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专题 29 圆的有关概念
【专题目录】
技巧1：巧用圆的基本性质解圆的五种关系
技巧2：垂径定理的四种应用技巧
技巧3：圆中常见的计算题型
【题型】一、 圆的周长与面积问题
【题型】二、利用垂径定理进行计算
【题型】三、垂径定理的实际应用
【题型】四、利用弧、弦、圆心角的关系求解
【题型】五、利用弧、弦、圆心角的关系求证
【题型】六、同弧或等弧所对的圆周角相等
【题型】七、直径所对的圆周角是直角
【考纲要求】
1.理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系．
2.了解圆心角与圆周角的关系，掌握垂径定理及推论.
【考点总结】一、 圆的有关概念及性质
（1）圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,圆既是轴对称图形也是中心对称图形.
（2）圆具有对称性和旋转不变性.
（3）不共线的三点确定一个圆.
（4）圆上各点到圆心的距离都等于半径.
（5）圆上任意两点间的部分叫做弧,大于半圆周的弧称为优弧,小于半圆周的弧称为劣弧.
（6）连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.
（7）弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
推论：在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也
分别相等.
【考点总结】二、垂径定理
（1）定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
（2）推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
② 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
③ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.（3）推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.
注意:轴对称性是圆的基本性质,垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的,它们是证明线段相等、
角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线.
【考点总结】三、与圆有关的角及其性质
（1）圆心角:顶点在圆心,角的两边和圆相交的角叫做圆心角.
圆周角:顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.
（2）圆周角定理
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论：
① 同弧或等弧所对的圆周角相等.
② 半圆(或直径)所对的圆周角是直径,90°的圆周角所对的弦是圆的直径.
③ 圆内接四边形的对角互补.
【考点总结】四、圆周长、弧长计算
（1）半径为R的圆周长：C=πd=2πR.
nπR
180
（2）半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长为l,则l= .
【考点总结】五、圆、扇形面积计算
πR2
（1）半径为R的圆面积S=
1 nπR2
lR
2 36
（2）半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S = 或S = .
扇 扇
【考点总结】六、圆柱、圆锥的有关计算
（1）圆柱的侧面展开图是长方形,圆柱侧面积S=2πRh,全面积S=2πRh+2πR2(R表示底面圆的半径,h表示圆
柱的高).
（2）圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥侧面积S=πRl,全面积S=πRl+πR2(R表示底面圆的半径,l表示圆锥的母
线).
1 1
3 3
（3）圆柱的体积=底面积×高,即V=Sh=πR2h. 圆锥的体积= ×底面积×高,即V= πR2h.
【考点总结】七、正多边形与圆
（1）正多边形:各边相等,各角相等的多边形叫做正多边形.（2）圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做
正多边形的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做
正多边形的边心距.
（3）正多边形的内角和=(n-2)·180°;
(n−2)180
n
正多边形的每个内角= ;
正多边形的周长=边长×边数;
1
2
正多边形的面积= ×周长×边心距.
【技巧归纳】
技巧1：巧用圆的基本性质解圆的五种关系
类型一：弦、弧之间的关系
1．如图，在⊙O中，AB＝2CD，则下列结论正确的是( )
(第1题)
A．AB>2CD
B．AB＝2CD
C．AB<2CD
D．以上都不正确
2．如图，在⊙O中，弦AD＝BC，求证：AB＝CD.
(第2题)
类型二： 圆周角、圆心角之间的关系
3．如图，AB，AC，BC都是⊙O的弦，且∠CAB＝∠CBA，求证：∠COB＝∠COA.(第3题)
类型三：弧、圆周角之间的关系
4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BAC＝50°，求∠ADC的度数．
(第4题)
类型四：弦、圆心角之间的关系
5．如图，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于D，交AC于E，连接DE.试判断BD，DE，
EC之间的大小关系，并说明理由．
(第5题)
类型五：弦、弧、圆心角之间的关系
6．如图，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是AB的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.
求证：AE＝BF＝CD.
(第6题)
技巧2：垂径定理的四种应用技巧
类型一：巧用垂径定理求点的坐标
1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上， 且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．
(第1题)
类型二：巧用垂径定理解决最值问题(对称思想)
2．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，
CD⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．
(第2题)
类型三：巧用垂径定理计算
3．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，BC＝2.求：
(1)AB的长；
(2)⊙O的半径．
(第3题)
类型四：巧用垂径定理解决实际问题(建模思想)
4．某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘宽3
m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
技巧3：圆中常见的计算题型
类型一：有关角度的计算
1．如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.
(1)求证：△ABD≌△CDB；
(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．(第1题)
类型二：半径、弦长的计算
(第2题)
2．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2 cm，∠BCD＝22°30′，则
⊙O的半径为________．
3．如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD＝
30 cm.求直径AB的长．
(第3题)
类型三：面积的计算
利用“作差法”求面积
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切
线DF，交AC于点F.
(1)求证：DF⊥AC；
(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．(第4题)
利用“等积法”求面积
5．如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为
OC与⊙O的交点，连接AF.
(1)求证：CB是⊙O的切线；
(2)若∠ECB＝60°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．
(第5题)
利用“平移法”求面积
6．如图，两个半圆中，O为大半圆的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴
影部分的面积等于多少？
(第6题)
利用“割补法”求面积
7．如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长
线于点E，连接AD，BD.
(1)由AB，BD，AD围成的曲边三角形的面积是______；
(2)求证：DE是⊙O的切线；
(3)求线段DE的长．
(第7题)
类型四：实际应用的计算利用垂径定理解决台风问题
8．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30 km/h，受影响区域的半
径为200 km，B市位于点P北偏东75°的方向上，距离P点320 km处．
(1)试说明台风是否会影响B市；
(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间．
(第8题)
利用圆周角知识解决足球射门问题(转化思想)
9．如图，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴队员乙
已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员乙，由队
员乙射门．从射门角度考虑，你认为选择哪种射门方式较好？为什么？
(第9题)
利用直线与圆的位置关系解决范围问题
10．如图，已知A，B两地相距1 km.要在A，B两地之间修建一条笔直的水渠(即图中的线段AB)，经
测量在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个以C为圆心，350 m为半径的圆形公园，
则修建的这条水渠会不会穿过公园？为什么？
(第10题)
【题型讲解】
【题型】一、 圆的周长与面积问题
例1、如图，⊙O的半径为 ，分别以 的直径 上的两个四等分点 ， 为圆心， 为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
例2、图案的地砖，要求灰、白两种颜色面积大致相同，那么下面最符合要求的是（ ）．
A． B． C． D．
【题型】二、利用垂径定理进行计算
例3、如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为
（ ）
A．8 B．12 C．16 D．2
例4、如图，点 在⊙O上， ，垂足为E．若 ， ，则
（ ）
A．2 B．4 C． D．
【题型】三、垂径定理的实际应用例5、往直径为 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 ，则水的最
大深度为（ ）
A． B． C． D．
例6、我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不
知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知
其大小．用锯去锯这木材，锯口深 寸，锯道长 尺（1尺 寸）．问这根圆形木材的直径
是______寸．
【题型】四、利用弧、弦、圆心角的关系求解
⏜ ⏜
例7、如图， 是⊙O的直径，点 ， 在⊙O上， AB=AD ， 交 于点 ．若 ．
则 的度数为（ ）A． B． C． D．
⏜ ⏜ ⏜
例8、如图，AB是⊙O的直径， = = ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
BC CD DE
A．51° B．56° C．68° D．78°
【题型】五、利用弧、弦、圆心角的关系求证
例9、如图， 是半圆 的直径， 是半圆 上不同于 的两点 与 相交于点
是半圆 所任圆的切线，与 的延长线相交于点 ，
求证： ；
若 求 平分 ．
【答案】 证明见解析； 证明见解析．
【提示】
利用 证明 利用 为直径，证明 结合已知条件可
得结论；
例10、如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与
OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
例11、如图，点 在圆上，若弦 的长度等于圆半径的 倍，则 的度数是( )．
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
【题型】六、同弧或等弧所对的圆周角相等
例12、如图，四边形 的外接圆为⊙ ， ， ， ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
⏜
例13、如图，点A、B、C、D在⊙O上， ，点B是 的中点，则 的度数是（ ）
AC
A． B． C． D．【题型】七、直径所对的圆周角是直角
例14、如图， 是圆 上一点， 是直径， ， ，点 在圆 上且平分弧 ，则
的长为（ ）
A． B． C． D．
例15、如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ）
A．10° B．14° C．16° D．26°
圆的有关概念（达标训练）
一、单选题
1．如图，点 ， ， 在 上， ， ，连接 交 于点 ，则 的度数是
（ ）A．108° B．109° C．110° D．112°
2．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是
⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则sin∠APB等于（ ）
A． B． C． D．1
3．如图，CD是圆O的直径，AB是圆O的弦，且AB=10，若CD⊥AB于点E，则AE的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
4．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，则CD的长为（
）A．3 B．6 C．6 D．6
5．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AE＝BE B．OE＝DE C． D．
6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若 ，则∠AOB的度数
是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
7．如图， 为 的直径， 为 的弦， 为优弧 的中点， ，垂足为 ， ，
，则 的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点 在线段 上（点 与点 不重合），过点 的圆记为圆 ，过点 的圆记为圆 ，
过点 的圆记为圆 ，则下列说法中正确的是（ ）A．圆 可以经过点 B．点 可以在圆 的内部
C．点 可以在圆 的内部 D．点 可以在圆 内部
9．如图， 为 的直径，点C为 上的一点，过点C作 的切线，交直径 的延长线于点D；若
，则 的度数是（ ）
A．23° B．44° C．46° D．57°
10．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝130°，则∠BOC的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
11．在平面内与点 的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
12．如图，ΔABC 是⊙O 的内接正三角形，已知⊙O 的半径为 6，则图中阴影部分的面积是_____．三、解答题
13．等腰△ABC中， ，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺．根据下列条件分别
在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示画图过程，
实线表示画图结果）
（1）如图1， ；
（2）如图2，
14．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若 ，求⊙O的半径的长．
圆的有关概念（提升测评）
一、单选题
1．如图，AB为 的直径，点C，D在 上．若 ，则 的度数是（ ）A．15° B．20° C．25° D．30°
2．如图，在半径为R的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D为弧AC的中点，AC与BD交于点E，已知∠A
＝36°，则∠AED的度数为（ ）
A．36° B．56° C．63° D．72°
3．如图，点 ， ， ， 在 上，且 ，若 ，则 的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
4．如图，AB是 的弦，半径 于点D， ，点P在圆周上，则 等于（ ）
A．27° B．30° C．32° D．36°5．如图，已知 是 的直径，弦 ，垂足为 ，且 ， ，则 的半径长
为（ ）
A．2 B． C．4 D．10
6． 是 的直径，弦 ，则 （ ）
A．π B．2π C． D．4π
7．如图， 是 的直径，弦 ，若 ，则 的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．如图，反比例函数的一个分支与 有两个交点，且平分这个圆，以下说法正确的是（ ）
A．劣弧 等于B．反比例函数的这个分支平分圆的周长
C．反比例函数的这个分支平分圆的面积
D．反比例函数图象必过圆心
9．如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
10．如图，一块直角三角板的 角的顶点 落在 上，两边分别交 于 两点，连结 ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．若 ，则
D．一组数据 ， ， ， 的中位数、众数都是
二、填空题
12．如图， 的半径为2， ， ，则弦 的长为___________．三、解答题
13．如图，四边形 是 的内接四边形． 平分 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
14．如图， 外接于 ，延长 交 于点 ，过点 作 交 于点 ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的半径．
