文档内容
专题 01 有理数
【专题目录】
技巧1 绝对值的八种常见应用
技巧2 有理数中的六种易错类型
【题型】一、有理数概念理解
【题型】二、用数轴上的点表示有理数
【题型】三、求一个数的相反数
【题型】四、求一个数的绝对值
【题型】五、有理数的加减乘除混合运算
【题型】六、科学记数法
【考纲要求】
1、了解有理数的概念，知道有理数与数轴上的点一一对应．
2、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．
【考点总结】一、有理数
正数 大于0的数叫做正数
意义：表示具有相反意义的量
负数 在正数前面加上“－”号的数叫做负数
数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴
只有符号不同的两个数，叫做互为相反数
（1）若a,b互为相反数，则a+b=0;
相反数
有
（2）0的相反数是0;
理
（3）在数轴上，互为相反数的两个数对应的点到原点的距离相等.
数
|a|
的 数轴上点a与原点的距离叫做a的绝对值，记作
相
绝对值 { a (a>0)
关 |a|= 0 (a=0)
概 −a (a<0)
绝对值具有非负性：
念
乘积为1的两个实数互为倒数
（1）ab=1⇔a,b互为倒数;
倒数
（2）0没有倒数;
（3）倒数等于它本身的数是1和-1.
科学计数法 把一个数写成a×10n（其中1≤|a|＜10，n为整数）的形式
【注意】
数轴1、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）
2、任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。
3、数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.
【考点总结】二、有理数四则运算
同号两数相加，取原来的符号。并把它们的绝对值相加。
异号两数相加，取绝对储较大的加数的符号，并用较大数的绝对值 减失较小数的绝对
加法
值。
加法运算律：①交换律 a+b=b+a； ②结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。
减法 减去一个效等于加上这个数的相反数。即：a -b= a +(-b)。
两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘
有 几个非零实数相乘。积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当
理 乘法 负因数有奇数个时，积为负
数 n个数相乘，有一个因数为0，积为0.
的 乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。
运 两数相除，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相除
除法
算 0除以任何一个不等于0的数都得0
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。
乘方 an =⏟a⋅a⋅⋯⋅a
如： n个a 读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数。
分级：加减是一级运算。除是二级运算，乘方和开方是三级运算，三级运算的题序是三
运算顺序 二一、（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进
行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）
【注意】
1、有理数的加减混合运算
规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算
步骤：（1）减法化加法；
（2）省略括号和加号；
（3）运用加法运算律使计算简便；
（4）运用有理数加法法则进行计算。
注：运用加法运算律时，可按如下几点进行：
（1）同号的先结合；
（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；（3）互为相反数的两数相结合；
（4）能凑成整数的两数相结合；
（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。
2、多个有理数相乘的法则及规律：
（1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；
负因数的个数是偶数时，积是正数。
确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。
（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0.
注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。
【技巧归纳】
技巧1：绝对值的六种常见应用
【类型】一、已知一个数求这个数的绝对值
1．化简：
(1)|－(＋7)|； (2)－|－8|；
【类型】二、已知一个数的绝对值求这个数
2.若|a|＝2，则a＝________.
3．若|x|＝|y|，且x＝－3，则y＝________.
【类型】三、 绝对值在求字母的取值范围中的应用
4．若|x|＝－x，则x的取值范围是________．
5．若|x－2|＝2－x，则x的取值范围是________．
【类型】四、绝对值在比较大小中的应用
6．把－(－1)，－，－，0，用“>”连接正确的是( )
A．0>－(－1)>－>－ B．0>－(－1)>－>－
C．－(－1)>0>－>－ D．－(－1)>0>－>－
【类型】五、绝对值的非负性在求字母值中的运用
7．若＋＋＝0，求a＋b－c的值．
【类型】六、绝对值的非负性在求最值中的应用
8．根据|a|≥0这条性质，解答下列问题：
(1)当a＝________时，|a－4|有最小值，此时最小值为________；
技巧2： 有理数中的六种易错类型
【类型】一、对有理数有关概念理解不清造成错误1．下列说法正确的是( )
A．最小的正整数是0
B．－a是负数
C．符号不同的两个数互为相反数
D．－a的相反数是a
【类型】二、 误认为|a|＝a，忽略对字母a分情况讨论
2．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是( )
A．负数 B．负数或零
C．正数或零 D．正数
【类型】三、对括号使用不当导致错误
3．计算：2－.
【类型】四、忽略或不清楚运算顺序
4．计算：－5－(－5)×÷×(－5)．
【类型】五、乘法运算中确定符号与加法运算中的符号规律相混淆
5．计算：－36×.
【类型】六、除法没有分配律
6．计算：24÷.
【题型讲解】
【题型】一、有理数概念理解
例1、在下列实数： 、 、 、 、 、﹣0.0010001中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型】二、用数轴上的点表示有理数
例2、如图，数轴上两点 所对应的实数分别为 ，则 的结果可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【题型】三、求一个数的相反数
例3、下列式子中，正确的是（ ）
A．|﹣5|=﹣5 B．﹣|﹣5|=5 C．﹣（﹣5）=﹣5 D．﹣（﹣5）=5【题型】四、求一个数的绝对值
例4、 的绝对值是（ ）
A． B．2020 C． D．
【题型】五、有理数的加减乘除混合运算
例5、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【题型】六、科学记数法
例6、2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于
距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
有理数（达标训练）
一、单选题
1．（2022·浙江金华·一模） 的相反数是（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2022·辽宁抚顺·模拟预测） 的绝对值等于（ ）
A． B． C．2 D．－23．（2022·上海普陀·二模）下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是
A．2 B．1 C． D．
4．（2022·重庆铜梁·一模）在下列四个选项中，比-1小的数是（ ）
A．1 B．-2 C．0 D．2
5．（2022·河南·三模）下列各数中绝对值最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
6．（2023·福建莆田·二模）中国工程院院士、世界杂交水稻之父袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、
应用与推广，发明“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，为中国粮食安全、农业科
学发展和世界粮食供给作出杰出贡献．2021年，全国粮食再获丰收，全年粮食总产量达到13 657亿斤，粮
食产量连续7年稳定在1.3万亿斤以上．将13 657用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2022·河南·郑州外国语中学模拟预测）计算： ______．
8．（2021·福建漳州·模拟预测）如图，数轴上A，B两点表示的两个数互为相反数（一格表示单位长度为
1），则点C表示的数是________．
三、解答题
9．计算： ．
有理数（提升测评）
一、单选题
1．（2022·河北邯郸·三模）等号左右两边一定相等的一组是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河北保定·二模）嘉琪在《趣味数学》中学习到远古时期的一种计数方法，即“结绳计数”，类
似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，例如，图
1中表示的数为31，可知图2中表示的数为（ ）A．42 B．46 C．86 D．321
3．（2022·安徽·三模）下列各数中，化简结果最小的是（ ）
A．－5 B． C． D．
4．（2022·贵州贵阳·三模）如图，在不完整的数轴上，点A，B分别表示数a，b，且a与b互为相反数，
若AB＝8，则点A表示的数为（ ）
A．－4 B．0 C．4 D．8
5．（2022·河北唐山·三模）如图1，点 ， ， 是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为 ，
b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点
C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为（ ）
A．3 B． C． D．
6．（2022·陕西·西安工业大学附中三模）下列算式中，运算结果为负数的是（ ）
A． B．﹣1﹣（﹣5） C．﹣（﹣ ） D．﹣2×0
二、填空题
7．（2022·浙江宁波·一模）定义： 表示不大于x的最大整数， 表示不小于x的最小整数，例如：
， ， ， ．则 ___________．
8．（2022·河北石家庄·二模）如图，在数轴原点O的右侧，一质点P从距原点10个单位的点A处向原点
方向跳动，第一次跳动到OA的中点A 处，则点A 表示的数为 _____；第二次从A 点跳动到OA 的中点A
1 1 1 1 2
处，第三次从A 点跳动到OA 的中点A 处，如此跳动下去，则第四次跳动后，该质点到原点O的距离为
2 2 3_____．
三、解答题
9．（2022·河北保定·二模）已知数轴上有两个点A：－3，B：1．
(1)求线段AB的长；
(2)若 ，且m<0；在点B右侧且到点B距离为5的点表示的数为n．
①求m与n；
②计算2m+n+mn；
