文档内容
挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题27以相似为载体的几何综合问题
【例1】（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N
分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．
(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
EF AN
(2)若 ＝2，求 的值；
BF ND
AN
(3)若MN∥BE，求 的值．
ND
【例2】（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于
点O，记△COD的面积为S ，△AOB的面积为S ．
1 2
S OC⋅OD
（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
1=
S OA⋅OB
2
（2）探索推广：如图②，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；
若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在OA上取一点E，使OE=OC，过点E作EF∥CD交OD于点
OE 5 S
F，点H为AB的中点，OH交EF于点G，且OG=2GH，若 = ，求 1 值．
OA 6 S
2
【例3】（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AC是一条对角线，
且AB=AC=5，BC=6，E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE=DF，连接CE，
CE的延长线与BA的延长线相交于点G．(1)如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE相交于点N．
3
①若AE= ，求AG的长；
2
②在满足①的条件下，若EN=NC，求证：AM⊥BC；
(2)如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH．若∠EHG=∠EFG+∠CEF，且
HF=2GH，求EF的长．
【例4】（2022·江苏泰州·中考真题）已知：△ABC中，D 为BC边上的一点.
(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；
(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不
要求写作法）
1
(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于 CD•AB，
2
以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.
【例5】（2022·湖南岳阳·中考真题）如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，
∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠BDE=30°，BC=3，BE=2．AD
(1)特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论： =______，直
CE
线AD与直线CE的位置关系是______；
(2)探究证明：如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，
连接EC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展运用：如图3，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α(19°<α<60°)，连接AD、
EC，它们的延长线交于点F，当DF=BE时，求tan(60°−α)的值．
一、解答题【共20题】
1．（2022·江苏镇江·中考真题）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、
BC、CD、AD上．
(1)如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB；
(2)如图2，已知AE=AH，CF=CG，当AE、CF的大小有_________关系时，四边形
EFGH是矩形；
(3)如图3，AE=DG，EG、FH相交于点O，OE:OF=4:5，已知正方形ABCD的边长
为16，FH长为20，当△OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？
证明你的结论．
2．（2022·山东东营·中考真题）△ABC和△ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，
B同时出发，以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止.
(1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是
____________，位置关系是____________；
(2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给
予证明；若不成立，请说明理由；(3)当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是△ABC面积的一半，请直接写出答案；
此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.
3．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在
直线AC上，连接BD，将DE绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．
(1)求证：BC=√3AB；
CE
(2)当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求 的值；
AD
AN
(3)过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD=2CD，请直接写出 的值．
CE
4．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边
AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．
(1)求证：∠DBG=90°.
(2)若BD=6，DG=2≥¿．
①求菱形ABCD的面积.
②求tan∠BDE的值.
(3)若BE=AB，当∠DAB的大小发生变化时（0°＜∠DAB＜180°），在AE上找一点
T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．
5．（2022·山东枣庄·中考真题）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点
A出发，沿AB方向以每秒√2cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向
以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．
(1)如图①，若PQ⊥BC，求t的值；
(2)如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？6．（2022·江苏南通·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在折线BCD
上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
(1)当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证AM=AB；
(2)当AE=3√2时，求CF的长；
(3)连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．
7．（2022·山东菏泽·中考真题）如图1，在△ABC中，∠ABC=45°,AD⊥BC于点D，
在DA上取点E，使DE=DC，连接BE、CE．
(1)直接写出CE与AB的位置关系；
(2)如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′，E′分别与点B，E对应），连接
CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置
关系是否一致?请说明理由；
(3)如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，
若CG=FG,DC=√3，求AB′的长．
8．（2022·辽宁丹东·中考真题）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不
与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），
连接DG．
AD AG
(1)如图1，当 ＝ ＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；
AB AEAD AG
(2)如图2，当 ＝ ＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说
AB AE
明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接
MN，MD，ND，若AB＝√5，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．
9．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连
接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为
_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
10．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一
点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连
接CF，AC′．
(1)直接写出图中与 AFB相似的一个三角形；
(2)若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；
△
(3)当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？
11．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB＝2√3，AB＝4，AD＝
2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D
的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．2
(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为 秒
3
时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；
(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为√3个单位每秒，运动时间为x秒，
ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为
多少？
1
(3)如图3，H在线段AB上且AH＝ HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB
3
上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．
12．（2022·山东济宁·中考真题）如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂
足为C，点C的坐标为（0，√3）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴
的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连
接BE，BF．
(1)填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为 ；
(2)当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．
①求m值最大时点D的坐标；
②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．
13．（2022·山东烟台·中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连
BD
接BD，CE．请直接写出 的值．
CE
AB
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且
BC
AD 3
＝ ＝ ．连接BD，CE．
DE 4
BD
①求 的值；
CE
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
14．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=BD=√13，点M
为边AB的中点，动点P从点A出发，沿折线AD−DB以每秒√13个单位长度的速度向终
点B运动，连结PM．作点A关于直线PM的对称点A′，连结A′P、A′M．设点P的运
动时间为t秒．
(1)点D到边AB的距离为__________；
(2)用含t的代数式表示线段DP的长；
(3)连结A′D，当线段A′D最短时，求△DPA′的面积；
(4)当M、A′、C三点共线时，直接写出t的值．
15．（2022·内蒙古通辽·中考真题）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形
AFEG与正方形ABCD有公共点A．
2CE
(1)如图1，当点G在AD上，F在AB上，求 的值为多少；
√2DGCE
(2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，如图2，求： 的值为多少；
DG
√2
(3)AB=8√2，AG= AD，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转α(0°<α<360°)，当
2
C，G，E三点共线时，请直接写出DG的长度．
16．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6．点E是线段
AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．
(1)求证：△AEF∽△DCE；
(2)如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，
连接GM．
①求AG+GM的最小值；
②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．
17．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C，D均在直线l的上方，AC与BD都是直线l
的垂线段，且BD在AC的右侧，BD=2AC，AD与BC相交于点O．
AO
(1)如图1，若连接CD，则△BCD的形状为______， 的值为______；
AD
(2)若将BD沿直线l平移，并以AD为一边在直线l的上方作等边△ADE．
3
①如图2，当AE与AC重合时，连接OE，若AC= ，求OE的长；
2
②如图3，当∠ACB=60°时，连接EC并延长交直线l于点F，连接OF．求证：
OF⊥AB．
18．（2022·山东青岛·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，
连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，
沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP,EQ．设运动时间为
t(s)(0
