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模块二 知识全整合
专题 2 方程与不等式
第 2 讲 分式方程及其应用
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业要求：
1．能解可化为一元一次方程的分式方程；
2．能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理；
3．建立分式方程的模型观念；
4．能根据具体问题中的数量关系列出分式方程，理解方程的意义．
【例1】
（2023·北京·统考中考真题）
1．方程 的解为 ．
【变1】
（2023·山西·统考中考真题）
2．解方程： ．【例1】
（2023·山东日照·统考中考真题）
3．若关于 的方程 解为正数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【变1】
（2023·四川巴中·统考中考真题）
4．关于x的分式方程 有增根，则 ．
【例1】
（2023·浙江台州·统考中考真题）
5．3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组
比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有
人．
【变1】
（2023·重庆·统考中考真题）
6．某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的
价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次
性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多 ，每
份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？
一、选择题
（2023·辽宁大连·统考中考真题）
试卷第2页，共3页7．解方程 去分母，两边同乘 后的式子为( )
A． B．
C． D．
（2023·山东淄博·统考中考真题）
8．已知 是方程 的解，那么实数 的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）
9．若分式方程 的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
（2023·山东聊城·统考中考真题）
10．若关于x的分式方程 的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）
11．若关于x的方程 无解，则m的值为（ ）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
（2022·四川遂宁·统考中考真题）
12．若关于x的方程 无解，则m的值为（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
（2023·山东淄博·统考中考真题）
13．为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，
某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树
棵与初二植树 棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树 棵．求初
一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树 棵，则下面所列方程中
正确的是（ ）
A． B． C． D．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）
14．某校学生去距离学校 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了
后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2
倍，汽车的速度是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
（2023·江苏·统考中考真题）
15．方程 的解是 ．
（2023·河北·统考中考真题）
16．根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ．
x结果
2 n
代数
式
7 b
a 1
（2023·湖南永州·统考中考真题）
17．若关于x的分式方程 （m为常数）有增根，则增根是 ．
（2023·四川眉山·统考中考真题）
18．关于x的方程 的解为非负数，则m的取值范围是 ．
（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）
19．甲、乙两船从相距150km的 ， 两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从 地
顺流航行90km时与从 地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为
30km/h，则江水的流速为 km/h．
三、解答题
（2023·江苏泰州·统考中考真题）
20．解方程： ．
（2023·湖北·统考中考真题）
21．解分式方程：
（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）
试卷第4页，共3页22．小丁和小迪分别解方程 过程如下：
小丁：
小迪：
解：去分母，得
解：去分母，得
去括号得
去括号，得
合并同类项得
合并同类项，得
解得
解得
经检验， 是方程的增根，原方程无解
∴原方程的解是
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内
打“×”，并写出你的解答过程．
（2023·辽宁丹东·统考中考真题）
23．“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为36米的桥梁进
行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了
，结果提前2天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多
少米?
（2023·江苏徐州·统考中考真题）
24．随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改
善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．已知甲、乙
两条路线的长度均为 ，甲路线的平均速度为乙路线的 倍，甲路线的行驶时间比
乙路线少 ，求甲路线的行驶时间．
（2023·贵州·统考中考真题）
25．为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生
产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了 ，设更新设备
前每天生产x件产品．解答下列问题：
(1)更新设备后每天生产_______件产品（用含x的式子表示）；
(2)更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．
（2023·广东·统考中考真题）
26．某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校 ，甲、乙两同学骑自行车同
时从学校出发，甲的速度是乙的 倍，结果甲比乙早到 ，求乙同学骑自行车的
速度．
（2023·山东泰安·统考中考真题）
27．为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．
该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．
小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多
购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售
价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？
试卷第6页，共3页参考答案：
1．
【分析】方程两边同时乘以 化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．
【详解】解：方程两边同时乘以 ，得 ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
2．
【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．
【详解】解：原方程可化为 ．
方程两边同乘 ，得 ．
解得 ．
检验：当 时， ．
∴原方程的解是 ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
3．D
【分析】将分式方程化为整式方程解得 ，根据方程的解是正数，可得 ，
即可求出 的取值范围．
【详解】解：∵方程 的解为正数，且分母不等于0
∴ ，
∴ ，且
故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化
为整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键．
4．
【分析】等式两边同时乘以公因式 ，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出
的值，即可求出 ．
【详解】 ，
解：方程两边同时乘以 ，得 ，
∴ ，
∵原方程有增根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根．
5．3
【分析】审题确定等量关系：第一组平均每人植树棵数＝第二组平均每人植树棵数，列方
程求解，注意检验．
【详解】设第一组有x人，则第二组有 人，根据题意，得
去分母，得
答案第2页，共2页解得，
经检验， 是原方程的根．
故答案为：3
【点睛】本题考查分式方程的应用，审题明确等量关系是解题的关键，注意分式方程的验
根．
6．(1)购买杂酱面80份，购买牛肉面90份
(2)购买牛肉面60份
【分析】（1）设购买杂酱面 份，则购买牛肉面 份，由题意知，
，解方程可得 的值，然后代入 ，计算求解，进而可得结
果；
（2）设购买牛肉面 份，则购买杂酱面 份，由题意知， ，计算求出满
足要求的解即可．
【详解】（1）解：设购买杂酱面 份，则购买牛肉面 份，
由题意知， ，
解得， ，
∴ ，
∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；
（2）解：设购买牛肉面 份，则购买杂酱面 份，
由题意知， ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解，
∴购买牛肉面60份．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正
确的列方程．
7．A
【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．根据分式方程的解法，两侧同乘 化简分式方程即可．
【详解】分式方程的两侧同乘 得：
．
故选：A．
8．B
【分析】将 代入方程，即可求解．
【详解】解：将 代入方程，得
解得：
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将 代入原方程中得到关于 的方程．
9．D
【分析】直接解分式方程，进而得出a的取值范围，注意分母不能为零．
【详解】解：去分母得： ，
解得： ，
∵分式方程 的解是负数，
∴ ， ，即 ，
解得： 且 ，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键．
10．A
【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后
求出m的范围．
【详解】解：方程两边都乘以 ，得： ，
解得： ，
∵ ，即： ，
∴ ，
又∵分式方程的解为非负数，
答案第4页，共2页∴ ，
∴ ，
∴ 的取值范围是 且 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，根据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要
检验．
11．B
【分析】先将分式方程化成整式方程 ，再分①整式方程 无解，②
关于 的方程 有增根两种情况，分别求解即可得．
【详解】解：将方程 化成整式方程为 ，即 ，
因为关于 的方程 无解，
所以分以下两种情况：
①整式方程 无解，
则 ，解得 ；
②关于 的方程 有增根，
则 ，即 ，
将 代入 得： ，解得 ；
综上， 的值为1或3，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程无解，正确分两种情况讨论是解题关键．
12．D
【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当 时，
当 时， 或 ，进行计算即可．
【详解】方程两边同乘 ，得 ，
整理得 ，
原方程无解，
当 时， ；当 时， 或 ，此时， ，
解得 或 ，
当 时， 无解；
当 时， ，解得 ；
综上，m的值为0或4；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简
公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
13．D
【分析】根据初一植树 棵与初二植树 棵所用的时间相同列式求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：D；
【点睛】本题考查分式方程解决应用问题，解题的关键是找到等量关系式．
14．D
【分析】设骑车学生的速度为 ，则汽车的速度为 ，根据题意可得，乘
坐汽车比骑自行车少用 ,据此列分式方程求解．
【详解】解：设骑车学生的速度为 ，则汽车的速度为 ，
由题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，且符合题意，
所以，骑车学生的速度为 ．
∴汽车的速度为
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合
适的等量关系，列方程求解，注意检验．
15．
答案第6页，共2页【分析】将分式方程转化为整式方程，求解即可．
【详解】解：由 可得：
解得
经检验 是原分式方程的解，
故答案为：
【点睛】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解方法．
16．
【分析】把 代入得 ，可求得a的值；把 分别代入 和 ，
据此求解即可．
【详解】解：当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解，
∴ ，
故答案为： ；
【点睛】本题考查了求代数式的值，解分式方程，准确计算是解题的关键．
17．
【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．
【详解】∵关于x的分式方程 （m为常数）有增根，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关
键．
18． 且【分析】解分式方程，可用 表示 ，再根据题意得到关于 的一元一次不等式即可解答．
【详解】解：解 ，可得 ，
的方程 的解为非负数，
，
解得 ，
，
，
即 ，
的取值范围是 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关
键．
19．6
【分析】设江水的流速为 千米每小时，则甲速度为 ，乙速度为 ，根据行驶时
间相等列出方程解答即可．
【详解】解：设江水的流速为 千米每小时，根据题意得：
，
解得 ，
经检验符合题意，
答：江水的流速 ．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了列分式方程，读懂题意找出等量关系是解本题的关键．
20．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得
到分式方程的解．
【详解】解：原方程去分母得：
答案第8页，共2页经检验， 是原方程的根，
∴原方程的解为 ．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验，掌握解分
式方程的方法是解题关键．
21．
【分析】先去分母，化为整式方程，然后解方程，再进行检验，即可求出方程的解
【详解】解：
方程两边同乘以 ，得
解得，
检验： 时，
故原分式方程的根为： ．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤进行解题．
22．都错误，见解析
【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可．
【详解】小丁和小迪的解法都错误；
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
解得， ，
经检验： 是方程的解．
【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
23．施工队原计划每天改造6米．
【分析】设施工队原计划每天改造 米，根据提前2天成功地完成了大桥的改造任务得：
，解方程并检验可得答案．
【详解】解：设施工队原计划每天改造 米，根据题意得： ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
答：施工队原计划每天改造6米．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出分式方程．
24．甲路线的行驶时间为 ．
【分析】设甲路线的行驶时间为 ，则乙路线的行驶事件为 ，根据“甲路线的
平均速度为乙路线的 倍”列分式方程求解即可．
【详解】解：甲路线的行驶时间为 ，则乙路线的行驶事件为 ，由题意可得，
，
解得 ，
经检验 是原方程的解，
∴甲路线的行驶时间为 ，
答：甲路线的行驶时间为 ．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系列出相应的分
式方程．
25．(1)
(2)125件
【分析】（1）根据“更新设备后生产效率比更新前提高了 ”列代数式即可；
（2）根据题意列分式方程，解方程即可．
【详解】（1）解： 更新设备前每天生产x件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了
，
更新设备后每天生产产品数量为： （件），
故答案为： ；
（2）解：由题意知： ，
答案第10页，共2页去分母，得 ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解，
（件），
因此更新设备后每天生产125件产品．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程．
26．乙同学骑自行车的速度为 千米/分钟．
【分析】设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为 千米/分
钟，根据时间=路程÷速度结合甲车比乙车提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，
解之并检验后即可得出结论．
【详解】解：设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为 千
米/分钟，
根据题意得： ，
解得： ．
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
答：乙同学骑自行车的速度为 千米/分钟．
【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题的关键．
27．这个学校九年级学生有300人．
【分析】设零售价为x元，批发价为y，然后根据题意列二元一次方程组求得零售价为12
元，然后用3600除以零售价即可解答．
【详解】解：设零售价为x元，批发价为y，
根据题意可得：
，解得： ，
经检验 是原方程组的解
则学校九年级学生 人．
答：这个学校九年级学生有300人．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、列二元一次方程组求得零售价是解答本题的关键．
答案第12页，共2页
