文档内容
专题15 反比例函数
一、反比例函数的图象及性质
【高频考点精讲】
1．反比例函数 （k≠0，k为常数）的图象是双曲线，两个分支无限接近x轴、y轴，但是与坐标轴没有交点。
2．反比例函数的性质
（1）增减性
当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，y随x的增大而减小。
当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，y随x的增大而增大。
（2）轴对称性
当k＞0时，双曲线的两支关于直线 对称。
当k＜0时，双曲线的两支关于直线 对称。
（3）中心对称性
双曲线的两个分支关于原点成中心对称。
【热点题型精练】
b
1．（2022•贺州中考）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝﹣kx+b与y= 的图象为（ ）
x
A． B． C． D．a
2．（2022•襄阳中考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y= 在同一平面
x
直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
k
3．（2022•上海中考）已知反比例函数y= （k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这
x
个函数图象上的为（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，0） D．（﹣3，0）
k
4．（2022•荆门中考）如图，点A，C为函数y= （x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，
x
垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为
3
时，k的值为（ ）
4
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
k−2
5．（2022•成都中考）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y= 的图象位于第二、四象限，则k的取值范
x
围是 ．
8
6．（2022•济宁中考）如图，A是双曲线y= （x＞0）上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足
x
为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是 ．二、反比例函数图象上点的坐标特征及系数k的几何意义
【高频考点精讲】
1．图象上点的坐标特征
（1）图象上的点（x，y）的横、纵坐标之积是定值k，即 。
（2）双曲线的两个分支关于原点对称，两个分支上的点也关于原点对称。
2．比例系数k的几何意义
（1）在反比例函数图象上任取一点，过此点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形面积是 。
（2）在反比例函数图象上任取一点，过此点向坐标轴作垂线，此点和垂足以及坐标原点构成的三角形面积是 。
【热点题型精练】
k
7．（2022•贵阳中考）如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数y= （k
x
k
＞0）的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数y= 的图象上的点是（ ）
xA．点P B．点Q C．点M D．点N
k
8．（2022•长春中考）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标
x
为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比
例函数的图象上，则k的值为（ ）
√3
A． B．√3 C．2√3 D．4
2
k
9．（2022•日照中考）如图，矩形OABC与反比例函数y = 1（k 是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反
1 1
x
k
比例函数y = 2（k 是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k
2 2 1
x
﹣k ＝（ ）
2
3 3
A．3 B．﹣3 C． D．−
2 2
2
10．（2022•宿迁中考）如图，点A在反比例函数y= （x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，
x
其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（ ）A．1 B．√2 C．2√2 D．4
2 8
11．（2022•郴州中考）如图，在函数y= （x＞0）的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y=− （x
x x
＜0）的图象于点B，连接OA，OB，则△AOB的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
12．（2022•深圳中考）如图，已知直角三角形ABO中，AO＝1，将△ABO绕O点旋转至△A'B'O的位置，且A'在
k
OB中点，B'在反比例函数y= 上，则k的值 ．
x
13．（2022•威海中考）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标
k
为（0，4）．若反比例函数y= （k≠0）的图象经过点C，则k的值为 ．
x14．（2022•株洲中考）如图所示，矩形ABCD顶点A、D在y轴上，顶点C在第一象限，x轴为该矩形的一条对称
k
轴，且矩形ABCD的面积为6．若反比例函数y= 的图象经过点C，则k的值为 ．
x
k
15．（2022•包头中考）如图，反比例函数y= （k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，直
x
线AB与x轴相交于点C，D是线段OA上一点．若AD•BC＝AB•DO，连接CD，记△ADC，△DOC的面积分别
为S ，S ，则S ﹣S 的值为 ．
1 2 1 2
k
16．（2022•烟台中考）如图，A，B是双曲线y= （x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点
x
C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 ．k
17．（2022•玉林中考）如图，点A在双曲线y= （k＞0，x＞0）上，点B在直线l：y＝mx﹣2b（m＞0，b＞0）
x
上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：
①A（b，√3b）；②当b＝2时，k＝4√3；
√3
③m= ； ④S四边形AOCB ＝2b2
3
则所有正确结论的序号是 ．
k
18．（2022•金华中考）如图，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点B，反比例函数y= （k≠0，x＞0）的图象分别
x
交AO，AB于点C，D．已知点C的坐标为（2，2），BD＝1．
（1）求k的值及点D的坐标．
（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围．
三、反比例函数与一次函数的交点问题
【高频考点精讲】1．反比例函数 与一次函数 交点坐标的求解方法
把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点；若方程组无解，则两者无交点。
2．反比例函数 与一次函数 在同一直角坐标系中交点个数的判断方法
（1）当k 与k 同号时，两个函数在同一直角坐标系中有2个交点。
1 2
（2）当k 与k 异号时，两个函数在同一直角坐标系中可能有0、1或2个交点。
1 2
【热点题型精练】
k
19．（2022•东营中考）如图，一次函数y ＝k x+b与反比例函数y = 2的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为
1 1 2
x
k
2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k x+b＜ 2的解集是（ ）
1
x
A．﹣1＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜2
m
20．（2022•无锡中考）一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y= 的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为
x
1
A（− ，﹣2m）、B（m，1），则△OAB的面积是（ ）
m
13 7 15
A．3 B． C． D．
4 2 4
a−1
21．（2022•怀化中考）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y= （a＞1）的图象于A、B两点，过点
x
B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD ＝5，则a的值为（ ）A．8 B．9 C．10 D．11
22．（2022•随州中考）如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y
k
= 的图象在第一象限交于点C，若AB＝BC，则k的值为 ．
x
2
23．（2022•内江中考）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，3），与反比例函数y= 的图象在第一
x
象限交于点Q（m，n）．若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是 ．
1
24．（2022•巴中中考）将双曲线y= 向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新双曲线与直线y＝k（x
i
x
﹣2）﹣1（k＞0，i＝1，2，3，…，1011）相交于2022个点，则这2022个点的横坐标之和为 ．
i
k
25．（2022•绵阳中考）如图，一次函数y＝k x+b与反比例函数y= 2在第一象限交于M（2，8）、N两点，NA垂
1
x
直x轴于点A，O为坐标原点，四边形OANM的面积为38．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使△PMN的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和△PMN面积的最小值．
k
26．（2022•乐山中考）如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数y= （x＜0）的图象交于点A（﹣1，n），直线
x
l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
四、反比例函数的应用
【高频考点精讲】
1．利用反比例函数解决实际问题
（1）把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型。
（2）注意自变量和函数值的实际意义。
2．跨学科的反比例函数应用题
熟练掌握物理或化学中的一些具有反比例函数关系的公式。
3．反比例函数中的图表信息题
正确认识图象，找到关键点，运用数形结合。
【热点题型精练】
27．（2022•丽水中考）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过
0.11A．设选用灯泡的电阻为R（ ），下列说法正确的是（ ）
A．R至少2000 B．R至多Ω2000 C．R至少24.2 D．R至多24.2
Ω Ω Ω Ω28．（2021•自贡中考）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位： ）是反
比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） Ω
13
A．函数解析式为I= B．蓄电池的电压是18V
R
C．当I≤10A时，R≥3.6 D．当R＝6 时，I＝4A
29．（2022•山西中考）根据Ω物理学知识，在压力不变的情Ω况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S
（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为 Pa．
30．（2022•广州中考）某燃气公司计划在地下修建一个容积为 V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，
储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求储存室的容积V的值；
（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
