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第2单元 方程与不等式
一、 选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项符合要求)．
1．方程2x－1＝5的解是( A )
A．x＝3 B．x＝2 C．x＝－3 D．x＝－2
2．由－＝1，可以得到用x表示y的式子是( C )
A．y＝ B．y＝－
C．y＝－2 D．y＝2－
3．已知x＝1是关于x的一元二次方程 2x2－x＋a＝0的一个根，则 a的值是(
D )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
4．分式方程－＝0的解为( C )
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
5．已知不等式组其解集在数轴上表示正确的是( C )
A． B．
C． D．
6．关于x的方程x2－mx－1＝0根的情况是( A )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
7．若关于x的不等式的整数解共有4个，则m的取值范围是( D )
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7C．6≤m≤7 D．6＜m≤7
8．某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，
一台A型设备的单价为 12万元，一台B型设备的单价为 10万元．经了解，一
台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由
于资金有限，该企业计划用不超过 106万元的资金购买这两种设备，且需要这
两种设备每月的污水处理量不低于1 930吨，设购买A型污水处理设备a台，
则根据题意可以列不等式组为( B )
A．
B．
C．
D．
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)．
9．已知x＝3是方程x＋2m＝7的解，则m＝ 2 ．
10．若方程3x5m＋2－n－2ym＋3n＋1＝5是关于x，y的二元一次方程，则m＋n＝ －
．
11．已知方程x2－3x－5＝0的两根为x ，x ，则x 2＋x 2＝ 1 9 ．
1 2 1 2
12．不等式组的整数解为 － 2 ， － 1 ， 0 ， 1 ．
13．定义：a*b＝，则方程2*(x＋3)＝1*(2x)的解为x＝1．
14．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需
时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产 20 0 台机器．
15．中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载了一道“绳索量竿”问题，其
大意：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长 5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短 5尺，问绳索、竿子各有多长?设竿子的长
度为x尺，则可列方程 ＝ x － 5 ．
16．如图，某广场一角的矩形花草区，其长为40 m，宽为26 m，其间有三条
等宽的路，一条直路，两条曲路(曲路被矩形边所截的长度视为曲路的宽度)，
路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为864 m2，则路的宽度为 2 m．
三、解答题(本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤)．
17．(6分)解方程组：
解：①×3＋②得：11x＝11，即x＝1，
把x＝1代入①得：y＝－1，
则方程组的解为
18．(6分)解方程：x2－6x－5＝0．
解：x＝＝3±．
19．(6分)解分式方程：＋＝2．
解：＝2，得x＝4．
经检验，x＝4是原方程的根．
20．(7分)已知关于x的方程x2＋ax＋a－1＝0．
(1)若方程有一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：无论a取任何实数，该方程都有实数根．
解：(1)∵x＝1是方程x2＋ax＋a－1＝0的解，
∴把x＝1代入方程x2＋ax＋a－1＝0，得1＋a＋a－1＝0，解得a＝0．∵x ＋x ＝－a，∴1＋x ＝0．∴x ＝－1．
1 2 2 2
∴a＝0，方程的另一个根为－1．
(2)证明：∵Δ＝a2－4(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，
∴无论a取任何实数，该方程都有实数根．
21．(8分)解不等式组：并在数轴上表示出其解集．
解：解3x－1＞2(x＋1)，得3＜x；
解≤1，得x≤5．
故此不等式组的解集为：3＜x≤5．
在数轴上表示为：
22．(8分)方程组的解为负数，求a的范围．
解：∵x－y＝3，
∴x＝y＋3＜0，y＜－3，
又∵x＋2y＝a－3，
用y表示x，得3y＋3＝a－3，
∴y＝＜－3，
∴a＜－3．
23．(8分)某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，
如果该商品的售价每上涨 1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于 35元，
设每件商品的售价上涨x元(x为整数)时，月销售利润为y元，当每件商品的售
价定为多少元时，可获得的月利润最大?最大月利润是多少?
解：由题意得：y＝(30－20＋x)(180－10x)
＝－10x2＋80x＋1 800(0≤x≤5，且x为整数)，
∵－10＜0，
∴当x＝＝4时，
y ＝1 960元；
最大
∴每件商品的售价为34元．答：每件商品的售价为34元时，商品的月利润最大，为1 960元．
24．(11分)某商店需要购进甲、乙两种商品共 120件，其进价和售价如下表．
(注：获利＝售价－进价)
甲 乙
进价(元/件) 15 35
售价(元/件) 20 45
(1)若商店计划销售完这批商品后能获利1 000元，请问甲、乙两种商品应分别
购进多少件？
(2)若商店计划投入资金少于 4 000元，且销售完这批商品后获利多于 1 135元，
请问有哪几种购货方案？并指出获利最大的购货方案．
解：(1)设购进甲x件，乙y件，依题意，
得：
解得：
答：甲购进40件，乙购进80件．
(2)设甲购进a件，则乙购进(120－a)件，依题意，
得：
解得：10＜a＜13．
当a＝11时，甲购进11件，乙购进109件，
获利5×11＋10×109＝1 145(元)；
当a＝12时，甲购进12件，乙购进108件，
获利5×12＋10×108＝1 140(元)；
∵1 145＞1 140，
∴当甲购进11件，乙购进109件时，有最大获利1 145元．
25．(12分)我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方
程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的
方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如：
①换元法求解四次方程：x4－5x2＋4＝0．设x2＝y，则原方程可变为y2－5y＋4＝0，解得y ＝1，y ＝4，
1 2
当y＝1时，即x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，即x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x ＝1，x ＝－1，x ＝2，x ＝－2．
1 2 3 4
②因式分解法求解三次方程：x3－5x＋2＝0．
将其变形为x3－(4＋1)x＋2＝0，
∴x3－4x－x＋2＝0，
∴(x3－4x)－(x－2)＝0，
∴x(x＋2)(x－2)－(x－2)＝0，
∴(x－2)(x2＋2x－1)＝0，
∴x－2＝0或x2＋2x－1＝0，
∴原方程有三个根：x ＝2，x ＝－1＋，x ＝－1－．
1 2 2
(1)仿照以上方法解方程：
①x4＋x2－12＝0；
②x3－17x＋4＝0；
(2)已知：x2－x－1＝0，且x＞0，则x4－2x3＋3x的值为 1 ＋ ．
解：(1)①设x2＝y，则原方程可变为y2＋y－12＝0，
∴(y＋4)(y－3)＝0，
∴y＋4＝0或y－3＝0，
∴y ＝－4，y ＝3，
1 2
当y＝－4时，即x2＝－4，
∴无解(舍去)；
当y＝3时，即x2＝3，
∴x ＝，x ＝－，
1 2
∴原方程有两个根：x ＝，x ＝－；
1 2
②将其变形为：x3－(16＋1)x＋4＝0，
∴x3－16x－x＋4＝0，
∴(x3－16x)－(x－4)＝0，
∴x(x＋4)(x－4)－(x－4)＝0，
∴(x－4)(x2＋4x－1)＝0，∴x－4＝0或x2＋4x－1＝0，
∴原方程有三个根：x ＝4，x ＝－2＋，x ＝－2－．
1 2 3
(2)∵x2－x－1＝0，x＞0，
∴x＝，∴x2＝＝1＋＝x＋1，
∴x4－2x3＋3x
＝(x＋1)2－2x(x＋1)＋3x
＝x2＋2x＋1－2x2－2x＋3x
＝－x2＋3x＋1
＝－x－1＋3x＋1
＝2x
＝1＋．
故答案为：1＋．
