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专题 17 多函数综合问题
多函数综合题是指一次函数、反比例函数与二次函数的综合，考查形式多样，包括存在性问题、面积问
题、线段和差的最值问题以及角度的问题。在解决此类问题，首先掌握各函数的图像与性质是解决问题的
前提。
（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过点 的直线AB与y轴交于点
．经过原点O的抛物线 交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当 轴且 时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？
若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
(2)求出直线AB的表达式为 ，设 ， ，分当M在N点上方时，
．和当M在N点下方时， ，
即可求出M的坐标；
（3）画出图形，分AC是四边形的边和AC是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角形的
判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案．
【答案】(1)
(2) 或 或
(3)存在， 或 或 或
【详解】（1）解：∵抛物线 过点 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的表达式为 ．
（2）设直线AB的解析式为： ，
∵直线AB经过 ， ，
∴ ，
∴ ，∴直线AB的表达式为 ．
∵ 轴，可设 ， ，其中 ．
当M在N点上方时， ．
解得 ， （舍去）．
∴ ．
当M在N点下方时， ．
解得 ， ．
∴ ， ．
综上所述，满足条件的点M的坐标有三个 ， ， ．
（3）存在．满足条件的点Q的坐标有4个． ， ， ， ．
理由如下：
①如图，若AC是四边形的边．当 时，
∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点 ．
过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴点 与点D重合．
当 时，四边形 是矩形．
∵ 向右平移1个单位，向上平移1个单位得到 ．
∴ 向右平移1个单位，向上平移1个单位得到 ．
此时直线 的解析式为 ．∵直线 与 平行且过点 ，
∴直线 的解析式为 ．
∵点 是直线 与拋物线 的交点，
∴ ．
解得 ， （舍去）．
∴ ．当 时，四边形 是矩形．
∵ 向左平移3个单位，向上平移3个单位得到 ．
∴ 向左平移3个单位，向上平移3个单位得到 ．
②如图，若AC是四边形的对角线，
当 时．过点 作 轴，垂足为H，过点C作 ，垂足为K．
可得 ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵点P不与点A，C重合，∴ 和 ．
∴ ．
∴ ．
∴如图，满足条件的点P有两个．即 ， ．
当 时，四边形 是矩形．
∵ 向左平移 个单位，向下平移 个单位得到 ．
∴ 向左平移 个单位，向下平移 个单位得到 ．
当 时，四边形 是矩形．
∵ 向右平移 个单位，向上平移 个单位得到 ．
∴ 向右平移 个单位，向上平移 个单位得到 ．
综上，满足条件的点Q的坐标为 或 或 或 ．本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式、勾股定理，矩形的
性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形、进行分类讨论是解题
的关键．
（2022·山西·中考真题）综合与探究
如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线 轴于点D，作
直线BC交PD于点E
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
(2)当 是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)连接AC，过点P作直线 ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在
点P，使得 ，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
（1）令 中y和x分别为0，即可求出A，B，C三点的坐标，利用待定系数法求直线BC
的函数表达式；
（2）过点C作 于点G，易证四边形CODG是矩形，推出 ， ，
，再证明 ，推出 ，由等腰三角形三线合一的性质可以得出
， 则 ，由P点在抛物线上可得 ，联立解出
m，代入二次函数解析式即可求出点P的坐标；（3）分点F在y轴的负半轴上和点F在y轴的正半轴上两种情况，画出大致图形，当 时，
，由（2）知 ，用含m的代数式分别表示出OF，列等式计算即可．
【答案】(1) ，点C的坐标为 ；
(2)
(3)存在；m的值为4或
【详解】（1）解：由 得，
当 时， ，
∴点C的坐标为 ．
当 时， ，
解得 ．
∵点A在点B的左侧，
∴点A，B的坐标分别为 ．
设直线BC的函数表达式为 ，
将 ， 代入得 ，
解得 ，
∴直线BC的函数表达式为 ﹒
（2）解：∵点P在第一象限抛物线上，横坐标为m，且 轴于点D，
∴点P的坐标为 ， ，∴ ．
∵点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，
∴ ， ．
过点C作 于点G，则 ．
∵ ，
∴四边形CODG是矩形，
∴ ， ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，即 ，
∴ ．
在 中，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴
解得 （舍去），
∴ ．
当 时， ﹒
∴点P的坐标为 ．（3）解：存在；m的值为4或 ．
分两种情况，①当点F在y轴的负半轴上时，如下图所示，过点P作直线 轴于点H，
∵过点P作直线 ，交y轴于点F，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（2）知， ．
根据勾股定理，在 中， ，
在 中， ，
当 时， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，
∴ ；
②当点F在y轴的正半轴上时，如下图所示，
同理可得， ， ， ， ，
∴
∴ ，
解得 或 ，
∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，
∴ ；
综上，m的值为4或
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知
识点，第三问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出OF是解题的关键．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例
函数 的图象相交于 ， 两点．
(1)求反比例函数的表达式及点 的坐标；
(2)过点 作直线 ，交反比例函数图象于另一点 ，连接 ，当线段 被 轴分成长度比为 的两
部分时，求 的长；
(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设 是第
三象限内的反比例函数图象上一点， 是平面内一点，当四边形 是完美筝形时，求 ， 两点的坐
标．
(1)首先把点A的坐标代入 ，即可求得点A的坐标，再把点A的坐标代入 ，即可求得反比
例函数的解析式，再利用方程组，即可求得点B的坐标；
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为 ，直线AC与y轴的交点为点D， 把点A、C的坐
标分别代入y=kx+b，可求得点D的坐标为 ，可求得AD、CD的长，再分两种情况分别计算，即
可分别求得；
(3)方法一：如图，过点 作 ，交 的另一支于点 ，过点 作 轴的平行线，过点 作 轴的
垂线，交于点 ，作 交于点 ，设 交于点 ，根据 ，求得点 的坐标，进而求得 的解析式，设点D的坐标为(a，b)，根据定义 以及 在直线 上，建立方程组，即可
求得点 的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为 ，点 的坐标为
(2) 或
(3) ，
【详解】（1）解：把点A的坐标代入 ，
得 ，解得a=1，
故点A的坐标为(1,4)，
把点A的坐标代入 ，
得k=4，
故反比例函数的表达式为 ，
，
得 ，
解得 ， ，
故点A的坐标为(1,4)，点 的坐标为 ；
（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为 ，直线AC与y轴的交点为点D，
把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，得
，解得 ，
故点D的坐标为 ，
，
，
如图：当AD:CD=1:2时，连接BC，
得 ，得 ，
得 ，
解得 或 (舍去)，
故 或 (舍去)，
故此时点C的坐标为(-2,-2)，
，
如图：当CD:AD=1:2时，连接BC，得 ，得 ，
得 ，
解得 或 (舍去)，
故 或 (舍去)，
故此时点C的坐标为 ，
，
综上，BC的长为 或 ；
（3）解：如图，过点 作 ，交 的另一支于点 ，过点 作 轴的平行线，过点 作 轴的
垂线，交于点 ，作 交于点 ，设 交于点 ，如图
∵
设 ， ，则又
即
解得 或 （舍去）
则点
设直线 的解析式为 ，将点 ，
解得
直线 的解析式为
设 ，根据题意， 的中点 在直线 上，则
∵
则
解得 或 （在直线 上，舍去）
．
综上所述， ．本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，平面直角坐
标系中两点间距离公式，相似三角形的判定与性质等知识，采用分类讨论的思想和待定系数法求解析式是
解决本题的关键．
1．（2022·广东揭阳·揭阳市实验中学校考模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线
交x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线上一点D的横坐标为 ．
(1)求直线BD的解析式；
(2)点E是线段BD上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当折线EF+BE最大时，在对称轴上找
一点P，在y轴上找一点Q，连接QE、OP、PQ，求OP+PQ+QE的最小值；
(3)如图2，连接BC，把△OBC沿x轴翻折，翻折后的△OBC记为△OBC′，现将△OBC′沿着x轴平移，平移后△OBC′记为△O′B′C″，连接DO′、C″B，记C″B与x轴形成较小的夹角度数为α，当∠O′DB=α时，求
出此时C″的坐标．
【答案】(1)直线BD的解析式为
(2) 的最小值为
(3) 坐标为
【思路分析】（1）先求出B、D两点的坐标，再利用待定系数法计算，即可得出结论；
（2）如图3中，设 交 轴于 ，则 ，设 ，则 ，
设 与 轴的交点为 ，则 ，根据题意，利用三角函数，得出 ，构建二次函数确定
的值，求出点 的坐标，如图4中，作点 关于 轴的对称点 ， 于 ，连接 ，交对称
轴于 ，交 轴于 ，当 共线时， 最小，最小值为 ，再根据勾股定理，计
算即可得出结果；
（3）如图5中，作 于 ，设 ，则 ， ，
，由 ，得出 ，列出方程，计算即可得出结果．
【详解】（1）解：令 ，则 ，
解得： 或 ，
∴ ， ，
令 ，则 ，
∴ ，当 时， ，
∴点 坐标 ，
设直线 解析式为 ，
则有 ，解得 ，
∴直线BD的解析式为 ；
（2）解：如图3中，设 交 轴于 ，则 ，设 ，则
，设 与 轴的交点为 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 时， 的值最大，此时点 坐标 ，
如图4中，作点 关于 轴的对称点 ， 于 ，连接 ，交对称轴于 ，交 轴于 ，
∵ 、 关于对称轴对称，
∴ ，
∵ 、 关于 轴对称，∴ ，
∴ ，
∴当 共线时， 最小，最小值为 ，
在 中，
．
∴ 的最小值为 ；
（3）解：如图5中，作 于 ，设 ，则 ， ，
，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍弃），
∴ 坐标为 ．2．（2022·广东广州·广东番禺中学校考三模）已知抛物线 ．抛物线过点A（3，0），与y
轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．
(1)求抛物线的解析式及点B、C的坐标；
(2)求直线AB的解析式和点P的坐标；
(3)在第一象限内的该抛物线有一点D（x．y），且S△ABD＝ S△ABC，求点D的坐标．
【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3，B（0，3），C（﹣1，0）
(2)y＝﹣x+3，P的坐标为（1，2）
(3)D（ ， ）或（ ， ）．
【思路分析】（1）将点A（3，0）代入y＝﹣x2+2x+m可求得m的值，令x＝0，求得y的值，即可求得B
的坐标；然后根据抛物线的对称性求得对称轴，进而确定点C的坐标；
（2）先用待定系数法即可求得直线AB的解析式，把x＝1代入求得的直线解析式即可求得P的坐标；
（3）过D点作DE⊥x轴，交直线AB与E，表示出DE，然后根据三角形面积公式得到关于x的方程，解方
程求得x的值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+2x+m过点A（3，0），
∴﹣9+6+m＝0，解得m＝3，∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
∵对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴点A（3，0）关于对称轴的对称点为（﹣1，0），
∴C（﹣1，0）．
（2）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），B（0，3）代入得 ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
∵把x＝1代入y＝﹣x+3得，y＝2，
∴P的坐标为（1，2）．
（3）解：∵抛物线有一点D（x．y），
∴D（x，﹣x2+2x+3），
过D点作DE⊥x轴，交直线AB于E，
∴E（x，﹣x+3），
∵A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0），
∴DE=﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+2x
∴S△ABC＝ （3+1）×3＝6，
∴S△ABD＝ S△ABC＝ ，∵S△ABD＝S△ADE+S△BDE，
∴ DE·（3-x）+ DE·x= （﹣x2+3x）×3＝ ，解得x＝ ，
∴y＝﹣x2+2x+3＝ 或
∵在第一象限内的该抛物线有一点D（x．y）
∴D（ ， ）或（ ， ）．
3．（2022·江苏南通·统考一模）定义：在平面直角坐标系中，点 ， ，若 ，
则称点M，N互为正等距点， 叫做点M，N的正等距．特别地，一个点与它本身互为正等距点，
且正等距为0.例如，点 ， 互为正等距点，两点的正等距为3．在平面直角坐标系中，点A的坐
标为 ．
(1)判断反比例函数 的图象上是否存在点A的正等距点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，
请说明理由；
(2)若与点A的正等距等于4的点恰好落在直线 上，求k的值；
(3)若抛物线 上存在点A的正等距点B，且点A，B的正等距不超过1，请直接写出
a的取值范围．
【答案】(1)存在，
(2) 或
(3) 或
【思路分析】（1）根据正等距点的定义设所求点坐标为 ，代入反比例函数解析式计算即可；（2）与点 的正等距等于4的点为 或 ，代入函数解析式即可即可；
（3）根据正等距点的定义设B点坐标为 ，代入函数解析式计算即可；
【详解】（1）解：存在
∵设点A 的正等距点坐标为
代入 得： ，
解得 ， ．
∵ ，
∴ ．
∴符合题意的点A的正等距点为 ；
（2）由题意得，与点 的正等距等于4的点为 或
若 恰好落在直线 上，
代入得出5=6k+2，
解得： ；
若 恰好落在直线 上，
代入解得： ；
综上， 或 ．
（3）∵点A的正等距点B
∴设B点坐标为
∵点A，B的正等距不超过1，
∴
∴把 代入 得，
整理得：
∴这个关于n的方程 至少有一个解的范围是
∴
∴
设二次函数
∴顶点在x轴下方，对称轴
当 时，
当 时，
∵关于n的方程 至少有一个解的范围是
∴ 与x轴交点横坐标至少有一个在
当两个交点都在 时，
，解得：
当只有一个交点在 时，如图左边交点在 时
此时 ，解得 ；
如图右边交点在 时
此时 ，不等式组无解；
综上所述， 或 ．
4．（2022·江苏盐城·校联考一模）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着 原点 O 顺时针 旋转一定
的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P′
也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．试根据下列各题中所给的角度α的大小来解决相
关问题．
【初步感知】
如图1，设α＝90°，点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P（1，2）．
1(1)点P 旋转后，得到的点P′的坐标为 ；
1 1
(2)若点P′的运动轨迹经过点P′（1，1），求原一次函数的表达式．
2
【深入感悟】
(3)如图2，设α＝45°，点P是反比例函数y＝ （x>0且k>0）的图象上的动点，当动点P′运动到直线y=
上时，恰好有OP′= ，求出k的值.
【灵活运用】
(4)如图3，设α＝90°，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是二
次函数图象上的动点，过P′作直线AC的垂线段P′H，试探究P′H是否有最小值？若有，求出该最小值；若
没有，请说明理由．【答案】(1)（2，-1）
(2)
(3)k=8
(4)P′H有最小值，是
【思路分析】（1）过点P 作PA⊥y轴于点A，过点P′作P′B⊥y轴于点B，连接O P ，O P ′，通过AAS
1 1 1 1 1 1
证△APO≌△BO P ′，进而求点坐标；
1 1
（2）运用待定系数法求解析式即可；
（3）过点P′作P′C⊥x轴于点C，过点P作PE⊥y轴于点E，过 作 于 过 作 轴，交
于 设 则 再利用等面积法与勾股定理列方程组求解 的坐标即可；
（4）利用旋转的性质，P′是在 顺时针旋转90°的抛物线上运动，反之可将AC逆时针旋转
90°，当P到EF距离最短时，即P′H有最小值.
【详解】（1）解：过点P 作PA⊥y轴于点A，过点P′作P′B⊥y轴于点B，连接O P ，O P ′
1 1 1 1 1 1
∴∠PAO=∠P′BO=90°
1 1
∵P 为（1，2）
1
∴AO=2，AP=1
1
∵P 绕O顺时针旋转90°得到P′
1 1
∴O P =O P ′，∠PO P ′=90°
1 1 1 1
∵∠1+∠2=90°
∠1+∠3=90°∴∠2=∠3
∴△APO≌△BO P ′（AAS）
1 1
∴AO=BP′=2， OB=AP =1
1 1
∴P′的坐标为（2，-1）
1
故答案为：（2，-1）
（2）解：∵P′（1，1）
2
∴由题意，得P′坐标为（-1，1）
∵P（1，2），P′（-1，1）在原一次函数图象上
1
∴ 解得
∴原一次函数解析式为y= x+
（3）解：过点P′作P′C⊥x轴于点C，过点P作PE⊥y轴于点E，过 作 于
过 作 轴，交 于 设
则∵∠POP′=45°，
∵tan∠COP′= ，
而
由勾股定理可得：
，解得：
经检验： 不符合题意，舍去，
∴k=4×2=8
（4）解： 将AC逆时针旋转90°，得到EF
∵ 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
∴点A坐标为（-4，0），点C坐标为（0，-2）则点E坐标为（2，0），点F坐标为（0，-4）
设直线EF的解析式为y=mx+n
则 解得
∴直线EF的解析式为y=2x-4
令直线l：y=2x+a与抛物线 只有一个交点
则 只有一个实数根
∴
∴（-1）2-4×（-4-2a）=0
∴a=-
∴直线l为y=2x-
由平移性质，可知直线l与直线EF水平距离为4- =
过点M作MN⊥EF
∴ME=
∵k=2
∴sin∠OEF=∴MN= =
即P′H =
min
5．（2021·浙江金华·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 图象的
顶点为C，其中 ，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D．点M坐标为 ．
（1）当 时，抛物线 经过原点，求a的值．
（2）当 时，
①若点M、点D、点C三点组成的三角形是直角三角形，求此时点D坐标．
②设反比例函数 与抛物线 相交于点 ，当 时，求
m的取值范围．
【答案】（1） ；（2）① ，② 或
【思路分析】（1）把 和原点代入，直接解方程即可，
（2）①过C点作CN⊥y轴，首先表示出C,D的坐标，再利用相似构造方程解出m即可求出D的坐标，②
求出交点，再根据交点的情况确定m取值范围；
【详解】（1）当 时，抛物线∵经过原点
∴得 ，
解得：
（2）①过C点作CN⊥y轴，
；
点 ，点
∴点C在直线 上，M(0，4)，
过 作 轴于
∵△MDC是直角三角形
∴∠MCD=90°
∴∠MCD=∠CND=∠CNM=90°
∴∠CDM=∠MCN
∴△CDN∽△MCN
∴
即 ，
解得： ，
经检验： 是原方程的根，且符合题意，
∴此时点D坐标为②∵ ，
∴当P=2时，可得
当P=4时，可得
当抛物线经过点 时，
，解得
当抛物线经过点 时
，解得
当交点在抛物线对称轴左边时，即m＜2时，
可得
又
∴
当交点在抛物线对称轴右边时，即m＞2时，
可得
∴m的取值范围为
或6．（2021·河北·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴、y轴于点A、点B，交
双曲线 于点 抛物线 过点B，且与该双曲线交于点D，点D的纵坐
标为 ．
（1）求双曲线与抛物线的解析式．
（2）若点P为该抛物线上一点，点Q为该双曲线上一点，且P，Q两点的纵坐标都为 ，求线段 的长．
（3）若点M沿直线从点A运动到点C，再沿双曲线从点C运动到点D．过点M作 轴，交抛物线
于点N．设线段 的长度为d，点M的横坐标为m，直接写出d的最大值，以及d随m的增大而减小时
m的取值范围．
【答案】（1） ， ；（2） 或 ；（3） 的最大值是 ，
， ， 时， 随 的增大而减小．
【思路分析】（1）根据直线解析式求出点 、 、 的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析
式，再求出点 的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据抛物线和双曲线解析式求出点 、 的坐标，然后根据平行于 轴的直线上两点间的距离的求法
求解即可；
（3）分点 在 、 、 上三种情况，根据直线、抛物线和双曲线的解析式表示出 ，再根据二次
函数的增减性解答．
【详解】解：（1）令 ，则 ，
解得 ，
令 ，则 ，所以，点 ， ，
时， ，
所以，点 ，
设双曲线解析式为 ，
则 ，
解得 ，
所以，双曲线解析式为 ，
点 的纵坐标为 ，
，
解得 ，
点 ，
抛物线 过点 、 ，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）当 时， ，
整理得， ，
解得 ， ，
点 的坐标为 ， 或 ， ，
，
解得 ，点 的坐标为 ，
或 ；
（3）①点 在 上时， ，
，
随 的增大而减小，
②点 在 上时， ，
，
时， 有最大值为 ，
时， 随 的增大而减小，
③点 在 上时， ，
，
由图可知， 随 的增大而减小，
综上所述， 的最大值是 ， ， ， 时， 随 的增大而减小．
7．（2020·山东泰安·统考一模）四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相
似(不全等)，那么我们将这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．
(1)如图1，四边形ABCD中，∠DAB＝100°，∠DCB＝130°，对角线AC平分∠DAB，求证：AC是四边形
ABCD的相似对角线；
(2)如图2，直线 分别与x，y轴相交于A，B两点，P为反比例函数y＝ (k＜0)上的点，若
AO是四边形ABOP的相似对角线，求反比例函数的解析式；
(3)如图3，AC是四边形ABCD的相似对角线，点C的坐标为(3，1)，AC∥x轴，∠BCA＝∠DCA＝30°，连
接BD，△BCD的面积为 ．过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c(a＜0)与x轴交于E，F两点，记|m|＝
AC+1，若直线y＝mx与抛物线恰好有3个交点，求实数a的值．【答案】（1）见解析；（2）y＝﹣ 或y＝﹣ 或y＝﹣ 或y＝﹣ ；（3）a＝﹣ 或﹣ ．
【思路分析】（1）如图1，设∠ACD＝α，则∠ACB＝130°﹣α，则∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣50°
﹣（130°﹣α）＝α，即可求解；
（2）分∠APO为直角、∠OAP为直角两种情况，分别求解即可；
（3）CH＝ BC，则BH＝ BC，△BCD的面积＝ CD•BH＝ CD× HB＝ ，故CD•BC＝4，而
△BAC∽△ACD，故CD2＝BC•CD＝4，故CD＝2，则点A（1，1），则抛物线的表达式为：y＝
ax2+（4a+3）x+3a+1，AC＝1，则m＝±3，故直线的表达式为：y＝±3x，直线y＝﹣3x与抛物线有两个交点，
而直线y＝mx与抛物线恰好有3个交点，则直线y＝3x与抛物线有一个交点，即可求解．
【详解】解：（1）如图1，设∠ACD＝α，则∠ACB＝130°﹣α，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣（130°﹣α）＝α，
在△ABC和△ACD中，∠B＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，
∴AC是四边形ABCD的相似对角线；
（2）①当∠APO为直角时，
当∠OAP＝30°时，
过点P作PH⊥x轴于点H，设OH＝x，则HP＝ x，HA＝3x，则x+3x＝4，
解得：x＝1，故点P（1，﹣ ），故k＝﹣ ；
当∠AOP＝30°时，
同理可得：k＝﹣3 ；
②当∠OAP为直角时，
当∠OPA＝30°时，
点P（4，﹣4 ），k＝﹣16 ；
当∠AOP＝30°时，OA＝AO，∠OAP＝∠AOB＝90°，∠AOP＝∠OAB＝30°
∴△OAP≌△AOB，不符合相似对角线的定义，故舍去；
综上，反比例函数的表达式为：y＝﹣ 或y＝﹣ 或y＝﹣ ；
（3）如图3，过点B作BH⊥CD于点H，则∠CBH＝60°﹣∠BCD＝30°，故CH＝ BC，则BH＝ BC，
△BCD的面积＝ CD•BH＝ CD× BC＝ ，故CD•BC＝4
而△BAC∽△ACD，故CA2＝BC•CD＝4，故CA＝2，
则点A（1，1），而点C（3，1），
将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：
抛物线的表达式为：y＝ax2﹣4ax+3a+1，
AC＝2，则m＝±3，
故直线的表达式为：y＝±3x，
直线y＝﹣3x与抛物线有两个交点，而直线y＝mx与抛物线恰好有3个交点，
则直线y＝3x与抛物线有一个交点，
联立直线y＝3x于抛物线的表达式并整理得：ax2﹣（4a+3）x+3a+1＝0，
△＝（4a+3）2﹣4a（3a+1）＝0，
解得：a＝﹣ 或﹣ ．
8．（2022·湖南长沙·长沙市长郡双语实验中学校联考二模）如果三角形的两个内角 与 满足
，那么我们称这样的三角形为“CJ三角形”．(1)判断下列三角形是否为“CJ三角形”？如果是，请在对应（ ）内画“√”，如果不是，
请在对应（ ）内画“×”；
①其中有两内角分别为30°，60°的三角形（ ）；
②其中有两内角分别为50°，60°的三角形（ ）；
③其中有两内角分别为70°，100°的三角形（ ）；
(2)如图1，点A在双曲线 （ ）上且横坐标为1，点B（4，0），C为OB中点D为y轴负半轴上
一点，若∠OAB=90°．
①求k的值并求证：△ABC为“CJ三角形”；
②若△OAB与△OBD相似，直接写出D的坐标；
(3)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，E为BC边上一点，BE＞CE且△ABE是“CJ三角
形”，已知A（ ，0），记BE=t，过A，E作抛物线 （ ），B在A右侧，且在x轴上，
点Q在抛物线上，使得tan∠ABQ= ，若符合条件的Q点个数为3个，求抛物线 的解析
式．
【答案】(1)①×，②×，③√
(2)① ，△ABC为两底角均为30°的等腰三角形即为“CJ三角形”；② 或 ；
(3)
【思路分析】（1）根据 “CJ三角形”的定义，即可求解；
（2）①连接AC，过点A作AP⊥BO于点P，可得OP=1，再由点B（4，0），C为OB中点可得AP垂直平分OC，然后根据直角三角形的性质可得点A ，由①可得△OAC是等边三角形，可得∠ACO=60°，
再由“CJ三角形”的定义，即可求解；②根据题意得：∠BOD=∠OAB=90°，然后分两种情况：当
∠ABO=∠OBD时，当∠ABO=∠ODB时，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当 时，可得 ， ，不合题意，舍去；当AE是 的
平分线时，过点E作 于F，则 ，可得点F与点O重合，从而得到点E（0，3），
，根据符合条件的Q点个数为3个，可得当点Q在x轴下方时，直线BQ与抛物线只
有一个交点，然后求出直线BQ的解析式为 ，抛物线解析式为 ，联立可得方
程 有两个相等的实数根，即可求解．
【详解】（1）解：①∵其中有两内角分别为30°，60°，
∴第三个内角为90°，
∵30°×2+60°≠90°， 60°×2+30°≠90°，90°×2+30°≠90°，
∴该三角形不是“CJ三角形”．
故答案为：×
②∵其中有两内角分别为50°，60°，
∴第三个内角为70°，
∵50°×2+60°≠90°，且60°×2+50°≠90°，
∴该三角形不是“CJ三角形”．
故答案为：×
③有两内角分别为70°，100°，
∴第三个内角为10°，
∵10°×2+70°=90°，
∴该三角形是“CJ三角形”．
故答案为：√
（2）解：①如图，连接AC，过点A作AP⊥BO于点P，∵点A在双曲线 （ ）上且横坐标为1，
∴OP=1，
∵点B（4，0），C为OB中点，
∴OB=4，
∴OC=BC=2，
∴CP=1，
∴AP垂直平分OC，
∴OA=AC，
∵∠OAB=90°．
∴AC=OC=BC=2，
∴ ，OA=AC=OC，
∴点A ，
∴ ，
∵OA=AC=OC，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠ACO=60°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠ABC，
∵∠ACO=∠ABC+∠CAB，
∴∠CAB=∠ABC=30°，
∵30°×2+30°=90°，
∴△ABC为两底角均为30°的等腰三角形即为“CJ三角形”．②∵点A ，点B（4，0），
∴ ，
设点D（m，0），则OD=-m，
根据题意得：∠BOD=∠OAB=90°，
当∠ABO=∠OBD时，△OAB∽△DOB，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ；
当∠ABO=∠ODB时，△OAB∽△BOD，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ；
综上所述，点D的坐标为 或 ；
（3）解：如图，连接AE
当 时，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABE+∠BAC=∠ABE+∠BAE+∠CAE=90°，
即2∠ABE+∠BAE=90°，
∴△ABE是“CJ三角形”，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，∵BE＞CE且
∴此情况不合题意，舍去；
当AE是 的平分线时，则∠BAC=2∠BAE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABE+∠BAC=∠ABE+2∠BAC =90°，
∴△ABE是“CJ三角形”，
过点E作 于F，则 ，
∴ ，
在 和 中，
∴ （HL），
∴AF=AC=6，
在 中，由勾股定理得：
，
∴ ，
∴点F与点O重合，
在 中，由勾股定理得： ，
即： ，
解得： ，此时EO=CE=3，
∴ ，符合题意，
∴ ，∴ ，
∵OE=3，
∴ ，
∵符合条件的Q点个数为3个，
∴当点Q在x轴下方时，直线BQ与抛物线只有一个交点，
设直线BQ交y轴于点N，
∵ ，
∴ ，
∵OB=4，
∴ON=2，
∴可设直线BQ的解析式为 ，
把点B（4，0）代入得：4k-2=0，解得： ，
∴直线BQ的解析式为 ，
把点A（-6，0）， ，代入抛物线解析式得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
联立得： ，
整理得： ，
∵直线BQ与抛物线只有一个交点，
∴方程 有两个相等的实数根，
∴ ，∴ 或 （舍去），
∴抛物线解析式为： ．
