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专题 17 多函数综合问题
多函数综合题是指一次函数、反比例函数与二次函数的综合，考查形式多样，包括存在性问题、面积问
题、线段和差的最值问题以及角度的问题。在解决此类问题，首先掌握各函数的图像与性质是解决问题的
前提。
（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过点 的直线AB与y轴交于点
．经过原点O的抛物线 交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当 轴且 时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩
形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
(2)求出直线AB的表达式为 ，设 ， ，分当M在N点上方时，
．和当M在N点下方时， ，
即可求出M的坐标；
（3）画出图形，分AC是四边形的边和AC是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角形的
判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案．
【答案】(1)
(2) 或 或
(3)存在， 或 或 或
【详解】（1）解：∵抛物线 过点 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的表达式为 ．
（2）设直线AB的解析式为： ，
∵直线AB经过 ， ，
∴ ，
∴ ，∴直线AB的表达式为 ．
∵ 轴，可设 ， ，其中 ．
当M在N点上方时， ．
解得 ， （舍去）．
∴ ．
当M在N点下方时， ．
解得 ， ．
∴ ， ．
综上所述，满足条件的点M的坐标有三个 ， ， ．
（3）存在．满足条件的点Q的坐标有4个． ， ， ， ．
理由如下：
①如图，若AC是四边形的边．当 时，
∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点 ．
过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴点 与点D重合．
当 时，四边形 是矩形．
∵ 向右平移1个单位，向上平移1个单位得到 ．
∴ 向右平移1个单位，向上平移1个单位得到 ．
此时直线 的解析式为 ．∵直线 与 平行且过点 ，
∴直线 的解析式为 ．
∵点 是直线 与拋物线 的交点，
∴ ．
解得 ， （舍去）．
∴ ．当 时，四边形 是矩形．
∵ 向左平移3个单位，向上平移3个单位得到 ．
∴ 向左平移3个单位，向上平移3个单位得到 ．
②如图，若AC是四边形的对角线，
当 时．过点 作 轴，垂足为H，过点C作 ，垂足为K．
可得 ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵点P不与点A，C重合，∴ 和 ．
∴ ．
∴ ．
∴如图，满足条件的点P有两个．即 ， ．
当 时，四边形 是矩形．
∵ 向左平移 个单位，向下平移 个单位得到 ．
∴ 向左平移 个单位，向下平移 个单位得到 ．
当 时，四边形 是矩形．
∵ 向右平移 个单位，向上平移 个单位得到 ．
∴ 向右平移 个单位，向上平移 个单位得到 ．
综上，满足条件的点Q的坐标为 或 或 或 ．本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式、勾股定理，矩形的
性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形、进行分类讨论是解题
的关键．
（2022·山西·中考真题）综合与探究
如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线 轴于点D，作
直线BC交PD于点E
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
(2)当 是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)连接AC，过点P作直线 ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在
点P，使得 ，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
（1）令 中y和x分别为0，即可求出A，B，C三点的坐标，利用待定系数法求直线BC
的函数表达式；
（2）过点C作 于点G，易证四边形CODG是矩形，推出 ， ，
，再证明 ，推出 ，由等腰三角形三线合一的性质可以得出
， 则 ，由P点在抛物线上可得 ，联立解出
m，代入二次函数解析式即可求出点P的坐标；（3）分点F在y轴的负半轴上和点F在y轴的正半轴上两种情况，画出大致图形，当 时，
，由（2）知 ，用含m的代数式分别表示出OF，列等式计算即可．
【答案】(1) ，点C的坐标为 ；
(2)
(3)存在；m的值为4或
【详解】（1）解：由 得，
当 时， ，
∴点C的坐标为 ．
当 时， ，
解得 ．
∵点A在点B的左侧，
∴点A，B的坐标分别为 ．
设直线BC的函数表达式为 ，
将 ， 代入得 ，
解得 ，
∴直线BC的函数表达式为 ﹒
（2）解：∵点P在第一象限抛物线上，横坐标为m，且 轴于点D，
∴点P的坐标为 ， ，∴ ．
∵点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，
∴ ， ．
过点C作 于点G，则 ．
∵ ，
∴四边形CODG是矩形，
∴ ， ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，即 ，
∴ ．
在 中，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴
解得 （舍去），
∴ ．
当 时， ﹒
∴点P的坐标为 ．（3）解：存在；m的值为4或 ．
分两种情况，①当点F在y轴的负半轴上时，如下图所示，过点P作直线 轴于点H，
∵过点P作直线 ，交y轴于点F，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（2）知， ．
根据勾股定理，在 中， ，
在 中， ，
当 时， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，
∴ ；
②当点F在y轴的正半轴上时，如下图所示，
同理可得， ， ， ， ，
∴
∴ ，
解得 或 ，
∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，
∴ ；
综上，m的值为4或
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知
识点，第三问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出OF是解题的关键．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例
函数 的图象相交于 ， 两点．
(1)求反比例函数的表达式及点 的坐标；
(2)过点 作直线 ，交反比例函数图象于另一点 ，连接 ，当线段 被 轴分成长度比为 的两
部分时，求 的长；
(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设 是第
三象限内的反比例函数图象上一点， 是平面内一点，当四边形 是完美筝形时，求 ， 两点的坐
标．
(1)首先把点A的坐标代入 ，即可求得点A的坐标，再把点A的坐标代入 ，即可求得反比
例函数的解析式，再利用方程组，即可求得点B的坐标；
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为 ，直线AC与y轴的交点为点D， 把点A、C的坐
标分别代入y=kx+b，可求得点D的坐标为 ，可求得AD、CD的长，再分两种情况分别计算，即
可分别求得；
(3)方法一：如图，过点 作 ，交 的另一支于点 ，过点 作 轴的平行线，过点 作 轴的
垂线，交于点 ，作 交于点 ，设 交于点 ，根据 ，求得点 的坐标，进而求得 的解析式，设点D的坐标为(a，b)，根据定义 以及 在直线 上，建立方程组，即可
求得点 的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为 ，点 的坐标为
(2) 或
(3) ，
【详解】（1）解：把点A的坐标代入 ，
得 ，解得a=1，
故点A的坐标为(1,4)，
把点A的坐标代入 ，
得k=4，
故反比例函数的表达式为 ，
，
得 ，
解得 ， ，
故点A的坐标为(1,4)，点 的坐标为 ；
（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为 ，直线AC与y轴的交点为点D，
把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，得
，解得 ，
故点D的坐标为 ，
，
，
如图：当AD:CD=1:2时，连接BC，
得 ，得 ，
得 ，
解得 或 (舍去)，
故 或 (舍去)，
故此时点C的坐标为(-2,-2)，
，
如图：当CD:AD=1:2时，连接BC，得 ，得 ，
得 ，
解得 或 (舍去)，
故 或 (舍去)，
故此时点C的坐标为 ，
，
综上，BC的长为 或 ；
（3）解：如图，过点 作 ，交 的另一支于点 ，过点 作 轴的平行线，过点 作 轴的
垂线，交于点 ，作 交于点 ，设 交于点 ，如图
∵
设 ， ，则又
即
解得 或 （舍去）
则点
设直线 的解析式为 ，将点 ，
解得
直线 的解析式为
设 ，根据题意， 的中点 在直线 上，则
∵
则
解得 或 （在直线 上，舍去）
．
综上所述， ．本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，平面直角坐
标系中两点间距离公式，相似三角形的判定与性质等知识，采用分类讨论的思想和待定系数法求解析式是
解决本题的关键．
1．（2022·广东揭阳·揭阳市实验中学校考模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线
交x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线上一点D的横坐标为 ．
(1)求直线BD的解析式；
(2)点E是线段BD上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当折线EF+BE最大时，在对称轴上找
一点P，在y轴上找一点Q，连接QE、OP、PQ，求OP+PQ+QE的最小值；
(3)如图2，连接BC，把△OBC沿x轴翻折，翻折后的△OBC记为△OBC′，现将△OBC′沿着x轴平移，平移后△OBC′记为△O′B′C″，连接DO′、C″B，记C″B与x轴形成较小的夹角度数为α，当∠O′DB=α时，求
出此时C″的坐标．
2．（2022·广东广州·广东番禺中学校考三模）已知抛物线 ．抛物线过点A（3，0），与y
轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．
(1)求抛物线的解析式及点B、C的坐标；
(2)求直线AB的解析式和点P的坐标；
(3)在第一象限内的该抛物线有一点D（x．y），且S△ABD＝ S△ABC，求点D的坐标．
3．（2022·江苏南通·统考一模）定义：在平面直角坐标系中，点 ， ，若
，则称点M，N互为正等距点， 叫做点M，N的正等距．特别地，一个点与它本身互为正等距
点，且正等距为0.例如，点 ， 互为正等距点，两点的正等距为3．在平面直角坐标系中，点A
的坐标为 ．
(1)判断反比例函数 的图象上是否存在点A的正等距点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，
请说明理由；
(2)若与点A的正等距等于4的点恰好落在直线 上，求k的值；
(3)若抛物线 上存在点A的正等距点B，且点A，B的正等距不超过1，请直接写出
a的取值范围．
4．（2022·江苏盐城·校联考一模）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着 原点 O 顺时针 旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P′
也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．试根据下列各题中所给的角度α的大小来解决相
关问题．
【初步感知】
如图1，设α＝90°，点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P（1，2）．
1
(1)点P 旋转后，得到的点P′的坐标为 ；
1 1
(2)若点P′的运动轨迹经过点P′（1，1），求原一次函数的表达式．
2
【深入感悟】
(3)如图2，设α＝45°，点P是反比例函数y＝ （x>0且k>0）的图象上的动点，当动点P′运动到直线y=
上时，恰好有OP′= ，求出k的值.
【灵活运用】
(4)如图3，设α＝90°，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是二次函数图象上的动点，过P′作直线AC的垂线段P′H，试探究P′H是否有最小值？若有，求出该最小值；若
没有，请说明理由．
5．（2021·浙江金华·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 图象的
顶点为C，其中 ，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D．点M坐标为 ．
（1）当 时，抛物线 经过原点，求a的值．
（2）当 时，
①若点M、点D、点C三点组成的三角形是直角三角形，求此时点D坐标．
②设反比例函数 与抛物线 相交于点 ，当 时，求
m的取值范围．6．（2021·河北·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴、y轴于点A、点B，交
双曲线 于点 抛物线 过点B，且与该双曲线交于点D，点D的纵坐
标为 ．
（1）求双曲线与抛物线的解析式．
（2）若点P为该抛物线上一点，点Q为该双曲线上一点，且P，Q两点的纵坐标都为 ，求线段 的
长．
（3）若点M沿直线从点A运动到点C，再沿双曲线从点C运动到点D．过点M作 轴，交抛物线
于点N．设线段 的长度为d，点M的横坐标为m，直接写出d的最大值，以及d随m的增大而减小时
m的取值范围．
7．（2020·山东泰安·统考一模）四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相
似(不全等)，那么我们将这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．
(1)如图1，四边形ABCD中，∠DAB＝100°，∠DCB＝130°，对角线AC平分∠DAB，求证：AC是四边形
ABCD的相似对角线；
(2)如图2，直线 分别与x，y轴相交于A，B两点，P为反比例函数y＝ (k＜0)上的点，若
AO是四边形ABOP的相似对角线，求反比例函数的解析式；
(3)如图3，AC是四边形ABCD的相似对角线，点C的坐标为(3，1)，AC∥x轴，∠BCA＝∠DCA＝30°，连
接BD，△BCD的面积为 ．过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c(a＜0)与x轴交于E，F两点，记|m|＝
AC+1，若直线y＝mx与抛物线恰好有3个交点，求实数a的值．8．（2022·湖南长沙·长沙市长郡双语实验中学校联考二模）如果三角形的两个内角 与 满足
，那么我们称这样的三角形为“CJ三角形”．
(1)判断下列三角形是否为“CJ三角形”？如果是，请在对应（ ）内画“√”，如果不
是，请在对应（ ）内画“×”；
①其中有两内角分别为30°，60°的三角形（ ）；
②其中有两内角分别为50°，60°的三角形（ ）；
③其中有两内角分别为70°，100°的三角形（ ）；
(2)如图1，点A在双曲线 （ ）上且横坐标为1，点B（4，0），C为OB中点D为y轴负半轴上
一点，若∠OAB=90°．
①求k的值并求证：△ABC为“CJ三角形”；
②若△OAB与△OBD相似，直接写出D的坐标；
(3)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，E为BC边上一点，BE＞CE且△ABE是“CJ三角
形”，已知A（ ，0），记BE=t，过A，E作抛物线 （ ），B在A右侧，且在x轴上，点Q在抛物线上，使得tan∠ABQ= ，若符合条件的Q点个数为3个，求抛物线 的
解析式．
