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挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题28以圆为载体的几何综合问题
【例1】（2022·河北·育华中学三模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝
4
4，BC＝10，sinC＝ ，以AB为直径作⊙O，把⊙O沿水平方向平移x个单位，得到⊙O′，
5
A'B'为直径AB平移后的对应线段．
(1)当x＝0，且M为⊙O上一点时，求DM的最大值；
(2)当B′与C重合时，设⊙O′与CD相交于点N，求点N到AB的距离；
(3)当⊙O′与CD相切时，直接写出x的值 ．
【例2】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知CH是⊙O的直径，点A，点B是⊙O上的
两个点，连接OA,OB，点D，点E分别是半径OA,OB的中点，连接CD,CE,BH，且
∠AOC=2∠CHB．
(1)如图1，求证：∠ODC=∠OEC；
(2)如图2，延长CE交BH于点F，若CD⊥OA，求证：FC=FH；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G是B´H上一点，连接AG,BG,HG,OF，若
AG:BG=5:3，HG=2，求OF的长．
【例3】（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图所示，在⊙O的内接△AMN中，
∠MAN=90°，AM=2AN，作AB⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是A´M上的一
个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，
BC交MN于点E．(1)求证：△CMA∽△CBD．
(2)若MN=10，M´C=N´C，求BC的长．
3 ME
(3)在点C运动过程中，当tan∠MDB= 时，求 的值．
4 NE
【例4】（2022·湖北荆州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点O是
边AB上一个动点（不与点A重合），连接OD，将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以
O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延长交射线BC于F，连接
EG，设OA＝x．
(1)求证：DE是半圆O的切线；
(2)当点E落在BD上时，求x的值；
(3)当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系
式；
(4)直接写出：当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围．
25．（2022·浙江温州·中考真题）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，
CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC=5,BE=3．
AP 5
点P，Q分别在线段AB,BE上（不与端点重合），且满足 = ．设BQ=x,CP= y．
BQ 4
(1)求半圆O的半径．(2)求y关于x的函数表达式．
(3)如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ,RQ．
①当△PQR为直角三角形时，求x的值．
CF′
②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求 的值．
BF′
一、解答题【共20题】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测）如图，在⊙O中，AD、BC是弦，
∠OAD＋∠AOC−∠OCB=180°．
(1)如图1，求证：AD∥BC；
(2)如图2，如果AD=BC，求证：AC是⊙O直径；
(3)如图3，在（2）的条件下，点F在AC上，点E在AB上，AF=CD，BE=CF=4，连
接CE、BF交于点G，作HG⊥CE于点G，交BC于点H，S =5，求OF的长．
△HCG
2．（2022·安徽·合肥市五十中学新校二模）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，且AB为
⊙O的直径，DE与⊙O相切于点D，交AB的延长线于点E，连接OD交BC于点F，连接
AD、CD，∠E=∠ADC．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若CF=2DF，AC=6，求⊙O的半径r．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第八十四中学校一模）如图，△ABC内接于⊙O,AD为⊙O
的直径，AD交BC于点E，且BE=CE．(1)如图1，求证：AD平分∠BAC；
(2)如图2，点P为弧CD上一点，连接AP交BC于点F，过点P作⊙O的切线，交BC的延
长线于点G，点H是PF的中点，求证：GH⊥PF；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接DF，且∠DFB=3∠PAD，点R在CG上，连接
DR，DR交CH于点N，RN=RG,HN=2,DF=10，求DE的长．
4．（2022·北京市第十九中学三模）如图，△ABC中AB=AC，AD平分∠BAC交BC于
D，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F．
(1)求证：BD是⊙O切线；
(2)连接EF交OD与G、连接BO交EF于P，连接PC，若⊙O的半径为5，OG=3，求GE
和PC的长．
5．（2022·上海·华东师范大学松江实验中学三模）如图1，在梯形ABCD中，
∠ABC=90°,AD∥BC,AB=4,BC=5,AD=2.动点P在边BC上，过点P作PF∥CD，
与边AB交于点F，过点F作FE∥BC，与边CD交于点E，设线段BP=x，PF= y．
(1)求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(2)当△PFE是以PE为腰的等腰三角形时，求BP的值；
(3)如图2，作△PEF的外接圆⊙O，当点P在运动过程中，外接圆⊙O的圆心O落在
△PEF的内部不包括边上时，求出BP的取值范围．6．（2022·河北·石家庄市第四十四中学三模）如图：在矩形ABCD中，AB=22，
AD=16，点O在线段DE上，其中DE=26，EO=6；以OE为半径作圆O交线段AB于点
P，并将线段OP绕点O逆时针旋转90°得线段OQ（备注：若圆O与AB有两个交点，规定
位于点O上方的交点为点P）
（1）特例探究：如图1，当点E在射线DA上时，AP=______，点Q到直线DE的距离是
______；
变式研究：当点E在AD上方时，
（2）如图2，当点O落在线段AB上时，求点P、Q到直线DE的距离之比；
（3）当圆O与BC边相切时，求线段AP的长；
（4）若点O到AB的距离为3，直接写出点Q到AD的距离．
7．（2022·湖南·长沙市华益中学三模）如图，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半
圆上的动点，连接AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作AB的平
行线交CB的延长线于点E．
(1)当CA=CD时，求∠E的大小；
(2)若⊙O的半径为5，AC=8，求CD的长；
|AC−BC|
(3)如图2，当CD不过点O时，过点O作OM⊥CD交CD于点M，试判断 是否
OM
为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．
8．（2022·江苏镇江·中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆
的直径都是30cm，高为42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．
小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及A´C、B´D组成的轴对称图
形，直线l为对称轴，点M、N分别是A´C、B´D的中点，如图2，他又画出了A´C所在的扇
形并度量出扇形的圆心角∠AEC=66°，发现并证明了点E在MN上．请你继续完成MN
长的计算．9 2 9 11 11
参考数据：sin66°≈ ，cos66°≈ ，tan66°≈ ，sin33°≈ ，cos33°≈ ，
10 5 4 20 13
13
tan33°≈ ．
20
9．（2022·上海·中考真题）平行四边形ABCD，若P为BC中点，AP交BD于点E，连接
CE．
(1)若AE=CE，
①证明ABCD为菱形；
②若AB=5，AE=3，求BD的长．
(2)以A为圆心，AE为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F，且
AB
CE=√2AE．若F在直线CE上，求 的值．
BC
10．（2022·广东深圳·中考真题）一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径，半圆O上点C处有
个吊灯EF, EF//AB, CO⊥AB,EF的中点为D,OA=4.(1)如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度．
(2)如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为
3
反射光线，∠OHM=∠OHN=45°,tan∠COH= ,求ON的长度．
4
(3)如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM=50°,HN为反射光线交
圆O于点N,在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．
11．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=BD=√13，点M
为边AB的中点，动点P从点A出发，沿折线AD−DB以每秒√13个单位长度的速度向终
点B运动，连结PM．作点A关于直线PM的对称点A′，连结A′P、A′M．设点P的运
动时间为t秒．
(1)点D到边AB的距离为__________；
(2)用含t的代数式表示线段DP的长；
(3)连结A′D，当线段A′D最短时，求△DPA′的面积；
(4)当M、A′、C三点共线时，直接写出t的值．
12．（2022·江苏常州·中考真题）（现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB
的长是12cm，C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC．
(1)沿AC、BC剪下△ABC，则△ABC是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝
角”）；
(2)分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H．已知剪下的由这四个点顺次连接构
成的四边形是一个边长为6cm的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形
（保留作图痕迹，不要求写作法）；(3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、
线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个
边长为4cm的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．
13．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分
别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
(1)求证：∠ADE=∠PAE．
(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．
(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．
14．（2022·浙江舟山·中考真题）如图1．在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB
上，连结AC，FH交于点E，已知CF=CH．
(1)线段AC与FH垂直吗？请说明理由．
KH AK
(2)如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证： = ．
CH AC
CP
(3)如图3，在（2）的条件下，当点K是线段AC的中点时，求 的值．
PF
15．（2022·四川凉山·中考真题）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交
于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6
(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；(2)求AB的长；
(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．
16．（2021·江苏镇江·中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⊙O
经过A，B，P三点．
（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP
的值．
17．（2022·湖南·炎陵县教研室一模）如图1，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点
E，连接BE，BD平分∠ABE交AC于F，交⊙O于点D，且∠BDE=∠CBE．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)如图2，延长ED交直线AB于点P，若PA=AO．
PD
①求 的值；
DE
②若DE=2，求⊙O的半径长．
18．（2022·湖南·长沙市北雅中学模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，过O作AB的垂
线，垂足为E，交⊙O于F，(1)求证：A´F=B´F；
(2)连CF交AB于M，过E作CF的平行线交BC于D，求证：BD=CD+AC；
(3)在（2）条件下，连AD交CF于N，若MN=CN，ED:CD=8:5，EF=9，求AN的长．
19．（2022·浙江宁波·一模）如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=4，AD⊥BC于D，E
为AB边上的点，过A、D、E三点的⊙O交AC于F，连接DE，DF．
(1)求证：AE=CF．
(2)若tan∠ADF=3，求⊙O的面积．
(3)如图2，点P为D´E上一动点，连接PD，PE，PF．
①若P为D´E的中点，设AE为x，△PDF的面积为S，求S关于x的函数表达式；
②在点P运动过程中，试探索PD，PE，PF之间的数量关系，并证明．
20．（2022·广东·佛山市华英学校三模）如图，△ABC内接于⊙O，过点A作AF⊥BC于
点F，过点B作BE⊥AC于点E，交AF于点H，延长BE交⊙O于点D，连接AD，且
∠BAD=∠AHD．
(1)求证：∠ABC=3∠DAC；
(2)过点A作AG∥BD交⊙O于点G，连接BG、GD，GD交AB于点M，连接OM，求证：
OM⊥BD；(3)在（2）的条件下，连接EF，若EF=3，AG=5，求OM的长．
