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挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题29圆与相似及三角函数综合问题
【例1】（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）四边形ABCD内接于⊙O，直径
AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．
(1)如图1，若∠PBA=30°，且EO=EA，求证：BA平分∠PBD；
(2)如图2，连接OB，若∠DBA=2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．
【例2】（2022·广东深圳·中考真题）一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径，半圆O上点C
处有个吊灯EF, EF//AB, CO⊥AB,EF的中点为D,OA=4.
(1)如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度．
(2)如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为
3
反射光线，∠OHM=∠OHN=45°,tan∠COH= ,求ON的长度．
4
(3)如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM=50°,HN为反射光线交
圆O于点N,在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．
【例3】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知CH是⊙O的直径，点A，点B是⊙O上的两个点，连接OA,OB，点D，点E分别是半径OA,OB的中点，连接CD,CE,BH，且
∠AOC=2∠CHB．
(1)如图1，求证：∠ODC=∠OEC；
(2)如图2，延长CE交BH于点F，若CD⊥OA，求证：FC=FH；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G是B´H上一点，连接AG,BG,HG,OF，若
AG:BG=5:3，HG=2，求OF的长．
【例4】（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图所示，在⊙O的内接△AMN中，
∠MAN=90°，AM=2AN，作AB⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是A´M上的一
个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，
BC交MN于点E．
(1)求证：△CMA∽△CBD．
(2)若MN=10，M´C=N´C，求BC的长．
3 ME
(3)在点C运动过程中，当tan∠MDB= 时，求 的值．
4 NE
一、解答题【共20题】
1．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，EF与⊙O相切于点
D，EF∥BC分别交AB，AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，∠ABC的平
分线BM交AD于点M．(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若AB:BE=5:2，AD=√14，求线段DM的长．
2．（2022·湖北黄石·中考真题）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B
是DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，且∠BAC=∠ADB．
(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若BC=2OC，求tan∠ADB的值；
(3)在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连接PC、PD，若
AB=2√6，求AE⋅AP的值．
3．（2022·湖北襄阳·中考真题）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为
B´C的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DE∥BC，交AC的
延长线于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若A´C=B´D，CG＝2√3，求阴影部分的面积．
4．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E
为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若
1
∠BCE= ∠ABC．
2(1)求证：EF是⊙O的切线．
3
(2)若BF=2，sin∠BEC= ，求⊙O的半径．
5
5．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD
延长线上一点，∠DAF＝∠B．
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
6．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点
D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．
(1)求证：直线HG是⊙O的切线；
2
(2)若HA=3,cosB= ，求CG的长．
5
7．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分
别交BC于点D，交AC于点E，DH⊥AC，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于
点F．(1)求证：DH是⊙O的切线；
EF
(2)若E为AH的中点，求 的值．
FD
8．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧BD上一点，
∠PAD=∠AED，且DE=√2，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
√2
(2)若tan∠DAE= ，求EF的长；
2
(3)延长DE，AB交于点C，若OB=BC，求⊙O的半径．
9．（2022·山东枣庄·中考真题）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD
是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝
6cm．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
10．（2022·山东济宁·中考真题）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA
为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在B´E上取点F，使A´E=E´F，连接BF，DF．(1)求证：DF与半圆相切；
(2)如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．
11．（2022·青海西宁·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，以
BD为直径的⊙O与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．
(1)求证：四边形EMFC是矩形；
(2)若AE=√5，⊙O的半径为2，求FM的长．
12．（2022·辽宁大连·中考真题）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足
为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．
(1)如图1，求证∠B=∠E；
(2)如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE=3，求AD的长．
13．（2022·青海·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交
⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．(1)求证：AF⊥EF；
(2)若CF=1，AC=2，AB=4，求BE的长．
14．（2022·广西柳州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B
的点，点F是E´B的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交
AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求sin∠FHG的值；
(3)若GH＝4√2，HB＝2，求⊙O的直径．
15．（2022·广西河池·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的
平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且
∠PCA＝∠CBD．
(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)若PC＝2√2BO，PB＝12，求⊙O的半径及BE的长．
16．（2022·山东聊城·中考真题）如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，
OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的
延长线于点F，∠AOD=∠EOD．(1)连接AF，求证：AF是⊙O的切线；
(2)若FC=10，AC=6，求FD的长．
17．（2022·湖南湘西·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC
于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE
于点M．
(1)求证：BC是⊙O的切线．
3
(2)若CF＝2，sinC＝ ，求AE的长．
5
18．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，
连接AD，∠ADO=∠BOC，AC与OD相交于点E．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
1 3
(2)若tan∠OAC= ，AD= ，求⊙O的半径．
2 2
19．（2022·广东广州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，
BC=6．(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧A´C于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作
法）；
(2)在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD 的值．
20．（2022·山东淄博·中考真题）已知 ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O
相交于点D，连接DB．
△
(1)如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI；
图1
(2)如图2，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；
图2
(3)如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点
G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：GF=GH．图3
