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第2单元 方程与不等式
一、 选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项符合要求)．
1．方程2x－1＝5的解是( )
A．x＝3 B．x＝2 C．x＝－3 D．x＝－2
2．由－＝1，可以得到用x表示y的式子是( )
A．y＝ B．y＝－
C．y＝－2 D．y＝2－
3．已知x＝1是关于x的一元二次方程 2x2－x＋a＝0的一个根，则 a的值是(
)
A．2 B．－2 C．1 D．－1
4．分式方程－＝0的解为( )
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
5．已知不等式组其解集在数轴上表示正确的是( )
A． B．
C． D．
6．关于x的方程x2－mx－1＝0根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
7．若关于x的不等式的整数解共有4个，则m的取值范围是( )
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7C．6≤m≤7 D．6＜m≤7
8．某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，
一台A型设备的单价为 12万元，一台B型设备的单价为 10万元．经了解，一
台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由
于资金有限，该企业计划用不超过 106万元的资金购买这两种设备，且需要这
两种设备每月的污水处理量不低于1 930吨，设购买A型污水处理设备a台，
则根据题意可以列不等式组为( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)．
9．已知x＝3是方程x＋2m＝7的解，则m＝ ．
10．若方程 3x5m＋2－n－2ym＋3n＋1＝5是关于 x，y的二元一次方程，则 m＋n＝
．
11．已知方程x2－3x－5＝0的两根为x ，x ，则x 2＋x 2＝ ．
1 2 1 2
12．不等式组的整数解为 ．
13．定义：a*b＝，则方程2*(x＋3)＝1*(2x)的解为 ．
14．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需
时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产 台机
器．
15．中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载了一道“绳索量竿”问题，其大意：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长 5尺；若将
绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短 5尺，问绳索、竿子各有多长?设竿子的长
度为x尺，则可列方程 ．
16．如图，某广场一角的矩形花草区，其长为40 m，宽为26 m，其间有三条
等宽的路，一条直路，两条曲路(曲路被矩形边所截的长度视为曲路的宽度)，
路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为 864 m2，则路的宽度为
m．
三、解答题(本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤)．
17．(6分)解方程组：
18．(6分)解方程：x2－6x－5＝0．
19．(6分)解分式方程：＋＝2．
20．(7分)已知关于x的方程x2＋ax＋a－1＝0．
(1)若方程有一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：无论a取任何实数，该方程都有实数根．
21．(8分)解不等式组：并在数轴上表示出其解集．
22．(8分)方程组的解为负数，求a的范围．
23．(8分)某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商品的售价每上涨 1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于 35元，
设每件商品的售价上涨x元(x为整数)时，月销售利润为y元，当每件商品的售
价定为多少元时，可获得的月利润最大?最大月利润是多少?
24．(11分)某商店需要购进甲、乙两种商品共 120件，其进价和售价如下表．
(注：获利＝售价－进价)
甲 乙
进价(元/件) 15 35
售价(元/件) 20 45
(1)若商店计划销售完这批商品后能获利1 000元，请问甲、乙两种商品应分别
购进多少件？
(2)若商店计划投入资金少于 4 000元，且销售完这批商品后获利多于 1 135元，
请问有哪几种购货方案？并指出获利最大的购货方案．
25．(12分)我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方
程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的
方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如：
①换元法求解四次方程：x4－5x2＋4＝0．
设x2＝y，则原方程可变为y2－5y＋4＝0，解得y ＝1，y ＝4，
1 2
当y＝1时，即x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，即x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x ＝1，x ＝－1，x ＝2，x ＝－2．
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②因式分解法求解三次方程：x3－5x＋2＝0．
将其变形为x3－(4＋1)x＋2＝0，
∴x3－4x－x＋2＝0，
∴(x3－4x)－(x－2)＝0，
∴x(x＋2)(x－2)－(x－2)＝0，
∴(x－2)(x2＋2x－1)＝0，
∴x－2＝0或x2＋2x－1＝0，∴原方程有三个根：x ＝2，x ＝－1＋，x ＝－1－．
1 2 2
(1)仿照以上方法解方程：
①x4＋x2－12＝0；
②x3－17x＋4＝0；
(2)已知：x2－x－1＝0，且x＞0，则x4－2x3＋3x的值为 ．
