文档内容
专题 04 整式的乘除与因式分解
【专题目录】
技巧1：活用乘法公式进行计算的五种技巧
技巧2：运用幂的运算法则巧计算的常见类型
技巧3：因式分解的六种常见方法
【题型】一、幂的运算法则 【题型】二、运用幂的运算法则比较大小
【题型】三、单项式乘单项式 【题型】四、单项式乘多项式
【题型】五、多项式乘多项式 【题型】六、利用平方差公式求解
【题型】七、利用完全平方公式求解 【题型】八、整式的运算
【题型】九、因式分解
【考纲要求】
1、同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力．
2、了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算．
3、会推导平方差公式和完全平方公式，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法进行因式分解.
【考点总结】一、整式的乘除运算
幂 同底数幂乘法 am·an＝am＋n（a≠0） am＋n＝am·an
的 同底数幂除法 ＝am－n(m，n是正整数) am－n＝
运 幂的乘方 (am)n＝amn（a≠0） amn＝(am)n
算 积的乘方 (ab)n＝anbn anbn＝(ab)n
乘法 平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 a2－b2＝(a＋b)(a－b)
公式 完全平方公式 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 a2±2ab＋b2＝(a±b)2
整
① 整式的加减其实就是合并同类项；
整式
式
② 整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，
加减
运 如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．
算 ① 单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项
整式 式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
乘法 ② 单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC．
③ 多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．
① 单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含
整式
有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
除法
② 多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.
【考点总结】二、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。和的形式变积的形
概念
式
因式 提公因
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)（乘法分配律的运用）
分解 因式分 式法
解方法 ① 运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
公式法
② 运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
【注意】
1、因式分解的一般步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法
分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法
分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
2、因式分解的定义注意事项
1.分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2.因式分解必须是恒等变形；
3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
3、提公因式法的注意事项
1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。
【技巧归纳】
技巧1：活用乘法公式进行计算的五种技巧
【类型】一、巧用乘法公式的变形求式子的值[来源:学科网]
1．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4.求a2＋b2和ab的值．
2．已知x＋＝3，求x4＋的值．
【类型】二、巧用乘法公式进行简便运算
3．计算：
(1)1982； (2)2 0042；【类型】三、巧用乘法公式解决整除问题
4．试说明：(n＋7)2－(n－5)2(n为正整数)能被24整除．
【类型】四、应用乘法公式巧定个位数字
5．试求(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1的个位数字．
【类型】五、巧用乘法公式解决复杂问题(换元法)
6．计算的值．
技巧2：运用幂的运算法则巧计算的常见类型
【类型】一、运用同底数幂的乘法法则计算
题型1： 底数是单项式的同底数幂的乘法
1．计算：
(1)a2·a3·a；(2)－a2·a5；(3)a4·(－a)5.
题型2：底数是多项式的同底数幂的乘法
2．计算：
(1)(x＋2)3·(x＋2)5·(x＋2)；
(2)(a－b)3·(b－a)4；
(3)(x－y)3·(y－x)5.
题型3：同底数幂的乘法法则的逆用
3．(1)已知2m＝32，2n＝4，求2m＋n的值；
(2)已知2x＝64，求2x＋3的值．
【类型】二、运用幂的乘方法则计算
题型1：直接运用幂的乘方法则求字母的值
4．已知273×94＝3x，求x的值．
题型2：逆用幂的乘方法则求字母式子的值[来源:Z。xx。k.Com]
5．已知10a＝2，10b＝3，求103a＋b的值．
题型3：运用幂的乘方解方程
6．解方程：＝.
【类型】三、运用积的乘方法则进行计算
题型1：逆用积的乘方法则计算
7．用简便方法计算：
(1)×0.255××(－4)5；
(2)0.1252 017×(－82 018)．题型2：运用积的乘方法则求字母式子的值
8．若|an|＝，|b|n＝3，求(ab)4n的值．
【类型】四、运用同底数幂的除法法则进行计算
题型1：运用同底数幂的除法法则计算
9．计算：
(1)x10÷x4÷x4；(2)(－x)7÷x2÷(－x)3；
(3)(m－n)8÷(n－m)3.
题型2：运用同底数幂的除法求字母的值
10．已知(x－1)x2÷(x－1)＝1，求x的值．
技巧3：因式分解的六种常见方法
【类型】一、提公因式法
题型1：公因式是单项式的因式分解
1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式是( )
A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1
C．3y－4x＋1 D．3y－4x
2．分解因式：2mx－6my＝__________．
3．把下列各式分解因式：
(1)2x2－xy；
(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.
题型2：公因式是多项式的因式分解
4．把下列各式分解因式：
(1)a(b－c)＋c－b；
(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.
【类型】二、公式法
题型1：直接用公式法
5．把下列各式分解因式：
(1)－16＋x4y4；
(2)(x2＋y2)2－4x2y2；
(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
题型2：先提再套法
6．把下列各式分解因式：
(1)(x－1)＋b2(1－x)；
(2)－3x7＋24x5－48x3.
题型3：先局部再整体法7．分解因式：(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)．
题型4：先展开再分解法
8．把下列各式分解因式：
(1)x(x＋4)＋4；
(2)4x(y－x)－y2.
【类型】三、分组分解法
9．把下列各式分解因式：
(1)m2－mn＋mx－nx；
(2)4－x2＋2xy－y2.
【类型】四、拆、添项法
10．分解因式：x4＋.
【类型】五、整体法
题型1：“提”整体
11．分解因式：a(x＋y－z)－b(z－x－y)－c(x－z＋y)．
题型2：“当”整体
12．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．
题型3：“拆”整体
13．分解因式：ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)．
题型4：“凑”整体
14．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.
【类型】六、换元法
15．分解因式：
(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；
(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.
【题型讲解】
【题型】一、幂的运算法则
例1、下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型】二、运用幂的运算法则比较大小
例2、已知 则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【题型】三、单项式乘单项式例3、计算 的结果是( )
A． B． C． D．
【题型】四、单项式乘多项式
例4、计算 的结果是（ ）
A．8m5 B．-8m5 C．8m6 D．-4m4+12m5
【题型】五、多项式乘多项式
例5、计算 的结果，与下列哪一个式子相同？（ ）
A． B． C． D．
【题型】六、利用平方差公式求解
例6、若 ，则 （ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【题型】七、利用完全平方公式求解
例7、若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab＝_____．
【题型】八、整式的运算
例8、先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2，其中a＝3，b＝－.
【题型】九、因式分解
例9、分解因式：－x3－2x2－x＝__________.
整式的乘除与因式分解（达标训练）
一、单选题
1．（2023·河北唐山·二模）若 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．（2022·福建省福州屏东中学三模）下列计算中，正确的是( )A． B． C． D．
3．（2022·山东菏泽·三模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江杭州·二模）分解因式 结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河北唐山·一模）如图，边长为 、 的长方形周长为 ，面积为 ，则 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．（2022·广东·东莞市万江第三中学三模）若 ， ，则 ______．
7．（2022·广东·广州市华师附中番禺学校三模）分解因式： =___________．
三、解答题
8．（2020·吉林·模拟预测）先化简，再求值： ，其中 ．
9．（2022·陕西·交大附中分校模拟预测）计算：
10．（2022·河南南阳·一模）因式分解：整式的乘除与因式分解（提升测评）
一、单选题
1．（2022·广东北江实验学校三模）某同学做了四道题：① ；② ；③
；④ ，其中正确的题号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
2．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校三模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·重庆市育才中学三模）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于
的代数式 ，请结合你所学知识，判断下列说法正确的有（ ）个
①当 时， ；
②存在实数 ，使得 ；
③若 ，则 ；
④已知代数式A、B、C满足 ， ，则 ．
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2022·山东淄博·模拟预测）已知 ， 都为实数，则式子 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·上海静安·二模）如果把二次三项式 分解因式得 ，那么常数
的值是（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
二、填空题6．（2022·山东淄博·二模）已知 ， ，则 ______．
7．（2022·四川成都·二模）如图1中的瓶子盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那
么一共需要________个这样的杯子（瓶子和杯子的厚度忽略不计）．
三、解答题
8．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）先化简，再求值： ，其中
， ．
9．（2022·河北·育华中学三模）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整
式．
(1)求整式M；
(2)请将整式N分解因式；
(3)若P＝﹣4，求x的值．
