文档内容
专题 29 圆的有关概念
【专题目录】
技巧1：巧用圆的基本性质解圆的五种关系
技巧2：垂径定理的四种应用技巧
技巧3：圆中常见的计算题型
【题型】一、 圆的周长与面积问题
【题型】二、利用垂径定理进行计算
【题型】三、垂径定理的实际应用
【题型】四、利用弧、弦、圆心角的关系求解
【题型】五、利用弧、弦、圆心角的关系求证
【题型】六、同弧或等弧所对的圆周角相等
【题型】七、直径所对的圆周角是直角
【考纲要求】
1.理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系．
2.了解圆心角与圆周角的关系，掌握垂径定理及推论.
【考点总结】一、 圆的有关概念及性质
（1）圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,圆既是轴对称图形也是中心对称图形.
（2）圆具有对称性和旋转不变性.
（3）不共线的三点确定一个圆.
（4）圆上各点到圆心的距离都等于半径.
（5）圆上任意两点间的部分叫做弧,大于半圆周的弧称为优弧,小于半圆周的弧称为劣弧.
（6）连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.
（7）弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
推论：在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也
分别相等.
【考点总结】二、垂径定理
（1）定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
（2）推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
② 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
③ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.（3）推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.
注意:轴对称性是圆的基本性质,垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的,它们是证明线段相等、
角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线.
【考点总结】三、与圆有关的角及其性质
（1）圆心角:顶点在圆心,角的两边和圆相交的角叫做圆心角.
圆周角:顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.
（2）圆周角定理
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论：
① 同弧或等弧所对的圆周角相等.
② 半圆(或直径)所对的圆周角是直径,90°的圆周角所对的弦是圆的直径.
③ 圆内接四边形的对角互补.
【考点总结】四、圆周长、弧长计算
（1）半径为R的圆周长：C=πd=2πR.
nπR
180
（2）半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长为l,则l= .
【考点总结】五、圆、扇形面积计算
πR2
（1）半径为R的圆面积S=
1 nπR2
lR
2 36
（2）半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S = 或S = .
扇 扇
【考点总结】六、圆柱、圆锥的有关计算
（1）圆柱的侧面展开图是长方形,圆柱侧面积S=2πRh,全面积S=2πRh+2πR2(R表示底面圆的半径,h表示圆
柱的高).
（2）圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥侧面积S=πRl,全面积S=πRl+πR2(R表示底面圆的半径,l表示圆锥的母
线).
1 1
3 3
（3）圆柱的体积=底面积×高,即V=Sh=πR2h. 圆锥的体积= ×底面积×高,即V= πR2h.
【考点总结】七、正多边形与圆
（1）正多边形:各边相等,各角相等的多边形叫做正多边形.（2）圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做
正多边形的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做
正多边形的边心距.
（3）正多边形的内角和=(n-2)·180°;
(n−2)180
n
正多边形的每个内角= ;
正多边形的周长=边长×边数;
1
2
正多边形的面积= ×周长×边心距.
【技巧归纳】
技巧1：巧用圆的基本性质解圆的五种关系
类型一：弦、弧之间的关系
1．如图，在⊙O中，AB＝2CD，则下列结论正确的是( )
(第1题)
A．AB>2CD
B．AB＝2CD
C．AB<2CD
D．以上都不正确
2．如图，在⊙O中，弦AD＝BC，求证：AB＝CD.
(第2题)
类型二： 圆周角、圆心角之间的关系
3．如图，AB，AC，BC都是⊙O的弦，且∠CAB＝∠CBA，求证：∠COB＝∠COA.(第3题)
类型三：弧、圆周角之间的关系
4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BAC＝50°，求∠ADC的度数．
(第4题)
类型四：弦、圆心角之间的关系
5．如图，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于D，交AC于E，连接DE.试判断BD，DE，
EC之间的大小关系，并说明理由．
(第5题)
类型五：弦、弧、圆心角之间的关系
6．如图，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是AB的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.
求证：AE＝BF＝CD.
(第6题)
答案
1．C
2．证明：因为AD＝BC，所以根据在同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧相等，可得AD＝BC，所以AD＋AC＝BC＋AC，即AB＝CD.
点拨：在同圆或等圆中，等弦对等弧、等弧对等弦(劣弧等于劣弧，优弧等于优弧)．
3．证明：在⊙O中，∠CAB，∠COB分别是CB所对的圆周角和圆心角，
∴∠COB＝2∠CAB.
同理，∠COA＝2∠CBA.
又∵∠CAB＝∠CBA，
∴∠COB＝∠COA.
4．解：如图，连接BC，
(第4题)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°－∠BAC＝90°－50°＝40°.
又∵∠ADC，∠ABC是AC所对的圆周角，
∴∠ADC＝∠ABC＝40°.
5．解：BD＝DE＝EC.理由如下：如图，连接OD，OE.
(第5题)
∵OB＝OD＝OE＝OC，∠B＝∠C＝60°，
∴△BOD与△COE都是等边三角形．
∴∠BOD＝∠COE＝60°.
∴∠DOE＝180°－∠BOD－∠COE＝60°.
∴∠BOD＝∠DOE＝∠COE.
∴BD＝DE＝EC.
点拨：本题利用“在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等”去证明三条线段相等，因此，连接OD，
OE，构造弦所对的圆心角是解此题的关键．(第6题)
6．证明：如图，连接AC，BD.
∵C，D是AB的三等分点，
∴AC＝CD＝BD.
∴AC＝CD＝BD，
∠AOC＝∠COD＝∠BOD.
又∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°.
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°.
∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°.
∵OA＝OC，∠AOC＝30°，
∴∠ACE＝×(180°－30°)＝75°＝∠AEC.
∴AE＝AC.同理可得BF＝BD.
∴AE＝BF＝CD.
技巧2：垂径定理的四种应用技巧
类型一：巧用垂径定理求点的坐标
1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的
半圆M上， 且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．
(第1题)
类型二：巧用垂径定理解决最值问题(对称思想)
2．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，
CD⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．(第2题)
类型三：巧用垂径定理计算
3．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，BC＝2.求：
(1)AB的长；
(2)⊙O的半径．
(第3题)
类型四：巧用垂径定理解决实际问题(建模思想)
4．某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘宽3
m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
答案
1．解：如图，连接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H.
∵四边形OCDB为平行四边形，B点的坐标是(8，0)，
∴CD＝OB＝8，CN＝MH，CH＝MN.
又∵MN⊥CD，
∴CN＝DN＝CD＝4.
易知OA＝10，∴MO＝MC＝5.
在Rt△MNC中，MN＝＝＝3.
∴CH＝3.又OH＝OM－MH＝5－4＝1.
∴点C的坐标为(1，3)．
(第1题)
2．解：如图，易知点C关于直线MN的对称点为点D，连接AD，交MN于点P，连接PC，易知此时PA＋PC最小且PA＋PC＝AD.过点D作DH⊥AB于点H，连接OA，OC.易知AE＝4，CF＝3，由勾股定理易
得OE＝3，OF＝4，∴DH＝EF＝7，又AH＝AE＋EH＝4＋3＝7.∴AD＝7.即PA＋PC的最小值为7.
(第2题)
点拨：本题运用了转化思想，将分散的线段转化为一条线段，然后运用勾股定理求出线段的长度．
3．解：(1)连接AC，
∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AF＝BF.
∴AC＝BC.延长AE交⊙O于G，
则AG为⊙O的直径，
又AO⊥BC，
∴BE＝CE.
∴AC＝AB.
∴AB＝BC＝2.
(2)由(1)知AB＝BC＝AC，
∴△ABC为等边三角形．
∴∠BAC＝60°.
∵AE⊥BC，
∴∠EAB＝∠CAE＝∠CAB＝30°.
即∠OAF＝30°，
在Rt△OAF中，AF＝，
易得OA＝2，即⊙O的半径为2.
4．解：如图，AB为水面位置，若MN为货船顶部位置，则MN∥AB.设圆弧形桥拱AB所在圆的圆心为O，
连接OA，ON，作OC⊥AB于点D，交AB于点C，交MN于点H，则OC⊥MN，由垂径定理可知，D为
AB的中点，H为MN的中点．所以AD＝3.6 m，NH＝1.5 m.
(第4题)
设OA＝r m，则OD＝OC－DC＝(r－2.4)m.在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，
即r2＝3.62＋(r－2.4)2，解得r＝3.9.
在Rt△OHN中，OH＝＝＝3.6(m)．
所以DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m)．
因为2.1 m＞2 m，所以此货船能顺利通过这座拱桥．
技巧3：圆中常见的计算题型
类型一：有关角度的计算
1．如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.
(1)求证：△ABD≌△CDB；
(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．
(第1题)
类型二：半径、弦长的计算
(第2题)
2．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2 cm，∠BCD＝22°30′，则
⊙O的半径为________．
3．如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD＝
30 cm.求直径AB的长．
(第3题)类型三：面积的计算
利用“作差法”求面积
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切
线DF，交AC于点F.
(1)求证：DF⊥AC；
(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．
(第4题)
利用“等积法”求面积
5．如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为
OC与⊙O的交点，连接AF.
(1)求证：CB是⊙O的切线；
(2)若∠ECB＝60°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．
(第5题)
利用“平移法”求面积
6．如图，两个半圆中，O为大半圆的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴
影部分的面积等于多少？
(第6题)
利用“割补法”求面积
7．如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长
线于点E，连接AD，BD.(1)由AB，BD，AD围成的曲边三角形的面积是______；
(2)求证：DE是⊙O的切线；
(3)求线段DE的长．
(第7题)
类型四：实际应用的计算
利用垂径定理解决台风问题
8．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30 km/h，受影响区域的半
径为200 km，B市位于点P北偏东75°的方向上，距离P点320 km处．
(1)试说明台风是否会影响B市；
(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间．
(第8题)
利用圆周角知识解决足球射门问题(转化思想)
9．如图，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴队员乙
已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员乙，由队
员乙射门．从射门角度考虑，你认为选择哪种射门方式较好？为什么？
(第9题)
利用直线与圆的位置关系解决范围问题
10．如图，已知A，B两地相距1 km.要在A，B两地之间修建一条笔直的水渠(即图中的线段AB)，经
测量在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个以C为圆心，350 m为半径的圆形公园，
则修建的这条水渠会不会穿过公园？为什么？(第10题)
答案
1．(1)证明：∵AB，CD是⊙O的直径，
∴AB＝CD，∠ADB＝∠CBD＝90°.
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)，
即△ABD≌△CDB.
(2)解：∵BE是⊙O的切线，
∴AB⊥BE.
∴∠ABE＝90°.
∵∠DBE＝37°.
∴∠ABD＝53°.
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠BAD＝90°－53°＝37°.
即∠ADC的度数为37°.
2．2 cm 点拨：如图，连接OB，∵∠BCD＝22°30′，∴∠BOD＝2∠BCD＝45°.∵AB⊥CD，∴BE＝AE＝
AB＝×2＝(cm)，且△BOE为等腰直角三角形，∴OB＝BE＝2 cm.
(第2题)
(第3题)
3．解：如图，连接OC.∵∠A＝30°，
∴∠COD＝60°.
∵DC切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°.∴∠D＝30°.
∵OD＝30 cm，∴OC＝OD＝15 cm.
∴AB＝2OC＝30 cm.
4．(1)证明：如图，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∴∠ODB＝∠ACB.
∴OD∥AC.
∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD.
∴DF⊥AC.
(2)解：如图，连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，
∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°.
∴∠BAC＝45°.
∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠BAC＝45°.
∴∠AOE＝90°.
∵⊙O的半径为4，
∴S ＝4π，S ＝8.
扇形AOE △AOE
∴S ＝S －S ＝4π－8.
阴影 扇形AOE △AOE
(第4题)
5．(1)证明：如图，连接OD，与AF相交于点G，
(第5题)
∵CE与⊙O相切于点D，∴OD⊥CE.
∴∠CDO＝90°.
∵AD∥OC，
∴∠ADO＝∠DOC，∠DAO＝∠BOC.
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO.
∴∠DOC＝∠BOC.
在△CDO和△CBO中，
∴△CDO≌△CBO.
∴∠CBO＝∠CDO＝90°.
∴CB是⊙O的切线．
(2)解：由(1)可知
∠DOC＝∠BOC，
∵∠ECB＝60°，
∴∠DCO＝∠BCO＝∠ECB＝30°.
∴∠DOC＝∠BOC＝60°.
∴∠DOA＝60°.
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形．
∴AD＝OD＝OF.
在△FOG和△ADG中，
∴△FOG≌△ADG.
∴S ＝S .
△ADG △FOG
∵AB＝6，
∴⊙O的半径r＝3.
∴S ＝S ＝＝π.
阴影 扇形ODF
6．解：将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合，如图所示，则阴影部分的面积等于半圆环的面
积．(第6题)
作OE⊥AB于E(易知E为切点)，连接OA，
∴AE＝AB＝9.
∴阴影部分的面积＝π·OA2－π·OE2＝π(OA2－OE2)＝π·AE2＝π·92＝π.
点拨：观察图形可知阴影部分的面积等于大半圆的面积减去小半圆的面积，因此当小半圆在大半圆范
围内左右移动时，阴影部分面积不改变，所以我们可以通过平移，使两个半圆的圆心重合，这样就能运用
已知条件求出阴影部分的面积．
7．(1)＋
(第7题)
(2)证明：如图，连接OD，∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°.
∵CD平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACD＝∠ACB＝45°.
∴∠AOD＝90°，
即OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE.
∴DE是⊙O的切线．
(3)解：∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝8，AO＝BO＝DO＝5.
如图，过点A作AF⊥DE于点F，则四边形AODF是正方形，
∴AF＝OD＝FD＝5，∠FAB＝90°.
∴∠EAF＝90°－∠CAB＝∠ABC.
∴tan∠EAF＝tan∠ABC.
∴＝，即＝.
∴EF＝.
∴DE＝DF＋EF＝5＋＝.8．解：(1)如图，过点B作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，由条件易知：BP＝320 km，∠BPQ＝30°.
∴BH＝BP＝160 km<200 km.∴台风会影响B市．
(2)如图，以B为圆心，200 km为半径作圆，交PQ于P，P 两点，连接BP，由垂径定理知PP＝
1 2 1 1 2
2PH.
1
(第8题)
在Rt△BHP 中，BP＝200 km，
1 1
BH＝160 km，
∴P H＝＝120(km)．
1
∴P P＝2PH＝240 km.
1 2 1
∴台风影响B市的时间为＝8(h)．
点拨：本题在图形中画出圆，可以非常直观地构造数学模型，然后利用垂径定理解决生活中的实际问
题．
9．解：选择射门方式二较好，理由如下：设AQ与圆的另一交点为C，连接PC，如图所示．
(第9题)
∵∠PCQ是△PAC的外角，
∴∠PCQ>∠A.又∵∠PCQ＝∠B，
∴∠B>∠A.∴在B点射门比在A点射门好．∴选择射门方式二较好．
点拨：本题运用转化思想，将射门角度大小的问题，建模转化到圆中，根据圆周角的相关结论来解决
实际问题．
10．解：修建的这条水渠不会穿过公园．
理由：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
由题易得∠CBA＝45°，
∴∠BCD＝45°.
∴CD＝BD.
设CD＝x km，则BD＝x km.(第10题)
由题易得∠CAB＝30°，
∴AC＝2CD＝2x km，
∴AD＝＝x(km)，
∴x＋x＝1.解得x＝，
即CD＝≈0.366(km)＝366 m＞350 m，
也就是说，以点C为圆心，350 m为半径的圆与AB相离．
∴修建的这条水渠不会穿过公园．
【题型讲解】
【题型】一、 圆的周长与面积问题
例1、如图，⊙O的半径为 ，分别以 的直径 上的两个四等分点 ， 为圆心， 为半径作圆，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】把阴影部分进行对称平移，再根据半圆的面积公式计算即可.
【详解】 ,
∴图中阴影部分的面积为 .故选B.
例2、图案的地砖，要求灰、白两种颜色面积大致相同，那么下面最符合要求的是（ ）．A． B． C． D．
【答案】D
【提示】设正方形边长为2a，依次表示出每个图形灰色和白色区域的面积，比较即可得出结论．
【详解】设正方形边长为2a，则：
A、灰色区域面积=正方形面积－圆的面积= ，白色区域面积=圆面积= ，两者
相差很大；
B、灰色区域面积=正方形面积－圆的面积= ，白色区域面积=圆面积= ，两者
相差很大；
C、色区域面积=正方形面积－圆的面积= ，白色区域面积=圆面积= ，两者相
差很大；
D、灰色区域面积=半圆的面积－正方形面积= ，白色区域面积=正方形面
积－灰色区域面积= ，两者比较接近．
故选D．
【题型】二、利用垂径定理进行计算
例3、如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为
（ ）
A．8 B．12 C．16 D．2
【答案】C
【提示】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．
【详解】连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，
∴OD＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴ ，
∴AB＝2AM＝16．
故选：C．
例4、如图，点 在⊙O上， ，垂足为E．若 ， ，则
（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【提示】连接OC，根据圆周角定理求得 ，在 中可得 ，可得
OC的长度，故CE长度可求得，即可求解．
【详解】解：连接OC，∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，垂足为E，
∴ ，
故选：D．
【题型】三、垂径定理的实际应用
例5、往直径为 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 ，则水的最
大深度为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【提示】过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直
径为 ，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得油的最大深度 的长．
【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得： ，
∵⊙O的直径为 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴油的最大深度为 ，
故选： ．
例6、我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不
知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深 寸，锯道长 尺（1尺 寸）．问这根圆形木材的直径
是______寸．
【答案】26
【提示】根据题意可得 ，由垂径定理可得 尺 寸，设半径
，则 ，在 中，根据勾股定理可得： ，解方程可得出木
材半径，即可得出木材直径.
【详解】解：由题可知 ，
为 半径，
尺 寸，
设半径 ，
，
在 中，根据勾股定理可得：
解得： ,
木材直径为26寸；
故答案为：26.
【题型】四、利用弧、弦、圆心角的关系求解⏜ ⏜
例7、如图， 是⊙O的直径，点 ， 在⊙O上， AB=AD ， 交 于点 ．若 ．
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】先根据圆周角定理得到∠ ，再根据等弧所对的弦相等，得到 ，∠
，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠CAD= ，∠BAG= ，即可求
解．
【详解】
解：∵ 是 的直径
∴∠
⏜ ⏜
∵ AB=AD
∴
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴∠
故选：B．
⏜ ⏜ ⏜
例8、如图，AB是⊙O的直径， = = ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
BC CD DEA．51° B．56° C．68° D．78°
【答案】A
【解析】
如图，在⊙ O中，
⏜ ⏜ ⏜
∵ BC=CD=DE ，
∴∠BOC=∠COE=∠DOE=34°，
∵AB是⊙ O的直径，
∴∠BOC+∠COE+∠DOE+∠AOE=180°，
∴∠AOE=180°-34°-34°-34°=78°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠A= .
故选A.
【题型】五、利用弧、弦、圆心角的关系求证
例9、如图， 是半圆 的直径， 是半圆 上不同于 的两点 与 相交于点
是半圆 所任圆的切线，与 的延长线相交于点 ，
求证： ；
若 求 平分 ．【答案】 证明见解析； 证明见解析．
【提示】
利用 证明 利用 为直径，证明 结合已知条件可
得结论；
利用等腰三角形的性质证明： 再证明 利用切线的性质与直径所
对的圆周角是直角证明： 从而可得答案．
【详解】
证明：
⏜ ⏜
∴AD=BC,
为直径，
．
证明：为半圆 的切线，
平分 ．
例10、如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与
OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
【答案】D
【提示】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示
∠COD，最后由角的和差关系得结果．
【详解】解：∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO
＝90°﹣∠AED
＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC
＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．
例11、如图，点 在圆上，若弦 的长度等于圆半径的 倍，则 的度数是( )．
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
【答案】C
【提示】设圆心为 ，连接 ，如图，先证明 为等腰直角三角形得到 ，然后
根据圆周角定理确定 的度数．
【详解】解：设圆心为 ，连接 ，如图，
∵弦 的长度等于圆半径的 倍，
即 ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
∴ °．
故选C．【题型】六、同弧或等弧所对的圆周角相等
例12、如图，四边形 的外接圆为⊙ ， ， ， ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据同弧所对的圆周角相等及等边对等角，可得 ，根据三角形的内角和可得
，利用角的和差运算即可求解．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
⏜
例13、如图，点A、B、C、D在⊙O上， ，点B是 的中点，则 的度数是（ ）
ACA． B． C． D．
【答案】A
【提示】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝ ∠AOC，再根据圆周角定理解答．
【详解】连接OB，
⏜
∵点B是 的中点，
AC
∴∠AOB＝ ∠AOC＝60°，
由圆周角定理得，∠D＝ ∠AOB＝30°，
故选：A．
【题型】七、直径所对的圆周角是直角
例14、如图， 是圆 上一点， 是直径， ， ，点 在圆 上且平分弧 ，则
的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【提示】由 是圆O的直径，可得∠A=∠D=90°，又 在圆 上且平分弧 ，则
∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，根据勾股定理求出BC长，从而可求
DC的长.
【详解】
解：∵ 是圆O的直径，
∴∠A=∠D=90°.
又 在圆 上且平分弧 ，
∴∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.
在Rt△ABC中， ， ，根据勾股定理，得BC= =2 .
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴CD= = .
故选:D.
例15、如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ）
A．10° B．14° C．16° D．26°
【答案】C
【提示】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定
理得到∠CAB的度数．
【详解】解：连接BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，∴∠CAB＝∠BDC＝16°．
故选：C．
圆的有关概念（达标训练）
一、单选题
1．如图，点 ， ， 在 上， ， ，连接 交 于点 ，则 的度数是
（ ）
A．108° B．109° C．110° D．112°
【答案】B
【分析】连接 ， 由已知条件求得 ，由 ，得 ，继而求得
，再根据三角形内角和性质，即可求得 ．
【详解】如解图，连接 ， ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选B．
【点睛】本题考查了圆心角定理，圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角，熟悉以上知识是解题的
关键．
2．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是
⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则sin∠APB等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由图， 与 为同弧所对的角，根据同圆内，同弧所对的圆周角与圆心角的关系即可
求得答案．
【详解】解： A、B、O是小正方形顶点，
，
（同圆内，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），
，
故选：B．
【点睛】本题考查了同圆内，同弧所对的圆周角与圆心角的一半及特殊角的三角函数值，解题关键熟悉特
殊角的正弦值及同圆内，同弧所对的圆周角与圆心角的一半的性质．
3．如图，CD是圆O的直径，AB是圆O的弦，且AB=10，若CD⊥AB于点E，则AE的长为（ ）A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】由垂径定理可得，直径CD垂直平分AB，即AE= AB．
【详解】解：∵AB是圆O的弦，CD⊥AB
∴AE= AB=5．
故答案为B．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，垂径定理是垂直与弦的直径平分这条弦.
4．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，则CD的长为（
）
A．3 B．6 C．6 D．6
【答案】C
【分析】连接OC，求出∠COB=45°，根据垂径定理求出CD=2CE，根据勾股定理求出CE即可．
【详解】解：连接OC，则OC= AB= ×12=6，
∵OA=OC，∠CAB=22.5°，
∴∠CAB=∠ACO=22.5°，
∴∠COB=∠CAB+∠ACO=45°，
∵AB⊥CD，AB为直径，
∴CD=2CE，∠CEO=90°，
∴∠OCE=∠COB=45°，
∴OE=CE，
∵CE2+OE2=OC2，
∴2CE2=62，
解得：CE=3 ，
即CD=2CE=6 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外角性质，垂径定理等知识点，能求出
CE=OE是解此题的关键．
5．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）A．AE＝BE B．OE＝DE C． D．
【答案】B
【分析】根据垂径定理即可判断．
【详解】解： 是 的直径，弦 于点 ，
， ， ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若 ，则∠AOB的度数
是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【答案】D
【分析】根据圆周角定理得出∠AOC= 40°，进而利用垂径定理即可得出∠AOB = 80°．
【详解】解： ∠ABC=20°，
∠AOC=40°，
AB是 的弦， OC⊥AB，
∠AOC=∠BOC=40°，
∠AOB=80°．
故选D
【点睛】此题考查垂径定理、圆周角定理，关键是根据圆周角定理得出∠AOC = 40°．
7．如图， 为 的直径， 为 的弦， 为优弧 的中点， ，垂足为 ， ，
，则 的半径为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接 ，延长 交 于点 设 的半径为 证明 ，推出
，在 中，根据 ，构建方程求解．
【详解】解：如图，连接 ，延长 交 于点T，设 的半径为 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
在 中， ，
，
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知
识，解答该题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，该题属于中考常考题型．
8．已知点 在线段 上（点 与点 不重合），过点 的圆记为圆 ，过点 的圆记为圆 ，过点 的圆记为圆 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆 可以经过点 B．点 可以在圆 的内部
C．点 可以在圆 的内部 D．点 可以在圆 内部
【答案】B
【分析】根据题意，画出符合题意的示意图，然后求解．
【详解】解：∵点 在线段 上（点 与点 不重合），过点 的圆记为圆 ，∴点 可以在圆
的内部，故A错误，B正确；∵过点 的圆记为圆 ，∴点 可以在圆 的外部，故C错误；∵过点
的圆记为圆 ，∴点 可以在圆 的外部，故D错误．
故选B．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，画出适当的辅助图形，采用数形结合的方法，更有助于解题.
9．如图， 为 的直径，点C为 上的一点，过点C作 的切线，交直径 的延长线于点D；若
，则 的度数是（ ）
A．23° B．44° C．46° D．57°
【答案】B
【分析】连接 ，由切线的性质可得 由圆周角定理可求得 的度数，再由直角三角形两锐角互余即可求得答案．
【详解】解：连接 ，如图，
为 的切线，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理等，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键．
10．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝130°，则∠BOC的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】D
【分析】根据圆内接四边形的性质得出 ，再根据圆周角定理即可求出 的度数．
【详解】∵四边形 内接于 ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边
形的性质．
11．在平面内与点 的距离为1cm的点的个数为（ ）A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】根据在平面内到定点的距离等于定长的点组成的图形为圆进行求解即可．
【详解】解：∵在平面内与点 的距离为1cm的点在以P为圆心，以1cm长为半径的圆上，
∴在平面内与点 的距离为1cm的点的个数为无数个，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆的定义，熟知圆的定义是解题的关键．
二、填空题
12．如图，ΔABC 是⊙O 的内接正三角形，已知⊙O 的半径为 6，则图中阴影部分的面积是_____．
【答案】12π
【分析】根据等边三角形的性质得到∠A=60°，根据圆周角定理求出∠BOC，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：∵△ABC为正三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
∴S = =12π，
阴
故答案为：12π．
【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．
三、解答题
13．等腰△ABC中， ，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺．根据下列条件分别
在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示画图过程，
实线表示画图结果）（1）如图1， ；
（2）如图2，
【答案】见解析
【分析】（1）如图1，连结AD，由于AB为直径，则 ，由于 ，所以AD平分 ，
即 ，于是得到 ；
（2）如图2，延长CA交圆于E，连结BE、DE，与（1）一样得到 ，根据圆内接四边形的
性质可知 ，所以 ，所以 ．
【详解】解：（1）如图1，DE为所作：
（2）如图2，DE为所作：
【点睛】本题考查的知识点是作图中的复杂作图，利用知识点：同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对圆周
角相等，相等的圆周角所对的弧也相等；圆内接四边形的对角互补；等腰三角形底边中线、底边上的高线、
顶角的角平分线互相重合；掌握作图的一般方法是解此题的关键．
14．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．（1）求证：∠1=∠2；
（2）若 ，求⊙O的半径的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．
（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
【详解】（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
= ．
∴∠A=∠2．
又∵OA=OC，
∴∠1=∠A．
∴∠1＝∠2．
（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6
∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3．
设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2
∵在Rt△OEC中，解得：
∴⊙O的半径是 ．
【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理
证明和计算．
圆的有关概念（提升测评）
一、单选题
1．如图，AB为 的直径，点C，D在 上．若 ，则 的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【分析】连接AC，由AB是圆的直径可得∠ACB=90°，由∠BCD=100°可得∠ACD=10°，再由圆周角定理可
得结论．
【详解】解：如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BCD=100°，
∴∠ACD=10°，
∵∠AOD与∠ACD都对着 ，
∴∠AOD=2∠ACD=2×10°=20°．故选∶B．
【点睛】此题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记圆周角定理．
2．如图，在半径为R的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D为弧AC的中点，AC与BD交于点E，已知∠A
＝36°，则∠AED的度数为（ ）
A．36° B．56° C．63° D．72°
【答案】C
【分析】由AB是⊙O的直径，可得∠ACB＝90°，根据已知条件可得∠ABC的度数，由D为弧AC的中点，
可得 ，即可得出 ，再根据三角形外角定理∠AED＝∠A＋∠ABD代入计
算即可得出答案．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝36°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣36°＝54°，
∵D为弧AC的中点，
∴ ，
∴ ，
∴∠AED＝∠A＋∠ABD＝36°＋27°＝63°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧、弦，圆心角之间的关系，熟练掌握圆周角定理，弧、弦，圆心
角之间的关系进行求解是解决本题的关键．
3．如图，点 ， ， ， 在 上，且 ，若 ，则 的度数为（ ）A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】C
【分析】如图所示，连接 ，先根据弧与圆心角的关系得到 ，则 ，由
此利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧与圆心角的关系，正确求出 是解题的关键．
4．如图，AB是 的弦，半径 于点D， ，点P在圆周上，则 等于（ ）A．27° B．30° C．32° D．36°
【答案】A
【分析】由垂径定理得到 ，根据圆周角定理得到 ，由半径 于点 推出
是直角三角形，即可求得 ，即可得到 ．
【详解】解： 半径 于点 ，
，
，
∴ 是直角三角形，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握定理是解题的关键．
5．如图，已知 是 的直径，弦 ，垂足为 ，且 ， ，则 的半径长
为（ ）
A．2 B． C．4 D．10
【答案】B
【分析】根据垂径定理得出 ，根据圆周角定理得出 ， 中，根据勾股定
理即可求解．【详解】解：如图，连接 ，
∵ 是 的直径，弦 ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
6． 是 的直径，弦 ，则 （ ）
A．π B．2π C． D．4π
【答案】C
【分析】先求出 ，再根据含 直角三角形的性质得 ，及 ，然后根据勾股定理求出 ，
进而得出 ，同理求出 ， ，最后根据 得出结论．
【详解】解：∵ ，∴ .
∵ ， 过圆心O， ，
∴ ， .
∴ .
在 中， ，
∴ ，
根据勾股定理，得 ，
解得 （负数舍去），
∴ ，
同理 ， ，
∴ ，
∴ .
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，扇形的面积等，将求不规则图形面
积转化为求规则图形的面积是解题的关键．
7．如图， 是 的直径，弦 ，若 ，则 的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】由OA=OC，得∠C=∠A=25°，再由三角形外角性质得∠AOD=50°，然后根据平行线的性质可求解．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴OA=OC，
∴∠C=∠A=25°，∴∠AOD=∠C+∠A=50°，
∵OA DE，
∴∠D=∠AOD=50°，
故选：C．
【点睛】本题考查圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，本题属基础题目，
难度不大．
8．如图，反比例函数的一个分支与 有两个交点，且平分这个圆，以下说法正确的是（ ）
A．劣弧 等于
B．反比例函数的这个分支平分圆的周长
C．反比例函数的这个分支平分圆的面积
D．反比例函数图象必过圆心
【答案】B
【分析】由题意可知 ， 两点连线为圆的直径，弧 为半圆，所对圆心角为 ，由此可对各项进行
判断．
【详解】A． ， 两点连线为圆的直径，弧 为半圆，所对圆心角为 ，不是 ，故这个选项错
误；
B．反比例函数的这个分支平分 ，即反比例函数的这个分支把 的周长平分，故这个选项正确；
C．反比例函数的这个分支能平分周长，所以 ， 两点连线为圆的直径，这个分支就不能把 的面积平
分，故这个选项错误；
D．反比例函数的这个分支不可能过圆心 ，否则无法平分圆，故这个选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质的运用，分别讨论可判断正误．
9．如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（ ）A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得到BC∥AD，即可根据平行线的性质求解．
【详解】解：如图，
∵∠AOE＝40°，∠AOE＝∠DOC，
∴∠DOC＝40°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴∠OCB＝∠DOC＝40°，
故选：B．
【点睛】此题考查了矩形的性质，熟记矩形的对边平行是解题的关键．
10．如图，一块直角三角板的 角的顶点 落在 上，两边分别交 于 两点，连结 ，
则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理解决问题即可．
【详解】解： ，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解决问题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
11．下列说法正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．若 ，则
D．一组数据 ， ， ， 的中位数、众数都是
【答案】D
【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项A错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项B错误；
若 ，则 ，故选项C错误；
一组数据3，2，5，3按照从小到大排列是2，3，3，5，故这组数的中位数、众数都是3，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查垂线、众数、中位数、与圆有关的知识，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选
项中的说法是否正确．
二、填空题12．如图， 的半径为2， ， ，则弦 的长为___________．
【答案】
【分析】连接 ， ，由圆周角定理知 ，又因为 ， ，由锐角三
角函数知 ，所以 ．
【详解】解：如图，连接 ，
，
，
， ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，连接 运用垂径定理，特殊角的三角函数是解答此题
的关键．
三、解答题13．如图，四边形 是 的内接四边形． 平分 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据 平分 ，可得 ，再根据 ，可得 ，从而得到
，即可．
（2）根据圆的内切四边形，对角互补，求出 ，再利用垂径定理，可得 ，可得到 ，
即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，
，
，
∴ ，，
，
平分 ，
．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟
练掌握圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理．
14．如图， 外接于 ，延长 交 于点 ，过点 作 交 于点 ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 的半径为2
【分析】（1）连接 ，由圆周角定理可得 ，利用直角三角形的性质及余角的定义可证得
，进而可证明结论；
（2）利用直角三角形的性质可得 ，即可得 ，再利用勾股定理可求解 的长，进而
可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ 的半径为2．
【点睛】本题主要考查含 角的直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，直角三角形的性质等知识
的综合运用，作合适的辅助线是解题的关键．
