文档内容
专题 01 有理数
【专题目录】
技巧1 绝对值的八种常见应用
技巧2 有理数中的六种易错类型
【题型】一、有理数概念理解
【题型】二、用数轴上的点表示有理数
【题型】三、求一个数的相反数
【题型】四、求一个数的绝对值
【题型】五、有理数的加减乘除混合运算
【题型】六、科学记数法
【考纲要求】
1、了解有理数的概念，知道有理数与数轴上的点一一对应．
2、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．
【考点总结】一、有理数
正数 大于0的数叫做正数
意义：表示具有相反意义的量
负数 在正数前面加上“－”号的数叫做负数
数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴
只有符号不同的两个数，叫做互为相反数
（1）若a,b互为相反数，则a+b=0;
相反数
有
（2）0的相反数是0;
理
（3）在数轴上，互为相反数的两个数对应的点到原点的距离相等.
数
|a|
的 数轴上点a与原点的距离叫做a的绝对值，记作
相
绝对值 { a (a>0)
关 |a|= 0 (a=0)
概 −a (a<0)
绝对值具有非负性：
念
乘积为1的两个实数互为倒数
（1）ab=1⇔a,b互为倒数;
倒数
（2）0没有倒数;
（3）倒数等于它本身的数是1和-1.
科学计数法 把一个数写成a×10n（其中1≤|a|＜10，n为整数）的形式
【注意】
数轴1、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）
2、任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。
3、数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.
【考点总结】二、有理数四则运算
同号两数相加，取原来的符号。并把它们的绝对值相加。
异号两数相加，取绝对储较大的加数的符号，并用较大数的绝对值 减失较小数的绝对
加法
值。
加法运算律：①交换律 a+b=b+a； ②结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。
减法 减去一个效等于加上这个数的相反数。即：a -b= a +(-b)。
两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘
有 几个非零实数相乘。积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当
理 乘法 负因数有奇数个时，积为负
数 n个数相乘，有一个因数为0，积为0.
的 乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。
运 两数相除，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相除
除法
算 0除以任何一个不等于0的数都得0
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。
乘方 an =⏟a⋅a⋅⋯⋅a
如： n个a 读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数。
分级：加减是一级运算。除是二级运算，乘方和开方是三级运算，三级运算的题序是三
运算顺序 二一、（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进
行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）
【注意】
1、有理数的加减混合运算
规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算
步骤：（1）减法化加法；
（2）省略括号和加号；
（3）运用加法运算律使计算简便；
（4）运用有理数加法法则进行计算。
注：运用加法运算律时，可按如下几点进行：
（1）同号的先结合；
（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；（3）互为相反数的两数相结合；
（4）能凑成整数的两数相结合；
（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。
2、多个有理数相乘的法则及规律：
（1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；
负因数的个数是偶数时，积是正数。
确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。
（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0.
注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。
【技巧归纳】
技巧1：绝对值的六种常见应用
【类型】一、已知一个数求这个数的绝对值
1．化简：
(1)|－(＋7)|； (2)－|－8|；
【类型】二、已知一个数的绝对值求这个数
2.若|a|＝2，则a＝________.
3．若|x|＝|y|，且x＝－3，则y＝________.
【类型】三、 绝对值在求字母的取值范围中的应用
4．若|x|＝－x，则x的取值范围是________．
5．若|x－2|＝2－x，则x的取值范围是________．
【类型】四、绝对值在比较大小中的应用
6．把－(－1)，－，－，0，用“>”连接正确的是( )
A．0>－(－1)>－>－ B．0>－(－1)>－>－
C．－(－1)>0>－>－ D．－(－1)>0>－>－
【类型】五、绝对值的非负性在求字母值中的运用
7．若＋＋＝0，求a＋b－c的值．
【类型】六、绝对值的非负性在求最值中的应用
8．根据|a|≥0这条性质，解答下列问题：
(1)当a＝________时，|a－4|有最小值，此时最小值为________；
参考答案
1．解：(1)原式＝7. (2)原式＝－8.2．±2 3.±3
4.x≤0 5.x≤2
6.C
7．解：由题意知a＝，b＝，c＝，所以a＋b－c＝＋－＝.
8．解：(1)4；0
(2)因为a，b互为相反数，所以b＝－a.又因为a＜0，b＞0.
所以|a－b|＋2a＋|b|＝|2a|＋2a＋|b|＝－2a＋2a＋b＝b.
技巧2： 有理数中的六种易错类型
【类型】一、对有理数有关概念理解不清造成错误
1．下列说法正确的是( )
A．最小的正整数是0
B．－a是负数
C．符号不同的两个数互为相反数
D．－a的相反数是a
【类型】二、 误认为|a|＝a，忽略对字母a分情况讨论
2．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是( )
A．负数 B．负数或零
C．正数或零 D．正数
【类型】三、对括号使用不当导致错误
3．计算：2－.
【类型】四、忽略或不清楚运算顺序
4．计算：－5－(－5)×÷×(－5)．
【类型】五、乘法运算中确定符号与加法运算中的符号规律相混淆
5．计算：－36×.
【类型】六、除法没有分配律
6．计算：24÷.
参考答案
1．D 2.C
3．解：原式＝2＋－＋＝2.
4．解：原式＝－5－(－5)××10×(－5)＝－30.
5．解：原式＝－36×－(－36)×－(－36)×1＝－21＋30＋36
＝45.
6．解：原式＝24÷
＝24÷
＝576.
方法指导：解本题时往往会出现将乘法分配律运用到除法运算中的错误，从而出现“原式＝24÷－24÷－
24÷＝72－192－144＝－264”这样的错误．
【题型讲解】
【题型】一、有理数概念理解
例1、在下列实数： 、 、 、 、 、﹣0.0010001中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【提示】由题意根据有理数的定义：整数与分数统称有理数，进行提示即可判断．
【详解】
解：∵ ＝3， ＝4，
∴ ， ， ，﹣0.0010001是有理数，其它的是无理数．
有理数有4个.
故选：D．
【题型】二、用数轴上的点表示有理数
例2、如图，数轴上两点 所对应的实数分别为 ，则 的结果可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【提示】根据数轴确定 和 的范围，再根据有理数的加减法即可做出选择．
【详解】解：根据数轴可得 ＜ ＜1， ＜ ＜ ，则1＜ ＜3。故选：C
【点睛】本题考查的知识点为数轴，解决本题的关键是要根据数轴明确 和 的范围，然后再确定 的范围即
可．
【题型】三、求一个数的相反数
例3、下列式子中，正确的是（ ）
A．|﹣5|=﹣5 B．﹣|﹣5|=5 C．﹣（﹣5）=﹣5 D．﹣（﹣5）=5
【答案】D
【解析】
试题解析：A. |﹣5|=5，故原选项错误；
B. ﹣|﹣5|=-5，故原选项错误；
C. ﹣（﹣5）=5，故原选项错误；
D. ﹣（﹣5）=5，故正确.
故选D.
【题型】四、求一个数的绝对值
例4、 的绝对值是（ ）
A． B．2020 C． D．
【答案】B
【提示】根据绝对值的定义直接解答．
【详解】解：根据绝对值的概念可知：|−2020|＝2020，故选：B．
【题型】五、有理数的加减乘除混合运算
例5、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）【答案】（1）8；（2）-44；（3） ；（4）
【提示】
（1）根据有理数的减法法则和加法法则计算即可；
（2）根据有理数的乘法法则、除法法则和减法法则计算即可；
（3）根据乘法分配律和各个运算法则计算即可；
（4）根据有理数的运算顺序和各个运算法则计算即可．
【详解】
解：（1）
=
=
=
=8
（2）
=
=
=
=-44
（3）
==
=
（4）
=
=
=
【题型】六、科学记数法
例6、2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于
距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于1时，n是
正数；当原数绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解： 36000= ，故选：C．
有理数（达标训练）
一、单选题
1．（2022·浙江金华·一模） 的相反数是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，直接求解即可．
【详解】解：由相反数的定义可知 的相反数是 ，故选：A．
【点睛】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解决问题的关键．
2．（2022·辽宁抚顺·模拟预测） 的绝对值等于（ ）
A． B． C．2 D．－2
【答案】B
【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．
【详解】解：- 的绝对值是 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
3．（2022·上海普陀·二模）下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据到原点距离最远的点就是绝对值最大的数，对每个数作出判断，即可求出答案．
【详解】2到原点的距离是2个长度单位，
1到原点的距离是1个长度单位，
-1.5到原点的距离是1.5个长度单位，
-3到原点的距离是3个长度单位，
即到原点的距离最远的点是﹣3．
故选：D．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，绝对值就是一个数在数轴上到原点的距离，求出每一个数的绝对值
就是到原点的距离．
4．（2022·重庆铜梁·一模）在下列四个选项中，比-1小的数是（ ）
A．1 B．-2 C．0 D．2
【答案】B
【分析】根据“正数 负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”即可得出答案．
【详解】解： ， ， ，
，
其中比 小的数是 ．
故选：B．【点睛】本题考查了有理数的比较大小，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
5．（2022·河南·三模）下列各数中绝对值最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】先求出各数的绝对值，再比较大小即可解答．
【详解】解： ， ， ， ，
∵ ，
∴绝对值最大的数是-4，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的大小比较以及绝对值的概念，解题的关键是求出各数的绝对值．
6．（2023·福建莆田·二模）中国工程院院士、世界杂交水稻之父袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、
应用与推广，发明“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，为中国粮食安全、农业科
学发展和世界粮食供给作出杰出贡献．2021年，全国粮食再获丰收，全年粮食总产量达到13 657亿斤，粮
食产量连续7年稳定在1.3万亿斤以上．将13 657用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，形如 为正整数，据此解答．
【详解】解：13 657用科学计数法表示应为
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题
7．（2022·河南·郑州外国语中学模拟预测）计算： ______．
【答案】1
【分析】先计算出绝对值符号里面的结果，再求得此题结果即可．
【详解】解： ，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了有理数的加法和绝对值，关键是掌握有理数的加法法则．8．（2021·福建漳州·模拟预测）如图，数轴上A，B两点表示的两个数互为相反数（一格表示单位长度为
1），则点C表示的数是________．
【答案】
【分析】根据数轴上表示的数互为相反数的性质：即到原点的距离相等，再由两点之间的距离确定出A表
示的数，进而可得答案．
【详解】解：∵数轴上A，B两点表示的数互为相反数，
∴A，B两点到原点的距离相等，
∵点A与点B之间的距离为6个单位长度，
∴点A到原点的距离为6÷2＝3，
∵点A在原点的左侧，
∴点A表示的数是-3，
∴点C表示的数是-1
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离的求法，以及相反数的性质，熟练掌握这些基础知识是解题的关
键．
三、解答题
9．计算： ．
【答案】
【分析】根据有理数的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝
．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
有理数（提升测评）
一、单选题
1．（2022·河北邯郸·三模）等号左右两边一定相等的一组是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用去括号法则与正整数幂的概念判断即可．
【详解】解：对于A， ，A错误，不符合题意；
对于B， ，B错误，不符合题意；
对于C， ，C正确，符合题意；
对于D， ，D错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了去括号法则，以及正整数幂的概念，熟练掌握相关定义与运算法则是解题的关键．
2．（2022·河北保定·二模）嘉琪在《趣味数学》中学习到远古时期的一种计数方法，即“结绳计数”，类
似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，例如，图
1中表示的数为31，可知图2中表示的数为（ ）
A．42 B．46 C．86 D．321
【答案】C
【分析】由题可知，可知图2中的五进制数为321，化为十进制数即可．
【详解】解：根据题意得：
图2中的五进制数为321，
化为十进制数为：321=3×52+2×51+1×50=86．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了进位制，解题的关键是会将五进制转化成十进制．
3．（2022·安徽·三模）下列各数中，化简结果最小的是（ ）
A．－5 B． C． D．
【答案】A【分析】分别计算绝对值，负整数指数幂，乘方运算，再比较各数的大小，从而可得答案．
【详解】解：
而
所以最小的数是
故选：A
【点睛】本题考查的是绝对值的含义，负整数指数幂的含义，有理数的乘方运算，有理数的大小比较，掌
握以上基础知识是解本题的关键．
4．（2022·贵州贵阳·三模）如图，在不完整的数轴上，点A，B分别表示数a，b，且a与b互为相反数，
若AB＝8，则点A表示的数为（ ）
A．－4 B．0 C．4 D．8
【答案】A
【分析】根据AB＝8，且点A，B分别表示数a， b互为相反数，可知A，B两点到原点的距离相等，进而
可求出B点表示的数，进而可求出A点表示的数．
【详解】解：因为AB＝8，且点A，B分别表示数a， b互为相反数，
所以A，B两点到原点的距离相等，
则B点表示的数为：8÷2=4，
则A点表示的数为：﹣4，
故选：A．
【点睛】本题考查相反数的几何意义，数轴上两点之间的距离，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的
关键．
5．（2022·河北唐山·三模）如图1，点 ， ， 是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为 ，
b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点
C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为（ ）A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】结合图1和图2求出1个单位长度=0.6cm，再求出求出AB之间在数轴上的距离，即可求解；
【详解】解：由图1可得AC=4-（-5）=9，由图2可得AC=5.4cm，
∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为=5.4÷9=0.6（cm），
∵AB=1.8cm，
∴AB=1.8÷0.6＝3（单位长度），
∴在数轴上点B所对应的数b=-5+3=-2；
故选：C
【点睛】本题考查了数轴，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
6．（2022·陕西·西安工业大学附中三模）下列算式中，运算结果为负数的是（ ）
A． B．﹣1﹣（﹣5） C．﹣（﹣ ） D．﹣2×0
【答案】A
【分析】先逐一计算，后作出判断即可．
【详解】解：∵ = -1，是负数，
∴A符合题意；
∵﹣1﹣（﹣5）=4，是正数，
∴B不符合题意；
∵﹣（﹣ ）= ，是正数，
∴C不符合题意；
∵﹣2×0=0，既不是正数，也不是负数，
∴D不符合题意；
故选:A．
【点睛】本题考查了有理数的运算，负数，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．
二、填空题7．（2022·浙江宁波·一模）定义： 表示不大于x的最大整数， 表示不小于x的最小整数，例如：
， ， ， ．则 ___________．
【答案】0
【分析】根据题意，[1.7]中不大于1.7的最大整数为1，（-1.7）中不小于-1.7的最小整数为-1，则可解答
【详解】解：依题意：[1.7]=1，（-1.7）=-1
∴
故答案为：0
【点睛】此题主要考查有理数大小的比较，读懂题意，即可解答．
8．（2022·河北石家庄·二模）如图，在数轴原点O的右侧，一质点P从距原点10个单位的点A处向原点
方向跳动，第一次跳动到OA的中点A 处，则点A 表示的数为 _____；第二次从A 点跳动到OA 的中点A
1 1 1 1 2
处，第三次从A 点跳动到OA 的中点A 处，如此跳动下去，则第四次跳动后，该质点到原点O的距离为
2 2 3
_____．
【答案】
【分析】因为A到原点距离为10，A 为OA的中点，可求出A 到原点距离为5，依次可求出A、A、A 到
1 1 2 3 4
原点的距离．
【详解】解：由题意可知：
∵A到原点距离为10，且A 为OA的中点，∴A 到原点距离为5，
1 1
∵A 为OA 的中点，∴A 到原点距离为 ，
2 1 2
∵A 为OA 的中点，∴A 到原点距离为 ，
3 2 3
∵A 为OA 的中点，∴A 到原点距离为 ，
4 3 4
故答案为：5； ．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，解题的关键是理解题意准确找出每一个点代表的有理数．
三、解答题
9．（2022·河北保定·二模）已知数轴上有两个点A：－3，B：1．
(1)求线段AB的长；
(2)若 ，且m<0；在点B右侧且到点B距离为5的点表示的数为n．
①求m与n；
②计算2m+n+mn；
【答案】(1)4
(2)①m=－2，n=6；②－10
【分析】（1）根据数轴上两点间距离计算方法求解；
（2）①先根据m的绝对值及m的取值范围求出m值，再根据n与1的距离为5，求出n值；
②将①中的m、n的值代入代数式求值即可．
（1）
解：∵A点表示的数为－3，B点表示的数为1，
∴AB=1－（－3）=4．
（2）
解：①∵ ，且m<0，
∴m=－2，
∵在点B右侧且到点B距离为5的点表示的数为n，
∴n=1+5=6．
②当m=－2，n=6时，
原式=2×（－2）+6+（－2）×6
=－4+6－12
=－10．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的意义及有理数混合运算等知识，掌握数轴上两点间距
离计算方法（较大数减去较小数）是解题关键．
