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挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题29圆与相似及三角函数综合问题
【例1】（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）四边形ABCD内接于⊙O，直径
AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．
(1)如图1，若∠PBA=30°，且EO=EA，求证：BA平分∠PBD；
(2)如图2，连接OB，若∠DBA=2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接OB，根据切线的性质可得∠PBA+∠ABO=90°，再由∠PBA=30°，
可得∠ABO=60°，从而得到△AOB为等边三角形，再跟等边三角形的性质可得BE平分
∠ABO，即可求证；
（2）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角可得∠PBA=∠OBC=∠OCB，从而得
到∠AOB=2∠OCB=2∠PBA，进而得到∠AOB=∠ACD，再由∠BAO=∠BDC，
即可求证．
（1）
证明：连接OB，
∵直线PB与⊙O相切于点B，
∴∠PBO=90°，
∴∠PBA+∠ABO=90°，
∵∠PBA=30°，
∴∠ABO=60°，
又∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
又∵OE=AE，
∴BE平分∠ABO，1
∴∠ABE= ∠ABO=30°，
2
∴BA平分∠PBD；
（2）
证明：∵直线PB与⊙O相切于点B，
∴∠PBO=90°，
∴∠PBA+∠ABO=90°，
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠OBC+∠ABO=90°，
∴∠OBC=∠PBA，
∵OB=OC，
∴∠PBA=∠OBC=∠OCB，
∴∠AOB=2∠OCB=2∠PBA，
∵∠ACD=∠ABD=2∠PBA，
∴∠AOB=∠ACD，
又∵∠BAO=∠BDC，
∴△OAB∽△CDE．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟
练掌握切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【例2】（2022·广东深圳·中考真题）一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径，半圆O上点C
处有个吊灯EF, EF//AB, CO⊥AB,EF的中点为D,OA=4.(1)如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度．
(2)如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为
3
反射光线，∠OHM=∠OHN=45°,tan∠COH= ,求ON的长度．
4
(3)如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM=50°,HN为反射光线交
圆O于点N,在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．
【答案】(1)2
20
(2)ON=
7
16
(3)4+ π
9
【分析】（1）由DF=0.8,OM=1.6,DF∥OB，可得出DF为△COM的中位线，可得出
D为CO中点，即可得出CD的长度；
（2）过N点作ND⊥OH，交OH于点D，可得出△NHD为等腰直角三角形，根据
3 ND 3
tan∠COH= ,可得出tan∠NOD= = ，设ND=3x=DH，则OD=4x，根据
4 OD 4
4
OD+DH=OH，即可求得x= ，再根据勾股定理即可得出答案；
7
（3）依题意得出点N路径长为：OB+ l ，推导得出∠BOT=80°，即可计算给出l ，
B´T B´T
即可得出答案．
（1）
∵DF=0.8,OM=1.6,DF∥OB
∴DF为△COM的中位线
∴D为CO的中点
∵CO=AO=4
∴CD=2
（2）
过N点作ND⊥OH，交OH于点D，∵∠OHN=45°，
∴△NHD为等腰直角三角形，即ND=DH，
3
又∵tan∠COH= ，
4
3
∴tan∠NOD= ，
4
ND 3
∴tan∠NOD= = ，
OD 4
∴ND:OD=3:4，
设ND=3x=DH，则OD=4x，
∵OD+DH=OH，
∴3x+4x=4，
4
解得x= ，
7
12 16
∴ND= ，OD= ，
7 7
√ 12 2 16 2 20
∴在Rt△NOD中，ON=√N D2+OD2= ( ) +( ) = ；
7 7 7
（3）
如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合． 当点M运动至点A时，点N运动至点
T，故点N路径长为：OB+ l ．
B´T
∵∠NHO=∠MHO,∠THO=∠MHO,∠HOM=50°．
∴∠OHA=∠OAH=65°．
∴∠THO=65°,∠TOH=50°．
∴∠BOT=80°，
80° 16
∴l =2π×4× = π，
B´T 360° 916
∴N点的运动路径长为：OB+ l =4+ π，
B´T 9
16
故答案为：4+ π．
9
【点睛】本题考查了圆的性质，弧长公式、勾股定理、中位线，利用锐角三角函数值解三
角函数，掌握以上知识，并能灵活运用是解题的关键．
【例3】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知CH是⊙O的直径，点A，点B是⊙O上的
两个点，连接OA,OB，点D，点E分别是半径OA,OB的中点，连接CD,CE,BH，且
∠AOC=2∠CHB．
(1)如图1，求证：∠ODC=∠OEC；
(2)如图2，延长CE交BH于点F，若CD⊥OA，求证：FC=FH；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G是B´H上一点，连接AG,BG,HG,OF，若
AG:BG=5:3，HG=2，求OF的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
√19
(3)OF=
3
【分析】（1）根据SAS证明△COD≅△COE即可得到结论；
（2）证明∠H=∠ECO即可得出结论；
（3）先证明OF⊥CH，连接AH，证明AH=BH，设AG=5x，BG=3x，在AG上取
点M，使得AM=BG，连接MH，证明△MHG为等边三角形，得MG=HG=2，根据
AG=AM+MG可求出x=1，得AG=5，BG=3，过点H作HN⊥MG于点N，求出
HB=√19，再证HF=2OF，根据HB=3OF=√19可得结论．
（1）
如图1．∵点D，点E分别是半径OA,OB的中点1 1
∴OD= OA，OE= OB
2 2
∵OA=OB，
∴OD=OE
∵∠BOC=2∠CHB，∠AOC=2∠CHB
∴∠AOC=∠BOC
∵OC=OC
∴△COD≅△COE，
∴∠CDO=∠CEO；
（2）
如图2．∵CD⊥OA，
∴∠CDO=90°
由（1）得∠CEO=∠CDO=90°，
OE 1
∴sin∠OCE= =
OC 2
∴∠OCE=30°，
∴∠COE=90°−∠OCE=60°
1 1
∵∠H= ∠BOC= ×60°=30°
2 2
∴∠H=∠ECO，
∴FC=FH
（3）如图3．∵CO=OH，FC=FH
∴OF⊥CH
∴∠FOH=90°
连接AH．∵∠AOC=∠BOC=60°
∴∠AOH=∠BOH=120°，
∴AH=BH，∠AGH=60°
∵AG:BG=5:3
设AG=5x，
∴BG=3x
在AG上取点M，使得AM=BG，连接MH
∵∠HAM=∠HBG，
∴△HAM≌△HBG
∴MH=GH，
∴△MHG为等边三角形
∴MG=HG=2
∵AG=AM+MG，
∴5x=3x+2
∴x=1，
∴AG=5
∴BG=AM=3，
过点H作HN⊥MG于点N
1 1
MN= GM= ×2=1，HN=HG⋅sin60°=√3
2 2
∴AN=MN+AM=4，
∴HB=HA=√N A2+H N2=√19
∵∠FOH=90°，∠OHF=30°，
∴∠OFH=60°
∵OB=OH，
∴∠BHO=∠OBH=30°，∴∠FOB=∠OBF=30°
∴OF=BF，
在Rt△OFH中，∠OHF=30°，
∴HF=2OF
∴HB=BF+HF=3OF=√19，
√19
∴OF= ．
3
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性
质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三
角形是解答本题的关键．
【例4】（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图所示，在⊙O的内接△AMN中，
∠MAN=90°，AM=2AN，作AB⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是A´M上的一
个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，
BC交MN于点E．
(1)求证：△CMA∽△CBD．
(2)若MN=10，M´C=N´C，求BC的长．
3 ME
(3)在点C运动过程中，当tan∠MDB= 时，求 的值．
4 NE
【答案】(1)证明见解析
(2)3√10
3
(3)
2
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠CMA=∠ABC，再利用两角分别相等即可证明相似；
（2）连接OC，先证明MN是直径，再求出AP和NP的长，接着证明△COE∽△BPE，
利用相似三角形的性质求出OE和PE，再利用勾股定理求解即可；
（3）先过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，设出GM=3x，CG=4x，再利用三角函数和勾股定理分别表示出PB和PG，最后利用相似三角形的性质表示出EG，然后表示
出ME和NE，算出比值即可．
（1）
解：∵AB⊥MN，
∴∠APM=90°，
∴∠D+∠DMP=90°，
又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，
∴∠DMP+∠CAM=90°，
∴∠CAM=∠D，
∵∠CMA=∠ABC，
∴△CMA∽△CBD．
（2）
连接OC，
∵∠MAN=90°，
∴MN是直径，
∵MN=10，
∴OM=ON=OC=5，
∵AM=2AN，且AM2+AN2=M N2，
∴AN=2√5，AM=4√5，
1 1
∵S = AM⋅AN= MN⋅AP，
△AMN 2 2
∴AP=4，
∴BP=AP=4，
∴NP=√AN2−AP2=2，
∴OP=5−2=3，
∵M´C=N´C，
∴OC⊥MN，
∴∠COE=90°，
∵AB⊥MN，
∴∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠COE，
又∵∠BEP=∠CEO，
∴△COE∽△BPE
CO OE CE
∴ = = ，
BP PE BE5 OE CE
即 = =
4 PE BE
由OE+PE=OP=3，
5 4
∴OE= ，PE= ，
3 3
∴CE=√OC2+OE2=
√
52+
(5) 2
=
5
√10，
3 3
BE=√BP2+PE2=
√
42+
(4) 2
=
4
√10，
3 3
5 4
∴BC= √10+ √10=3√10．
3 3
（3）
过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，则∠CGM=90°，
∴∠CMG+∠GCM=90°，
∵MN是直径，
∴∠MCN=90°，
∴∠CNM+∠DMP=90°，
∵∠D+∠DMP=90°，
∴∠D=∠CNM=∠GCM，
3
∵tan∠MDB= ，
4
3
∴tan∠CNM=tan∠GCM= ，
4
GM
∵tan∠GCM=
CG
∴设GM=3x，CG=4x，
∴CM=5x，20x 16x
∴CN= ， NG= ，
3 3
25x
∴NM= ，
3
25x
∴OM=ON= ，
6
∵AM=2AN，且AM2+AN2=M N2，
5√5 10√5
∴AN= x，AM= x，
3 3
1 1
∵S = AM⋅AN= MN⋅AP，
△AMN 2 2
10
∴AP= x=PB，
3
5
∴NP= x，
3
16 5 11
∴PG= x− x= x，
3 3 3
∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG =∠BEP，
∴△CGE∽△BPE，
CG GE CE
∴ = = ，
BP PE BE
4x GE CE
= =
即10 PE BE
x
3
5
∴¿=2x，PE= x
3
10x
∴ME=5x，NE= ，
3
∴ME:NE=3:2，
ME 3
∴ 的值为 ．
NE 2
【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知
识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题．
一、解答题【共20题】
1．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，EF与⊙O相切于点
D，EF∥BC分别交AB，AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，∠ABC的平
分线BM交AD于点M．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若AB:BE=5:2，AD=√14，求线段DM的长．
【答案】(1)见解析
(2)DM=2
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得OD⊥EF，由EF∥BC 得OD⊥BC，由垂径
定理得B´D=C´D，进而即可得出结论；
2√14
（2）由平行线分线段定理得DN= ，再证明△BDN∽△ADB，可得BD=2 ，最后
7
证明∠BMD=∠DBM,进而即可求解．
（1）
证明：连接OD交BC于点H.
∵EF与⊙O相切于点D
∴OD⊥EF，
∴∠ODF=90°，
∵BC∥EF，
∴∠OHC=∠ODF=90°，∴OD⊥BC，
∴B´D=C´D，
∴∠BAD=∠CAD 即AD平分∠BAC；
（2）
解：∵BC∥EF，
BE ND
∴ = ，
AE AD
∵AB:BE=5:2，AD=√14，
2√14
∴DN= ，
7
∵∠BAD=∠CAD，∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∴∠BAD+∠ABM=∠CBD+∠CBM，
∴∠BMD=∠MBD，
∴BD=DM，
∵∠NBD=∠BAD，∠BDM=∠ADB，
∴△BDN∽△ADB，
ND DB
∴ =
BD AD
2√14
∴BD2=ND⋅AD= ×√14=4 ，
7
∴BD=2（负值舍去），
∴DM=BD=2
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分
线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形，列相似比求解是解决本题
的关键．
2．（2022·湖北黄石·中考真题）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B
是DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，且∠BAC=∠ADB．
(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若BC=2OC，求tan∠ADB的值；(3)在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连接PC、PD，若
AB=2√6，求AE⋅AP的值．
【答案】(1)见解析
√2
(2)
2
(3)4√2
【分析】（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到
∠OAC+∠OAD=90°，再证明∠OAD=∠BAC即可证明结论；
AC BC
（2）先证明△BCA∽△BAD，得到 = ，令半径OC=OA=r，则BC=2r，
AD BA
OB=3r，利用勾股定理求出AB=2√2r，解直角三角形即可答案；
AC √2
（3）先求出CD=2√3，在Rt△CAD中， = ，AC2+AD2=CD2，解得AC=2，
AD 2
AC AP
AD=2√2，证明△CAP∽△EAD，得到 = ，则AE⋅AP=AC⋅AD=4√2．
AE AD
（1）
解：如图所示，连接OA，
∵CD是⊙O直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠OAC+∠OAD=90°，
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BAC=∠ADB，
∴∠OAD=∠BAC，
∴∠BAC+∠OAC=90°，即∠BAO=90°，
∴AB⊥OA，
又∵OA为半径，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）
解：∵∠BAC=∠ADB，∠B=∠B，
∴△BCA∽△BAD，AC BC
∴ = ，
AD BA
由BC=2OC知，令半径OC=OA=r，则BC=2r，OB=3r，
在Rt△BAO中，AB=√OB2−OA2=2√2r，
AC BC 2r √2
在Rt△CAD中，tan∠ADC= = = = ，
AD BA 2√2r 2
√2
即tan∠ADB= ；
2
（3）
解：在（2）的条件下，AB=2√2r=2√6，
∴r=√3，
∴CD=2√3，
AC √2
在Rt△CAD中， = ，AC2+AD2=CD2，
AD 2
解得AC=2，AD=2√2，
∵AP平分∠CAD，
∴∠CAP=∠EAD，
又∵∠APC=∠ADE，
∴△CAP∽△EAD，
AC AP
∴ = ，
AE AD
∴AE⋅AP=AC⋅AD=2×2√2=4√2．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与
判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
3．（2022·湖北襄阳·中考真题）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为
B´C的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DE∥BC，交AC的
延长线于点E．(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若A´C=B´D，CG＝2√3，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
15√3
(2)
2
【分析】（1）连接OD，根据已知条件，由OD⊥BC ，DE∥BC，证明OD⊥DE即可；
（2）根据^AC=^BD相等，再由（1）中C^D=^BD可得，^AC=C^D=^BD，从而得到
∠CAD=∠BAD=∠ABC=30°，在Rt△ACG中，利用锐角三角函数求出AC、AG的长，从而
求出△CAG的面积，在Rt△ABD中利用锐角三角函数求出AD的长，根据DE∥BC可得
27√3
△ACG∽△AED，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出S = ，进而即可
△EAD 2
阴影部分的面积．
（1）
证明：连接OD，如图所示，
∵点D为B´C的中点，
∴OD⊥BC
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）
连接BD，如图所示，
∵A´C=B´D
∴BD=AC
∵点D为B´C的中点，
∴C´D=B´D，∴A´C=C´D=B´D，
∴∠CAD=∠BAD=30°．
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
CG CG
在Rt△ACG中，tan∠CAD= ,sin∠CAD= ，
CA AG
CG CG
∴CA= ,AG= ，
tan30° sin30°
∵CG=2√3，
∴CA=2√3×√3=6，AG=4√3，
∴BD=CA=6，
1
∴S = CG⋅AC=6√3，
△ACG 2
BD
在Rt△ABD中，tan∠BAD= ,
AD
BD 6
AD= = =6√3.
∴ tan30° √3
3
∵DE∥BC，
∴△CAG∽△EAD，
S AG 2
∴
△CAG=(
) ，
S AD
△EAD
6√3 4
即 = ，
S 9
ΔEAD
27√3
∴S = .
△EAD 2
15√3
∴S =S −S = ．
阴影部分 △EAD △ACG 2
【点睛】本题主要考查了切线的判定定理、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的性质，
解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E
为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若
1
∠BCE= ∠ABC．
2(1)求证：EF是⊙O的切线．
3
(2)若BF=2，sin∠BEC= ，求⊙O的半径．
5
【答案】(1)过程见解析
(2)3
【分析】（1）连接OE，先根据圆周角定理及已知条件得出∠ABC=∠BOE，进而得出
OE∥BC，再由EF∥CA，根据平行线的性质得出∠FEO=∠ACB，然后根据直径所对的
是直角，即可得出答案；
（2）先说明△FEO∼△ACB，再设⊙O的半径为r，并表示FO，AB，BC，然后根据
EO FO
对应边成比例得出 = ，根据比例式求出半径即可．
BC AB
（1）
证明：连接OE．
1 1
∵∠BCE= ∠ABC，∠BCE= ∠BOE，
2 2
∴∠ABC=∠BOE，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠BCD．
∵EF∥CA，
∴∠FEC=∠ACE，
∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE，
即∠FEO=∠ACB．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠FEO=90°，∴FE⊥EO．
∵EO是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）
∵EF∥AC，
∴△FEO∼△ACB．
3
∵BF=2，sin∠BEC= ．
5
设⊙O的半径为r，
6
∴FO=2+r，AB=2r，BC= r．
5
EO FO
∵ = ，
BC AB
r 2+r
=
∴6 2r ，
r
5
解得r=3，
∴⊙O的半径是3．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理是解题的
关键．
5．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD
延长线上一点，∠DAF＝∠B．
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
【答案】(1)见解析
36
(2)
5
【分析】（1）由圆周角定理得∠ADC=90°，则∠ACD+∠DAC=90°，从而说明OA⊥AF，
即可证明结论；
AD AH
（2）作DH⊥AC于点H，利用△ADH～△ACD， = ，求出AH的长，再利用直
AC AD角三角形斜边上中线的性质得出AD=DE，利用等腰三角形的性质可得答案．
（1）
证明：∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∵∠ACD=∠B，∠B=∠DAF，
∴∠DAF=∠ACD，
∴∠DAF+∠DAC=90°，
∴OA⊥AF，
∵AC是直径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）
解：作DH⊥AC于点H，
∵⊙O的半径为5，
∴AC=10，
∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，
∴△ADH～△ACD，
AD AH
∴ = ，
AC AD
∴AD2=AH⋅AC，
∵AD＝6，
36 18
∴AH= = ，
10 5
∵AD是△AEF的中线，∠EAF=90°，
∴AD=ED，
36
AE=2AH= ．
5
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，等腰
三角形的性质等知识，根据相似三角形的判定与性质求出AH的长是解题的关键．
6．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点
D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．(1)求证：直线HG是⊙O的切线；
2
(2)若HA=3,cosB= ，求CG的长．
5
【答案】(1)见解析
6
(2)
5
【分析】（1）连接OD，利用三角形中位线的定义和性质可得OD∥BC，再利用平行线
的性质即可证明；
（2）先通过平行线的性质得出∠HBG=∠HOD，设OD=OA=OB=r，再通过解直角三
角形求出半径长度，再利用三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质分别求出BC，
BG的长度，即可求解．
（1）
连接OD，
∵DG⊥BC，
∴∠BGH=90°，
∵D是AC的中点，AB为直径，
∴OD∥BC，
∴∠BGH=∠ODH=90°，
∴直线HG是⊙O的切线；
（2）由（1）得OD∥BC，
∴∠HBG=∠HOD，
2
∵cos∠HBG= ，
5
2
∴cos∠HOD= ，
5
设OD=OA=OB=r，
∵HA=3，
∴OH=3+r，
在Rt△HOD中，∠HDO=90°，
OD r 2
∴cos∠HOD= = = ，
OH 3+r 5
解得r=2，
∴OD=OA=OB=2,OH=5,BH=7，
∵D是AC的中点，AB为直径，
∴BC=2OD=4，
∵∠BGH=∠ODH=90°，
∴△ODH∼△BGH，
OH OD 5 2
∴ = ，即 = ，
BH BG 7 BG
14
∴BG= ，
5
14 6
∴CG=BC−BG=4− = ．
5 5
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角
形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．
7．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分
别交BC于点D，交AC于点E，DH⊥AC，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于
点F．
(1)求证：DH是⊙O的切线；EF
(2)若E为AH的中点，求 的值．
FD
【答案】(1)见解析
2
(2)
3
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，由DH⊥AC，可得DH⊥OD，即可证明结论；
（2）连接AD和BE，由圆周角定理可以得出∠ADB=∠AEB=90°，可以得出DH∥BE，
OD∥AC，进而根据平行线分线段成比例推出BD=CD，CH=HE，根据E为AH的中点，
1 1
可得出AE=EH=CH，AE= AC，根据OD//AC且OD= AC，可以得出
3 2
FE AE
△FAE∽△FOD，根据相似三角形的性质得到 = ，将AE，OD代入即可求出答案．
FD OD
（1）
连接OD，则OD=OB．
∴∠ODB=∠ABC．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∴∠ODB=∠C．
∴OD∥AC．
∴∠DHC=∠HDO．
∵DH⊥AC，
∴∠DHC=∠HDO=90°．
∴DH⊥OD．
∴DH是⊙O的切线．
（2）
连接AD和BE．
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB，∠ADB=∠AEB=90°．
∵OD∥ACOB BD
∴ = =1
OA CD
∴CD=BD．
1
∴OD//AC且OD= AC．
2
∵OD∥AE，
∴∠AEF=∠ODF．
∵∠F=∠F，
∴△FAE∽△FOD．
FE AE
∴ = ．
FD OD
∵∠DHA=∠BEA=90°
∴DH∥BE
CH CD
∴ = =1
HE BD
∴CH=HE．
∵E为AH的中点，
∴AE=EH=CH．
1
∴AE= AC
3
1
AC
FE AE 3 2
∴ = = = ．
FD OD 1 3
AC
2
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定律，平行线分线段成比例，三角形相似
的判定与性质等知识，熟练掌握以上判定和性质是本题解题的关键．
8．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧BD上一点，
∠PAD=∠AED，且DE=√2，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
√2
(2)若tan∠DAE= ，求EF的长；
2
(3)延长DE，AB交于点C，若OB=BC，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析
(2)1
(3)2
【分析】（1）根据AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，即∠DAB+∠DBA=90，根
据同弧所对的圆周角相等，以及已知条件可得∠PAD=∠ABD，等量代换后即可得
∠PAB=90°，进而得证；
（2）连接OE,EB，根据角平分线的定义，以及等边对等角可得AD∥OE，根据同弧所
对的圆周角相等可得∠DAE=∠DBE，由垂径定理可得DE=EB=√2，进而可得
√2
tan∠EBF= ，即可求解．
2
（3）过点B作BG∥AD，根据平行线分线段成比例，求得DG=2√2，设⊙O的半径为x，
1 1 3
则GB= OE= x，证明△CGB∽△CDA，可得AD= x，在Rt△ADB中，
2 2 2
AD2+DB2=AB2，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
（1）
证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵A´D=A´D，
∴∠AED=∠ABD，
∵ ∠PAD=∠AED，
∴∠PAD=∠ABD，
∴∠BAD+∠PAD=∠BAD+∠ABD=90°，
即∠PAB=90°，
∴PA是⊙O的切线，
（2）
如图，连接OE,EB，∵ AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴DE=BE=2
∴OE⊥BD
∵OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE，
∴∠DAE=∠AEO，
∴AD∥OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥DB，AE⊥EB，
即∠ADF=∠BEF=90°，
⏜ ⏜
∵DE=DE
∴∠DAE=∠DBE，
√2
∴tan∠EBF=tan∠DAE= ，
2
EF √2
∴ = ，
EB 2
√2
∴EF= EB=1 ；
2
（3）
如图，过点B作BG∥AD，
由（2）可知AD∥OE，
∴OE∥BG，∵AO=OB=BC，
∴DE=EG=GC，
1 1
设⊙O的半径为x，则GB= OE= x，
2 2
∵AD∥BG，
∴△CGB∽△CDA，
CG GB
∴ = ，
CD AD
3
∴AD=3GB= x，
2
∵OE⊥DB，
∴DB⊥GB，
∵ DE=√2，
∴DG=2DE=2√2，
在Rt△DBG中，DB2=DG2−GB2=8− (1 x ) 2 ，
2
在Rt△ADB中，AD2+DB2=AB2，
即 (3 x ) 2 +8− (1 x ) 2 =(2x) 2 ，
2 2
解得：x=2（负值舍去），
∴⊙O的半径为2．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，平行线分线段成比例，相似三角形
的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．
9．（2022·山东枣庄·中考真题）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD
是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝
6cm．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
【答案】(1)见解析
36
(2)AD=
5【分析】（1）连接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，AD∥OC，
根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线；
AD AC
（2）由OE是 ABC的中位线，得AC＝12，再证明 DAC∽△CAB， = ，即
AC AB
AD 12 △ 36 △
= ，从而得到AD = ．
12 20 5
（1）证明：连接OC，如图： ∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝
∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，∵OE＝
6，∴AC＝12，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，又∠DAC＝∠CAB，
AD AC AD 12 36
∴△DAC∽△CAB，∴ = ，即 = ，∴AD= ．
AC AB 12 20 5
【点睛】本题考查圆的切线的判定定理，相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是
熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．
10．（2022·山东济宁·中考真题）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA
为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在B´E上取点F，使A´E=E´F，连接BF，DF．
(1)求证：DF与半圆相切；
(2)如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
200
(2)
3
【分析】（1）连接OF，证明△DAO≅△DFO(SAS)，可得∠DAO=∠DFO，根据矩
形的性质可得∠DAO=90∘，进而即可得证；
（2）连接AF，根据题意证明△AOD∽△FBA，根据相似三角形的性质求得DO，进而勾股定理AD，根据矩形的面积公式即可求解．
（1）
证明：连接OF．
∵A´E=E´F，
∴∠DOA=∠FOD.
∵AO=FO,DO=DO，
∴△DAO≅△DFO(SAS)
∴∠DAO=∠DFO.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAO=90∘
∴∠DFO=90∘.
∴DF与半圆相切.
（2）
解：连接AF，
∵AO=FO，∠DOA=∠DOF，
∴DO⊥AF，
∵AB为半圆的直径，
∴∠AFB=90∘，
∴BF⊥AF，
∴DO∥BF.∴∠AOD=∠ABF.
∵∠OAD=∠AFB=90∘，
∴△AOD∽△FBA
AO DO
∴ = ，
BF AB
56 DO
∴ = ，
❑ 10
25
∴DO= ，
3
在RtΔAOD中，AD=√DO2−AO2=
√ (25) 2
−52❑=
20
.
3 320 200
∴矩形ABCD的面积为 ×10= .
3 3
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，掌
握以上知识是解题的关键．
11．（2022·青海西宁·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，以
BD为直径的⊙O与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．
(1)求证：四边形EMFC是矩形；
(2)若AE=√5，⊙O的半径为2，求FM的长．
【答案】(1)详见解析
2√5
(2)
3
【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角及邻补角互补，可求出∠CFD=90°，由
⊙O与AC相切于点E，利用圆的切线垂直于过切点的半径可得出 OE⊥AC ，进而可得
出 ∠OEC=∠AEO=90°，结合再利用三个角都是直角的四边形是矩形，即可证出四边
形 EMFC 是矩形．
（2）在Rt△AOE 中，利用勾股定理可求出 OA 的长，进而可得出 AB 的长，由
∠AEO=∠C=90°，利用“同位角相等，两直线平行”可得出OE//BC，进而可得出
△AEO∼△ACB利用相似三角形的性质可求出 AC 的长，结合 CE=AC−AE， 可求
出 CE 的长，再利用矩形的对边相等，即可求出 FM 的长．
（1）
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BFD=90°，
∴∠CFD=90°，
∴⊙O与AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴∠OEC=∠AEO=90°，
又∴∠C=90°，
∴∠C=∠CFD=∠OEC=90°，
∴四边形EMFC是矩形．（2）
解：在Rt△AOE中∠AEO=90° AE=√5 OE=OB=2，
∴OA2=AE2+OE2，
∴OA=√AE2+OE2=√(√5) 2+22=3，
∴AB=OA+OB=3+2=5，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴OE//BC，
∴△AEO∼△ACB，
AE AO √5 3
∴ = ，即 = ，
AC AB AC 5
5√5
∴AC= ，
3
5√5 2√5
∴CE=AC−AE= −√5= ，
3 3
∴四边形EMFC是矩形，
2√5
∴FM=CE= ．
3
【点睛】本题考查了矩形的判定，相切，勾股定理，平行线的判定与性质以及相似三角形
的判定与性质，解题的关键是：(1）根据各角之间的关系，找出四边形EMFC 的三个角均
为直角．（2）利用勾股定理及相似三角形的性质，求出AC的长度．
12．（2022·辽宁大连·中考真题）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足
为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．
(1)如图1，求证∠B=∠E；
(2)如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE=3，求AD的长．
【答案】(1)见解析
2√21
(2)
3
【分析】（1）证明∠ODB=∠OAE=90°，∠DOB=∠AOE，即可得出∠B=∠E；
（2）证明ΔODB ∼ΔOAE，求出OD，由勾股定理求出DB，由垂径定理求出BC，进而利用勾股定理求出AC，AD．
（1）
解：∵ OD⊥BC，
∴∠ODB=90°，
∵ AE是⊙O的切线，
∴∠OAE=90°，
在ΔODB和ΔOAE中，∠ODB=∠OAE=90°，∠DOB=∠AOE，
∴∠B=∠E；
（2）
解：如图，连接AC．
∵ ⊙O的半径为2，
∴OA=OB=2，AB=4，
∵ 在ΔODB和ΔOAE中，
∠ODB=∠OAE=90°，∠DOB=∠AOE，
∴ΔODB ∼ΔOAE，
OD OB OD 2
∴ = ，即 = ，
OA OE 2 3
4
∴OD= ，
3
在RtΔODB中，由勾股定理得：OD2+DB2=OB2，
∴DB=√OB2−OD2=
√
22−
(4) 2
=
2√5
．
3 3
∵ OD⊥BC，OD经过⊙O的圆心，
2√5
∴CD=DB= ，
3
4√5
∴BC=2DB= ．
3
∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB=90°，
在RtΔACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，∴AC=√AB2−BC2=
√
42−
(4√5) 2
=
8
．
3 3
在RtΔACD中，由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，
∴AD=√AC2+CD2=
√ (8) 2
+
(2√5) 2
=
2√21
．
3 3 3
【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与
性质等，综合性较强，熟练掌握上述知识点，通过证明ΔODB ∼ΔOAE求出OD的长度
是解题的关键．
13．（2022·青海·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交
⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
(1)求证：AF⊥EF；
(2)若CF=1，AC=2，AB=4，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接OD，根据AD平分∠CAB，可得∠CAD=∠OAD，从而得到
∠CAD=∠ODA，可得OD∥AF，再由切线的性质，即可求解；
（2）由△ODE∽△AFE，可得OE:AE=OD:AF，设BE为x，可得
OE=OB+BE=2+x，即可求解．
（1）
证明：连接OD，
∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠OAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AF，
∵EF为⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∴AF⊥EF．
（2）
解：由（1）得：OD∥AF，
∴△ODE∽△AFE，
∵AC=2，CF=1，
∴AF=3，
∵AB=4，
∴OD=2，OB=2，
∴OE:AE=OD:AF，
设BE为x，
∴OE=OB+BE=2+x，
2+x 2
∴ = ，
4+x 3
解得：x=2，
即BE的长为2．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，
相似三角形的判定和性质是解题的关键．
14．（2022·广西柳州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B
的点，点F是E´B的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交
AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求sin∠FHG的值；
(3)若GH＝4√2，HB＝2，求⊙O的直径．【答案】(1)见解析
√2
(2)
2
(3)⊙O的直径为6√5
【分析】（1）连接OF，先证明OF∥AC，则∠OFD＝∠C＝90°，根据切线的判定定理可
得出结论．
（2）先证∠DFB＝∠OAF，∠ADG＝∠FDG，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两
个内角之和得出∠FGH＝∠FHG＝45°，从而可求出sin∠FHG的值．
DF FH
（3）先在△GFH中求出FH的值为4，根据等积法可得 = =2，再证
DB HB
DA DF
△DFB∽△DAF，根据对应边成比例可得 = =2，又由角平分线的性质可得
DF DB
DA AG
= ，从而可求出AG、AF．在Rt△AFＢ中根据勾股定理可求出AB的长，即⊙O的
DF GF
直径．
（1）
证明：连接OF．
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
∵^EF=^FB,
∴∠CAF＝∠FAB，
∴∠CAF＝∠AFO，
∴OF∥AC，
∵AC⊥CD，
∴OF⊥CD，
∵OF是半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）
∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，∵OF⊥CD，
∴∠OFD＝∠AFB＝90°，
∴∠AFO＝∠DFB，
∵∠OAF＝∠OFA，
∴∠DFB＝∠OAF，
∵GD平分∠ADF，
∴∠ADG＝∠FDG，
∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，
∴∠FGH＝∠FHG＝45°，
√2
∴sin∠FHG=sin45°=
2
（3）
解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．
∵HD平分∠ADF，
∴HM＝HN，
S DHF ∶S DHB= FH∶HB=DF ∶DB
∵△△FGH是△等腰直角三角形，GH＝4√2
∴FH＝FG＝4，
DF 4
∴ = =2
DB 2
设DB＝k，DF＝2k，
∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF，
∴△DFB∽△DAF，
∴DF2＝DB•DA，
∴AD＝4k，
∵GD平分∠ADF
FG DF 1
∴ = =
AG AD 2
∴AG＝8，
∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，∴AB=√AF2+BF2=√122+622=6√5
∴⊙O的直径为6√5
【点睛】本题是一道综合性题目，考查了圆的相关性质、切线的判定、相似三角形的判定
和性质、角平分线性、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15．（2022·广西河池·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的
平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且
∠PCA＝∠CBD．
(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)若PC＝2√2BO，PB＝12，求⊙O的半径及BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)⊙O的半径为3，BE的长为2
【分析】（1）连接OC，根据角平分线求得∠ABC = ∠CBD，由等边对等角可得∠PCA=
∠OCB，由AB是直径和等量代换可得∠PCO = 90°，即可得证；
（2）设OB=OC=r，证明OP=3r，可得4r=12，推出r=3，利用相似三角形的判定与性质和
平行线分线段成比例定理求出BD，BE即可求解．
（1）
证明：连接OC，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC = ∠CBD，
∵OC=OB，
∴∠ABC = ∠OCB，
∵∠PCA= ∠CBD，
∴∠PCA= ∠OCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB = 90°，
∴∠ACO+∠OCB= 90°，
∴∠PCA+∠ ACO= 90°，
∴∠PCO = 90°，
∴OC⊥PC，∵OC是半径，
∴PC是OO的切线；
（2）
连接 AE， 设 OB=OC=r，
∵PC=2√2OB，
∴PC=2√2r，
∴OP=√OC2+PC2=√r2+(2√2r) 2=3r，
∵PB=12，
∴4r=12，
∴r=3，
由 (1) 可知， ∠OCB=∠CBD，
∴OC//BD，
△PCO∽△PDB
OC OP
∴ = ，∠D=∠PCO=90∘ ，
BD PB
3 9
∴ = ，
BD 12
∴BD=4，
∵AB 是直径，
∴∠AEB=90∘，
∴∠AEB=∠D=90∘，
∴AE//PD，
BE BA
∴ = ，
BD BP
BE 6
∴ = ，
4 12
∴BE=2．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判
定，平行线分线段成比例，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
16．（2022·山东聊城·中考真题）如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的
延长线于点F，∠AOD=∠EOD．
(1)连接AF，求证：AF是⊙O的切线；
(2)若FC=10，AC=6，求FD的长．
【答案】(1)见解析
8 8
(2)FD的长为 √10−
3 3
【分析】（1）根据SAS证 AOF≌△EOF，得出∠OAF＝∠OEF＝90°，即可得出结论；
（2）根据勾股定理求出AF，证 OEC∽△FAC，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方
△
程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根据FD＝OF﹣OD求出即可．
△
（1）
证明：在 AOF和 EOF中，
¿，
△ △
∴△AOF≌△EOF（SAS），
∴∠OAF=∠OEF，
∵BC与⊙O相切，
∴OE⊥FC，
∴∠OAF=∠OEF=90°，
即OA⊥AF，
∵OA是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）
解：在Rt△CAF中，∠CAF=90°，FC=10，AC=6，
∴AF=√FC2−AC2=8，
∵BC与⊙O相切，AF是⊙O的切线
∴∠OEC＝∠FAC＝∠90°，
∵∠OCE=∠FCA，
∴△OEC∽△FAC，
EO CO
∴ = ，
AF CFr 6−r
设⊙O的半径为r，则 = ，
8 10
8
解得r= ，
3
8
在Rt FAO中，∠FAO=90°，AF=8，AO= ，
3
△ 8
∴OF=√AF2+AO2= √10，
3
8 8
∴FD=OF−OD= √10− ，
3 3
8 8
即FD的长为 √10− ．
3 3
【点睛】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定
和性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
17．（2022·湖南湘西·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC
于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE
于点M．
(1)求证：BC是⊙O的切线．
3
(2)若CF＝2，sinC＝ ，求AE的长．
5
【答案】(1)见解析
12√5
(2)
5
【分析】（1）连接OE，方法一：根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一
半得出∠OEC＝90°即可；
方法二：根据角平分线的性质和等腰三角形的性质得出∠OEC＝90°即可；
（2）连接EF，根据三角函数求出AB和半径的长度，再利用三角函数求出AE的长即可．（1）连接OE， 方法一：∵AE平分∠BAC交BC于点
E，∴∠BAC＝2∠OAE，∵∠FOE＝2∠OAE，∴∠FOE＝∠BAC，∴OE∥AB，∵∠B＝
90°，∴OE⊥BC，又∵OE是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；方法二：∵AE平分∠BAC
交BC于点E，∴∠OAE＝∠BAE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠BAE＝∠OEA，
∴OE∥AB，∵∠B＝90°，∴OE⊥BC，又∵OE是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；
3 OE 3
=
5 OF+CF 5
（2）连接EF， ∵CF＝2，sinC＝ ，∴ ，
∵OE＝OF，∴OE＝OF＝3，∵OA＝OF＝3，∴AC＝OA+OF+CF＝8，∴AB＝AC•sinC＝8×
24
3 24 AB AE
＝ ，∵∠OAE＝∠BAE，∴cos∠OAE＝cos∠BAE，即 = ，∴ 5 AE ，解得
5 5 AE AF =
AE 3+3
12√5 12√5
AE＝ （舍去负数），∴AE的长为 ．
5 5
【点睛】本题主要考查切线的判定和三角函数的应用，熟练掌握切线的判定定理和三角函
数是解题的关键．
18．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，
连接AD，∠ADO=∠BOC，AC与OD相交于点E．
(1)求证：AD是⊙O的切线；1 3
(2)若tan∠OAC= ，AD= ，求⊙O的半径．
2 2
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）先证∠BOC +∠AOD=90°，再因为∠ADO=∠BOC，得出∠ADO
+∠AOD=90°，即可得∠OAD=90°，即可由切线的判定定理得出结论；
3
（2）先证明∠AED=∠DAE，得出DE=AD= ，再证∠OAC=∠OCA，得tan∠OAC=
2
OE 1 1
tan∠OCA= = ,设OC=OA=R,则OE= R，在Rt OAD中，由勾股定理，得
OC 2 2
(1
R+
3) 2
=R2+
(3) 2
，解之即可．
△
2 2 2
（1）
证明：∵OD⊥OC，
∴∠COD=90°，
∵∠BOC+∠COD+∠AOD=180°，
∴∠BOC +∠AOD=90°，
∵∠ADO=∠BOC，
∴∠ADO +∠AOD=90°，
∵∠ADO +∠AOD+∠OAD=180°，
∴∠OAD=90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠BAC+∠CAD=∠OAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵∠B+∠BOC+∠OCB=∠ADO+∠CAD+∠AED=180°，∠ADO=∠BOC，
∴∠AED=∠OCB，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∴∠AED=∠CAD，
3
∴DE=AD= ，
2∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∵OC⊥OD，
∴∠COE=90°，
OE 1
∴tan∠OAC= tan∠OCA= = ,
OC 2
设OC=OA=R,
1
则OE= R，
2
在Rt OAD中，∠OAD=90°，
由勾股定理，得OD2=OA2+AD2，
△
即
(1
R+
3) 2
=R2+
(3) 2
，
2 2 2
解得：R=2或R=0(不符合题意，舍去）,
∴⊙O的半径为2．
【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，圆周角定
理的推论，本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
19．（2022·广东广州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，
BC=6．
(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧A´C于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作
法）；
(2)在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD 的值．
【答案】(1)作图见解析；
√5
(2)点O到AC的距离为3，sin∠ACD 的值是
5
【分析】(1)作线段AC的垂直平分线，由垂径定理推论可知该垂直平分线必经过点O；
(2)由垂径定理得到AF=CF，进而得到OF是△ACB的中位线，由此得到点O到AC的距离1
OF= BC=3；求出DF=OD-OF=5-3=2，CF=4，由勾股定理求出CD=2√5，最后在
2
DF 2 √5
Rt△CDF中由sin∠ACD= = = 即得答案．
CD 2√5 5
（1）
解：①分别以A，C为圆心，适当长(大于AC长度的一半)为半径作弧，记两弧的交点为
E；
②作直线OE，记OE与A´C交点为D；
③连结CD，则线段AC的垂线DE、线段CD为所求图形，如下图所示；
（2）
解：记OD与AC的交点为F， 如下图所示：
∵OD⊥AC，
∴F为AC中点，
∴OF是△ABC的中位线，1
∴OF= BC=3，
2
∵OF⊥AC，
∴OF的长就是点O到AC的距离；
Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，
∴AB=10，
1
∴OD=OA= AB=5，
2
∴DF=OD-OF=5-3=2，
∵F为AC中点，
1
∴CF= AC=4，
2
Rt△CDF中，∵DF=2，CF=4，
∴CD=2√5，
DF 2 √5
则sin∠ACD= = = ，
CD 2√5 5
√5
∴点O到AC的距离为3，sin∠ACD 的值是 ．
5
【点睛】本题考查了圆的基本性质、垂径定理及其推论、勾股定理、线段垂直平分线的尺
规作图、锐角三角函数等，属于综合题，欲求某角的某三角函数值，首先想到的应该是能
否在直角三角形中进行，如果没有现成的直角三角形，则需要设法构造(作辅助图形)．
20．（2022·山东淄博·中考真题）已知 ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O
相交于点D，连接DB．
△
(1)如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI；
图1
(2)如图2，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；图2
(3)如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点
G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：GF=GH．
图3
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由角平分线的定义以及圆周角定理得到∠BAD=∠DAC=∠CBD，
∠ABI=∠IBC，再根据三角形的外角性质可推出∠BID=∠DBI，利用等角对等边即可证明
BD=DI；
（2）由垂径定理推出OD⊥BC，由平行线的性质推出OD⊥DE，即可证明DE是⊙O的切线；
（3）设法证明 HBG∽△CHG，推出GH2=GC×GB，再证明 GFC∽△GBF，推出
GF2=GC×GB△，据此即可证明GF=GH．
△
（1）
证明：∵AD是∠BAC的平分线，BI是∠ABC的平分线，∴∠BAD=∠DAC=∠CBD，∠ABI=∠IBC，
∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠DBI=∠IBC +∠CBD，
∴∠BID=∠DBI，
∴BD=DI；
（2）
证明：连接OD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴B´D=C´D，
∴OD⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（3）
证明：过点H作⊙O的直径HI，连接BH，HC，IC，
∵HI是⊙O的直径，GH是⊙O的切线，
∴∠HCI=∠IHG=90°，
∴∠IHC+∠I=90°=∠IHC+∠GHC，
∴∠I=∠GHC，
∵∠HBG=∠I，
∴∠HBG=∠GHC，
∴ HBG∽△CHG，
△HG GB
∴ = ，
CG HG
∴GH2=GC×GB，
∵AD∥FG，
∴∠DAF=∠GFC，
∵∠DAF=∠DBC，
∴∠GFC=∠DBC，
∴ GFC∽△GBF，
GF GC
∴ △ = ，
GB GF
∴GF2=GC×GB，
∴GF2=GH2，
∴GF=GH．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定
理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
