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专题11 分式方程
一、解分式方程
【高频考点精讲】
1．解分式方程的步骤
（1）去分母。方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。
（2）去括号。系数分别乘以括号里的数。
（3）移项。含有未知数的式子移到方程左边，常数移到方程右边。
（4）合并同类项。
（5）系数化为1。
（6）检验。把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于 0，这个根就是增根；如果最简公分母不等于
0，这个根就是原分式方程的根；如果解出的根是增根，那么原方程无解。
2．换元法解分式方程
（1）将原分式方程中含有字母的整体用另一个字母代替，从而使问题得到简化，这种方法叫做换元法。
（2）常见类型
①直接换元。例如 ，设 。
②配方换元。例如 ，原方程配方，得 ，设 。
③倒数换元。例如 ，设 。
④变形换元。例如 ，可变形为 ，设 。
【热点题型精练】
2 m
1．（2022•遂宁中考）若关于x的方程 = 无解，则m的值为（ ）
x 2x+1
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
2 m
解： = ，
x 2x+1
2（2x+1）＝mx，
4x+2＝mx，
（4﹣m）x＝﹣2，
∵方程无解，∴4﹣m＝0或2x+1＝0，
1 2
即4﹣m＝0或x=− =− ，
2 4−m
∴m＝4或m＝0，
答案：D．
2x+m
2．（2022•德阳中考）如果关于x的方程 =1的解是正数，那么m的取值范围是（ ）
x−1
A．m＞﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＜﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2
解：两边同时乘（x﹣1）得，
2x+m＝x﹣1，
解得：x＝﹣1﹣m，
又∵方程的解是正数，且x≠1，
{x＞0 {−1−m＞0
∴ ，即 ，
x≠1 −1−m≠1
{m＜−1
解得： ，
m≠−2
∴m的取值范围为：m＜﹣1且m≠﹣2．
答案：D．
1 2x
3．（2022•毕节中考）小明解分式方程 = −1的过程如下．
x+1 3x+3
解：去分母，得3＝2x﹣（3x+3）．①
去括号，得3＝2x﹣3x+3．②
移项、合并同类项，得﹣x＝6．③
化系数为1，得x＝﹣6．④
以上步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
解：去分母得：3＝2x﹣（3x+3）①，
去括号得：3＝2x﹣3x﹣3②，
∴开始出错的一步是②，
答案：B．
3 1 1
4．（2022•杭州模拟）若实数x满足x2−3x+2= − ，则x+ 的值为（ ）
x x2 x
A．3 B．0 C．3或0 D．±3
解：由题意可得1 1
(x+ ) 2−3(x+ )=0，
x x
1
故x+ =3或0（其中0不符合题意，舍去）
x
答案：A．
m+1 2x
5．（2022•无锡模拟）若关于x的方程 − =0有增根，则m的值为（ ）
x−2 2−x
A．﹣5 B．0 C．1 D．2
m+1 2x
解： − =0，
x−2 2−x
m+1+2x＝0，
m+1
解得：x=− ，
2
∵方程有增根，
∴x＝2，
m+1
把x＝2代入x=− 中，
2
m+1
2=− ，
2
解得：m＝﹣5，
答案：A．
3 2
6．（2022•济南中考）代数式 与代数式 的值相等，则x＝ 7 ．
x+2 x−1
解：由题意得，
3 2
= ，
x+2 x−1
去分母得，3（x﹣1）＝2（x+2），
去括号得，3x﹣3＝2x+4，
移项得，3x﹣2x＝4+3，
解得x＝7，
经检验x＝7是原方程的解，
所以原方程的解为x＝7，
答案：7．
1 2 x+2m
7．（2022•齐齐哈尔中考）若关于x的分式方程 + = 的解大于1，则m的取值范围是 m ＞ 0 且
x−2 x+2 x2−4
m ≠ 1 ．1 2 x+2m
解： + = ，
x−2 x+2 (x+2)(x−2)
给分式方程两边同时乘以最简公分母（x+2）（x﹣2），
得（x+2）+2（x﹣2）＝x+2m，
去括号，得x+2+2x﹣4＝x+2m，
解方程，得x＝m+1，
检验：当
m+1≠2，m+1≠﹣2，
即m≠1且m≠﹣3时，x＝m+1是原分式方程的解，
根据题意可得，
m+1＞1，
∴m＞0且m≠1．
答案：m＞0且m≠1．
1 1 2x+1
8．（2022•宁波中考）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a b= + ．若（x+1） x= ，则x
a b x
⊗ ⊗
1
的值为 − ．
2
1 1 2x+1
解：根据题意得： + = ，
x+1 x x
化为整式方程得：x+x+1＝（2x+1）（x+1），
1
解得：x=− ，
2
1
检验：当x=− 时，x（x+1）≠0，
2
1
∴原方程的解为：x=− ．
2
1
答案：− ．
2
1
9．（2022•宿迁模拟）若x＜2，且 +|x﹣2|+x﹣1＝0，则x＝ 1 ．
x−2
1
解： +|x﹣2|+x﹣1＝0，
x−2
∵x＜2，
1
∴方程为 +2﹣x+x﹣1＝0，
x−21
即 =−1，
x−2
方程两边都乘x﹣2，得1＝﹣（x﹣2），
解得：x＝1，
经检验x＝1是原方程的解，
答案：1．
2x x+2 x
10．（2022•上海模拟）用换元法解方程 + =3时，如果设 =y，那么原方程可化为关于y的整式方程
x+2 x x+2
是 2 y 2 ﹣ 3 y + 1 ＝ 0 ．
x 1 x+2
解：设y= ，则 = ．
x+2 y x
则原方程可化为：2y2﹣3y+1＝0．
答案：2y2﹣3y+1＝0．
3−x 1
11．（2022•贺州中考）解方程： = −2．
x−4 4−x
解：方程两边同时乘以最简公分母（x﹣4），
得3﹣x＝﹣1﹣2（x﹣4），
去括号，得3﹣x＝﹣1﹣2x+8，
解方程，得x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣4＝0，
∴x＝4不是原方程的解，原分式方程无解．
4 3
12．（2022•西宁中考）解方程： − = 0．
x2+x x2−x
解：方程两边同乘以x（x+1）（x﹣1）得：
4（x﹣1）﹣3（x+1）＝0．
去括号得：
4x﹣4﹣3x﹣3＝0，
移项，合并同类项得：
x＝7．
检验：当x＝7时，x（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝7是原方程的根．
∴x＝7．
二、由实际问题抽象出分式方程
【高频考点精讲】1．利用常见数量关系确定等量关系。例如行程问题中的相遇时间、追击时间相等。
2．利用关键词确定等量关系。例如“倍”“多”“少”等。
【热点题型精练】
13．（2022•丽水中考）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，
5000 4000
购买篮球用了 4000元，篮球单价比足球贵 30元．根据题意可列方程 = −30，则方程中 x表示
2x x
（ ）
A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量
解：设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个．
5000 4000
根据题意可得： = −30，
2x x
答案：D．
14．（2022•淄博中考）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入 2万元购进了一批劳动工具．开
展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，
但采购单价比第一次降低 10元，总费用降低了 15%．设第二次采购单价为 x元，则下列方程中正确的是
（ ）
20000 20000×(1−15%)
A． =
x x−10
20000 20000×(1−15%)
B． =
x−10 x
20000 20000×(1−15%)
C． =
x x+10
20000 20000×(1−15%)
D． =
x+10 x
解：由题意可得，
20000 20000(1−15%)
= ，
x+10 x
答案：D．
15．（2022•襄阳中考）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送
到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少 3天，已知快马
的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
900 900 900 900
A． =2× B． =2×
x+3 x−1 x−3 x+1
900 900 900 900
C． =2× D． =2×
x−1 x+3 x+1 x−3解：∵规定时间为x天，
∴慢马送到所需时间为（x+1）天，快马送到所需时间为（x﹣3）天，
又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
900 900
∴ =2× ．
x−3 x+1
答案：B．
16．（2022•广西中考）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽
为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？
设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）
1.4−x 8 1.4+x 8
A． = B． =
2.4−x 13 2.4+x 13
1.4−2x 8 1.4+2x 8
C． = D． =
2.4−2x 13 2.4+2x 13
解：由题意可得，
1.4+2x 8
= ，
2.4+2x 13
答案：D．
17．（2022•鞍山中考）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间
每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工x件产品，
4000 4200
根据题意可列方程为 − = 3 ．
x 1.5x
解：∵甲车间每天加工x件产品，乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，
∴乙车间每天加工1.5x件产品，
又∵甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，
4000 4200
∴ − =3．
x 1.5x
4000 4200
答案： − =3．
x 1.5x
18．（2022•青岛中考）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体
育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少3000 3000
用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为 − =3
x (1+25%)x
．
3000 3000
解：依题意有： − = 3．
x (1+25%)x
3000 3000
答案： − = 3．
x (1+25%)x
19．（2022•潍坊模拟）为提升晚高峰车辆的通行速度，某市设置潮汐车道，首条潮汐车道从市政府广场到人民公
园，全程约3千米．该路段实行潮汐车道设置后，在晚高峰期间，通过该路段的车辆的行驶速度平均提升
25%，行驶时间平均减少2分钟，设实施潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶x千
3 3 2
米，则可列方程为 − = ．
x (1+25%)x 60
解：由题意可得，
3 3 2
− = ，
x (1+25%)x 60
3 3 2
答案： − = ，
x (1+25%)x 60
20．（2022•大连模拟）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿顺流航行90km所用时间，与以
90 60
最大航速逆流航行60km所用时间相等．设江水流速为vkm/h，则可列方程为 = ．
30+v 30−v
解：设江水的流速为vkm/h，
90 60
根据题意得： = ．
30+v 30−v
90 60
答案： = ．
30+v 30−v
三、分式方程的应用
【高频考点精讲】
1．工程问题。工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间。
2．行程问题。路程 = 速度 × 时间。
3．销售问题。总价 = 单价 × 数量。
【热点题型精练】
21．（2022•昆明模拟）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三
十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗
的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（ ）A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升
解：根据题意得：3斗＝30升，
设可以换得的粝米为x升，
50 30
则 = ，
30 x
30×3
解得：x= =18（升），
5
经检验：x＝18是原分式方程的解，
答：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为18升．
答案：C．
22．（2022•合肥模拟）某公司为增加员工收入，提高效益．今年提出如下目标，和去年相比，在产品的出厂价增
利润
加10%的前提下，将产品成本降低20%，使产品的利润率（利润率= ×100%）较去年翻一番，则今年该
成本
公司产品的利润率为（ ）
A．40% B．80% C．120% D．160%
解：设去年产品出厂价为a，去年产品成本为b，根据题意，
(1+10%)a−(1−20%)b a−b
•100%= ×2×100%，
(1−20%)b b
1.1a−0.8b
即整理得： =2a﹣2b，
0.8
8
解得：a= b，
5
8
8 a−b b−b 3
所以把a= b，代入 ×2中得5 2= ×2＝120%．
5 b × 5
b
答案：C．
23．（2022•青岛模拟）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相
比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加
了20%．已知去年这种水果批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价是 4 元．
解：设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年每千克的批发价为（x+1）元，
今年的批发销售总额为10000（1+20%）＝12000元，
12000 10000
由题意得： − =1000，
x x+1
解得：x＝4或x＝﹣3（不符合题意，舍去），
即这种水果今年每千克的平均批发价是4元，答案：4．
24．（2022•南昌模拟）北京2022年冬奥会开启“坐着高铁看冬奥”新模式．北京赛区到延庆赛区乘高铁与乘班
车通行路程均约60公里，已知高铁的平均速度是班车平均速度的 3倍，乘高铁用时比乘班车少40分钟，则从
北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为 2 0 分钟．
解：设从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为x分钟，
60 60
由题意得： = ×3，
x x+40
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意；
即从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为20分钟，
答案：20．
25．（2022•锦州中考）2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索
科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套
装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数
量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元．
解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，
9900 7500
依题意得： − =5，
1.2x x
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝1.2×150＝180．
答：A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元．
26．（2022•衢州中考）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 新能源车
油箱容积：40升 电池电量：60千瓦时
油价：9元/升 电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米 续航里程：a千米
40×9 每千米行驶费用：_____元
每千米行驶费用： 元
a
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源
车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）解：（1）由表格可得，
60×0.6 36
新能源车的每千米行驶费用为： = （元），
a a
36
即新能源车的每千米行驶费用为 元；
a
（2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
40×9 36
∴ − =0.54，
a a
解得a＝600，
经检验，a＝600是原分式方程的解，
40×9 36
∴ =0.6， =0.06，
600 600
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
②设每年行驶里程为xkm，
由题意得：0.6x+4800＞0.06x+7500，
解得x＞5000，
答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低．
