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专题01 有理数
一、正数和负数
【高频考点精讲】
（1）大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”叫做它的符号。
（2）0既不是正数也不是负数。0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数。
（3）用正负数表示两种具有相反意义的量，具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它
们的意义相反，二是它们都是数量。
【热点题型精练】
1．（2022•益阳中考）四个实数﹣ ，1，2， 中，比0小的数是（ ）
A．﹣ B．1 C．2 D．
解：根据负数都小于零可得，﹣ ＜0．
答案：A．
2．（2022•桂林中考）在东西向的马路上，把出发点记为 0，向东与向西意义相反．若把向东走 2km 记做
“+2km”，那么向西走1km应记做（ ）
A．﹣2km B．﹣1km C．1km D．+2km
解：若把向东走2km记做“+2km”，那么向西走1km应记做﹣1km．
答案：B．
3．（2022•百色中考）负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数“数
量相等，意义相反”，如果向东走5米，记作+5米，那么向西走5米，可记作 ﹣ 5 米．
解：因为向东和向西是具有相反的意义，向东记作正数，则向西就记作负数．
答案：﹣5．
二、数轴
【高频考点精讲】
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴的三要素：原点，单位长度，正方向。
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数（数轴上的点对应任意
实数，包括无理数）。
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大。
【热点题型精练】
4．（2022•鄂尔多斯中考）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）A．﹣2 B．﹣ C．2 D．3
解：点A表示的数为﹣2，
﹣2的相反数为2，
答案：C．
5．（2021•滨州中考）在数轴上，点A表示﹣2．若从点A出发，沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B，则
点B表示的数是（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．2 D．4
解：由题意可得，
点B表示的数为﹣2+4＝2，
答案：C．
6．（2021•枣庄中考）如图，数轴（单位长度为1）上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图
中点C对应的数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．4
解：因为点A，点B表示的数互为相反数，所以原点在线段AB中间，即在点A右边的第3格，得出点C在原点
的右边第1格，所以点C对应的数是1．
答案：C．
三、绝对值、倒数、相反数
【高频考点精讲】
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值。
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数。
③有理数的绝对值都是非负数。
（2）如果用字母a表示有理数，则a 的绝对值要由自身的取值来确定。
2．倒数（1）倒数：乘积是1的两个数互为倒数。 一般地，如果 （a≠0），那么a（a≠0）的倒数是 。
（2）方法指引
①倒数是除法运算与乘法运算转化的纽带，倒数是伴随着除法运算而产生的。
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 没有倒数，这与相反数不同。
3．相反数
（1）概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（2）意义：相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除 0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点
两旁且到原点距离相等。
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”结果为负，有偶数个“﹣”，结果为正。
（4）规律方法总结：求一个数相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反
数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号。
【热点题型精练】
7．（2022•黄石中考） 的绝对值是（ ）
A．1﹣ B． ﹣1 C．1+ D．±（ ﹣1）
解：1﹣ 的绝对值是 ﹣1；
答案：B．
8．（2022•无锡中考）﹣ 的倒数是（ ）
A．﹣5 B． C．﹣ D．5
解：﹣ 的倒数为﹣5．
答案：A．
9．（2022•宁波中考）﹣2022的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2022 D．2022
解：﹣2022的相反数是2022，
答案：D．
10．（2022•黔东南州中考）下列说法中，正确的是（ ）
A．2与﹣2互为倒数 B．2与 互为相反数C．0的相反数是0 D．2的绝对值是﹣2
解：A选项，2与﹣2互为相反数，故该选项不符合题意；
B选项，2与 互为倒数，故该选项不符合题意；
C选项，0的相反数是0，故该选项符合题意；
D选项，2的绝对值是2，故该选项不符合题意；
答案：C．
四、有理数比较大小及运算
【高频考点精讲】
1．有理数比较大小
（1）法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
（2）数轴比较：在数轴上，右边的点表示的数大于左边的点表示的数。
（3）作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＜0，则a＜b；若a﹣b＝0，则a＝b。
2．有理数运算
（1）运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要
先做括号内的运算。
（2）四种技巧
①转化法：将除法转化为乘法；将乘方转化为乘法；乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算。
②凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的
两个数分别结合为一组进行求解。
③分拆法：先将分数拆成一个整数与一个真分数的和，然后进行计算。
④巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律能够使计算更简便。
【热点题型精练】
11．（2022•阜新中考）在有理数﹣1，﹣2，0，2中，最小的是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2
解：有理数﹣1，﹣2，0，2中，最小的是﹣2，
答案：B．
12．（2022•淄博中考）下列分数中，和 最接近的是（ ）
π
A． B． C． D．
解： 3.1416；3.1408；
＝3.14；
≈3.1428，
因为 ≈3.1416，
π
所以和 最接近的是 ．
答案：Aπ．
13．（2022•河北中考）与﹣3 相等的是（ ）
A．﹣3﹣ B．3﹣ C．﹣3+ D．3+
解：A．﹣3﹣ ＝﹣3 ，选项A的计算结果是﹣3 ；
B．3﹣ ＝2 ，选项B的计算结果不是﹣3 ；
C．﹣3+ ＝﹣2 ，选项C的计算结果不是﹣3 ；
D．3+ ＝3 ，选项D的计算结果不是﹣3 ．
答案：A．
14．（2022•吉林中考）要使算式（﹣1）□3的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
解：当填入加号时：﹣1+3＝2；
当填入减号时﹣1﹣3＝﹣4；
当填入乘号时：﹣1×3＝﹣3；
当填入除号时﹣1÷3＝﹣ ，
∵2＞﹣ ＞﹣3＞﹣4，
∴这个运算符号是加号．
答案：A．
15．（2022•杭州中考）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为﹣6℃，最
高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（ ）A．﹣8℃ B．﹣4℃ C．4℃ D．8℃
解：根据题意得：2﹣（﹣6）＝2+6＝8（℃），
则该地这天的温差为8℃．
答案：D．
16．（2022•烟台中考）如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 1 3 ．
解：当x＝﹣5，y＝3时，
（x2+y0）
＝ ×[（﹣5）2+30]
＝ ×（25+1）
＝ ×26
＝13，
答案：13．
17．（2022•烟台中考）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任
意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于 24．小明抽
到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 5× 6 ﹣ 2× 3 （答案不唯一） ．解：由题意得：
5×6﹣2×3
＝30﹣6
＝24，
答案：5×6﹣2×3（答案不唯一）．
18．（2022•杭州中考）计算：（﹣6）×（ ﹣■）﹣23．
圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是 ，请计算（﹣6）×（ ﹣ ）﹣23．
（2）如果计算结果等于6，求被污染的数字．
解：（1）（﹣6）×（ ﹣ ）﹣23
＝（﹣6）× ﹣8
＝﹣1﹣8
＝﹣9；
（2）设被污染的数字为x，
根据题意得：（﹣6）×（ ﹣x）﹣23＝6，
解得：x＝3，
答：被污染的数字是3．
五、近似数和有效数字
【高频考点精讲】
1．一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
2．从左边第一个非零数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。
【热点题型精练】
19．（2022•宜昌模拟）下列数据中，是近似数的为（ ）A．一年有12个月 B．药店每人限购10个口罩
C．每间寝室住3人 D．某校大约有2000名师生
解：一年有12个月，这里的12是准确数，不是近似数，故选项A不符合题意；
药店每人限购10个口罩，这里的10是准确数，不是近似数，故选项B不符合题意；
每间寝室住3人，这里的3是准确数，不是近似数，故选项C不符合题意；
某校大约有2000名师生，这里的2000是近似数，故选项D符合题意；
答案：D．
20．（2022•杭州模拟）2019年11月，联合国教科文组织正式宜布，将每年的3月14日定为“国际数学日”．国
际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是圆周率数值最接近的数字．将圆周率“ ”用四舍五入法取
近似值3.14，是精确到（ ） π
A．个位 B．十分位 C．百分位 D．千分位
解：将圆周率“ ”用四舍五入法取近似值3.14，是精确到百分位．
答案：C． π
21．（2022•济宁中考）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（ ）
A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02
解：0.0158≈0.016，
答案：B．
六、科学记数法
【高频考点精讲】
（1）科学记数法：把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种
记数法叫做科学记数法。科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数。
（2）表示较大的数
用科学记数法表示较大的数，10的指数比原来的整数位数少1，按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出
10的指数n。
（3）表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10 ﹣n，其中1≤|a|＜10，n等于原数第一个非零数字前所有0的个数。
【热点题型精练】
22．（2022•济南中考）神舟十三号飞船在近地点高度200000m，远地点高度356000m的轨道上驻留了6个月后，
于2022年4月16日顺利返回．将数字356000用科学记数法表示为（ ）
A．3.56×105 B．0.356×106 C．3.56×106 D．35.6×104
解：356000＝3.56×105，
答案：A．23．（2022•青岛中考）我国古代数学家祖冲之推算出 的近似值为 ，它与 的误差小于0.0000003．将
0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） π π
A．3×10﹣7 B．0.3×10﹣6 C．3×10﹣6 D．3×107
解：用科学记数法可以表示0.0000003得：3×10﹣7；
答案：A．
24．（2022•镇江中考）“珍爱地球，人与自然和谐共生”是今年世界地球日的主题，旨在倡导公众保护自然资源．
全市现有自然湿地28700公顷，人工湿地13100公顷，这两类湿地共有（ ）
A．4.18×105公顷 B．4.18×104公顷
C．4.18×103公顷 D．41.8×102公顷
解：28700+13100＝4.18×104．
答案：B．
25．（2021•荆门中考）“绿水青山就是金山银山”某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计
投资1.012×108元资金．数据1.012×108可表示为（ ）
A．10.12亿 B．1.012亿 C．101.2亿 D．1012亿
解：数据1.012×108可表示为：1.012×108＝101200000＝1.012亿，
答案：B．
七、用数字表示事件及尾数特征
26．（2022•娄底中考）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩
子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了
（ ）
A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
解：孩子自出生后的天数是：
1×7×7×7+3×7×7+3×7+5
＝343+147+21+5
＝516，
答：那么孩子已经出生了516天．
答案：B．27．（2022•抚州模拟）中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪．摆法有纵式和横式两种（如图所示），以
算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，宋代以后出现了笔算，
在个位数划上斜线以表示负数，如 表示﹣752， 表示 2369，则
表示 ﹣ 751 6 ．
解：由题意可知， 表示﹣7516．
答案：﹣7516．
28．（2022•鄂州中考）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空
间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型 2n来表示．即：21＝2，22＝4，23
＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，
∴2的乘方的尾数每4个循环一次，
∵2022÷4＝505…2，
∴22022与22的尾数相同，
答案：C．
29．（2022•内蒙古中考）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中
的规律可得70+71+72+…+72022的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…
∴7n的尾数1，7，9，3循环，
∴70+71+72+73的个位数字是0，
∵2023÷4＝505…3，
∴70+71+…+72022的结果的个位数字与70+71+72的个位数字相同，∴70+71+…+72022的结果的个位数字是7，
答案：C．
