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模块二 知识全整合
专题 2 方程与不等式
第 3 讲 一元二次方程
一、一元二次方程的概念
1.一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程；
2.一般形式： ；
3.特殊解：当x=1时，有a+b+c=0；当x=-1时，有a-b+c=0；当x=0时，有c=0；
二、一元二次方程的解法
1.直接开平方法
（1）形如 ，解得： ；
（2）形如 ，解得： ；
2.配方法
（1）配方法的一般步骤：移项，化二次项系数为1，配方，写成标准形式，用直接开
平方法求解；
（2）配方的策略：当二次项系数为1时，加上一次项系数的一半的平方；
3.公式法（1）求根公式： ；
（2）公式法的步骤：将方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算b2-4ac的值，当
b2-4ac>0时，代入求根公式计算；
4.因式分解法
（1）形如 ，左边提公因式分解因式；
（2）形如 ，左边用平方差公式分解因式；
（3）形如 ，左边用完全平方公式分解因式；
（4）形如 ，左边用十字相乘法分解因式；
三、一元二次方程根的判别式
1.根的判别式：b2-4ac；
2.判别方法：
b2-4ac的值的正负 的根的情况
b2-4ac>0 方程有两个不相等的实数根：
b2-4ac=0 方程有两个相等的实数根：
b2-4ac<0 方程没有实数根
四、一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程： ，
（1）条件： ，方程的两个根为 ；
（2）结论： ；
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1.能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元
二次方程；
2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等，会将一元
试卷第2页，共2页二次方程的根的情况与一元二次方程根的判别式相联系；
3.知道利用一元二次方程根与系数的关系可以解决一些简单的问题；
【例1】
（2022·广西贵港·中考真题）
1．若 是一元二次方程 的一个根，则方程的另一个根及m的值分
别是（ ）
A．0， B．0，0 C． ， D． ，0
【变1】
（2023·安徽阜阳·统考三模）
2．若关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D． 或
【例1】
（2022·江苏徐州·统考中考真题）
3．
解方程
【变1】
（2023·江苏无锡·统考中考真题）
4．解方程：
【例1】
（2023·四川内江·校考一模）
5．已知x，y，z为实数，满足 ，那么 的最小值是
【变1】
（2022·四川凉山·统考中考真题）6．已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是 ．
【例1】
（2023·山东滨州·统考中考真题）
7．一元二次方程 根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数
根 D．不能判定
【变1】
（2023·湖北荆州·统考中考真题）
8．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)当 时，用配方法解方程．
【例1】
（2023·湖南岳阳·统考中考真题）
9．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，且
，则实数 ．
【变1】
（2023·湖北黄石·统考中考真题）
10．关于x的一元二次方程 ，当 时，该方程的正根称为黄金分割数．
宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩
形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数a，b满足： ，且 ，求ab的值；
(3)已知两个不相等的实数p，q满足： ，求 的值．
试卷第4页，共2页一、选择题
（2023·辽宁锦州·统考中考真题）
11．若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是
（ ）
A． B． C． 且 D． 且
（2023·山东聊城·统考中考真题）
12．若一元二次方程 有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）
13．用配方法解方程 时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·山东临沂·统考一模）
14．已知 ， 为任意实数，则 的值( )
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定
（2023·江苏扬州·统考一模）
15．已知 ，则 的最小值是（ ）
A．8 B． C． D．9
（2023·河北石家庄·统考一模）
16．已知 ， ，下列结论正确的是（ ）
A． 的最大值是0 B． 的最小值是
C．当 时， 为正数 D．当 时， 为负数
（2023·上海·统考中考真题）
17．在分式方程 中，设 ，可得到关于y的整式方程为
（ ）
A． B． C． D．（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）
18．关于x，y的二次三项式 （m为常数），下列结论正确
的有（ ）
①当 时，若 ，则
②无论x取任何实数，等式 都恒成立，则
③若 ，则
④满足 的正整数解 共有25个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
（2023·江苏镇江·统考中考真题）
19．若 是关于x的一元二次方程 的一个根，则m的值为 ．
（2023·湖南娄底·统考中考真题）
20．若m是方程 的根，则 ．
（2023·四川内江·统考中考真题）
21．已知a、b是方程 的两根，则 ．
（2023·江苏连云港·统考中考真题）
22．若 （ 为实数），则 的最小值为 ．
（2022·四川成都·统考中考真题）
23．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 的两个实数
根，则这个直角三角形斜边的长是 ．
（2023·四川眉山·统考中考真题）
24．已知方程 的根为 ，则 的值为 ．
（2023·湖北黄冈·统考中考真题）
25．已知一元二次方程 的两个实数根为 ，若 ，则
实数 ．
试卷第6页，共2页三、解答题
（2023·辽宁鞍山·校考一模）
26．解下列方程：
(1) ．
(2) ；
（2023·湖北襄阳·统考中考真题）
27．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)若方程的两个根为 ， ，且 ，求 的值．
（2023·浙江杭州·统考中考真题）
28．设一元二次方程 ．在下面的四组条件中选择其中一组 的值，使这
个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
① ；② ；③ ；④ ．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
（2023·四川遂宁·统考中考真题）
29．我们规定：对于任意实数a、b、c、d有 ，其中等式右边是通
常的乘法和减法运算，如： ．
(1)求 的值；
(2)已知关于x的方程 有两个实数根，求m的取值范围．
（2023·湖北·统考中考真题）
30．已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若 ，求m的值．
（2023·四川南充·统考中考真题）31．已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若 ， 是方程的两个实数根，且 ，求m的值．
（2022·湖北黄石·校考模拟预测）
32．综合与探究：如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且
其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方
程 的两个根是 ， ，则方程： 是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断方程 是否是“邻根方程”；
(2)已知关于 的一元二次方程 （ 是常数）是“邻根方程”，求
值．
(3)若关于 的一元二次方程 （ 、 是常数，且 ）是“邻根方程”，
令 ，求 的最大值．
试卷第8页，共2页参考答案：
1．B
【分析】直接把 代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意，
∵ 是一元二次方程 的一个根，
把 代入 ，则
，
解得： ；
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴方程的另一个根是 ；
故选：B
【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步
骤进行计算．
2．C
【分析】利用一元二次方程根的定义，确定出 的值即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 的一个根为 ，
∴ 且 ，
解得： ．
故选： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式
为 为常数且 ，理解一元二次方程的定义是解题的关键．
3．
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化
为两个一元一次方程来求解．
【详解】解：移项得： ，配方得： ，即 ，
开方得： ，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程求解，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程．
4．
【详解】试题分析：运用公式法求解即可.
试题解析：在这里，a=2，b=1，c=-2
b2-4ac=17 0
>
∴
5．14
【分析】用含 的式子表示出 ，将 转化为只含 的代数式，利用配方法，求
出最值即可．
【详解】解： ，
，得 ，则 ③，
，得 ，则 ④，
把③④代入 得，
；
∵ ，
答案第2页，共2页∴ 的最小值是14，
故答案为14．
【点睛】本题考查配方法的应用．将代数式转化为只含 的代数式，利用配方法求最值，
是解题的关键．
6．6
【分析】根据a－b2＝4得出 ，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到
答案．
【详解】∵a－b2＝4
∴
将 代入a2－3b2＋a－14中
得：
∵
∴
当a=4时， 取得最小值为6
∴ 的最小值为6
∵
∴ 的最小值6
故答案为：6．
【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．
7．A
【分析】根据题意，求得 ，根据一元二次方程根的判别式的意义，
即可求解．【详解】解：∵一元二次方程 中， ，
∴ ，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别
式的意义是解题的关键．
8．(1) 且
(2) ，
【分析】（1）根据题意，可得 ，注意一元二次方程的系数问题，
即可解答，
（2）将 代入 ，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：依题意得： ，
解得 且 ；
（2）解：当 时，原方程变为： ，
则有： ，
，
，
方程的根为 ， ．
【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法
解一元二次方程是解题的关键．
答案第4页，共2页9．3
【分析】利用一元二次方程 有两个不相等的实数根求出m的取值
范围，由根与系数关系得到 ，代入 ，解得
的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 （不合题意，舍去），
∴
故答案为：3
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的
判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．
10．(1)
(2)2
(3)0
【分析】（1）依据题意，将 代入然后解一元二次方程 即可得解；
（2）依据题意，将 变形为 ，从而可以看作 ，
是一元二次方程 的两个根，进而可以得解；（3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得 ，进而可以得解．
【详解】（1）依据题意，
将 代入 得 ，
解得 ，
∵黄金分割数大于0，
∴黄金分割数为 ．
（2）∵ ，
∴ ，
则 ．
又∵ ，
∴ ， 是一元二次方程 的两个根，
则 ，
∴ ．
（3）∵ ， ；
∴ ；
即 ；
∴ ．
又∵ ；
∴ ；
答案第6页，共2页即 ．
∵ ， 为两个不相等的实数，
∴ ，
则 ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，
灵活运用所学知识解决问题．
11．D
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答．
【详解】解：∵ 为一元二次方程，
∴ ，
∵该一元二次方程有两个实数根，
∴ ，
解得 ，
∴ 且 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值
大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．
12．D
【分析】由于关于 的一元二次方程 有实数根，根据一元二次方程根与系数
的关系可知 ，且 ，据此列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得， ，且 ，
解得， ，且 .故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程 的根的判别式 与根的关
系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当 时，一元二次方程有两个
不相等的实数根；当 时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元二次
方程没有实数根．
13．C
【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上 ，即可求解．
【详解】解：
移项得，
两边同时加上 ，即
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
14．A
【分析】根据整式的加减化简，然后根据配方法得出 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴
∴ 的值大于0，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题
的关键．
15．A
【分析】由已知得 ，注意x的取值范围，代入 再配方，利用非负数
的性质即可求解．
答案第8页，共2页【详解】解：∵ ，
∴ ，且 即 ，
∴
，
∵ ，
∴当 时， 的最小值是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及
确定x的取值范围是解决问题的关键．
16．B
【分析】利用配方法表示出 ，以及 时，用含 的式子表示出 ，确定 的符号，
进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
；
∴当 时， 有最小值 ；
当 时，即： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 是非正数；
故选项 错误，选项 正确；故选B．
【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是
解题的关键．
17．D
【分析】设 ，则原方程可变形为 ，再化为整式方程即可得出答案.
【详解】解：设 ，则原方程可变形为 ，
即 ；
故选：D.
【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.
18．A
【分析】①将 代入代数式，计算即可；②又 可得 ，再
根据题意求解即可；③两方程相加，令 ，可化为 ，求解即可；④根
据题意可得 ，列出正整数解 ，即可．
【详解】解：将 代入 可得， ，即
解得 或 ，即 或 ，①错误；
由 可得 ，
∵无论x取任何实数，等式 都恒成立，
∴ ，②正确；
两式相加可得：
即
答案第10页，共2页令 ，则 ，解得 ，
即 或 ，③错误；
由 可得
正整数解为：
，总共有 个，④错误
正确的个数为1，
故选：A
【点睛】本题主要考查了整式加减，二元一次不等式的解，完全平方公式，一元二次方程
的解，解题的关键是熟练掌握相关运算法则以及灵活运用完全平方公式．
19．5
【分析】：把 代入方程 ，求出关于m的方程的解即可．
【详解】把 代入方程 ，
得 ，
解得 ．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是
一元二次方程的解．
20．6
【分析】由m是方程 的根，可得 ，把 化为 ，
再通分变形即可．
【详解】解：∵m是方程 的根，
∴ ，即 ，
∴；
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，分式的化简求值，准确的把原分式变形，
再求值是解本题的关键．
21．
【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得 ，
从而得到 ，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程 的两根，
∴ ，
∴ ，
∴
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次
方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．
22．
【分析】运用配方法将 变形为 ，
然后根据非负数的性质求出 的最小值即可．
【详解】解：
=
答案第12页，共2页=
=
∵ 为实数，
∴
∴ 的最小值为 ,
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在
变形的过程 中不要改变式子的值．
23．
【分析】由题意解一元二次方程 得到 或 ，再根据勾股定
理得到直角三角形斜边的长是 ．
【详解】解： 一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 的两个
实数根，
由公式法解一元二次方程 可得 ，
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关
键．
24．6
【分析】解方程，将解得的 代入 即可解答．
【详解】解： ，对左边式子因式分解，可得
解得 ， ，
将 ， 代入 ，
可得原式 ，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解题的关键．
25．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得出 ，代入已知等式，
即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程 的两个实数根为 ，
∴
∵ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的
关系是解题的关键．
26．(1) ，
(2) ，
【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
【详解】（1）
∵ ， ， ，
答案第14页，共2页，
∴方程有两个不相等的实数根， ，
即 ， ．
（2）
整理，得 ，
因式分解，得 ，
∴ 或 ，
∴ ， ．
【点睛】此题考查了解一元二次方程——公式法，以及因式分解法，熟练掌握各自的解法
是解本题的关键．
27．(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出 ，把字母和数
代入求出 的取值范围；
（2）根据两根之积为： ，把字母和数代入求出 的值．
【详解】（1）解： ，
∵有两个不相等的实数，
∴ ，
解得： ；
（2）∵方程的两个根为 ， ，
∴ ，∴ ，
解得： ， （舍去）．
即： ．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握 ， 是方程
的两根时， ， ．
28．选②， ， ；选③， ，
【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解： 中 ，
① 时， ，方程有两个相等的实数根；
② 时， ，方程有两个不相等的实数根；
③ 时， ，方程有两个不相等的实数根；
④ 时， ，方程没有实数根；
因此可选择②或③．
选择② 时，
，
，
，
， ；
选择③ 时，
，
，
答案第16页，共2页，
， ．
【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键
是掌握：对于一元二次方程 ，当 时，方程有两个不相等的实数根；当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
29．(1)10；
(2) 且 ．
【分析】（1）根据新定义计算即可求解；
（2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
整理得 ，
∵关于x的方程 有两个实数根，
∴ ，且 ，
解得 且 ．
【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当 时，方程有两个实数根”是
解题的关键．
30．(1)证明见解析(2) 的值为1或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵ 的两个实数根为 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
即 ．
解得 或 ．
∴ 的值为1或 ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方
程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
31．(1)见解析
(2) 或 ．
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定 即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到 ， ，整体代入
得到 求解即可得到答案．
【详解】（1）证明： 关于 的一元二次方程 ，
∴ ， ， ，
答案第18页，共2页∴ ，
∵ ，即 ，
∴不论 为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵ ， 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，整理，得 ，解得 ， ，
∴m的值为 或 ．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，
熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题
的关键．
32．(1) 是“邻根方程”；
(2) 或 ；
(3)
【分析】（1）利用公式法求出一元二次方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义进行判
断，即可得到答案；
（2）利用因式分解法求出一元二次方程的根，再根据“邻根方程”的定义列出关于 的方
程，求解即可得到答案；
（3）利用公式法求出一元二次方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义，求得
，进而得到 ，再利用非负数的性质，求出 ，然后利用得到关于 的一元二次函数，最后利用一元二次函数的性质，即可求出最大值．
【详解】（1）解： ，
，
，
， ，
，
是“邻根方程”；
（2）解： ，
整理得：
， ，
一元二次方程 （ 是常数）是“邻根方程”，
或
或
或 ；
（3）解： ，
，
， ，
一元二次方程 （ 、 是常数，且 ）是“邻根方程”，
答案第20页，共2页，
，
，
，
或 ，
，
，
，
，
当 时， 有最大值，最大值为 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，一元二次函数的性质，熟练掌握一元二次
方程的解法，正确理解“邻根方程”的定义是解决关键．
