文档内容
专题13 平面直角坐标系
一、坐标确定位置及点的坐标规律
【高频考点精讲】
1．各个象限内，点P（a，b）的坐标特征
（1）第一象限：a＞0，b＞0；（2）第二象限：a＜0，b＞0；
（3）第三象限：a＜0，b＜0；（4）第四象限：a＞0，b＜0。
2．坐标轴上，点P（a，b）的坐标特征
（1）x轴上：a为任意实数，b＝0；（2）y轴上：b为任意实数，a＝0；（3）坐标原点：a＝0，b＝0。
3．两坐标轴夹角平分线上，点P（a，b）的坐标特征
（1）一、三象限：a＝b；（2）二、四象限：a＝﹣b。
【热点题型精练】
1．（2022•河池中考）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是（ ）
1 1 1
A．− ＜m＜0 B．m＞− C．m＜0 D．m＜−
2 2 2
{ m＜0①
解：根据题意得 ，
1+2m＜0
解①得m＜0，
1
解②得m＜− ．
2
1
则不等式组的解集是m＜− ．
2
答案：D．
2．（2022•攀枝花中考）若点A（﹣a，b）在第一象限，则点B（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：∵点A（﹣a，b）在第一象限内，
∴﹣a＞0，b＞0，
∴a＜0，
∴点B（a，b）所在的象限是：第二象限．
答案：B．
3．（2022•青海中考）如图所示，A（2√2，0），AB＝3√2，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点
C，则点C的坐标为（ ）A．（3√2，0） B．（√2，0） C．（−√2，0） D．（﹣3√2，0）
解：∵A（2√2，0），AB＝3√2，
∴OA＝2√2，AC＝AB＝3√2，
∴OC＝AC﹣OA＝3√2−2√2=√2，
∵点C在x轴的负半轴上，
∴点C的坐标为（−√2，0）．
答案：C．
4．（2022•柳州中考）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系分别以正东、
正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），则教学楼的坐标是（
）
A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）
解：建立如图所示的平面直角坐标系：∴教学楼的坐标是（2，2），
答案：D．
5．（2022•六盘水中考）两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，
咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”时，表示的动物是（
）
A．狐狸 B．猫 C．蜜蜂 D．牛
解：由题意知，咚咚﹣咚咚对应（2，2），咚﹣咚对应（1，1），咚咚咚﹣咚对应（3，1）．
∴咚咚﹣咚对应（2，1），表示C；咚咚咚﹣咚咚对应（3，2），表示A；咚﹣咚咚咚对应（1，3），表示T．
∴此时，表示的动物是猫．
答案：B．
6．（2022•河南中考）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x
轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转 90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（
）
A．（√3，﹣1） B．（﹣1，−√3） C．（−√3，﹣1） D．（1，√3）
解：∵边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，
∴OA＝AB＝2，∠BAO＝60°，
∵AB∥x轴，
∴∠APO＝90°，
∴∠AOP＝30°，
∴AP＝1，OP=√3，
∴A（1，√3），
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知点A 与D重合，
2由360°÷90°＝4可知，每4次为一个循环，
∴2022÷4＝505……2，
∴点A 与点A 重合，
2022 2
∵点A 与点A关于原点O对称，
2
∴A （﹣1，−√3），
2
∴第2022次旋转结束时，点A的坐标为（﹣1，−√3），
答案：B．
7．（2022•广安中考）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第 二 象限．
解：∵点P（m+1，m）在第四象限，
{m+1＞0
∴ ，
m＜0
∴﹣1＜m＜0，
∴1＜m+2＜2，
∴点Q（﹣3，m+2）在第二象限，
答案：二．
8．（2022•鄂州中考）中国象棋文化历史久远．某校开展了以“纵横之间有智慧 攻防转换有乐趣”为主题的中国
象棋文化节．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“帥”位于点（﹣1，﹣2），
“馬”位于点（2，﹣2），那么“兵”在同一坐标系下的坐标是 （﹣ 3 ， 1 ） ．
解：根据平面内点的平移规律可得，
把“帅”向左平移两个单位，向上平移3个单位得到“兵”的位置，
∴（﹣1﹣2，﹣2+3），即（﹣3，1）．
答案：（﹣3，1）．
9．（2022•济南中考）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作
“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．
例如：如图，点O（0，0）按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O （1，0），再将O
1 1
（1，0）绕原点顺时针旋转90°得到O （0，﹣1），再将O （0，﹣1）绕原点顺时针旋转90°得到O （﹣1，
2 2 3
0）…依次类推．点（0，1）经过“011011011”变换后得到点的坐标为 （﹣ 1 ，﹣ 1 ） ．
解：点（0，1）经过011变换得到点（﹣1，﹣1），点（﹣1，﹣1）经过011变换得到点（0，1），点（0，
1）经过011变换得到点（﹣1，﹣1），
答案：（﹣1，﹣1）．
10．（2022•荆门中考）如图，过原点的两条直线分别为l ：y＝2x，l ：y＝﹣x，过点A（1，0）作x轴的垂线与l
1 2 1
交于点A ，过点A 作y轴的垂线与l 交于点A ，过点A 作x轴的垂线与l 交于点A ，过点A 作y轴的垂线与l
1 1 2 2 2 1 3 3 2
交于点A ，过点A 作x轴的垂线与l 交于点A ，……，依次进行下去，则点A 的坐标为 （ 102 4 ，﹣ 102 4 ）
4 4 1 5 20
．解：当x＝1时，y＝2，
∴点A 的坐标为（1，2）；
1
当y＝﹣x＝2时，x＝﹣2，
∴点A 的坐标为（﹣2，2）；
2
同理可得：A （﹣2，﹣4），A （4，﹣4），A （4，8），A （﹣8，8），A （﹣8，﹣16），A （16，﹣
3 4 5 6 7 8
16），A （16，32），…，
9
∴A （22n，22n+1），A （﹣22n+1，22n+1），
4n+1 4n+2
A （﹣22n+1，﹣22n+2），A （22n+2，﹣22n+2）（n为自然数）．
4n+3 4n+4
∵20＝5×4，
∴错误，应改为：∴点A20的坐标为（22×4+2，﹣22×4+2），即（210，﹣210），
即（1024，﹣1024）．
答案：（1024，﹣1024）．
11．（2022•淄博中考）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针
旋转90°得点D ，再将D 绕点B逆时针旋转90°得点D ，再将D 绕点C逆时针旋转90°得点D ，再将D 绕点
1 1 2 2 3 3
D逆时针旋转90°得点D ，再将D 绕点A逆时针旋转90°得点D ……依此类推，则点D 的坐标是 （﹣
4 4 5 2022
2023 ， 2022 ） ．
解：∵将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D ，
1∴D （1，2），
1
∵再将D 绕点B逆时针旋转90°得点D ，再将D 绕点C逆时针旋转90°得点D ，再将D 绕点D逆时针旋转
1 2 2 3 3
90°得点D ，再将D 绕点A逆时针旋转90°得点D ……
4 4 5
∴D （﹣3，2），D （﹣3，﹣4），D （5，﹣4），D （5，6），D （﹣7，6），……，
2 3 4 5 6
观察发现：每四个点一个循环，D （﹣4n﹣3，4n+2），
4n+2
∵2022＝4×505+2，
∴D （﹣2023，2022）；
2022
答案：（﹣2023，2022）．
√3
12．（2022•齐齐哈尔中考）如图，直线l：y= x+√3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作BC ⊥l交
1
3
x轴于点C ，过点C 作B C ⊥x轴交l于点B ，过点B 作B C ⊥l交x轴于点C ，过点C 作B C ⊥x轴交l于点
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
4
B ，…，按照如此规律操作下去，则点B 的纵坐标是 （ ） 202 2√3 ．
2 2022
3
√3
解：∵y= x+√3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
3
∴当x＝0时，y=√3，当y＝0时，x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（0，√3），
∴OA＝3，OB=√3，
√3
∴tan∠BAO= ，
3
∴∠BAO＝30°，
∵BC ⊥l，
1
∴∠C BO＝∠BAO＝30°，
1
BO √3
= = =
∴BC cos30° √3 2，
1
2
∵B C ⊥x轴，
1 1
∴∠B C B＝30°，
1 1BC 2 4√3
= 1 = =
∴B C cos30° √3 3 ，
1 1
2
4 4
同理可得，B C = B C ＝（ ）2√3，
2 2 3 1 1 3
4
依此规律，可得B ＝（ ）n√3，
n n
3
∁
4
当n＝2022时，B C ＝（ ）2022√3，
2022 2022
3
4
答案：（ ）2022√3．
3
二、坐标与图形性质
【高频考点精讲】
1．“点到坐标轴的距离”与“点的坐标”的区别
（1）到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关。
（2）“距离”是非负数，但是“坐标”可以是负数，由距离求坐标时，需要加上恰当的符号。
2．由图形中已知点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，求出相关线段的长度，是解决此类问题的基本方
法和规律。
3．如果坐标系内的四边形是不规则四边形，可以借助平行于坐标轴的辅助线，将图形割补成边与坐标轴平行（或
垂直）且顶点坐标已经的规则图形，通过规则图形面积的和差来计算不规则图形的面积。
【热点题型精练】
13．（2022•铜仁中考）如图，在矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（3，2），C（3，﹣1），则D的坐标为
（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（4，﹣1） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，﹣1）
解：∵A（﹣3，2），B（3，2），
∴AB＝6，AB∥x轴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AB∥CD∥x轴，
同理可得AD∥BC∥y轴，
∵点C（3，﹣1），∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），
答案：D．
14．（2022•无锡模拟）已知点A（m+1，﹣2）和点B（3，m﹣1），若直线AB∥x轴，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣4 C．﹣1 D．3
解：∵点A（m+1，﹣2），B（3，m﹣1），直线AB∥x轴，
∴m﹣1＝﹣2，
解得m＝﹣1．
答案：C．
15．（2022•天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点A，B的坐标分别是（0，4），（0，﹣2），BC
＝AC＝5，则顶点C的坐标为（ ）
A．（4，1） B．（1，4） C．（4，2） D．（3，1）
解：作CD⊥AB于D，
∵点A，B的坐标分别是（0，4），（0．﹣2），
∴AB＝6，
∵BC＝AC＝5，CD⊥AB，
1
∴AD＝DB= AB＝3，
2
∴OD＝1，
由勾股定理得，CD 4，
=√AC2−AD2=√52−32=
∴顶点C的坐标为（4，1），
答案：A．
16．（2022•南京模拟）如图，在网格中建立平面直角坐标系，已知A（0，0），B（﹣3，1），C（3，4），若点D使得∠BCD＝∠DAB，则点D的坐标可能是（ ）
A．（6，3） B．（﹣3，4） C．（﹣4，5） D．（﹣1，3）
解：当四边形ABCD为平行四边形，
有∠BCD＝∠DAB，
∴AB∥DC，
根据平移原理．所以D（6，3），
答案：A．
17．（2022•四平模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 P在第一象限， P与x轴相切于点Q，与y轴交于M
（0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（ ） ⊙
A．（5，3） B．（3，5） C．（5，4） D．（4，5）
解：过点P作PD⊥MN于D，连接PQ．
∵ P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，
∴⊙OM＝2，NO＝8，
∴NM＝6，∵PD⊥NM，
∴DM＝3
∴OD＝5，
∴OQ2＝OM•ON＝2×8＝16，OQ＝4．
∴PD＝4，PQ＝OD＝3+2＝5．
即点P的坐标是（4，5）．
答案：D．
18．（2022•吉林中考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B在y轴正半轴上，以点B为
圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为 （ 2 ， 0 ） ．
解：由图象可得OB与直径重合，
∵BO⊥AC，
∴OA＝OC，
∵A（﹣2，0），
∴C（2，0），
答案：（2，0）．
19．（2022•德州模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO，AB的中点C，D的横坐标分别是1，4，则
点B的横坐标是 6 ．
解：∵边AO，AB的中点为点C、D，
∴CD是△OAB的中位线，CD∥OB，
∵点C，D的横坐标分别是1，4，
∴CD＝3，
∴OB＝2CD＝6，
∴点B的横坐标为6．答案：6．
20．（2022•深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，
14
n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝ ．
5
解：作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，
∵点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，则E（0，n），D（3，0），
∴BE＝4﹣n，CE＝3，CD＝n，AD＝7，
∵CE∥OA，
∴∠ECA＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCE＝∠CAO，
CD BE
在Rt△CAD中，tan∠CAO= ，在Rt△CBE中，tan∠BCE= ，
AD CE
CD BE n 4−n
∴ = ，即 = ，
AD CE 3+4 3
14
解得n= ，
5
14
答案： ．
5
21．（2022•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A
（0，2），B（0，4），连接 AC，BD，则AC+BD的最小值为 2√10 ．解：如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．
则E（﹣2，4），A′（0，﹣2），AC+BD＝CA′+CE≥EA′，
EA′ 2 ，
=√22+62= √10
∴AC+BD的最小值为2√10．
答案：2√10．
22．（2022•娄底模拟）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫
做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的
距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为
√5− 1 ．
解：连接AO交 O于B，
⊙则线段AB的长度即为点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离，
∵点A（2，1），
∴OA ，
=√22+12=√5
∵OB＝1，
∴AB=√5−1，
即点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为√5−1，
答案：√5−1．
23．（2022•丽水中考）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（−√3，3），则A点的坐标是
（√3 ，﹣ 3 ） ．
解：因为点A和点B关于原点对称，B点的坐标是（−√3，3），
所以A点的坐标是（√3，﹣3），
答案：（√3，﹣3）．
24．（2022•扬州模拟）类似于平面直角坐标系，如图1，在平面内，如果原点重合的两条数轴不垂直，那么我们
称这样的坐标系为斜坐标系．若P是斜坐标系xOy中的任意一点，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y
轴交于点M、N，如果M、N在x轴、y轴上分别对应的实数是a、b，这时点P的坐标为（a，b）．
（1）如图2，在斜坐标系xOy中，画出点A（﹣2，3）；
（2）如图3，在斜坐标系xOy中，已知点B（5，0）、C（0，4），且P（x，y）是线段CB上的任意一点，则
4
y与x之间的等量关系式为 y=− x +4 ；
5
（3）若（2）中的点P在线段CB的延长线上，其它条件都不变，试判断（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
解：（1）在x轴上取一点M，使OM＝2，在y轴上取一点N，使ON＝3，如图作AM∥y轴，AN∥x轴交于点
A，
则点A即为所求；
（2）过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，
则 PN＝x，PM＝y，
PN CP x CP
由PN∥OB，得 = 即 = ；
OB CB 5 BC
PM BP y PB
由PM∥OC，得 = ，即 = ；
OC BC 4 BC
x y CP BP
∴ + = + =1，
5 4 CB BC
4
即 y=− x+4；
5
4
答案：y=− x+4；
5
（3）（2）中的结论仍然成立，如图3，当点P在线段BC的延长线上时，上述结论仍然成立．理由如下：这时
PN＝﹣x，PM＝y，−x CP y PB
与（2）类似， = ， = ．
5 CB 4 BC
PB CP
又∵ − =1．
BC BC
y −x x y
∴ − =1，即 + =1．
4 5 5 4
