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专题14 一次函数
一、一次函数图象与系数的关系
【高频考点精讲】
1．在一次函数 中，当k＞0时，y随x增大而增大。
（1）当b＞0 时，直线交y轴于正半轴，过一、二、三象限。
（2）当b＜0 时，直线交y轴于负半轴，过一、三、四象限。
2．在一次函数 中，当k＜0时，y随x增大而减小。
（1）当b＞0 时，直线交y轴于正半轴，过一、二、四象限。
（2）当b＜0 时，直线交y轴于负半轴，过二、三、四象限。
【热点题型精练】
3 √7
1．（2022•邵阳中考）在直角坐标系中，已知点A（ ，m），点B（ ，n）是直线y＝kx+b（k＜0）上的两点，
2 2
则m，n的大小关系是（ ）
A．m＜n B．m＞n C．m≥n D．m≤n
2．（2022•安徽中考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022•辽宁中考）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k x+b 与y＝k x+b 的图象分别为直线l 和直
1 1 2 2 1
线l ，下列结论正确的是（ ）
2
A．k •k ＜0 B．k +k ＜0 C．b ﹣b ＜0 D．b •b ＜0
1 2 1 2 1 2 1 2
4．（2022•柳州中考）如图，直线y ＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y ＝﹣x+3分别与x轴、y轴交
1 2
于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（ ）A．1 B．2 C．4 D．6
5．（2022•宿迁中考）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：
“函数图象经过点（0，2）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是 ．
6．（2022•天津中考）若一次函数 y＝x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则 b的值可以是
（写出一个即可）．
7．（2022•盘锦中考）点A（x ，y ），B（x ，y ）在一次函数y＝（a﹣2）x+1的图象上，当x ＞x 时，y ＜y ，
1 1 2 2 1 2 1 2
则a的取值范围是 ．
8．（2022•德阳中考）如图，已知点A（﹣2，3），B（2，1），直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0）．试探究：直
线与线段AB有交点时k的变化情况，猜想k的取值范围是 ．
二、一次函数图象上点的坐标特征
【高频考点精讲】
一次函数 的图象是一条直线，它与x轴的交点坐标是（ ，0）；与y轴的交点坐标是（0，
b），直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 。
【热点题型精练】
9．（2022•株洲中考）在平面直角坐标系中，一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（ ）
1 1
A．（0，﹣1） B．（− ，0） C．（ ，0） D．（0，1）
5 5
10．（2022•绍兴中考）已知（x ，y ），（x ，y ），（x ，y ）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x ＜x ＜x ，则
1 1 2 2 3 3 1 2 3
以下判断正确的是（ ）A．若x x ＞0，则y y ＞0 B．若x x ＜0，则y y ＞0
1 2 1 3 1 3 1 2
C．若x x ＞0，则y y ＞0 D．若x x ＜0，则y y ＞0
2 3 1 3 2 3 1 2
11．（2022•陕西中考）在同一平面直角坐标系中，直线 y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y
{x+ y−4=0，
的方程组 的解为（ ）
2x−y+m=0
{x=−1， {x=3， {x=1， {x=9，
A． B． C． D．
y=5 y=1 y=3 y=−5
12．（2022•宁夏中考）如图，点B的坐标是（0，3），将△OAB沿x轴向右平移至△CDE，点B的对应点E恰好
落在直线y＝2x﹣3上，则点A移动的距离是 ．
13．（2022•辽宁中考）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点， OCDE的顶
点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则 OCDE的面积为 ． ▱
▱
14．（2022•菏泽中考）如图，在第一象限内的直线 l：y=√3x 上取点 A ，使 OA ＝1，以 OA 为边作等边
1 1 1
△OA B ，交x轴于点B ；过点B 作x轴的垂线交直线l于点A ，以OA 为边作等边△OA B ，交x轴于点B ；
1 1 1 1 2 2 2 2 2
过点B 作x轴的垂线交直线l于点A ，以OA 为边作等边△OA B ，交x轴于点B ；……，依次类推，则点
2 3 3 3 3 3
A 的横坐标为 ．
2022三、一次函数图象与几何变换
【高频考点精讲】
1．一次函数图象的平移
直线 可以看做由直线 平移|b|个单位得到的。b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移。
（1）如果两条直线平行，那么两条直线的斜率k相等，反过来，如果两条直线的斜率k相等，那么两条直线平行。
（2）平移规律：上加下减，左加右减。
2．一次函数图象的对称
（1）直线 关于x轴对称的另一条直线的解析式为 。
推导过程：x不变，y变成﹣y，即 。（横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
（2）直线 关于y轴对称的另一条直线的解析式为 。
推导过程：y不变，x变成﹣x，即 。（纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
（3）直线 关于原点对称的另一条直线的解析式为 。
推导过程：x和y都变成相反数，即 。（横、纵坐标都变成原来的相反数）
3．一次函数图象的旋转
（1）直线 旋转90°所得另一条直线与原直线垂直，斜率乘积为﹣1，另一条直线的解析式为 。
（2）直线 旋转其他特殊角，例如30°、45°、60°，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理求出旋转后
的坐标，或者直接利用三角函数求解。
（3）如果两条直线相交，那么交点坐标同时适用于两条直线。
【热点题型精练】
15．（2022•广安中考）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析
式是（ ）
A．y＝3x+5 B．y＝3x﹣5 C．y＝3x+1 D．y＝3x﹣1
3 3
16．（2022•西安模拟）在平面直角坐标系中，将一次函数 y= x− 的图象沿x轴向左平移m（m≥0）个单位后
2 4
经过原点O，则m的值为（ ）
4 3 1
A． B． C．2 D．
3 4 217．（2022•苏州模拟）在直角坐标系中，一直线a向下平移3个单位后所得直线b经过点A（0，3），将直线b
绕点A顺时针旋转60°后所得直线经过点B（−√3，0），则直线a的函数关系式为（ ）
√3 √3
A．y=−√3x B．y=− x C．y=−√3x+6 D．y=− x+6
3 3
18．（2022•绵阳模拟）如图，一次函数y＝x+√2的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针
旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（ ）
A．√6+√2 B．3√2 C．2+√3 D．√3+√2
19．（2022•兰州模拟）已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y＝kx+3上，把直线y＝kx+3的
图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为 ．
20．（2022•阜新中考）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于
“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整．
（1）如图1，将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了 个单位长度；
（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向 （填“左”或“右”）平移
了 个单位长度；
（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向
（填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向 （填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个单
位长度，且m，n，k满足等式 ．
21．（2022•宁夏模拟）如图，将直线y＝﹣x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A（2，﹣4），且与y轴交于点
B，在x轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为 ．22．（2022•杭州模拟）已知一次函数y＝k（x﹣3）（k≠0）．
（1）求证：点（3，0）在该函数图象上．
（2）若该函数图象向上平移2个单位后过点（4，﹣2），求k的值．
（3）若k＜0，点A（x ，y ），B（x ，y ）在函数图象上，且y ＜y ，判断x ﹣x ＜0是否成立？请说明理由．
1 1 2 2 1 2 1 2
四、一次函数与一元一次不等式
【高频考点精讲】
1．一次函数与一元一次不等式的关系
一元一次不等式可以转化为 或 （a,b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作，
当一次函数 的值大于0或者小于0时，求相应自变量的取值范围。
2．用画函数图象的方法解不等式 或
一次函数 的图象与x轴的交点为（ ，0）
当k＞0时，不等式 的解为x＞ ，不等式 的解为x＜ 。
当k＜0时，不等式 的解为x＜ ，不等式 的解为x＞ 。
【热点题型精练】
23．（2022•南通中考）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（ ）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1
24．（2022•遵义模拟）如图，直线y＝﹣x+2与y＝ax+b（a≠0且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关
于x的不等式﹣x+2≥ax+b的解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥3 C．x≤﹣1 D．x≤3
25．（2022•鄂州中考）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k
1 1
＜0）的图象与直线y= x都经过点A（3，1），当kx+b＜ x时，根据图象可知，x的取值范围是（ ）
3 3
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
26．（2022•扬州中考）如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为
．3
27．（2022•徐州中考）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于kx+ b＞0的不等式的解集为 ．
2
28．（2022•襄阳中考）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括
6
函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y= −|x|的图象，并探究该函数性质．
|x|
（1）绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ ．
x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 ……
y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣1 ﹣2.5 ﹣3.8 ……
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；（2）探究函数性质
6
请写出函数y= −|x|的一条性质： ；
|x|
（3）运用函数图象及性质
6
①写出方程 −|x|＝5的解 ；
|x|
6
②写出不等式 −|x|≤1的解集 ．
|x|
五、一次函数的应用
【高频考点精讲】
1．分段函数问题
分段函数是在不同区间内存在不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
合实际。
2．函数的多变量问题
解决含有多变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可
以反映实际问题的函数。
【热点题型精练】
29．（2022•攀枝花中考）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安
和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高
速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距
离y （km）与时间x（h）之间的函数关系：折线OABN表示轿车离西昌距离y （km）与时间x（h）之间的函
1 2
数关系，则以下结论错误的是（ ）
A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为60km/h
C．轿车从西昌到雅安的速度为110km/h
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有20km
30．（2022•毕节中考）现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件．某物流公司的汽车行驶 30km后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶 1h到达目的地．汽车行驶的时间x（单位：
h）与行驶的路程y（单位：km）之间的关系如图所示．请结合图象，判断以下说法正确的是（ ）
A．汽车在高速路上行驶了2.5h
B．汽车在高速路上行驶的路程是180km
C．汽车在高速路上行驶的平均速度是72km/h
D．汽车在乡村道路上行驶的平均速度是40km/h
31．（2022•绥化中考）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线
骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x
（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）
A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
32．（2022•苏州中考）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管
排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分
钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为 ．33．（2022•阜新中考）快递员经常驾车往返于公司和客户之间．在快递员完成某次投递业务时，他与客户的距离
s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示（因其他业务，曾在途中有一次折返，且快递员始终匀速行
驶），那么快递员的行驶速度是 km/h．
34．（2022•深圳中考）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的
要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是
多少．
35．（2022•南通中考）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单
位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．
（1）写出图中点B表示的实际意义；
（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取
值范围；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值．36．（2022•苏州中考）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
进货批次 甲种水果质量 乙种水果质量 总费用
（单位：千克） （单位：千克） （单位：元）
第一次 60 40 1520
第二次 30 50 1360
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共 200
千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水
果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最
大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
