文档内容
专题 15 图形的初步认识
【专题目录】
技巧1：活用判定两直线平行的六种方法
技巧2：与相交线、平行线相关的四类角的计算
技巧3：应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法
【题型】一、线段的中点
【题型】二、角的计算
【题型】三、与角平分线有关的相关计算
【题型】四、余角与补角的相关计算
【题型】五、对顶角相等进行相关计算
【题型】六、邻补角相等求角的度数
【题型】七、平行线的判定
【题型】八、平行线的应用
【题型】九、求平行线间的距离
【考纲要求】
1、了解直线、线段、射线的相关性质以及线段中点和两点间距离的意义．
2、理解角的有关概念，熟练进行角的运算．
3、掌握相交线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线的性质和判定.
【考点总结】一、直线、射线、线段与角
直线公理 经过两点有且只有一条直线.直线是向两方无限延伸的,直线没有端点.
直线上一点和它一旁的部分叫做射线,这点叫做射线的端点,射线向一方无限延伸,射
射线
线只有一个端点.
直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.线段有两个端点,有长短之分,将某一线段
线段
分成两条相等的线段的点叫做该线段的中点.
两点确定一条直线,两点之间线段最短,两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.
1°=60',1'=60″.
1周角=2平角=4直角=360°.
直线
余角、补角:如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角,同角或等角的余角相
角
射线 等；如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角,同角或等角补角相等.
线段 对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,则称这两个角是对顶角,对
与角 顶角相等.
角平分线 角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角平分线上.
垂线段公理 直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短.（1）线段垂直平分线的定义:垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线.
线段垂直平分
（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,到线段两端距离相
线
等的点在线段的垂直平分线上.
（1）过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
（2）平行线的性质:
① 两条直线平行,同位角相等;
② 两条直线平行,内错角相等;
③ 两条直线平行,同旁内角互补.
平行线 （3）平行线的判定:
① 同位角相等,两条直线平行;
② 内错角相等,两条直线平行;
③ 同旁内角互补,两条直线平行.
【技巧归纳】
技巧1：活用判定两直线平行的六种方法
【类型】一、利用平行线的定义
1．下面的说法中，正确的是( )
A．同一平面内不相交的两条线段平行 B．同一平面内不相交的两条射线平行om]
C．同一平面内不相交的两条直线平行 D．以上三种说法都不正确
【类型】二、利用“同位角相等，两直线平行”
2．如图，已知∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，∠3＝∠F，试判断EC与DF是否平行，并说明理由．
【类型】三、利用“内错角相等，两直线平行”
3．如图，已知∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，试说明BE∥CF.
【类型】四、利用“同旁内角互补，两直线平行”
4．如图，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则AB与CD平行吗？请说明理由．【类型】五、利用“平行于同一条直线的两条直线平行”
5．如图，已知∠B＝∠CDF，∠E＋∠ECD＝180°.试说明AB∥EF.
【类型】六、利用“垂直于同一条直线的两条直线平行(在同一平面内)”]
6．如图，AB⊥EF于B，CD⊥EF于D，∠1＝∠2.[来源:Z+xx+k.Com]
(1)试说明：AB∥CD；
(2)试问BM与DN是否平行？为什么？
技巧2：与相交线、平行线相关的四类角的计算
【类型】一、利用平角、对顶角转换求角
1．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC∶∠EOD＝2∶3，求∠BOD的度数．
解：由∠EOC∶∠EOD＝2∶3，
设∠EOC＝2x°，则∠EOD＝3x°.
因为∠EOC＋∠________＝180°(____________)，
所以2x＋3x＝180，解得x＝36.
所以∠EOC＝72°.
因为OA平分∠EOC(已知)，
所以∠AOC＝∠EOC＝36°.
因为∠BOD＝∠AOC(______________)，
所以∠BOD＝________．
【类型】二、利用垂线求角
2．如图，已知FE⊥AB于点E，CD是过点E的直线，且∠AEC＝120°，则∠DEF＝________°.3．如图，MO⊥NO于点O，OG平分∠MOP，∠PON＝3∠MOG，则∠GOP的度数为________．
4．如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC∶∠AOD＝7∶11.
(1)求∠COE的度数；
(2)若OF⊥OE，求∠COF的度数．
【类型】三、直接利用平行线的性质求角
5．如图，已知AB∥CD，∠AMP＝150°，∠PND＝60°.试说明：MP⊥PN.
【类型】四、综合应用平行线的性质与判定求角
6．如图，∠1与 ∠2互补，∠3＝135°，则∠4的度数是( )
A．45° B．55° C．65° D．75°
7．如图，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝60°，求∠4的度数．技巧3：应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法
【类型】一、加截线(连接两点或延长线段相交)
1．如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝( )
A．120° B．130° C．140° D．150°
【类型】二、过“拐点”作平行线
a．“ ”形图
2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数．
b．“ ”形图
3．(1)如图①，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°.求∠BCD的度数．
(2)如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明理由．
(3)如图②，AB∥EF，根据(2)中的猜想，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
c．“ ”形图
4．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？d．“ ”形图
5．如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°，求∠ABC的度数．
e．“ ”形图
6．(1)如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数；
(2)如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系？试说明理由．
【类型】三、平行线间多折点角度问题探究
7．(1)在图①中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？
(2)在图②中，若AB∥CD，又能得到什么结论？
【题型讲解】
【题型】一、线段的中点
例1、如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为_____cm．
【题型】二、角的计算
例2、如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于（ ）A．19° B．38° C．42° D．52°
【题型】三、与角平分线有关的相关计算
例3、如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为（ ）
A．66° B．56° C．68° D．58°
【题型】四、余角与补角的相关计算
例4、如图， 是直线 上一点， ，射线 平分 ， ．则 （
）
A． B． C． D．
【题型】五、对顶角相等进行相关计算
例5、如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
【题型】六、邻补角相等求角的度数
例6、如图，直线 ， 相交于点 ， ，垂足为点 ．若 ，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
【题型】七、平行线的判定
例7、如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（ ）
A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【题型】八、平行线的应用
例8、如图， ，直线 分别交 ， 于点E，F， 平分 ，若 ，则
的大小是（ ）A． B． C． D．
【题型】九、求平行线间的距离
例9、设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距
离是5cm，则AB与EF的距离等于_____cm．
图形的初步认识（达标训练）
一、单选题
1．如图所示，下列条件中能说明 的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， ， ，则 的度数是（ ）
A．137° B．53° C．47° D．43°
3．如图，若AB CD，CD EF，那么∠BCE＝（ ）
A．180°－∠2＋∠1 B．180°－∠1－∠2
C．∠2＝2∠1 D．∠1＋∠2
4．如图， ， 平分 ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
5．如图， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，直线 ，则 的度数为______．
8．如图，AB∥CD，点E在CA的延长线上．若∠BAE＝50°，则∠ACD的大小为 _____．三、解答题
9．已知， 和 中， ， ．试探究：
(1)如图1， 与 的关系是______，并说明理由；
(2)如图2，写出 与 的关系，并说明理由；
(3)根据上述探究，请归纳得到一个真命题．
图形的初步认识（提升测评）
一、单选题
1．如图，直线 ，等腰直角 的两个顶点 、 分别落在直线 、 上， ，若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 为 的外角， 平分 ，EB AC， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
3．如图， ， 交 、 于点 、 ， 平分 ，若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
4．将一副直角三角尺按如图所示放置（其中∠GEF＝∠GFE＝45°，∠H＝60°，∠EFH＝30°），满足点E
在AB上，点F在CD上，AB∥CD，∠AEG＝20°，则∠HFD的大小是（ ）
A．70° B．40° C．35 D．65°
5．如图，已知直线 ， ， ， 中， ， ，直线 ， ， 交于一点，若 ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．已知 ，一个含有 角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若 ，则 __________度．7．如图所示， ，点 在 上， ，垂足为 ，已知 ，则 的度数为
________．
三、解答题
8．（1）课题研究：“尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线”．
做法一：
①以 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；
②以 为圆心， 长为半径作弧，交 的延长线于点 ；
③再以 为圆心， 长为半径作弧，与前弧交于点 ；
④连接 ，则 ．
做法二：①以 为圆心， 长为半径作弧；
②以 为圆心， 长为半径作弧；两弧交于点 ，连接 ；则 ．
请根据以上作法，写出这两种方法用到的数学定理或基本事实：（各写出一个即可）
做法一：____________________________________
做法二：____________________________________
（2）如图， 中， ，请你再加一个条件，使四边形 为菱形，并证明．
