，然后进行分类讨论即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴357不是15“和倍数”；
∵ ，
∴441是9的“和倍数”．
（2）∵三位数A是12的“和倍数”，
∴ ，
∵ ，
∴在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数 ，最小的两位数
，
∴ ，
∵ 为整数，
设 （k为整数），
则 ，
整理得： ，
根据 得： ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
答案第26页，共2页∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得：
，
整理得： ，
∵ ，k为整数，
∴ 或 ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ， ，
， ， ，或 ， ， ，
要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数，
当 ， ， 时，组成的三位数为 或 ，
∵ ，
∴ 是12的“和倍数”，
∵ ，
∴ 是12的“和倍数”；
当 ， ， 时，组成的三位数为 或 ，
∵ ，
∴ 不是12的“和倍数”，
∵ ，
∴ 不是12的“和倍数”；
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
， ， ，组成的三位数为516或156，
∵ ，
∴ 是12的“和倍数”，
∵ ，∴ 是12的“和倍数”；
综上分析可知，数A可能为732或372或516或156．
【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征
和数据的整除性，是解题的关键，分类讨论是解答本题的重要方法，本题有一定的难度．
25．(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）过点 作 于点 ，根据新定义得出 ，根据已知得出
，则 ，即可求解；
（2）当 到 轴的距离最小时，点 在线段 上，设 的边长为 ，以 为圆心 为
半径作圆，当 与 轴相切时，如图所示，切点为 ，此时点 是直线 ： 轴的“伴
随点”．且点 到 轴的距离最小，则 的纵坐标为 ，即 ， 是等边三角形，
且 轴，设 交于点 ，则 ，得出 ，根据 即可求解；
（3）由正方形的边长为1，即可求出P到 的距离为 ，从而可得P既在正方形的边上，
也在到 距离为 的直线上，当 时， 向上平移2个单位长度得 ，分别求出
过A、C时b的值；当 时， 向下平移2个单位长度得 ，分别求出 过A、C时b
的值，即可求出b的取值范围．
【详解】（1）解：如图所示，过点 作 于点 ，
答案第28页，共2页∵ ， ，则 ，点 是直线 的“伴随点”时，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：当 到 轴的距离最小时，
∴点 在线段 上，
设 的边长为 ，以 为圆心 为半径作圆，当 与 轴相切时，如图所示，切点为
，此时点 是直线 ： 轴的“伴随点”．且点 到 轴的距离最小，
则 的纵坐标为 ，即 ，∵ 是等边三角形，且 轴，设 交于点 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴等边三角形 的边长为 ；
（3）解：由题意知，正方形 的边长为1，所以正方形 上任意两点距离的最大
值为 ,即正方形 上始终存在点P，P到 的距离为 .则 向上或者
向下平移2个单位长度得到直线
∵ 与 平行，且两直线间的距离为 ，
∴P既在 上，又在正方形 的边上，
∴ 与正方形 有交点.
当 时， 为 ，
当 过A时， ，即 ,
当 过C时， ，即 ;
∴ ；
当 时， 为 ，
当 过A时， ，即 ,
答案第30页，共2页当 过C时， ，即 ;
∴ ；
综上，当 或 时，正方形 上始终存在点 ，使得点 是直线 ：
的“伴随点”．
【点睛】本题考查了几何新定义，解直角三角形，切线的性质，直线与坐标轴交点问题，
正方形的性质，理解新定义是解题的关键．
26．(1)②③
(2)3或 ；
(3)
【分析】（1）根据“n阶方点”的定义逐个判断即可；
（2）如图作正方形，然后分a＞0和a＜0两种情况，分别根据“2阶方点”有且只有一个
判断出所经过的点的坐标，代入坐标求出a的值，并舍去不合题意的值即可得；
（3）由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动，作出简图，由函数图
象可知，当二次函数图象过点（n，－n）和点（－n， n）时为临界情况，求出此时n的值，
由图象可得n的取值范围．
【详解】（1）解：∵点 到x轴的距离为2，大于1，
∴不是反比例函数 图象的“1阶方点”，
∵点 和点 都在反比例函数 的图象上，且到两坐标轴的距离都不大于1，
∴ 和 是反比例函数 图象的“1阶方点”，
故答案为：②③；
（2）如图作正方形，四个顶点坐标分别为（2，2），（－2，2），（－2，－2），（2，
－2），
当a＞0时，若y关于x的一次函数 图象的“2阶方点”有且只有一个，
则 过点（－2，2）或（2，－2），把（－2，2）代入 得： ，解得： （舍去）；
把（2，－2）代入 得： ，解得： ；
当a＜0时，若y关于x的一次函数 图象的“2阶方点”有且只有一个，
则 过点（2，2）或（－2，－2），
把（2，2）代入 得： ，解得： ；
把（－2，－2）代入 得： ，解得： （舍去）；
综上，a的值为3或 ；
（3）∵二次函数 图象的顶点坐标为（n， ），
∴二次函数 图象的顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动，
∵y关于x的二次函数 图象的“n阶方点”一定存在，
∴二次函数 的图象与以顶点坐标为（n，n），（－n，n），（－n，－
n），（n，－n）的正方形有交点，
如图，当 过点（n，－n）时，
答案第32页，共2页将（n，－n）代入 得： ，
解得： ，
当 过点（－n，n）时，
将（－n，n）代入 得： ，
解得： 或 （舍去），
由图可知，若y关于x的二次函数 图象的“n阶方点”一定存在，n的
取值范围为： ．
【点睛】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，
二次函数的图象和性质，正确理解“n阶方点”的几何意义，熟练掌握数形结合思想的应
用是解题的关键．
27．(1)
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）根据题意可进行求解；
（2）由折叠的性质可知 ， ，然后可得 ，则有 是
等边三角形，进而问题可求证；
（3）连接 ，根据等腰三角形性质证明 ，根据平行线的性质证明 ，证明 ，得出 ，
即可证明 ．
【详解】（1）解：由题意可知 ；
（2）证明：由折叠的性质可得： ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）证明：连接 ，如图所示：
由折叠的性质可知： ， ， ，
∵折痕 ， ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
答案第34页，共2页∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的一条三等分线．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及
矩形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，证明，
是解题的关键．
28．（1） ；（2）见解析；（3） ，理由见解析
【分析】（1）将 代入 ，即可求解．
（2）设正方形的边长为 ，根据折叠的性质，可得 ，设 ，则
，在 中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；
（3）仿照（2）的方法得出2阶奇妙矩形．
（4）根据（2）的方法，分别求得四边形 的周长与矩形 的周长，即可求解．
【详解】解：（1）当 时， ，
故答案为： ．
（2）如图（2），连接 ，设正方形的边长为 ，根据折叠的性质，可得
设 ，则
根据折叠，可得 ， ，
在 中， ，
∴ ，
在 中，
∴
解得：
∴
∴矩形 是1阶奇妙矩形．
（3）用正方形纸片 进行如下操作（如图）：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为 ，再对折，折痕为 ，连接 ；
第二步：折叠纸片使 落在 上，点 的对应点为点 ，展开，折痕为 ；
第三步：过点 折叠纸片，使得点 分别落在边 上，展开，折痕为 ．
矩形 是2阶奇妙矩形，
答案第36页，共2页理由如下，连接 ，设正方形的边长为 ，根据折叠可得 ，则 ，
设 ，则
根据折叠，可得 ， ，
在 中， ，
∴ ，
在 中，
∴
解得：
∴
当 时，
∴矩形 是2阶奇妙矩形．
（4）如图（4），连接诶 ，设正方形的边长为1，设 ，则 ，设 ，则
根据折叠，可得 ， ，
在 中， ，
∴ ，
在 中，
∴
整理得，
∴四边形 的边长为
矩形 的周长为 ，
∴四边形 的周长与矩形 的周长比值总是定值
【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
答案第38页，共2页
